2024年中考數(shù)學(xué)重難點突破 與圓有關(guān)的證明和計算

專題14與圓有關(guān)的證明和計算

圓與直角母子型(2)

(1)切線判定：①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

②和圓只有一個公共點的直線是圓的切線(定義法)

③如果圓心到一條直線的距離等于圓的半徑，那么這條直線是圓的切線

(2)切線判定常用的證明方法：

①知道直線和圓有公共點時，連半徑，證垂直；

②不知道直線與圓有沒有公共點時，作垂直，證垂線段等于半徑.

|向歷占后一

1.如圖，在"SC中，AB=AC,以為直徑作圓。，分別交BC于點。，交C4的延長

線于點E,過點。作?！ǎ?C于點連接。E交線段04于點尸.

⑴求證：EH=CH-,

⑵求證：?！ㄊ菆A。的切線；

(3)若E4=EF=1,求圓。的半徑.

【答案】⑴證明見解析；

(2)證明見解析；

(3)苧.

【分析】(1)先判斷出是等腰三角形，即可得出結(jié)論；

(2)連接。￡>,先判斷出△OD8是等腰三角形，進(jìn)而得出N0AD=N0D8,進(jìn)而判斷出

OD//AC,即可得出結(jié)論

(3)設(shè)O。的半徑為r,即。。=。3=乙先判斷出=進(jìn)而得出

ZFOD=AEAF=AEFA=ZOFD,得出。尸=OD=r,BD=CD=DE=r+1,進(jìn)而得出

BF=BD=r+l,再判斷出△BFDs△￡用,得出比例式建立方程求解，即可求出答案.

(1)

證明：,/AB=AC>

ZS=ZC,

又7在。。中，ZE=NB,

ZE=ZB=NC,

.?.△EDC是等腰三角形，

DHiEC,

EH=CH

(2)

證明：連接0。，如圖1,

圖1

：OB=OD,

.1△or■是等腰三角形,

AOBD=ZODB,

,,AB=AC,

ZABC=ZACB,

NODB=NOBD=ZACB,

OD//AC,

：DH1AC,

DHLOD,

???0。是。。的半徑，

;.￡>〃是圓。的切線；

(3)

連接4D,如圖1,,

設(shè)。。的半徑為「，即OD=O8=r,

'：EF=EA,

ZEFA=NEAF,

OD//EC,

ZFOD=ZEAF,

則ZFOD=NEAF=NEFA=ZOFD,

/.DF=0D=r,

:.DE=DF+EF=r+1,

?「是等腰三角形，

CD=DE,

「AB=AC,

是等腰三角形，

?/是。。的直徑，

AD1BC,

BD=CD,

：.BD=CD=DE=r+l,

在。。中，,:/BDE=/EAB,

4BFD=ZEFA=AEAB=/BDE,

在V5DF中，BF=BD=r+l,

AF=AB—BF=2OB-BF=2—(1+埒=—l，

?；4BFD=4EFA,/B=NE,

:.RBFDsAEFA,

.EF_BF

一司一而‘

.1_r+1

r-1r

解得：4=容，2=—（舍），

綜上所述，。。的半徑為1±25.

2

【我思故我在】此題是圓的綜合題，主要考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性

質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解（3）的關(guān)鍵.

2.小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究.

（1）更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題.如圖1,在O。中，C是劣弧的中點,

直線CD_L4B于點￡,則/E=請證明此結(jié)論；

（2）從圓上任意一點出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦.如圖2,PA,PB

組成。。的一條折弦.C是劣弧的中點，直線CD1P/于點E,貝1」/￡=尸石+尸8.可以

通過延長/P相交于點尸，再連接證明結(jié)論成立.請寫出證明過程；

（3）如圖3,PA,PB組成O。的一條折弦，若C是優(yōu)弧48的中點，直線CO1尸”于點E,

貝IJZE,PE與必之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出證明過程.

【答案】⑴見解析；（2）見解析；（3）AE=PE-PB,理由見解析

【分析】（1）連接BD,易證人4D8為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一這一性

質(zhì)，可以證得=

（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，光/CDA=4CDF,再證根尸。為等腰三角形，進(jìn)一步證得

PB=PF,從而證得結(jié)論.

（3）根據(jù)N4DE=ZFDE,從而證明LDAE=l^DFE,得出AE=EF,然后判斷出PB=PF,

進(jìn)而求得AE=PE-PB.

【詳解】證明：（1）如圖1,連接BD,

c

圖1

,「C是劣弧4g的中點，

/.ZCDA=ACDB,

'.'DELAB,

ZAED=4DEB=9(F,

:.44+乙4DE=90P,ZB+^CDB=9QP,

.\ZA=ZB,

/.為等腰三角形，

..CD1AB,

AE=BE；

(2)如圖2,延長。8、4P相交于點尸，再連接

尸是圓內(nèi)接四邊形,

乙PBF=NPAD,

：C是劣弧45的中點，

/CDA=/CDF,

\'CDVPA,

.?.澳即為等腰三角形，

:"F=/A,AE=EF,

:.APBF=占,

PB=PF,

AE=PE+PB

(3)AE=PE-PB.

連接BD,AB,DB、力尸相交于點歹,

圖3

?弧AC=弧5C,

/.ZADC=/BDC,

,：CDLAP,

/DEA=/DEF,/ADE=Z.FDE,

?「DE=DE,

ADAEADFE,

/.AD=DF,AE=EF,

ADAF=NDFA,

/.ADFA=4PFB,ZPBD=ZDAP,

ZPFB=ZPBF,

：.PF=PB,

AE=PE-PB.

【我思故我在】本題主要考查了垂徑定理及其推論，等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定

及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理-在5個條件中，1.平分弦所對的一條??；2.平分弦

所對的另一條??；3.平分弦；4,垂直于弦；5.經(jīng)過圓心（或者說直徑）.只要具備任意

兩個條件，就可以推出其他的三個.

3.如圖，是0。的直徑，AC是的切線，連接OC,眩BDIIOC,連接BC,DC.

。）求證：0c是。。的切線；

⑵若cosNNC8=w，求tan/CB。的值.

【分析】。）連接。。，如圖，利用切線的性質(zhì)得NCUC=90。，再利用平行線的性質(zhì)證明

ZA0C=NDOC,則可判定A/OC組A。。。，從而得到NO0C=NCMC=90°,然后根據(jù)切

QAC

線的判定方法得到結(jié)論；（2）作OELC3于E,如圖，在AA/BC中由于cosN/CS===,，

5BC

Ar3

則可設(shè)NC=3x,BC=4x,所以N3=4x,貝!]sin4BC=—=-,再在如AOBE中利用正

BC5

弦可表示出02=?,利用勾股定理可得到8石=|尤，于是得至UCE=gx,從而在RQOCE

中根據(jù)正切定義得到tanNOCE=三,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到tanNCB。的值.

【詳解】（1）證明：連接0D,如圖，

.?7C為切線，

OALAC,

:.ZOAC=90",

'：OCHBD,

:.ZAOC=AABC,ZDOC=ZODB,

,：OB=OD,

ZOBD=ZODB,

:.ZAOC=ZDOC,

OA=OD

在“OC和△OOC中，,4。。=ZDOC

OC=OC

.'.^AOC=ADOC,

ZODC=ZOAC=90°,

/.ODVCD,

.?.DC是。。的切線；

（2）解：作OELCB于E,如圖，

3AC

在瓦A/BC中，cosZACB=-=—,

5BC

設(shè)ZC=3x,BC=4x,

/.AB=4x,

.AC3

sinNZ5c==一

BC5

QE3

在Rt^OBE中，sinZOBE=----=

OB5

cn3_6x

二.OB=—,2x=—

55

:.BE=yj0B2-0E2,

5

17

:.CE=BC-BE=-x,

5

在Rt^OCE中，tan/OCE=——二言一二--,

1/17

CE-x

5

JOCHCD,

4CBD=AOCB,

.?.tanNC&D的值為，.

【我思故我在】本題考查了切線的性質(zhì)：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切

線；圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑?判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作

這條直線的垂線”；有切線時，常?！坝龅角悬c連圓心得半徑”?也考查了解直角三角形.

4.圖，48是O。的直徑，點C在48的延長線上，平分NC4E交。。于點。，過點/

作/E1CD,垂足為點￡

⑴判斷直線CE與。O的位置關(guān)系，并說明理由；

⑵若3C=3,CD=36,求。。的半徑以及線段即的長.

【答案】(1)磁是。。的切線，理由見解析

(2)3；孚

【分析】(1)連接根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出NCMO=NOD4,根據(jù)角平分線的定義

得出NE4D=NO4D,即NE4D=N0D4,根據(jù)平行線的判定方法得出,根據(jù)

AELCD,得出。D1C。，根據(jù)即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)OD=x=OB,在RtACO。中，由勾股定理列出關(guān)于x的方程即可；先求出

CDOC

OC=OB+BC=3+3=6,然后再根據(jù)得出—二二二，代入數(shù)據(jù)即可得出答案.

DEOA

【詳解】(1)：是。。的切線，理由如下：

連接。Q,如圖所示：

「OA=OD,

ZOAD=ZODA,

???4D平分/CAE,

ZEAD=ZOAD,

：.NEAD=NODA,

OD//AE,

又,:AELCD,

ODLCD,

.?QD是半徑，

CD是。。的切線；

(2)解：設(shè)OD=尤=0瓦在RtACOZ)中，由勾股定理得，OD'CD'OC)

即/+(3時=(x+3)1

解得尤=3,

即半徑為3；

OD=OA=OB=3,

OC=OB+BC=3+3=6,

根據(jù)解析(1)可知，OD"AE,

.CDOC

''^E~'OA'

即送=9,

DE3

解得：DE=—.

2

【我思故我在】本題主要考查了切線的判定，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾

股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)得出。?！ㄇ?？.

5.如圖，在等腰“8C中，AB=AC,以48為直徑的O。與3c交于點。，DE1AC,垂

足為E,ED的延長線與AB的延長線交于點F.

⑴求證：E尸是。。的切線;

7

⑵若。。的半徑為,，BD=3,求CE的長.

【詳解】（1）證明：如圖，連接8,

?/AB=AC,

AABC=ZACB.

OB=OD,

AABC=4ODB,

ZACB=AODB,

/.OD//AC.

'：DE1AC,

/.DE人OD,即Ml00,

■「OD是。。的半徑，

/.EF是OO的切線；

(2)解：如圖，連接4。,

?/是。。的直徑,

/.AD1BC.

\DE1AC,

ZADC=ZDEC=90°.

zc=zc,

，^CDESACAD,

,CDCE

,?CA-CD.

?「AB=AC=1,

/.DC=DB=3.

?3_CE

,〒石

CE=~.

7

【我思故我在】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定，圓周角定

理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識.連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵.

6.如圖，在Rta/BC中，44cs=90。，以/C為直徑的O。與斜邊交于點，點E為

邊3C的中點，連接。￡.

⑴求證：是。。的切線；

(2)填空

①若N8=30。，AC=6貝；

②當(dāng)NB=。時，以O(shè),D,E,C為頂點的四邊形是正方形.

【答案】⑴見解析

3

(2)0-;②45

【詳解】(1)證明：丁/。是直徑，

/.AADC=ACDB=90°,

?點E為邊的中點，

：.DE=CE=BE,

：4ECD=ZEDC,ZB=ABDE,

連接O。，貝i」NOS=NQDC,

/./ODE=NODC+ZEDC=ZOCD+4ECD=AACB=90°,

/.DE是OO的切線.

(2)解：①,在RtaZBC中，tan/3=——,

3

13

/.DE=-BC=~,

22

3

故答案為：—;

②只要DELBC,以。，D,E,。為頂點的四邊形就是正方形，

貝I」Z8=ZBDE=1x90°=45°,

故答案為：45.

【我思故我在】本題考查了圓的切線的判定及解直角三角形的知識和正方形的判定，通過作

輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.

7.如圖，48是。。的直徑，弦CD14B,￡是。延長線上的一點，連接交。。于點

廠連接4F,CE.

⑴若NA4C=20。，求NN尸C的度數(shù).

(2)求證：AF平分NCFE.

(3)若48=5,CD=4,且CF經(jīng)過圓心O,求C￡的長.

【答案】⑴70。⑵詳見解析(3)4君

【分析】(1)由垂徑定理得到部=而，從而得到/D/B與/A4c的關(guān)系，通過直角三角

形的性質(zhì)可以得到乙W/由圓周角定理的推理即可得出AAFC；

(2)由垂徑定理和圓周角定理的推理可以得出ZACD=4OC,再由圓內(nèi)接四邊形和得出

N/陽與//CD的關(guān)系，從而得到=4CD,由圓周角定理的推理得出N/FC與

//DC的關(guān)系，從而得出乙4尸C與//尸E的關(guān)系，得證；

(3)由垂徑定理可以得出S,由勾股定理得出從而得出的長，再由勾股定理得

出NC的長，由根據(jù)平行線分線段成比例定理，得出/C=/E,從而得出C￡的

長.

(D

(1)解：如圖，連接。。AD,設(shè)交CD于H.

ABiCD,

BC=BD,AAHD=90°,

/.ADAB=ABAC=20°,

AADH=90°-(DAB=70°,

￡AFC=/ADH=7。。.

⑵

(2)證明：,.15是直徑，ABVCD,

-'-AC=AD,

/.ZACD=ZADC,

AACD+/LAFD=180°,ZAFE+ZAFD=180°,

/.ZAFE=ZACD,

???乙AFC=AADC=乙ACD.

Z.AFC=AAFE,

:.AF平分/CFE.

⑶

(3)解：如圖，設(shè)4B交CD于H.

丁/2是直徑，AB1CD,

CH=DH=-CD=2,

2

oc=-,zone=90°,

2

35

AH=OH+OA=-+-=4,

22

AC=yJCH2+AH2=>/22+42=275

???CF是直徑，

ACDF=AAHC=90°,

：.AH//DE,

,CHCA

"DH~AE

-：CH=HD,

AC=AE=275,

CE=24C=4出.

【我思故我在】本題考查了垂徑定理、圓周角定理及推理、勾股定理、平行線分線段成比例

定理，熟練掌握相關(guān)定理是解決本題的關(guān)鍵.

8.如圖，四邊形48co內(nèi)接于。。，2C為。。的直徑，AC與BD交于點E,P為C8延長

線上一點，連接尸4§L￡P(guān)AB=AADB.

(1)求證：尸/為。。的切線；

3

⑵若/3=6,ianAADB=~,求P8的長；

(3)在(2)的條件下，若AD=CD,求△?>￡的面積.

【答案】⑴見解析

90

⑵亍

⑶5

【分析】(1)連接0a根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/。/3=/。24,根據(jù)圓周角定理得到

ZCAB=90°,根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AC=8,根據(jù)勾股定理得到BC=^AC2+AB2=10,求得02=5,

1Q

過2作5RUP于凡設(shè)4F=4k,BF=3k,求得瓦三葭根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到

結(jié)論；

(3)連接OD交4c于H,根據(jù)垂徑定理得到47=C"=4,得到?！?而口F=3,根

據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到DE=5根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

(D

證明：連接

：OA=OB,

；.NOAB=NOBA,

???2C為。。的直徑,

NCN8=90°,

/4CB+ZABC=90°,

,/AADB=￡ACB=Z_PAB,

：.NPAB+/045=90。,

:.^OAP=90°,

「?P4為。。的切線;

⑵

解：.../ADB=/ACB,

,AB3

.X.3,V\AA.DB=X3T\/_ACB=——=—

71Cz4

\AB=6,

.,.AC=8,

-BC=S]AC2+AB2=10,

:.OB=5,

過5作BFLAP于F,

3

.,.tanZADB=tanABAF=-,

4

設(shè)//=4左，BF=3k,

.AB=5k=6,

T,

18

.".BF=—,

5

\OA_LAP,BFLAP,

：.BF//OA,

...△PBFSLPOA,

BFPB

OA~PB+5

18

即《二PB

5~PB+5

…90

PB——；

7

(3)

解：連接。。交/C于4

：AD=CD,

-CD=AD,

:.ODLAC,

：.AH=CH=4,

-OH=yJoA2-AE2=3,

:.DH=2,

CD=^CH2+DH1=275,

'BD^^BC1-CD2=475,

/ADE=/BDA,NDAE=/ABD,

.,.△ADEs^BDA,

.ADDE

??麗—茄’

275DE

即0n法=求’

.'.DE—y[s,

.?.△CDE的面積為;CD-DE=；x2石x括=5.

9.問題提出

c

圖1圖2圖3

(1)如圖1,48為圓。的弦，在圓。上找一點P,使點P到AB的距離最大.

(2)問題探究

如圖2,在扇形/MB中，點又為扇形所在圓的圓心，點P為冠上任意一點，連接尸河，與

48交于點0,若48=10,AM=7,求出P。的最大值.

⑶問題解決

如圖3,小華家有一塊扇形/O3的田地，線段。4、線段02以及前分別為扇形/O2的邊

沿部分.經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，小華爸爸打算在扇形NOB的田地中圈出一片空地用作種植當(dāng)

季蔬菜，具體操作方式如下：在凝上選取點C,過點C作CA/〃。2,CN//OA,則四邊形

MONC為小華爸爸所圈空地.已知：扇形/。8的圓心角N/O3=60。，OA=OB=90m,且

用于修建圍擋的線段MC部分與線段CN部分的成本均為30元/米.請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算:

小華爸爸最終所花費的修建費預(yù)算最多是多少元？(即求出CM+CN的最大值)(結(jié)果保留

整數(shù),取百=1.73)

【答案】⑴見解析

⑵7-2指

(3)210元

圖1

此時點尸處于前中心位置,

???在圓內(nèi)，弦所對弧的中點到弦的垂線段距離最大,

/.此時P點到AB的距離最大；

⑵

解：如下圖，。點在的中點時，。河最小，則PQ最大,

：MA=MB,AQ=BQ,

：.QMLAM,

AM=7,

,-AQ=BQ=5,

QM=^AM2-AQ2=A/72-52=2A/6,

PQ=PM-QM=1-246-,

(3)

解：由題意可知，當(dāng)點C處于前中點時，對角線最長，

此時，OC=CM=90,48_LOC與點Q,

■：CM//OB,

ZAMC=60°,

■：CNHOA,

ZCA?=60°,

zCMQ=zCNQ=60°,

.?.△CWN為等邊三角形，

同理證明△。跖V也為等邊三角形，

在RtaOMQ中，。。=3。。=45,OM=2MQ,OM2=MQ2+OQ2,

OM=15#)=26.01,

.?’0MCN的周長C=OM+ON+NC+MC=4OM=8MQ=208.08?209(不足1米按照1米計

算），

,成本均為30元/米，

209rcr

----7.0=7,

30

則預(yù)算最多為:7x30=210（元）.

【我思故我在】本題考查了弦所對弧的中點到弦的垂線段距離最大，點到弦之間的距離垂線

段最短，平行四邊形周長的最大值，解題關(guān)鍵是把求平行四邊形四條邊的平方的和，換成求

平行四邊形對角線的最大值，問題就得以解決.

10.如圖，在A43c中，BA=BC,ZABC=90°,以AB為直徑的半圓。交AC于點D,

點E是麗上不與點B,D重合的任意一點，連接AE交BD于點F,連接BE并延長交AC

于點G.

（1）求證：M.DF=ABDG；

（2）填空：

①若48=4,且點E是訪的中點，則DF的長為；

②取靠的中點H,當(dāng)NE/2的度數(shù)為時，四邊形OBEH為菱形.

【答案】（1）見解析（2）①4-2e②30°

【分析】（1）利用直徑所對的圓周角是直角，可得=90°,再應(yīng)用同角的余角

相等可得ZDAF=NDBG,易得AD=BD,MDF=△ADG得證；

（2）作FH1,應(yīng)用等弧所對的圓周角相等得=再應(yīng)用角平分線性質(zhì)可

得結(jié)論；由菱形的性質(zhì)可得BE=OB,結(jié)合三角函數(shù)特殊值可得AEAB=30°.

B

【詳解】圖1

解：(1)證明:如圖1,.「A4=3C,ZABC=90°,

ABAC=45°

「AB是。。的直徑，

AADB=AAEB=90°,

/.ZDAF+NBGD=4DBG+ABGD=90°

ZDAF=4DBG

'：ZABD+ZBAC=90°

N4BD=NB4C=45°

AD=BD

KADFKBDG(ASA)；

圖2

(2)①如圖2,過F作方Hl48于H,...點E是訪的中點，

/BAE=ADAE

.「FDIAD,FHLAB

'：FH=FD

,.?=sin/.ABD-sin45°=,

BF2

FDV2Hi-t1-

BF2

*;AB=4,

.?.8。=4cos45°=2逐，即&F+陽=2/，(y/2+l)FD=2y/2

...FD=^^=4—2叵

V2+1

故答案為4-20.

圖3

②連接OE,EH,二點H是靠的中點,

OHLAE,

7NNE5=90°

BE1AE

:.BE//OH

丁四邊形OBEH為菱形，

BE=OH=OB=-AB

2

BF1

smAEAB=—=-

AB2

Z.EAB=30°.

故答案為30。

11.如圖，AB是。。的直徑，弦CDLAB于點E,G是R上一動點，AG,