2024年北京大學(xué)“物理卓越計(jì)劃”選拔考試數(shù)學(xué)試題含答案

2024年北京大學(xué)“物理卓越計(jì)劃”選拔考試數(shù)學(xué)試題

1.求滿足10(尤y+yz+zx)=9xyz(x<y<z)的所有正整數(shù)解.

2.若x2—xy—6y2=1,求x2+xy+y2的最小值.

2

3.已知數(shù)列｛aj滿足C-m+n=|(?2m+?2n)-(m-Zl),d0=11,=11,求。2023.

4.函數(shù)y=%3+ax的圖像有唯一內(nèi)接正方形，求a與正方形的邊長(zhǎng).

5.求單位正方形的內(nèi)接正三角形的最大面積與最小面積.

6.網(wǎng)球比賽，本來(lái)要求每?jī)蓚€(gè)人之間要比一場(chǎng)比賽，有三位選手每人比了2場(chǎng)比賽后

就退出了，最后只進(jìn)行了50場(chǎng)比賽，問(wèn)退出的三位選手之間比了幾場(chǎng)賽？

22九

7.求積分〃=用空一)dx.

u\sin%+cosxJ

8.30個(gè)同學(xué)，每個(gè)同學(xué)有23個(gè)朋友.現(xiàn)在定義好三角組為選擇三個(gè)同學(xué)，這三個(gè)人

互相都是朋友或互相都不是朋友，問(wèn)有多少個(gè)好三角組？

9.對(duì)于任意正整數(shù)m,n證明：￡匕0(-1)匕/島=￡憶。(一1"魔焉.

1O.對(duì)于四邊形ABCD,有AB=^Y，BC=^-,CD=l,DA=y/3,且有ZX=75°,求

對(duì)邊中點(diǎn)距離之和.

北京大學(xué)2024年“物理卓越計(jì)劃”選拔考試數(shù)學(xué)試題解答

1.【解析】：10(-+-+-)=9<10--；所以》三"，故x=2或3.

xyzx3

若x=2,貝心0(工+工)=4；5(-+-)=2<—,所以yV5,故y=3,4,5.

yzyzy

當(dāng)y=3時(shí)，2=15;

20

當(dāng)y=4時(shí)，z=—^z(舍)；

當(dāng)y=5時(shí)，2=5；

故(羽y,z)=(2,3,15)或(2,5,5).

若x=3,貝也0(工+工)="三型，所以yW竺，故y=2,3.

yz3y17

30

當(dāng)y=3時(shí)，z=—z(舍)；

而y=2<3=x.

綜上，原方程所有解為(2,3,15)或(2,5,5).

2.

【解析】由（一冷一6十2=I可得（x+2y）（x—3y）=1.

設(shè)m=x+2)\〃=工一3v,則有mn=1,

且有x二+(3"7+2〃),y=/(〃7—〃).

因此X2+y2+xy

二[J(3〃7+2〃)]~++-y(3/w+2/?)?!(/〃一〃)

="y^"(13/獷+3〃~+9/〃〃)=13/〃-+3〃一+9)

〉=(2回+9)=2弋+9

：（i_y

當(dāng)且僅當(dāng)腐&即/〃=

,時(shí)等號(hào)成立.

n=歲

3.【解析】：令〃=m+1

1、，

■1-a2m+l=~9z2m+%加+1)1

^m+2-a2m+l=a2m+l-a2n+2

ba

記k=k-4-i#GN*,b2m+2=b2m+1+2.①

令〃=m+2

1、)

za

a2nl+2=-(2,?+a2m+4)_4

a2m+4_a2m+2=%m+2—°2m+8

2。2nl+3+2=262nl+2-2+8

故2鼠+3=葭+2+2?②

由①、②知：4—4_1=2

{4}是以2為公差的等差數(shù)列.

?;a=0,/.bk=2k-2

=11+(0+4044)X2023=2023X2022+11=4090517

^2023=a0+Z-

i=l2

4.

【解析】①當(dāng)時(shí),y=f+ax在R上遞增，不存在內(nèi)接正方形.

②當(dāng)a＜（）時(shí)，首先證明正方形的中心出現(xiàn)在原點(diǎn)處.設(shè)

5（x2,v2）,C（-v?，3\）,￡＞（x4,v4）J

于是"一=x；+xk2+V+。，

X|一不

同理可得女⑺=X；+XyX4+X4+a.

2

由=CO及kAli=ken可得⑶一占＞=（與-/），

聯(lián)H（X「X—=3f）2可得取一兇.

同理有勺4=、兇，因此有x2=一相，

結(jié)合函數(shù)P=/+4工為奇函數(shù)，有為=—乂，同理X1=—x3，—=—乃.

即正方形的中心出現(xiàn)在原點(diǎn).

設(shè)直線OA:y=kx、與y=.r+ar聯(lián)立可得工力=T—a+k,

于是OA—J1+。,1—〃+A.

化簡(jiǎn)可得（”十）2—水一+）+2=0.令/="+，%＞0,

則/€火且/與片是一一對(duì)應(yīng)的.

方程化為r—。/+2=0,

討論方程在R上解的個(gè)數(shù)即對(duì)應(yīng)著正方形的個(gè)數(shù),L=cr-8.

(1)當(dāng)-2V2<?<0Ht，A<0,貝［函為攵y=x'+"x不存在內(nèi)接正

方形.

(2)當(dāng)"=一2，1叱△=(),則函數(shù)j=x'+"x存在1個(gè)內(nèi)接正方

形.

(3)當(dāng)aV—20時(shí),△>0,則函數(shù).y=A；+av存在2個(gè)內(nèi)接正方

形.

因火匕a=—2V2,/=k—J7=-6,A=.

KZ.

于是正方形邊長(zhǎng)為，產(chǎn)?，一a+左=72：.

5.【解析】

如圖，正方形A5CD的邊長(zhǎng)為1,不失一般性假設(shè)AERG是其滿足條件的內(nèi)接正三角形，邊長(zhǎng)為。，過(guò)ER

的中點(diǎn)“作MNLA5垂足為N,連的4、MG、MN、MB,又設(shè)NAEG=a,

:.ZAEM=600+a

:.ZAGE=900-a

ZMGB=60°+a=ZAEM

.,.點(diǎn)A、E、M、G四點(diǎn)共圓，同理點(diǎn)3、G、M、F,

ZMEG=ZMAB=60°

ZMFG=ZMBA=60°

.,.點(diǎn)ER必過(guò)M點(diǎn)，AAMB是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,

MN=F，，當(dāng)G點(diǎn)與N重合時(shí)=g，..?(SAEFG)mm=^AMAB=金.

???石6三。6，當(dāng)且僅當(dāng)七點(diǎn)與。點(diǎn)重合時(shí)，EG最大，止匕時(shí)a=15°

2

.-.(EG)max=V6-V2,/.(SA￡CF)max=^-(V6-V2)=2V3-3,

所以所求內(nèi)接正三角形的最大面積與最小面積分別為2百-3、—.

4

6.【解析】：設(shè)共有”(〃eN*且〃〉3)名選手，除去這3名，還剩下(〃-3)名選手.

設(shè)這3名選手之間比了x場(chǎng)比賽(x=0,l或2).

除去這3名選手的比賽，剩余人共比賽了("—4)5—3)場(chǎng).

2

(1)x=0時(shí)，——_^+6=50na?—7〃-76=0n力仁N",不符合；

2

(2)x=l時(shí)，——‘("_12+1+1+3=50=>7/-7”-78=0=>"=13或一6；

2

由于，且〃>3,故〃=13符合；

(3)x=2時(shí)，——_^+1+1+1+1=50n〃2_7"-80=0=>〃任N",不符合;

2

所以，x=1時(shí)，滿足條件，故退出的3名選手之間比賽了1場(chǎng)。

7.

/\3/

Lz麗辦工一CO&T(7t\

:"/-------------=tailITI.

'siivx-+COST14-

.../；仁川比［Cgr)在=

J(i\sinx-rcosx;

/3儼G一學(xué)《一方

?「0w工W彳一彳Wz—Jwo,設(shè)-Jwh-Jwo.妥求.原積分也就

444

是吳求然分jtan2ntdt.

被四函數(shù)是修函數(shù)二切力a=f\a,^xtb.

"7"

X2N三2L

=p(8in.r-co^\,=Ifan211xdx—1/an27,~2x(scc2^—l)(ir

nJ。口力比+d'JnJi)

=jtan-rt~2x'sec2xdx-jtan2n^2xdx

JOJ1)

=J4tan2"-2zdxdianx-/4lan'^xdx

二得通推公式/“

=9i+/“T,由/?=j,所以：

?，/=(T)"［彳'(13+5……+2n-l)］

8.【答案】：2080個(gè)

k

證法遞推公式迭代)SAm,n)=E?=0(-l)C*^r.則由C=CT+C2可得

外，璜=白郎+2(-a(*++(-1)-^^^

+茄?1)七二；島+(-1)"』c舄

^TT6"-1+第”-1)k(:?-1m+k+l7T7

=陽(yáng)(+器式T"舄目短

Iik

=?m，"D一Q匕(一a』*；ETT=3,n-D-滔-(一D""不罰

="-'=式-aF(1-常專)

=/(m,n-l)-i[S=1(-1)*C*m：：；]一駕八(一1)閹

=f(m,n-l)--^Ek=o(-1)上瑞丁+.+]-E*=o(-l)*^n]

=f(m,n-1)--l)"dm+；+]=f(m,n-1)-n)

m

故f(m,n)=—^—1)=加+震，+G/(m,n-2)=???=，m+B,n，"；n'fm+3.f(>D

?n+n+i(ni+n+i)(Tn+n)(m+n+i)(m+n)…(m+s)

乂f(，n,D=-^+2=(m+2)(m+l)'

則"m，n)=仙+"+1而+”：5+2)而+b=而喘聲于是"m,n)=f(n,m).

9.【解析1

即瑞)(-1)9用=釀。(-1)F/

if漢：（教學(xué)，I納法）Q=

nt+lr”

/(m,1)=￡；~o(-1)*日wiM/l=w44-wt+2-(Nt^lKiiH-2>a

f(m,2)。EL?(-1)，GR■MKI….

ffm.3).yl^(-i】Y-----i-__L?-2_—JL_________t______.

'."73wi"*l*4*1m>2wH-SwiX(NH-IXWH-ZXM^IXM4M)

wtnl

M￡i/(".").卜面川教學(xué)打納法證期.

I-n=1frf,你m，D.而最;而?隔?

②以設(shè)-PSGAT)時(shí)，。想成立.W"m,p)??E?P+1時(shí).

f(m,p+l)-^(-l)*CjHm+L]

Y"STT+*=i(tF+im+；+i+(t*謁，：72咽

7“』+匾(FC+c尸)5r占訂+(-1尸；^"端

?+Ek，一齊夕srrkisrrkr+(一產(chǎn)

--1)tc?i；rnFTT+^(-1W^n-

?〃m,p)-C：；(-1廣號(hào):+(\1)+2?八m，L(-?^srrrr2

m!p!(m4*l)!p!

■―/Xm+1?p)-_._4,

(m/*p*1)!(m>p42)!

m!p!(m+p?2)-(m?l)!p!(m11)!(pf1)?

(m>p>2)?(M?p?2)(

山，②及數(shù)學(xué)“納法可知；((

i"E,n(JW)fl，=&JIr?rm,n)=rn,m).

即黑o（-i）y$=E1（-ip《島p

10.【解析工以A3為x軸正反向建立平面直角坐標(biāo)系，所以得出3（7,0）,。（3—］、，3—：、）

C為以3為圓心，半徑等于巫的圓與以3為圓心，半徑等于1的圓的交點(diǎn)，存在兩個(gè)C.

2

.-.qc21BD,^KBD=-l,.-.KClC2=l

設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y）

,36-屈、2/3V2+V6