2024屆上海市寶山區(qū)高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題及答案

2023學(xué)年第二學(xué)期期中高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試卷考生注意：1．本試卷共21題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2．本試卷包括試題卷和答題紙兩部分，答題紙另頁，正反面；3．在本試題卷上答題無效，必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題；4．可使用符合規(guī)定的計(jì)算器答題．一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分要求在答題紙相應(yīng)題序的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對得分，否則一律得零分．1.拋物線x24y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為______.42.已知tan3，則tan_______.a2a其中a0化為有理數(shù)指數(shù)冪的形式為_______.3.將a2,2，bm，若ab，則實(shí)數(shù)m.4.已知向量5.設(shè)實(shí)數(shù)、y滿足xii2xi1ii為虛數(shù)單位，則xy.6.3，5，x，8，9，10.若其極差與平均數(shù)相等，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為_______.Aaa21,，且1，則實(shí)數(shù)a的值為A.7.已知集合nn18.在數(shù)列a中，a且aalgn2，則100_______.n1nn19.某公司為了了解某商品的月銷售量y（單位：萬件）與月銷售單價(jià)x（單位：元/件）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了5個(gè)月的銷售量與銷售單價(jià)，并制作了如下對照表：月銷售單價(jià)x（元/件）1015202530月銷售量y（萬件）1110865由表中數(shù)據(jù)可得回歸方程yaxb中a0.32，試預(yù)測當(dāng)月銷售單價(jià)為40元/件時(shí)，月銷售量為萬件.x2y2a2b2ab0A為圓心，bA10.已知雙曲線與雙曲線的一條漸近線交于、N兩點(diǎn)，若MAN60，則雙曲線的離心率為_______.11.O的正上方安裝探照燈對警戒區(qū)域進(jìn)行探查掃描.假設(shè)1：警戒區(qū)域?yàn)榭諘绲纳拳h(huán)形平地AABB；1nn1假設(shè)2：視探照燈為點(diǎn)M，且距離地面20米；假設(shè)3：探照燈M照射在地面上的光斑是橢圓.當(dāng)探照燈M以某一俯角從kk1側(cè)掃描到kk1在地面上的光斑形成一個(gè)扇環(huán)Skk.由此，通過調(diào)整M的俯角，逐次掃描形成扇環(huán)S、S、SL.123第一次掃描時(shí)，光斑的長軸為EF，|30米，此時(shí)在探照燈M處測得點(diǎn)F的俯n角為30（如下右圖）.記|AA|d，經(jīng)測量知|AA|80米，且d}是公差約為0.1kk1k1k米的等差數(shù)列，則至少需要經(jīng)過次掃描，才能將整個(gè)警戒區(qū)域掃描完畢.12.空間直角坐標(biāo)系中，從原點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量a、b滿足：ab2，|b1，且存在實(shí)數(shù)t，使得|a|2|atb0成立，則由a構(gòu)成的空間幾何體的體積是.41813～14題每題415～16題每題5.13.已知ab0，則（）.1212a2bB．22a2bC．a(chǎn)bD．logalogbA．1212N，2.若5PXa（14.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布PXa，則）.62312116A．B．C．D．315.已知直線l、、n與平面、，則下列命題中正確的是（）.A．若//，l，n，則l//nC．若l，l//，則B．若，l，則lD．若ln，mn，則l//m16.數(shù)列a中，S是其前n項(xiàng)的和，若對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得nnSa，則稱數(shù)列a為“某數(shù)列”.現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：nmn①等比數(shù)列2n為“某數(shù)列；②對任意的等差數(shù)列a，總存在兩個(gè)“某數(shù)列”b和c，使得abc.nnnnnn則下列選項(xiàng)中正確的是（）.A．①為真命題，②為真命題C．①為假命題，②為真命題B．①為真命題，②為假命題D．①為假命題，②為假命題三、解答題（本大題共有5題，滿分78應(yīng)的題號）內(nèi)寫出必要的步驟．17．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知sinAsinCsinBsinAsinC222.（1）求角B的大小；（2）若ABC的面積為3，求ac的最小值，并判斷此時(shí)ABC的形狀.18．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）如圖，已知點(diǎn)P在圓柱OO1的底面圓O的圓周上，AB為圓O的直徑.（1）求證：BP1P；（2OABOP圓柱的體積為16AP與1B所成角的60,大小.19．（本題滿分16分，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分7分）在課外活動(dòng)中，甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行投籃比賽，每人投321得0分.已知甲每次投進(jìn)的概率為2123，從第二次投籃開始，若前一次投進(jìn)，則該次投進(jìn)的概率為，若前一次沒投進(jìn)，則該525次投進(jìn)的概率為.(1)求甲投籃3次得2分的概率；(2)若乙投籃3次得分為X,求X的分布和期望；(3)比較甲、乙的比賽結(jié)果.20．（本題滿分16分，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分7分）y2已知雙曲線x21的左、右頂點(diǎn)分別為、B，設(shè)點(diǎn)P在第一象限且在雙曲線上，2O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求雙曲線的兩條漸近線夾角的余弦值；（2）若PAPB求OP的取值范圍；（3C的長軸長為22、BAP與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為Q．記POA、QAB的面積分別為S、S.求S2S的最小值，并寫出取22121最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).21．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）函數(shù)yg(x)的表達(dá)式為g(x)x)0.（1）若1，直線l與曲線yg(x)相切于點(diǎn)(，求直線的方程；l2（2yg(x)的最小正周期是2h(x)xg(x)xyh(x)的零點(diǎn)由小到大依次記為x,x,,x,(nnN)，證明：數(shù)列{sinx}是嚴(yán)格減數(shù)列；12nn（3）已知定義在R上的奇函數(shù)yf(x)滿足f(x2a)，f(x)a0對任意x[0,2a]，當(dāng)xa時(shí)，都有f(x)f(a)且f(a)1.1記F(x)f(x)g(x)，G(x)f(x)g(x).2當(dāng)時(shí)，是否存在x、xR，使得F(x)G(x)4成立？若存在，求出符合1212題意的x、x；若不存在，請說明理由.12參考答案541.2.13.a4.25.26.7.5211.1512.82337.08.49.1.610.9tabt12.解：由已知得|a|24|atb2，所以3|a|22|b|204所以存在實(shí)數(shù)t，使得不等式t2t3|a|0有解，則0，解得|a23又因?yàn)閍b2且|b1，所以a在b方向上的數(shù)量投影是2，所以，a圍成的空間幾何體是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，高為2，母4線長為的圓錐（如圖）32213故由a構(gòu)成的空間幾何體的體積23913.A14.A15.C16.C17.1）由正弦定理得acbac..........................2分222a2c2b2ac12又由余弦定理得cosB...............................4分2ac2ac因?yàn)锽是三角形內(nèi)角，所以B....................................6分3（2）由三角形面積公式113SABCacsinBacsinac3..........................8分2234得ac4.........................10分因?yàn)閍c2ac4，當(dāng)且僅當(dāng)ac2時(shí)取等號，........................12分所以ac的最小值為4，此時(shí)ABC為等邊三角形.............................14分18.1OO中，易知AB圓O，從而AP是AP在圓O上的投影.....2分11又AB為圓O的直徑，可得BPAP.......................4分由三垂線定理，就得BP1P.......................6分（2）延長PO交圓O于點(diǎn)Q，連接BQ、Q、AQ，易知BQ//AP，1BQ（或其補(bǔ)角）即為所求的角..........................8分VOA21AA116由題知解得AA142.................................10分ABQ中，QB23,AQAB43111由余弦定理得12483612cos1BQ.......................13分22343從而1BQ60所以異面直線AP與AB所成角的大小為60................................14分1211223819.1）甲投籃3次得2分，即只投中1次，概率pC11.................3分（2）由題意知X的所有可能取值為133則PX09.................4分2555012352512122252512123253582.................5分.................6分PX215352522584PX21555253396.................7分PX25550028486X隨機(jī)變量的分布為99..................8分5025255098893.................9EX0246期望分50252550（3）設(shè)甲三次投籃的得分Y，則Y=02461331可求得隨機(jī)變量Y的分布為88881331EY02463.............11分所以88881331DY024633...........12分22222888898899725DX0222426232又可算得.......13分50252550因?yàn)镋XEY，DXDY所以甲最終的得分均值等于乙最終的得分均值，但乙贏得的分值不如甲穩(wěn)定........16分另解：設(shè)甲三次投籃的次數(shù)為，132則E32設(shè)甲的投籃得分為Y，則Y，從而EYE2E320.1）兩條漸近線方程為2xy0.............................1分n2,n2,122113設(shè)兩條直線夾角為，則cos........................2分331所以雙曲線的兩條漸近線夾角的余弦值為...............................3分3（2）設(shè)Px,y,xy0，由已知得0、B..................4分1111PA1x,y，PB1x,y，則PAPB1219121111得121210..............................6分2y21221即2又點(diǎn)P在雙曲線上，有x11y12從而1221210得124.又點(diǎn)P是雙曲線在第一象限的點(diǎn)，所以12.22x31OP121212x2221所以O(shè)P10................................9分y2（3）橢圓C中a2,b1，焦點(diǎn)在y軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)Qx,y,xy0，直線AP的斜率為k,k021x..................10分22222則直線AP的方程為ykxykx聯(lián)立方程組y2得x1222kx2kxk2022222k2k222k2k22該方程的兩根分別為1和x2同理可得1所以xx1.........................12分121121記則SSy1S2SQAB2yy..........................13分1POA122222y112522SS2214y222x212x22122x2112422x551211212222212當(dāng)且僅當(dāng)即x122時(shí)取等號，.....................15分21212，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，2.................16分所以12S的最小值為22111y2x21另解:k,kAQAP22y21y21因?yàn)閗APkAQ，所以即11x2111x21y21x，代入上式化簡得2212，22又122x11x11x2112，整理得xx11221.解（1）1時(shí)，g(x)sinx,則gx)x..................1分從而kg)0..................3分22所以直線l的方程是y1..................4分22，可知xh(x)xsinxx（x0.......................5分（2）由1，則當(dāng)h(x)0時(shí)sinx.......................6分xx①當(dāng)0x1時(shí)，sinx②當(dāng)x1時(shí)，0，此時(shí)函數(shù)yh(x)沒有零點(diǎn)；.....................7分xx1xx上嚴(yán)格增，在[,在嚴(yán)格減e)()'y因?yàn)?，可知xx2x又ysinx在]上嚴(yán)格增，在[,e]嚴(yán)格減，22所以xe]時(shí)，ysinx在xe時(shí)有最小值sine，lnxe1y在xe時(shí)有最大值xee1x因?yàn)閟ine所以sinx在e]上沒有交點(diǎn)，ex即h(x)xsinxx在e]上沒有零點(diǎn).......................9分所以函數(shù)yh(x)的零點(diǎn)x滿足exxx，.n12nx1122nn.y在[,)因?yàn)閲?yán)格減，所以xx又因?yàn)閟inxn，所以數(shù)列{sinn}是嚴(yán)格減數(shù)列........................10分nn（3）因?yàn)閒(x)f(x2a)f(x4a)f(x4a)，所以