專題14 實數(shù)壓軸題五種模型全攻略（解析版）

專題14實數(shù)壓軸題五種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一實數(shù)與數(shù)軸】 1【類型二實數(shù)的大小比較】 3【類型三程序設(shè)計與實數(shù)運算】 4【類型四新定義下的實數(shù)運算】 5【類型五與實數(shù)運算相關(guān)的規(guī)律題】 7【過關(guān)檢測】 10【典型例題】【類型一實數(shù)與數(shù)軸】例題：（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，數(shù)軸上，，、兩點對應(yīng)的實數(shù)分別是與和，則點所對應(yīng)的實數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出的距離，再求出點所表示的數(shù)【詳解】解∶設(shè)點所表示的數(shù)是，∵、兩點對應(yīng)的實數(shù)分別是與和，∴，∵，點表示的實數(shù)是，點在點的右側(cè)，∴，∴∴點所對應(yīng)的實數(shù)是故選∶B．【點睛】本題考查用數(shù)軸上的點表示實數(shù)及數(shù)軸上兩點間的距離．掌握數(shù)軸上兩點間的距離是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，正方形的面積為7，A是數(shù)軸上表示的點，以A為圓心，為半徑畫弧，與數(shù)軸正半軸交于點E，則點E所表示的數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件求出正方形的邊長再確定點所表示的數(shù)即可．【詳解】解：正方形的面積為7，正方形的邊長為，，是數(shù)軸上表示的點，點表示的數(shù)是．故選：C．【點睛】本題考查正方形面積，實數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)題意得出正方形的邊長是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·遼寧鞍山·七年級校考期中）3和的對應(yīng)點分別為C、B，點C是的中點，則點A表示的數(shù)的小數(shù)部分是

【答案】/【分析】設(shè)點表示的數(shù)是，再根據(jù)中點坐標公式即可得出的值，再估算這個數(shù)大小，得出整數(shù)部分與小數(shù)部分即可求解．【詳解】解：設(shè)點表示的數(shù)是，數(shù)軸上表示3、的對應(yīng)點分別為、，點是的中點，，解得．∵∴∴∴的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分是．故答案為：．【點睛】本題考查的是實數(shù)與數(shù)軸，無理數(shù)的估算，熟知數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應(yīng)關(guān)系和能估算無理數(shù)的大小是解答此題的關(guān)鍵．【類型二實數(shù)的大小比較】例題：（2023春·廣東惠州·七年級統(tǒng)考期末）比較大?。篲_____，______；【答案】【分析】根據(jù)被開方數(shù)越大，其算術(shù)平方根越大可比較的大小，根據(jù)比較近似值的方法可比較的大小，從而可得答案．【詳解】解：，，故答案為：，【點睛】本題考查的是實數(shù)的大小比較，掌握比較的方法是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）比較實數(shù)大?。篲_____（填“”、“”或“”）．【答案】【分析】根據(jù)無理數(shù)的估算得到，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，∴；故答案為：．【點睛】本題考查比較實數(shù)大?。炀氄莆諢o理數(shù)的估算，是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·陜西西安·七年級?？茧A段練習(xí)）比較大小：_____．（填寫“”、“”或“”）【答案】【分析】利用作差法進行求解即可．【詳解】解：，∵，∴，∴，即，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了實數(shù)比較大小，熟知作差法比較大小是解題的關(guān)鍵．【類型三程序設(shè)計與實數(shù)運算】例題：（2023·陜西咸陽·二模）程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”，根據(jù)如圖的程序進行計算，當輸入的值為64時，輸出的值是__________．【答案】【分析】根據(jù)程序框圖進行運算求解即可．【詳解】解：由題意知，，取算術(shù)平方根為，8是有理數(shù)，取立方根，2是有理數(shù)，取算術(shù)平方根，是無理數(shù)，輸出，故答案為：．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根、立方根，無理數(shù)、有理數(shù)，程序框圖．解題的關(guān)鍵在于理解框圖以及對知識的熟練掌握．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·七年級單元測試）如圖是小明用計算機設(shè)計的計算小程序，當輸入為時，輸出的值是____________【答案】【分析】將代入程序進行計算即可求解．【詳解】解：當時，，當時，，當時，，輸出，故答案為：．【點睛】本題考查了實數(shù)的計算，掌握求一個數(shù)的立方根，算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·重慶渝北·九年級禮嘉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）按如圖所示程序計算，若輸入的x為，則輸出結(jié)果為___________．【答案】【分析】根據(jù)程序圖及算術(shù)平方根的計算方法，依次計算即可．【詳解】解：第一次運算，輸入，取算術(shù)平方根為4，返回繼續(xù)運算；第二次運算，輸入4，取算術(shù)平方根為2，返回繼續(xù)運算；第三次運算，輸入2，取算術(shù)平方根為，是無理數(shù)，輸出結(jié)果．故答案為：．【點睛】本題考查算術(shù)平方根及程序圖的計算，理解程序圖的運算順序是解題的關(guān)鍵．【類型四新定義下的實數(shù)運算】例題：（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）規(guī)定一種運算：，其中，為實數(shù)．例如：，則的值為__________．【答案】【分析】讀懂新定義，利用新定義計算．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查新定義實數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵是理解新定義的運算方法．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）定義一種運算：對于任意實數(shù)，都有，則的值為_________．【答案】【分析】根據(jù)題目所給的定義得到，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了新定義下的實數(shù)運算，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期中）在正實數(shù)范圍內(nèi)定義一種運算“”：當時，；當時，．則方程的解是___________．【答案】或【分析】直接利用當時，當時，分別得出等式，進而得出答案．【詳解】解：，當時，，故，解得：，當時，，，故，解得：，綜上所述：或．故答案為：或．【點睛】此題主要考查了新定義運算，實數(shù)的運算，正確分情況討論是解題關(guān)鍵．【類型五與實數(shù)運算相關(guān)的規(guī)律題】例題：（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）探究題：(1)計算下列各式，完成填空：＝6，＝，＝，＝(2)通過上面的計算，比較左右兩邊的等式，你發(fā)現(xiàn)了什么？請用字母表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是；請用這一規(guī)律計算：．【答案】(1)6，，(2)（a≥0，b≥0），【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義進行計算；（2）比較得到的等式發(fā)現(xiàn)兩個非負數(shù)的算術(shù)平方根的積等于這兩個數(shù)的積的算術(shù)平方根，根據(jù)此規(guī)律得到，然后約分后根據(jù)算術(shù)平方根定義計算．【詳解】（1），，；故答案為：6，，；（2）比較得到的等式發(fā)現(xiàn)兩個非負數(shù)的算術(shù)平方根的積等于這兩個數(shù)的積的算術(shù)平方根.用字母表示為：（a≥0，b≥0）．故答案為：（a≥0，b≥0），【點睛】本題考查了實數(shù)的運算：在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·福建莆田·七年級統(tǒng)考期中）閱讀下列解題過程：第1個等式：．第2個等式：．第3個等式：．……(1)按照你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請你寫出第4個等式：__________________．(2)利用這一規(guī)律計算：．【答案】(1)(2)【分析】（1）仿照已知等式確定出所求即可；（2）原式變形后，仿照上式得出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：∴第4個等式為：；故答案為：；（2）．【點睛】本題考查了實數(shù)的運算，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）先觀察下列等式，再回答問題：①；②；③．(1)根據(jù)上而三個等式提供的信息，請你猜想______．(2)請按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出用n的式子表示的等式：______．對任何實數(shù)a可表示不超過a的最大整數(shù)，如，，計算：的值【答案】(1)(2)，49【分析】（1）根據(jù)題干例舉的等式，總結(jié)規(guī)律可得答案；（2）先總結(jié)規(guī)律可得，再利用規(guī)律進行計算即可．【詳解】（1）解：；（2）由題干信息歸納可得：，∴．【點睛】本題考查的是實數(shù)的運算規(guī)律的探究與運用，掌握“探究的方法以及靈活運用”是解本題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）比較，4，的大小，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把三個數(shù)平方，再比較大小，即可解答．【詳解】解：∵，，又∵，∴故選：A．【點睛】本題考查了實數(shù)比較大小，解決本題的關(guān)鍵是把三個數(shù)平方再比較大?。?．（2023春·福建莆田·七年級校聯(lián)考期中）如圖，在數(shù)軸上，A、B對應(yīng)的實數(shù)分別為和1，且，則點C所對應(yīng)的數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離得到，進而可得，即可得出答案.【詳解】解：因為A、B對應(yīng)的實數(shù)分別為和1，所以，因為，所以，所以，即點C所對應(yīng)的數(shù)為；故選：B.【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸和數(shù)軸上兩點間的距離，明確實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系、求出是關(guān)鍵.3．（2023春·河南漯河·七年級統(tǒng)考期中）若，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先把各數(shù)化簡，進而可得，，的大小關(guān)系．【詳解】解：，，，∵，∴．故選D．【點睛】本題考查了實數(shù)的大小比較，算術(shù)平方根和立方根的意義，正確化簡各數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023春·廣西河池·七年級統(tǒng)考期末）有一列數(shù)按如下規(guī)律排列：，，，，，…則第10個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將這列數(shù)據(jù)改寫成：，，，，，…，按照三步確定結(jié)果：一確定符號，二確定分子，三確定分母即可．【詳解】解：，，，，，…可寫出：，，，，，…，∴第10個數(shù)為，故選：D．【點睛】本題考查數(shù)字類變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是把已知的一列數(shù)變形，找到變化規(guī)律．二、填空題5．（2023春·安徽亳州·七年級?？计谥校┍容^大?。海ㄌ睢?gt;”“<”或“=”）【答案】<【分析】根據(jù)，，再進行實數(shù)的大小比較即可．【詳解】解：∵，，又∵，∴，故答案為：<．【點睛】本題考查實數(shù)的大小比較，把二次根式通過平方的方法，平方的值越大，算術(shù)平方根越大．6．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級?？茧A段練習(xí)）設(shè)a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，則，．【答案】6/【分析】根據(jù)無理數(shù)的估算方法，求得介于整數(shù)2和3之間即可求解．【詳解】解：∵，∴，即，∴，，∴，，故答案為：6，．【點睛】本題考查無理數(shù)的估算，熟練掌握無理數(shù)的估算方法是解答的關(guān)鍵．7．（2023春·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習(xí)）有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖：

當輸入的時，輸出的y等于．【答案】【分析】根據(jù)轉(zhuǎn)換程序把4代入求值即可．【詳解】解：4的算術(shù)平方根為：，則2的算術(shù)平方根為：．故輸出的值為，故答案為：．【點睛】此題主要考查了算術(shù)平方根，正確把握運算規(guī)律是解題關(guān)鍵．8．（2023春·河北承德·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在數(shù)軸上，點表示的數(shù)是，是直角三角形，，，現(xiàn)以點為圓心，線段長為半徑畫弧，交數(shù)軸負半軸于點，則點表示的實數(shù)是．

【答案】【分析】根據(jù)勾股定理可知，再利用圓的半徑相等及點在數(shù)軸的負半軸即可解答．【詳解】解：∵，，，∴在中，，∵，∴，∵點在數(shù)軸的負半軸，∴點表示的數(shù)為，故答案為．【點睛】本題考查了勾股定理，圓的基本性質(zhì)，數(shù)軸的基本概念，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題9．（2023春·河南商丘·七年級統(tǒng)考期中）如圖一只螞蟻從點沿數(shù)軸向右爬了個單位長度到達點，點表示，設(shè)點所表示的數(shù)為．(1)求的值；(2)在數(shù)軸上還有、兩點分別表示實數(shù)c和d，且有與為相反數(shù)，求的平方根．【答案】(1)2(2)【分析】（1）先由題意解得，再運用絕對值的知識求解此題結(jié)果；（2）先運用非負數(shù)的性質(zhì)求得c，d的值，再運用平方根知識求解此題結(jié)果即可．【詳解】（1）由題意得，，，，；（2）由題意得，，，，解得，，，的平方根是，的平方根為．【點睛】此題考查了運用數(shù)軸上的點表示實數(shù)、非負數(shù)和平方根解決問題的能力，關(guān)鍵是能準確理解并運用以上知識進行正確地求解．10．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）如圖是一個按運算規(guī)則進行的數(shù)值轉(zhuǎn)換器：(1)若輸入的x為16，則輸出的y值是；(2)若輸入有效的x值后，始終輸不出y值，則x的值是；(3)若輸出y的值是，請寫出兩個滿足要求的x值．【答案】(1)(2)0或1(3)5，25（答案不唯一）【分析】（1）由，，，即可得到答案；（2）根據(jù)1和0的算術(shù)平方根還等于它本身，即可做出解答；（3）根據(jù)題意寫出兩個滿足要求的x值即可．【詳解】（1）解：∵，，，∴輸入的x為16，輸出的y值是，故答案為：（2）∵1和0的算術(shù)平方根還等于它本身，∴輸入0或1后，始終輸不出y值，故答案為：0或1（3）∵，5的算術(shù)平方根是，∴兩個滿足要求的x值可以是25或5．故答案為：5，25（答案不唯一）【點睛】此題考查了算術(shù)平方根、實數(shù)的分類，熟練掌握算術(shù)平方根的求法是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上，點表示的數(shù)，若把點向左平移4個單位得到的點為，設(shè)點所表示的數(shù)為(1)實數(shù)的值是________；(2)求的值；(3)在數(shù)軸上有一點表示的實數(shù)是，若，求實數(shù)的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）減去4即得；（2）把第（1）小問中求得的m的值代入中化簡即得；（3）根據(jù)平移求出的長度，根據(jù)與的關(guān)系求出的長度，根據(jù)點C在點B的左邊或右邊兩種情況分類計算，求出實數(shù)c．【詳解】（1）實數(shù)的值是；故答案為：；（2）當時；（3）由平移可得，，∵，∴，∵點表示的數(shù)為，∴當點在點右邊時，點表示的實數(shù)是為；∴當點在點左邊時，點表示的實數(shù)是為．【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上的點的平移，求代數(shù)式的值等，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸上的點和實數(shù)的一一對應(yīng)的關(guān)系，“左減右加”的平移規(guī)律，實數(shù)混合計算的順序和各種計算的法則．12．（2023春·湖北黃岡·八年級校聯(lián)考期中）觀察下列各式及證明過程：①；②；③．驗證：；．（1）按照