2023-2024學年湖南省長沙市岳麓區(qū)湖南師大附中高一下數學期末質量檢測模擬試題含解析

2023-2024學年湖南省長沙市岳麓區(qū)湖南師大附中高一下數學期末質量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．實數數列為等比數列，則（）A．-2 B．2 C． D．2．在中，角、、所對的邊分別為、、，且，，，則的面積為（）A． B． C． D．3．已知向量，滿足：則A． B． C． D．4．圓心為且過原點的圓的一般方程是A． B．C． D．5．邊長為1的正方形上有一動點，則向量的范圍是（）A． B． C． D．6．在中，，，，則B等于（）A．或 B． C． D．以上答案都不對7．若，則下列不等式不成立的是（）A． B． C． D．8．把十進制數化為二進制數為A． B．C． D．9．已知平面向量，，且，則＝A． B． C． D．10．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若實數滿足，則取值范圍是____________。12．在空間直角坐標系中，點關于原點的對稱點的坐標為______．13．已知數列滿足，若，則數列的通項______.14．過點且在坐標軸上的截距相等的直線的一般式方程是________.15．在平面直角坐標系中，點在第二象限，，，則向量的坐標為________.16．函數的單調遞增區(qū)間為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．2015年我國將加快階梯水價推行，原則是“保基本、建機制、促節(jié)約”，其中“保基本”是指保證至少80%的居民用戶用水價格不變．為響應國家政策，制定合理的階梯用水價格，某城市采用簡單隨機抽樣的方法分別從郊區(qū)和城區(qū)抽取5戶和20戶居民的年人均用水量進行調研，抽取的數據的莖葉圖如下（單位：噸）：（1）在郊區(qū)的這5戶居民中隨機抽取2戶，求其年人均用水量都不超過30噸的概率；（2）設該城市郊區(qū)和城區(qū)的居民戶數比為，現將年人均用水量不超過30噸的用戶定義為第一階梯用戶，并保證這一梯次的居民用戶用水價格保持不變．試根據樣本估計總體的思想，分析此方案是否符合國家“保基本”政策．18．如圖，正方體棱長為，連接，，，，，，得到一個三棱錐，求：（1）三棱錐的表面積與正方體表面積的比值；（2）三棱錐的體積.19．如圖，已知矩形中，，，M是以為直徑的半圓周上的任意一點（與C，D均不重合），且平面平面.（1）求證：平面平面；（2）當四棱錐的體積最大時，求與所成的角20．某車間將10名技工平均分成甲、乙兩組加工某種零件，在單位時間內每個技工加工的合格零件數，按十位數字為莖，個位數字為葉得到的莖葉圖如圖所示．已知甲、乙兩組數據的平均數都為10.（1）求的值；（2）分別求出甲、乙兩組數據的方差和，并由此分析兩組技工的加工水平；21．已知函數.（1）求的最小正周期和單調遞增區(qū)間；（2）若方程在有兩個不同的實根，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

由等比數列的性質計算，注意項與項之間的關系即可．【詳解】由題意，，又與同號，∴．故選B．【點睛】本題考查等比數列的性質，解題時要注意等比數列中奇數項同號，偶數項同號．2、B【解析】

由正弦定理得，利用余弦定理可求出的值，然后利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】，，又，，由余弦定理可得，可得，所以，的面積為.故選：B.【點睛】本題考查三角形面積的計算，同時也考查了余弦定理解三角形，考查計算能力，屬于中等題.3、D【解析】

利用向量的數量積運算及向量的模運算即可求出．【詳解】∵||=3，||=2，|+|=4，∴|+|2=||2+||2+2=16，∴2=3，∴|﹣|2=||2+||2﹣2=9+4﹣3=10，∴|﹣|=，故選D．【點睛】本題考查了向量的數量積運算和向量模的計算，屬于基礎題．4、D【解析】

根據題意，求出圓的半徑，即可得圓的標準方程，變形可得其一般方程。【詳解】根據題意，要求圓的圓心為，且過原點，且其半徑，則其標準方程為，變形可得其一般方程是，故選．【點睛】本題主要考查圓的方程求法，以及標準方程化成一般方程。5、A【解析】

分類，按在正方形的四條邊上分別求解．【詳解】如圖，分別以為建立平面直角坐標系，，設，，∴，當在邊或上時，，所以，當在邊上時，，，當在邊上時，，，∴的取值范圍是．故選：A.【點睛】本題考查平面向量的數量積，通過建立坐標系，把向量和數量積用坐標表示，使問題簡單化．6、C【解析】試題分析：由正弦定理得，得，結合得，故選C．考點：正弦定理.7、B【解析】

根據不等式的基本性質、重要不等式、函數的單調性即可得出結論．【詳解】解：∵，∴，，∴，即，故A成立；，即，故B不成立；，即，故C成立；∵指數函數在上單調遞增，且，∴，故D成立；故選：B．【點睛】本題主要考查不等式的基本性質，作差法比較大小，屬于基礎題．8、C【解析】選C.9、B【解析】

根據向量平行求出x的值，結合向量模長的坐標公式進行求解即可．【詳解】且，則故故選B.【點睛】本題考查向量模長的計算，根據向量平行的坐標公式求出x的值是解決本題的關鍵．10、D【解析】

由共線向量的坐標表示可得出關于實數的方程，解出即可.【詳解】向量，，且，，解得.故選：D.【點睛】本題考查利用共線向量的坐標表示求參數的值，解題時要熟悉共線向量坐標之間的關系，考查計算能力，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、；【解析】

利用三角換元，設，；利用輔助角公式將化為，根據三角函數值域求得結果.【詳解】可設，，本題正確結果：【點睛】本題考查利用三角換元法求解取值范圍的問題，關鍵是能夠將問題轉化為三角函數值域的求解問題.12、【解析】

利用空間直角坐標系中，關于原點對稱的點的坐標特征解答即可.【詳解】在空間直角坐標系中，關于原點對稱的點的坐標對應互為相反數，所以點關于原點的對稱點的坐標為.故答案為：【點睛】本題主要考查空間直角坐標系中對稱點的特點，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.13、【解析】

直接利用數列的遞推關系式和疊加法求出結果．【詳解】因為，所以當時，.時也成立.所以數列的通項.【點睛】本題考查的知識要點：數列的通項公式的求法及應用，疊加法在數列中的應用，主要考察學生的運算能力和轉換能力，屬于基礎題．14、或【解析】

討論直線過原點和直線不過原點兩種情況，分別計算得到答案.【詳解】當直線過原點時，設，過點，則，即；當直線不過原點時，設，過點，則，即；綜上所述：直線方程為或.故答案為：或.【點睛】本題考查了直線方程，漏解是容易發(fā)生的錯誤.15、【解析】

由三角函數的定義求出點的坐標，然后求向量的坐標.【詳解】設點，由三角函數的定義有，得，，得，所以，所以故答案為：【點睛】本題考查三角函數的定義的應用和已知點的坐標求向量坐標，屬于基礎題.16、【解析】

令，解得的范圍即為所求的單調區(qū)間.【詳解】令，，解得：，的單調遞增區(qū)間為故答案為：【點睛】本題考查正弦型函數單調區(qū)間的求解問題，關鍵是能夠采用整體對應的方式，結合正弦函數的單調區(qū)間來進行求解.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）符合【解析】

：（1）先列舉出從5戶郊區(qū)居民用戶中隨機抽取2戶，其年人均用水量構成的所有基本事件，再列舉其中年人均用水量都不超過30噸的基本事件，最后計算即可．（2）設該城市郊區(qū)的居民用戶數為，則其城區(qū)的居民用戶數為5a．依題意計算該城市年人均用水量不超過30噸的居民用戶的百分率．【詳解】解：（1）從5戶郊區(qū)居民用戶中隨機抽取2戶，其年人均用水量構成的所有基本事件是：（19,25），（19,28），（19,32），（19,34），（25,28），（25,32），（25,34），（28,32），（28,34），（32,34）共10個．其中年人均用水量都不超過30噸的基本事件是:（19,25），（19,28），（25,28）共3個．設“從5戶郊區(qū)居民用戶中隨機抽取2戶，其年人均用水量都不超過30噸”的事件為，則所求的概率為．（2）設該城市郊區(qū)的居民用戶數為，則其城區(qū)的居民用戶數為5a．依題意，該城市年人均用水量不超過30噸的居民用戶的百分率為：．故此方案符合國家“?；尽闭撸军c睛】本題考查了古典概型在實際生活中的應用，要緊扣題意從題目中抽象出數學計算的模型．18、（1）；（2）【解析】試題分析：（1）求出三棱錐的棱長為，即可求出三棱錐的表面積與正方體表面積的比值；（2）利用割補法，即可求出三棱錐的體積.試題解析：（1）正方體的棱長為，則三棱錐的棱長為，表面積為，正方體表面積為，∴三棱錐的表面積與正方體表面積的比值為（2）三棱錐的體積為19、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）證明，得到平面，得到答案.（2）過點M作于點E，當M為半圓弧的中點時，四棱錐的體積最大，作于F，連接，與所成的角即與所成的角，計算得到答案.【詳解】（1）為直徑，，已知平面平面，.平面，所以，又，平面，又平面，∴平面平面.（2）過點M作于點E，∵平面平面，平面，即為四棱錐的高，又底面面積為定值.所以當M為半圓弧的中點時，四棱錐的體積最大.作于F，連接，，與所成的角即與所成的角.在直角中，，，所以.，故與所成的角為.【點睛】本題考查了面面垂直，體積的最值，異面直線夾角，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.20、（1）；（2）,乙組加工水平高．【解析】

（1）根據甲、乙兩組數據的平均數都是并結合平均數公式可求出、的值；（2）利用方差公式求出甲、乙兩組數據的方差，根據方差大小來對甲、乙兩組技工的加工水平高低作判斷．【詳解】（1）由于甲組數據的平均數為，即，解得，同理，，解得；（2）甲組的個數據分別為：、、、、，由方差公式得，乙組的個數據分別為：、、、、，由方差公式得，，因此，乙組技工的技工的加工水平高．【點睛】本題考查莖葉圖與平均數、方差的計算，從莖葉圖中讀取數據時，要注意莖的部分數字為高位，葉子部分的數字為低位，另外，這些數據一般要按照由小到大或者由大到小的順序排列．21、（1）最小正周期，；