西藏示范名校2024屆數(shù)學(xué)高一下期末預(yù)測(cè)試題含解析

西藏示范名校2024屆數(shù)學(xué)高一下期末預(yù)測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．2．在某次測(cè)量中得到樣本數(shù)據(jù)如下：，若樣本數(shù)據(jù)恰好是樣本每個(gè)數(shù)都增加得到，則、兩樣本的下列數(shù)字特征對(duì)應(yīng)相同的是（）A．眾數(shù) B．中位數(shù) C．方差 D．平均數(shù)3．已知在中，為的中點(diǎn)，，，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則最小值為（）A．2 B． C． D．－24．已知，則的值為（）A． B．1 C． D．5．平行四邊形中，若點(diǎn)滿足，，設(shè)，則（）A． B． C． D．6．已知數(shù)列的通項(xiàng)為，我們把使乘積為整數(shù)的叫做“優(yōu)數(shù)”，則在內(nèi)的所有“優(yōu)數(shù)”的和為（）A．1024 B．2012 C．2026 D．20367．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，為方程的兩根，則（）A．9 B．27 C．64 D．818．下列各點(diǎn)中，可以作為函數(shù)圖象的對(duì)稱中心的是（）A． B． C． D．9．若一元二次不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知圓，過點(diǎn)作圓的最長弦和最短弦，則直線，的斜率之和為A． B． C．1 D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．兩平行直線與之間的距離為_______．12．已知，且，則________．13．已知向量，則與的夾角是_________.14．把二進(jìn)制數(shù)1111（2）化為十進(jìn)制數(shù)是______．15．已知，，若，則________.16．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)．當(dāng)時(shí)，，關(guān)于的方程，有且僅有5個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在凸四邊形中，．（1）若，，，求的大小．（2）若，且，求四邊形的面積．18．設(shè)數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．已知向量，向量為單位向量，向量與的夾角為.（1）若向量與向量共線，求；（2）若與垂直，求.20．已知，，（1）求的解析式，并求出的最大值；（2）若，求的最小值和最大值，并指出取得最值時(shí)的值.21．已知函數(shù)（I）求的值（II）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

利用，得出異面直線與所成的角為，然后在中利用銳角三角函數(shù)求出.【詳解】如下圖所示，設(shè)正方體的棱長為，四邊形為正方形，所以，，所以，異面直線與所成的角為，在正方體中，平面，平面，，，，，在中，，，因此，異面直線與所成角的余弦值為，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的計(jì)算，一般利用平移直線，選擇合適的三角形，利用銳角三角函數(shù)或余弦定理求解，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題．2、C【解析】

分別計(jì)算出、兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、方差和平均數(shù)，再進(jìn)行判斷?！驹斀狻繕颖镜臄?shù)據(jù)為：、、、、，沒有眾數(shù)，中位數(shù)為，平均數(shù)為，方差為，樣本的數(shù)據(jù)為：、、、、，沒有眾數(shù)，中位數(shù)為，平均數(shù)為，方差為，因此，兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)的方差沒變，故選：D?！军c(diǎn)睛】本題考查樣本的數(shù)據(jù)特征，考查對(duì)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)以及方差概念的理解，熟練利用相關(guān)公式計(jì)算這些數(shù)據(jù)，是解本題的關(guān)鍵，屬于中等題。3、C【解析】

由，結(jié)合投影幾何意義，建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量數(shù)量積的定義及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由,結(jié)合投影幾何意義有：過點(diǎn)作的垂線，垂足落在的延長線上，且,以所在直線為軸，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則設(shè)，其中則解析式是關(guān)于的二次函數(shù)，開口向上，對(duì)稱軸時(shí)取得最小值，當(dāng)時(shí)取得最小值故選：【點(diǎn)睛】本題考查向量方法解決幾何最值問題，屬于中等題型.4、B【解析】

化為齊次分式，分子分母同除以，化弦為切，即可求解.【詳解】.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查已知三角函數(shù)值求值，通過齊次分式化弦為切，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

畫出平行四邊形，在上取點(diǎn)，使得，在上取點(diǎn)，使得，由圖中幾何關(guān)系可得到，即可求出的值，進(jìn)而可以得到答案．【詳解】畫出平行四邊形，在上取點(diǎn)，使得，在上取點(diǎn)，使得，則，故，，則.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，考查了平行四邊形的性質(zhì)，屬于中檔題．6、C【解析】

根據(jù)優(yōu)數(shù)的定義，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，求得的范圍，再用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行求和.【詳解】根據(jù)優(yōu)數(shù)的定義，令，則可得令，解得則在內(nèi)的所有“優(yōu)數(shù)”的和為：故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查新定義問題，本質(zhì)是考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，等比數(shù)列前項(xiàng)和公式.7、B【解析】

由韋達(dá)定理得，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得結(jié)果.【詳解】由已知得是正項(xiàng)等比數(shù)列本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的三項(xiàng)之積的求法，關(guān)鍵是對(duì)等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行合理運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

首先利用輔助角公式將函數(shù)化為，然后再采用整體代入即可求解.【詳解】由函數(shù)，所以，解得，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)圖象的對(duì)稱中心的是.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了輔助角公式以及整體代入法求三角函數(shù)的中心對(duì)稱點(diǎn)，需熟記三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

該不等式為一元二次不等式，根據(jù)一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得，的圖象是開口向下且與x軸沒有交點(diǎn)，從而可得關(guān)于參數(shù)的不等式組，解之可得結(jié)果.【詳解】不等式為一元二次不等式，故，根據(jù)一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得，的圖象是開口向下且與x軸沒有交點(diǎn)，則，解不等式組，得.故本題正確答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式恒成立問題，考查一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用，屬基礎(chǔ)題.10、D【解析】

根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得最長弦是直徑，最短弦和直徑垂直，故可計(jì)算斜率，并求和.【詳解】由題意得，直線經(jīng)過點(diǎn)和圓的圓心弦長最長，則直線的斜率為，由題意可得直線與直線互相垂直時(shí)弦長最短，則直線的斜率為，故直線，的斜率之和為．【點(diǎn)睛】本題考查了兩直線垂直的斜率關(guān)系，以及圓內(nèi)部的幾何性質(zhì)，屬于簡單題型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先根據(jù)兩直線平行求出，再根據(jù)平行直線間的距離公式即可求出．【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的斜率存在，，即，解得或．當(dāng)時(shí)，，即，故兩平行直線的距離為．當(dāng)時(shí)，，，兩直線重合，不符合題意，應(yīng)舍去．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行直線間的距離公式的應(yīng)用，以及根據(jù)兩直線平行求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．12、【解析】試題分析：由得：解方程組：得：或因?yàn)?，所以所以不合題意，舍去所以，所以，答案應(yīng)填：.考點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角差的三角函數(shù)公式.13、【解析】

利用向量的數(shù)量積直接求出向量的夾角即可.【詳解】由題知，，因?yàn)?，所以與的夾角為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用向量的數(shù)量積求解向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題.14、.【解析】

由二進(jìn)制數(shù)的定義可將化為十進(jìn)制數(shù).【詳解】由二進(jìn)制數(shù)的定義可得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二進(jìn)制數(shù)化十進(jìn)制數(shù)，考查二進(jìn)制數(shù)的定義，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

先算出的坐標(biāo)，然后利用即可求出【詳解】因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以即，解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是向量在坐標(biāo)形式下的相關(guān)計(jì)算，較簡單.16、.【解析】

令，則原方程為，根據(jù)原方程有且僅有5個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則有5個(gè)不同的解，結(jié)合圖像特征，求出的值或范圍，即為方程解的值或范圍，轉(zhuǎn)化為范圍，即可求解.【詳解】令，則原方程為，當(dāng)時(shí)，，且為偶函數(shù)，做出圖像，如下圖所示：當(dāng)時(shí)，有一個(gè)解；當(dāng)或，有兩個(gè)解；當(dāng)時(shí)，有四個(gè)解；當(dāng)或時(shí)，無解.，有且僅有5個(gè)不同實(shí)數(shù)根，關(guān)于的方程有一個(gè)解為，，另一個(gè)解為，在區(qū)間上，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合的函數(shù)的奇偶性的對(duì)稱性，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵，屬于難題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)【解析】

（1）在中利用余弦定理可求得，從而可知，求得；在中利用正弦定理求得結(jié)果；（2）在中利用余弦定理和可表示出；在中利用余弦定理可得，從而構(gòu)造出關(guān)于的方程，結(jié)合和為銳角可求得；根據(jù)化簡求值可得到結(jié)果.【詳解】（1）連接在中，，，由余弦定理得：，則在中，由正弦定理得：，解得：（2）連接在中，由余弦定理得：又在中，由余弦定理得：，即又為銳角，則四邊形面積：【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面積公式的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠利用余弦定理構(gòu)造出關(guān)于角的正余弦值的方程，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系構(gòu)造方程可求得三角函數(shù)值；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略角的范圍，造成求解錯(cuò)誤.18、（1）；（1）.【解析】

（1）在中，將代得：，由兩式作商得：，問題得解．（1）利用（1）中結(jié)果求得，分組求和，再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及乘公比錯(cuò)位相減法分別求和即可得解．【詳解】（1）由n＝1得，因?yàn)?，?dāng)n≥1時(shí)，，由兩式作商得：（n＞1且n∈N*），又因?yàn)榉仙鲜剑裕╪∈N*）．（1）設(shè)，則bn＝n＋n·1n，所以Sn＝b1＋b1＋…＋bn＝（1＋1＋…＋n）＋設(shè)Tn＝1＋1·11＋3·13＋…+（n－1）·1n－1＋n·1n，①所以1Tn＝11＋1·13＋…（n－1）·1n－1＋（n－1）·1n＋n·1n＋1，②①－②得：－Tn＝1＋11＋13＋…＋1n－n·1n＋1，所以Tn＝（n－1）·1n＋1＋1．所以，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了賦值法及方程思想，還考查了分組求和法及乘公比錯(cuò)位相減法求和，考查計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．19、（1）（2）【解析】

（1）共線向量夾角為0°或180°，由此根據(jù)定義可求得兩向量數(shù)量積．（2）由向量垂直轉(zhuǎn)化為向量的當(dāng)量積為0，從而求得，也就求得，再由余弦的二倍角公式可得．【詳解】法一（1），故或向量，向量法二（1），設(shè)即或或（2）法一：依題意，，故法二：設(shè)即，又或【點(diǎn)睛】本題考查向量共線，向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算．解題時(shí)按向量數(shù)量積的定義計(jì)算即可．20、（1），最大值為.（2）時(shí)，最小值0.時(shí)，最大值.【解析】

（1）利用數(shù)量積公式、倍角公式和輔助角公式，化簡，再利用三角函數(shù)的有界性，即可得答案；（2）利用整體法求出，再利用三角函數(shù)線，即可得答案.【詳解】（1）∴，的最大值為.（2）由（1）得，∵，.，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最小值0.當(dāng)，即時(shí)，取最大值.【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積、二倍角公式、輔助角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意整體法的應(yīng)用.21、（I）2；（II）的最小正周期是，.【解析】

（Ⅰ）直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的值．（Ⅱ）直接利用函數(shù)的關(guān)系