上海市楊浦區(qū)控江中學2024屆高一數(shù)學第二學期期末聯(lián)考試題含解析

上海市楊浦區(qū)控江中學2024屆高一數(shù)學第二學期期末聯(lián)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在一個平面上，機器人到與點的距離為8的地方繞點順時針而行，它在行進過程中到經(jīng)過點與的直線的最近距離為（）A． B． C． D．2．已知向量，且，則的值為（）A． B． C． D．3．如圖，為正三角形，，，則多面體的正視圖(也稱主視圖)是A． B． C． D．4．已知x?y的取值如下表:x0134y2.24.34.86.7從散點圖可以看出y與x線性相關，且回歸方程，則當時，估計y的值為（）A．7.1 B．7.35 C．7.95 D．8.65．已知樣本數(shù)據(jù)為3，1，3，2，3，2，則這個樣本的中位數(shù)與眾數(shù)分別為（）A．2，3 B．3，3 C．2.5，3 D．2.5，26．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則=A．-3 B．-2C．2 D．37．點、、、在同一個球的球面上，，.若四面體的體積的最大值為，則這個球的表面積為（）A． B． C． D．8．如圖所示，垂直于以為直徑的圓所在的平面，為圓上異于的任一點，則下列關系中不正確的是（）A． B．平面 C． D．9．已知直線a2x＋y＋2＝0與直線bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，則|ab|的最小值為A．5 B．4 C．2 D．110．函數(shù)f(x)=sinA．1 B．2 C．3 D．2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在等差數(shù)列中，公差不為零，且、、恰好為某等比數(shù)列的前三項，那么該等比數(shù)列公比的值等于____________．12．的值為__________．13．設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，若Sn＝(－1)nan－，n∈N，則a3＝________．14．如圖，在中，，，，則________.15．函數(shù)的定義域為________16．計算：__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．定義：對于任意，滿足條件且（是與無關的常數(shù)）的無窮數(shù)列稱為數(shù)列.（1）若，證明：數(shù)列是數(shù)列；（2）設數(shù)列的通項為，且數(shù)列是數(shù)列，求常數(shù)的取值范圍；（3）設數(shù)列，若數(shù)列是數(shù)列，求的取值范圍.18．為了了解高一學生的體能狀況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖（如圖），圖中從左到右各小長方形的面積之比為2：4：17：15：9：3,第二小組頻數(shù)為12.（1）求第二小組的頻率；（2）求樣本容量；（3）若次數(shù)在110以上為達標，試估計全體高一學生的達標率為多少？19．設函數(shù)f(x)=x（1）當a=2時，函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點(1,a+1)，試求m的值，并寫出（不必證明）f(x)的單調遞減區(qū)間；（2）設a=-1，h(x)+x?f(x)=0，g(x)=2cos(x-π3)，若對于任意的s∈[1,2]，總存在t∈[0,π]20．已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．21．設角，，其中：（1）若，求角的值；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

由題意知機器人的運行軌跡為圓，利用圓心到直線的距離求出最近距離．【詳解】解：機器人到與點距離為8的地方繞點順時針而行，在行進過程中保持與點的距離不變，機器人的運行軌跡方程為，如圖所示；與，直線的方程為，即為，則圓心到直線的距離為，最近距離為．故選．【點睛】本題考查了直線和圓的位置關系，以及點到直線的距離公式，屬于基礎題．2、B【解析】

由向量平行可構造方程求得結果.【詳解】，解得：故選：【點睛】本題考查根據(jù)向量平行求解參數(shù)值的問題，關鍵是明確兩向量平行可得.3、D【解析】

為三角形,,平面,

且,則多面體的正視圖中,

必為虛線,排除B,C,

說明右側高于左側,排除A.,故選D.4、B【解析】

計算，，代入回歸方程計算得到，再計算得到答案.【詳解】，，故，解得.當，.故選：【點睛】本題考查了回歸方程的應用，意在考查學生的計算能力.5、C【解析】

將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列即可求得中位數(shù)，再找出出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)即為眾數(shù).【詳解】將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列：1，2，2，3，3，3，中位數(shù)為，眾數(shù)為3.故選：C.【點睛】本題考查了中位數(shù)和眾數(shù)的概念，屬于基礎題.6、C【解析】

根據(jù)向量三角形法則求出t，再求出向量的數(shù)量積.【詳解】由，，得，則，．故選C．【點睛】本題考點為平面向量的數(shù)量積，側重基礎知識和基本技能，難度不大．7、D【解析】

根據(jù)幾何體的特征，小圓的圓心為，若四面體的體積取最大值，由于底面積不變，高最大時體積最大，可得與面垂直時體積最大，從而求出球的半徑，即可求出球的表面積．【詳解】根據(jù)題意知，、、三點均在球心的表面上，且，，，則的外接圓半徑為，的面積為，小圓的圓心為，若四面體的體積取最大值，由于底面積不變，高最大時體積最大，所以，當與面垂直時體積最大，最大值為，，設球的半徑為，則在直角中，，即，解得，因此，球的表面積為.故選：D.【點睛】本題考查的知識點是球內接多面體，球的表面積，其中分析出何時四面體體積取最大值，是解答的關鍵．8、C【解析】

由平面，得，再由，得到平面，進而得到，即可判斷出結果.【詳解】因為垂直于以為直徑的圓所在的平面，即平面，得，A正確；又為圓上異于的任一點，所以，平面，，B，D均正確.故選C.【點睛】本題主要考查線面垂直，熟記線面垂直的判定定理與性質定理即可，屬于常考題型.9、C【解析】試題分析：由已知有，∴，∴.考點：1.兩直線垂直的充要條件；2.均值定理的應用.10、A【解析】

對sin(x+π3【詳解】∵f(x)=sin∴f(x)【點睛】考查三角恒等變換、輔助角公式及余弦函數(shù)的最值.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、4【解析】

由題意將表示為的方程組求解得，即可得等比數(shù)列的前三項分別為﹑、，則公比可求【詳解】由題意可知，，又因為，，代入上式可得，所以該等比數(shù)列的前三項分別為﹑、，所以.故答案為：4【點睛】本題考查等差等比數(shù)列的基本量計算，考查計算能力，是基礎題12、【解析】

直接利用誘導公式化簡求值.【詳解】,故答案為:.【點睛】本題考查誘導公式的應用,屬于基礎題.13、－【解析】當n＝3時，S3＝a1＋a2＋a3＝－a3－，則a1＋a2＋2a3＝－，當n＝4時，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a4－，兩式相減得a3＝－.14、【解析】

先將轉化為和為基底的兩組向量，然后通過數(shù)量積即可得到答案.【詳解】，.【點睛】本題主要考查向量的基本運算，數(shù)量積運算，意在考查學生的分析能力和計算能力.15、【解析】

根據(jù)反余弦函數(shù)的定義，可得函數(shù)滿足，即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)反余弦函數(shù)的定義，可得函數(shù)滿足，解得，即函數(shù)的定義域為.故答案為：【點睛】本題主要考查了反余弦函數(shù)的定義的應用，其中解答中熟記反余弦函數(shù)的定義，列出不等式求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.16、0【解析】

直接利用數(shù)列極限的運算法則，分子分母同時除以，然后求解極限可得答案.【詳解】解：，故答案為：0.【點睛】本題主要考查數(shù)列極限的運算法則，屬于基礎知識的考查.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】

（1）根據(jù)題中的新定義代入即可證出.（2）設，，，代入通項解不等式組，使即可求解.（3）首先根據(jù)可求時，，當時，，根據(jù)題中新定義求出成立，可得，再驗證恒成立即可求解.【詳解】（1），且，則滿足，則數(shù)列是數(shù)列.綜上所述，結論是：數(shù)列是數(shù)列.（2）設，，則，得，，，則數(shù)列的最大值為，則（3），當時，當時，，由，得，當時，恒成立，則要使數(shù)列是數(shù)列，則的取值范圍為.【點睛】本題考查數(shù)列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化.18、（1）;（2）；（3）%【解析】

(1)由于每個長方形的面積即為本組的頻率,設第二小組的頻率為4,則解得第二小組的頻率為(2)設樣本容量為,則(3)由(1)和直方圖可知,次數(shù)在110以上的頻率為由此估計全體高一學生的達標率為%19、（1）遞減區(qū)間為[-2,0)和(0,2【解析】

（1）將點(1,3)代入函數(shù)f(x)即可求出m,根據(jù)函數(shù)的解析式寫出單調遞減區(qū)間即可（2）當a=-1時，寫出函數(shù)h(x)，由題意知h(s)的值域是g(t)值域的子集,即可求出.【詳解】（1）因為函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點(1,a+1)，且a=2所以f(1)=1+m+2=3，解得m=0.∴????∴f(x)的單調遞減區(qū)間為[-2,0）（2）當a=-1時，f(x)=x-1∴???∵g(x)=2cos∴??t∈[0,π]時，g(t)∈[-1,2]由對于任意的s∈[1,2]，總存在t∈[0,π]，使得h(s)=g(t)知：h(s)的值域是g(t)值域的子集.因為h(x)=-x2-mx+1①當-m2≤1只需滿足h(1)=-m≤2h(2)=-3-2m≥-1解得-2≤m≤-1.②當1<-m2<2因為h(1)=-m>2，與h(s)?[-1,2]矛盾，故舍去.③當-m2≥2h(1)=-m≥4與h(s)?[-1,2]矛盾，故舍去.綜上，m∈[-2,-1].【點睛】本題主要考查了函數(shù)的單調性，以及含參數(shù)二次函數(shù)值域的求法，涉及存在性問題，轉化思想和分類討論思想要求較高，屬于難題.20、（1）；（2）.【解析】

(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知條件可得，解得，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝2－n.(2)設數(shù)列的前n項和為Sn，∵，∴Sn＝－記Tn＝，①則Tn＝，②①－②得：Tn＝1＋，∴Tn＝－，即Tn＝4－.∴Sn＝－4＋＝4－4＋＝.21、（1）；（2）.【解析】

（1）由，可得出，進而得出，結合可求出