第一章1.11.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)講練高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性

1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間向量的夾角.2.掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律及計(jì)算方法.3.了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義.4.掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積在判斷垂直中的應(yīng)用，掌握利用向量數(shù)量積求空間兩點(diǎn)間的距離．導(dǎo)語(yǔ)在平面向量中已經(jīng)學(xué)過(guò)兩個(gè)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，由于任意兩個(gè)空間向量都可以通過(guò)平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，因此，兩個(gè)空間向量的夾角和數(shù)量積就可以像平面向量那樣來(lái)定義．一、空間向量的夾角知識(shí)梳理定義已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉范圍0≤〈a，b〉≤π向量垂直如果〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么向量a，b互相垂直，記作a⊥b例1(1)對(duì)于空間任意兩個(gè)非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析顯然〈a，b〉＝0?a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共線和反向共線兩種情況，即當(dāng)a∥b時(shí)，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b?〈a，b“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分條件．(2)如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，求向量eq\o(AC,\s\up6(→))分別與向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))，eq\o(B′A′,\s\up6(→))，eq\o(AD′,\s\up6(→))，eq\o(CD′,\s\up6(→))，eq\o(B′D′,\s\up6(→))的夾角．解連接BD(圖略)，則在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，所以〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(A′B′,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝45°，〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(B′A′,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝135°，〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD′,\s\up6(→))〉＝∠D′AC＝60°，〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(CD′,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CD′,\s\up6(→))〉＝180°－60°＝120°，〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(B′D′,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝90°.反思感悟(1)只有兩個(gè)非零空間向量才有夾角，當(dāng)兩個(gè)非零空間向量共線同向時(shí)，夾角為0，共線反向時(shí)，夾角為π.(2)對(duì)空間任意兩個(gè)非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉．跟蹤訓(xùn)練1在正四面體ABCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))的夾角等于()A．30°B．60°C．150°D．120°答案D解析〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝180°－60°＝120°.二、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算知識(shí)梳理1．(1)空間向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.(2)運(yùn)算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c(1)如圖①，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個(gè)平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類(lèi)似地，可以將向量a向直線l投影(如圖②)．(2)如圖③，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))稱為向量a在平面β上的投影向量．這時(shí)，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．注意點(diǎn)：(1)向量a，b的數(shù)量積記為a·b，而不能表示為a×b或者ab.(2)向量的數(shù)量積的結(jié)果為實(shí)數(shù)，而不是向量，它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零，其符號(hào)由夾角θ的范圍決定．①當(dāng)θ為銳角時(shí)，a·b>0；但當(dāng)a·b>0時(shí)，θ不一定為銳角，因?yàn)棣纫部赡転?.②當(dāng)θ為鈍角時(shí)，a·b<0；但當(dāng)a·b<0時(shí)，θ不一定為鈍角，因?yàn)棣纫部赡転棣?(3)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足消去律和結(jié)合律．例2如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，計(jì)算：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))；(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))；(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))；(4)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→)).解(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|·|eq\o(BA,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1·cos60°＝eq\f(1,4)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,4).(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|·|eq\o(BD,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1·cos0°＝eq\f(1,2)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2).(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|·|eq\o(DC,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1·cos120°＝－eq\f(1,4)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4).(4)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)[eq\o(BD,\s\up6(→))·(－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·(－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))]＝eq\f(1,4)[－eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))]＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)))＝－eq\f(1,8).反思感悟由向量數(shù)量積的定義知，要求a與b的數(shù)量積，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a與b的夾角與方向有關(guān)，一定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使a·b計(jì)算準(zhǔn)確．跟蹤訓(xùn)練2已知空間向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，則a·b＋b·c＋c·a的值為_(kāi)_______．答案－13解析∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(32＋12＋42,2)＝－13.三、利用空間向量數(shù)量積的性質(zhì)求模長(zhǎng)問(wèn)題類(lèi)比平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，給出空間向量數(shù)量積的性質(zhì)．提示(1)若a，b為非零向量，則a⊥b?a·b＝0；(2)a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2)；(3)若a，b為非零向量，則cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)；(4)|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a，b共線時(shí)等號(hào)成立)．例3如圖，已知一個(gè)60°的二面角的棱上有兩點(diǎn)A，B，AC，BD分別是在這兩個(gè)面內(nèi)且垂直于AB的線段．又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的長(zhǎng)．解∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝120°.∵eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，且eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＋2|eq\o(CA,\s\up6(→))||eq\o(BD,\s\up6(→))|cos〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝62＋42＋82＋2×6×8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝68，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝2eq\r(17)，故CD的長(zhǎng)為2eq\r(17).反思感悟用數(shù)量積求兩點(diǎn)間距離的步驟(1)將兩點(diǎn)間的連線用向量表示；(2)用其他向量表示此向量；(3)用公式a·a＝|a|2，求|a|.跟蹤訓(xùn)練3已知在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且這三條棱彼此之間的夾角都是60°，則AC1的長(zhǎng)為()A．6B.eq\r(6)C．3D.eq\r(3)答案B解析設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝1，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，因此a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2).由eq\o(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，得|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝eq\o(AC1,\s\up6(→))2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6.所以|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(6).1．知識(shí)清單：(1)空間向量的夾角、投影．(2)空間向量數(shù)量積、性質(zhì)及運(yùn)算律．2．方法歸納：化歸轉(zhuǎn)化．3．常見(jiàn)誤區(qū)：(1)數(shù)量積的符號(hào)由夾角的余弦值決定．(2)當(dāng)a≠0時(shí)，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0．1．(多選)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各組向量的夾角為45°的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(A1C1,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(C1A1,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(C1B,\s\up6(→)) D.eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(AD1,\s\up6(→))答案AD2．已知空間四邊形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，則cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉的值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(1,2)D．0答案D解析eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OC,\s\up6(→))|cos∠AOC－|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|cos∠AOB＝eq\f(1,2)|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OC,\s\up6(→))|－eq\f(1,2)|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|＝0，所以eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).所以cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝0.3．若a，b為空間夾角是60°的兩個(gè)單位向量，則|a－b|＝________.答案1解析|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝1.∴|a－b|＝1.4．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中點(diǎn)，則eq\o(B1C,\s\up6(→))與eq\o(A1P,\s\up6(→))所成角的大小為_(kāi)_______，eq\o(B1C,\s\up6(→))·eq\o(A1P,\s\up6(→))＝________.答案60°1解析方法一連接A1D(圖略)，則∠PA1D就是eq\o(B1C,\s\up6(→))與eq\o(A1P,\s\up6(→))所成的角，連接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝eq\r(2)，即△PA1D為等邊三角形，從而∠PA1D＝60°，即eq\o(B1C,\s\up6(→))與eq\o(A1P,\s\up6(→))所成角的大小為60°，因此eq\o(B1C,\s\up6(→))·eq\o(A1P,\s\up6(→))＝eq\r(2)×eq\r(2)×cos60°＝1.方法二根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得eq\o(B1C,\s\up6(→))·eq\o(A1P,\s\up6(→))＝(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2＝1.由題意可得PA1＝B1C＝eq\r(2)，則eq\r(2)×eq\r(2)×cos〈eq\o(B1C,\s\up6(→))，eq\o(A1P,\s\up6(→))〉＝1，從而〈eq\o(B1C,\s\up6(→))，eq\o(A1P,\s\up6(→))〉＝60°.課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1．在正四面體A－BCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點(diǎn)，則eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(EF,\s\up6(→))的夾角為()A．30°B．60°C．120°D．150°答案C解析由題意，可得eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))，所以〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝180°－60°＝120°.2．已知向量a和b的夾角為120°，且|a|＝2，|b|＝5，則(2a－b)·a等于()A．12 B．8＋eq\r(13)C．4 D．13答案D解析(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos120°＝2×4－2×5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝13.3．已知兩異面直線的方向向量分別為a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－eq\f(1,2)，則兩直線的夾角為()A．30°B．60°C．120°D．150°答案B解析設(shè)向量a，b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(1,2)，所以θ＝120°，則兩個(gè)方向向量對(duì)應(yīng)的直線的夾角為180°－120°＝60°.4．(多選)如圖所示，已知空間四邊形每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都為a，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點(diǎn)，則下列向量的數(shù)量積等于a2的是()A．2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))B．2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))C．2eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))D．2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))答案BC解析2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2a2cos120°＝－a2，2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝2a2cos60°＝a2，2eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝a2，2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a2.5．平行六面體(底面為平行四邊形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都為1，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠DAB＝45°，則BD1等于()A.eq\r(3)－1 B.eq\r(2)－1C.eq\r(3－\r(2)) D.eq\r(3)－eq\r(2)答案C解析如圖，因?yàn)閑q\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))，所以|eq\o(BD1,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AA1,\s\up6(→))|2－2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＝1＋1＋1－2×1×cos45°－2×1×1×cos60°＋2×1×1×cos60°＝3－eq\r(2)，所以|eq\o(BD1,\s\up6(→))|＝eq\r(3－\r(2)).6．(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列命題是真命題的是()A．(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))2＝3eq\o(AB,\s\up6(→))2B.eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝0C.eq\o(AD1,\s\up6(→))與eq\o(A1B,\s\up6(→))的夾角為60°D．正方體的體積為|eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|答案AB解析如圖所示，(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))2＝(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→)))2＝eq\o(AC1,\s\up6(→))2＝3eq\o(AB,\s\up6(→))2，故A為真命題；eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝eq\o(A1C,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝0，故B為真命題；eq\o(AD1,\s\up6(→))與eq\o(A1B,\s\up6(→))的夾角是eq\o(D1C,\s\up6(→))與eq\o(D1A,\s\up6(→))夾角的補(bǔ)角，而eq\o(D1C,\s\up6(→))與eq\o(D1A,\s\up6(→))eq\o(A1B,\s\up6(→))的夾角為120°，故C是假命題；正方體的體積為|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AA1,\s\up6(→))||eq\o(AD,\s\up6(→))|，故D為假命題．7．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，則|a－b|＝________.答案22解析|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.8．已知a＋3b與7a－5b垂直，且a－4b與7a－2b垂直，則〈a，b〉＝________.答案60°解析由條件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，兩式相減得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝eq\f(1,2)|b|2，代入上面兩個(gè)式子中的任意一個(gè)，得|a|＝|b|，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2)|b|2,|b|2)＝eq\f(1,2)，所以〈a，b〉＝60°.9．已知在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E為側(cè)面AB1的中心，F(xiàn)為A1D1的中點(diǎn)，試計(jì)算：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(ED1,\s\up6(→))；(2)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))；(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FC1,\s\up6(→)).解如圖所示，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(ED1,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·(eq\o(EA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AA1,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))))＝b·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－a＋b))＝|b|2＝42＝16.(2)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(eq\o(BA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1F,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AA1,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－a＋\f(1,2)b))·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FC1,\s\up6(→))＝(eq\o(EA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1F,\s\up6(→)))·(eq\o(FD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AA1,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))＋\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－a＋\f(1,2)b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b＋a))＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b＋a))＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,4)|b|2＝2.10.如圖所示，在空間四面體OABC中，OA，OB，OC兩兩成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E為OA的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，試求E，F(xiàn)間的距離．解eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)[(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))]＝－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(EF,\s\up6(→))2＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))2＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))2＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))2＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＋2×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝2.所以|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，即E，F(xiàn)間的距離為eq\r(2).11.如圖，在大小為45°的二面角A－EF－D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長(zhǎng)為1的正方形，則B，D兩點(diǎn)間的距離是()A.eq\r(3) B.eq\r(2)C．1 D.eq\r(3－\r(2))答案D解析∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BF,\s\up6(→))|2＋|eq\o(FE,\s\up6(→))|2＋|eq\o(ED,\s\up6(→))|2＋2eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＋2eq\o(FE,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＋2eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＝1＋1＋1－eq\r(2)＝3－eq\r(2).故|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\r(3－\r(2)).12．如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，則PC＝________.答案7解析|eq\o(PC,\s\up6(→))|2＝(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))2＝|eq\o(PA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝62＋42＋32＋2|eq\o(AD,\s\up6(→))||eq\o(DC,\s\up6(→))|cos120°＝49，所以|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝7.13．在四面體OABC中，棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G為△ABC的重心，則eq\o(OG,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝________.答案eq\f(14,3)解析∵OA，OB，OC兩兩垂直，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，且eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))＋\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→)),3)，故eq\o(OG,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))2＝eq\f(1,3)(|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(OC,\s\up6(→))|2)＝eq\f(1,3)×(1＋4＋9)＝eq\f(14,3).14．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，若動(dòng)點(diǎn)P在線段BD1上運(yùn)動(dòng)，則eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))的取值范圍是______．答案[0,1]解析依題意，設(shè)eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BD1,\s\up6(→))，其中λ∈[0,1]，eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(