導數(shù)的概念及其意義專項練習-2024屆高考數(shù)學一輪復習

導數(shù)的概念及其意義

一、基礎鞏固練

1.函數(shù)於)=x+：在x=2處的切線斜率為()

3

A.-3B.-

4

C.-D.5

4

2.設函數(shù)於)=x?+3x,貝晦m0⑴=()

A.5B.-5

C.2D.-2

3.已知函數(shù)危)=4一：,則曲線產危)在點(1次D)處的切線方程為()

A.3x+2y-3=0

B.3x-2y-3=0

C.2x-3y-2=0

D.2x-3y+2=0

4.已知直線x-y+3=0是曲線7=》3+m+1的一條切線，則實數(shù)加=()

A.2B.1

C.-lD.-2

5.已知函數(shù)產危)的圖象在點尸(5<5))處的切線方程是產-x+8,則

人5)"(5)=()

A.2B.3

C.4D.-1

6.(多選題)已知函數(shù)/(xAlnQXl+x2,下列直線是曲線y=/(x)的切線的是()

2e2

A.(-+e)x-y--=0

B.12x-4y-5=0

C.8x-4y-3=0

D.3x-y-2+ln2=0

7.若曲線y=lnx+：在x=2處切線的傾斜角為a,則tana=.

8.曲線產e2ax在點(0,1)處的切線垂直于直線2x-y=0,則a=.

9.曲線y=(x-4)ex過坐標原點的切線方程為.

二、綜合提升練

10.過點(2,0)作曲線/(x)=xex的兩條切線，切點分別為(xij/CxDXSj/On)),則

Xl+X2=()

A.-2B.-V2

C.V2D.2

11.在曲線廠2叱的所有切線中，與直線產7x+6平行的共有()

A.4條B.3條

C.2條D.1條

12.(多選題)若函數(shù)y=/(x)的圖象上存在不同的兩點,使函數(shù)圖象在這兩點處的切

線斜率之積小于0且斜率之和等于常數(shù)e,則稱該函數(shù)為“e函數(shù)”，下列四個函數(shù)中,

為“e函數(shù)”的是()

2

A.?x)=-B.J(x)=sinx

C.J(x)=x2+2xD；/(x)=—

13.若點P是曲線yUnx-x2上任意一點，則點P到直線l:x+y-4=0的距離的最小值

為.

14.已知函數(shù)/)=-/+2f-x,若過點P(1」)可作曲線尸危)的三條切線，則f的取值范

圍是.

15.已知函數(shù)於)=f+alnx有兩條與直線y=2x平行的切線，且切點坐標分別為

P(X1<X1)),O(X2次⑼),則空的取值范圍是_________.

%1+%2

1.B解析因為式x)=x+±則八x)=l3,所以八2)=14=j，因此函數(shù)加：)=》+工在

XX24X

x=2處的切線斜率為，故選B.

4

2.A解析依題意義x)=2x+3,則八1)=5,因此lim”出幽="1)=5,故選A.

△%一oAx

3.B解析因為汽1)=0,所以切點為(1,0),又因為/&)=七+5，左="1)=|,所以切線

xx/

方程為y二|(x-l),即3/2y-3=0,故選B.

4.D角星析曲線可得直線尤-y+3=0是曲線丁二元3+如+1的

一條切線，設切點橫坐標為。，則切點縱坐標為。+3,則Fa?+m=^

］解得

(a+3=a+ma+1,

a=-1,

故選D.

m=-2,

5.A解析由于函數(shù)y=/(x)的圖象在點P(5<5))處的切線方程是y=-x+8,

故人5)=-5+8=37(5)=-1,故15)tf(5)=2,故選A.

6.ABD解析由于/(xAlnQxl+x2,》>。,所以/Xx)=1+2x，2V^,因此y=y(x)切線斜率

的最小值為2也對于選項A,在點(|啰))處的切線的斜率為5+e,切點為(|,1+?),切

線方程為g+e)x-y-?=0,故A滿足;對于選項B,在點(^/<$)處的切線斜率為3,切點

為(1：),切線方程為12x-4y-5=0,故B滿足;對于選項C,直線8x-4j-3=0的斜率為

24

2<2但，故C不可能為y=/(x)的切線;對于選項D,在點(1次1))處的切線斜率為3,切

點為(l,l+ln2),切線方程為3x-j-2+ln2=0,故D滿足.故選ABD.

7.；解析由于曠=工—則丁卜=2="故切線的斜率為"即tana=；.

4XX“444

8.-：解析歹=2流2巴所以yb=o=2a,因為在點(0,1)處的切線垂直于直線2x-y=0,故

切線的斜率為[，故2a=[,即

9.j=-e2x解析設切點為(xo,yo),則yo=(xo-4)eXoy=ex+(x-4)e*=(x-3)ex,切線的斜率

為(血-3)心。,所以切線方程為j-(xo-4)ex°=(xo-3)-ea(x-xo),又切線過原點，所以

O-(xo-4)ex°=(xo-3)eXo(O-xo),即就-4xo+4=O,解得xo=2,所以切線方程為v=-e2x

10.D解析由題意得八x)=(x+l)e;過點(2,0)作曲線五x)=xex的兩條切線,設切點

坐標為(xo/oe*。),則5)+1)村。=殛吧，即(就-2協(xié)2)心。=0,由于e久。>0,故

XQ-2

就-2xo-2=O,/=12>O,由題意可知xi,%2為就-2xo-2=O的兩個解，故XI+X2=2,故選D.

11.B解析由曠=6元2+/,令6/+2=7,得x=+l或%=土不當x=l時，切點(1,1)不

在直線y-7x+6上,切線不與直線y-7x+6重合，滿足題意;當x=-l時，切點(-1,-1)在

直線y=7x+6上，切線與直線y=7x+6重合,不滿足題意;當x當時，切點(粵，-笑不

在直線y=7x+6上,切線不與直線y=7x+6重合，滿足題意;當》=-粵時，切點(-萼，笑

6618

不在直線y=7x+6上,切線不與直線y=7x+6重合，滿足題意.故在曲線丁=2%3+的所

有切線中,與直線y=7x+6平行的共有3條，故選B.

12.CD解析不妨設兩點分別為。憂川工⑴次⑼),根據(jù)導數(shù)的幾何意義，兩點處

的切線斜率之積小于0且斜率之和等于常數(shù)e,即應滿足八刈八雙)<0且

八xi)tf(x2)=e.對于選項A,由于於)=|,所以八x)=告<0恒成立，因此不存在xi幽滿

足人%1)八了2)<0,故選項A錯誤;對于選項B,由于y(x)=sinx,所以八x)=cosx?[-1,1],

因此不存在xi,X2滿足八xi)+/Xx2)=e,故選項B錯誤;對于選項C,由于/(x)=/+2x,

則八x)=2x+2,由于1(X)值域為R,所以存在xi,x2使/(xi)f(X2)<0且八xi)4/(x2)=e,

即汽x)=f+2x是“e函數(shù)”，故選項C正確;對于選項D,由于4力=竽，所以/(x)=5詈,

令g(x)2要，則8口)=等0,當X?(o,e5)時,g(x)<0,當xC(e5,+co)時,g(x)>0,所以當

x=e5時,g(x)有最小值-點，因此g(x)即八x)值域為(-圭,+co),因此存在xi,X2使

7(^1)7(^2)<0且八xi)+/U2)=e,即於)=笥是二函數(shù)”，故選項D正確，故選CD.

13.2夜解析過點P作曲線y=lnx-x2的切線，當切線與直線/：》+.4=0平行時，

點P到直線l:x+y-4=0距離最小.設切點為P(xo,yo)(xo>O),y=；-2x,所以切線斜率為

左=工-2科由題知工-2xo=-l,解得xo=l或％0=-工(舍去)，所以此時點P到直線

%。%02

14

l:x+y-4-0的距離d-^-I=2V2.

v2

14.(0,^)解析設過點P的直線為/:了=左(》-1)+//(》)=-3*2+4*-1,設切點為(*0,加),

-3%o+4x-l=k,

則0得/+1=2%o-5%Q+4x()有三個解，令

k(x0-l)+t=-%o+2XQ-X0,

g(x)=2X3-5X2+4x,gf(x)=6x2-10x+4=2(x-1)(3x-2),gf(x)>0時,x>l或x<|,當gQ)<0

時所以g(x)在(-oo,|),(l,+oo)內單調遞增,(|,1)內單調遞減,又因為

g(|)=H，g(l)=l,g(x)=/+l有三個解，得即0</<5