2024年高考第一次模擬考試數(shù)學試卷（天津卷2）（解析版）

2024年高考第一次模擬考試(天津卷02)

數(shù)學

第I卷

參考公式：

?如果事件A、8互斥，那么尸(AuBQPXl+PZ).

?如果事件A、8相互獨立，那么P(A3)=P(A)尸(3).

?球的體積公式萬依，其中R表示球的半徑.

?圓錐的體積公式V=；S/z,其中S表示圓錐的底面面積，〃表示圓錐的高。

選擇題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合4=何2尤2-5》+2<。},B={x[0<x<l},則AB=()

A.[JB.g"C.(1,2)D.(2,+oo)

【答案】B

【解析】1-5尤+2<0,，g<x<2,故A

故選：B

2.已知條件p」41,條件q:x2-2xN0,則p是4的()

X

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】由題意〃:0"一°=或xvO,q:x2-2x>0<^x>2

xx[xw0

或xWO,

若x=0,則條件q:%2—2x20成立，但條件不成立，

x

若x=l,則條件p：」《l成立，但條件擊f―2x20不成立，

x

因此〃是9的既不充分也不必要條件.

故選：D.

3.已知函數(shù)〃x）的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（）

B.〃x)=(3'+3-*)cos2尤

C./(X)=(3，-3T)COS2JCD./(x)=(3r-3-A)sin2x

【答案】C

【解析】因為“X）的圖象關于原點對稱，所以“X）為奇函數(shù),

而y=3'+3T為偶函數(shù)，y=3'-3-'為奇函數(shù)，y=sin2x為奇函數(shù)，＞=cos2x為偶函數(shù),

了（無）應該為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積，排除B與D.

又因為了用=0，/（x）=（3，+3）in2x不滿足/5）=0,排除A,

3兀

0,C正確.

故選：c

4.(log43+log83)(log32+log92)=()

54

A.-B.-C.15D.12

45

【答案】A

［解析］(log43+log83)(log32+log92)

|log23|log32

4lg2lg3

5

4

故選：A

a

5.已知數(shù)列｛q｝滿足n+l,a[=-l,則6oo=

A.-1B.1C.2D.1

【答案】A

【解析】由題意，數(shù)列｛%｝滿足。用=4=-1,可得

1an

1cli

a[=,〃3=2,=1,。5=，，

a

所以數(shù)列｛4｝構成以3項為周期的周期數(shù)列,則ioo=4*33+1="I=-1

故選：A.

6.PM2.5的監(jiān)測值是用來評價環(huán)境空氣質(zhì)量的指標之一.劃分等級為：PM2.5日均值在

35pg/m3以下，空氣質(zhì)量為一級；PM2.5日均值在35~75pg/m3,空氣質(zhì)量為二級;

PM2.5日均值超過75）ig/m3為超標.如圖是某地8月1日至10日PM2.5的日均值（單位:

gg/m3）變化的折線圖，下列關于PM2.5日均值說法正確的是（）

B.前4天的日均值的極差小于后4天的日均值的極差

C.前4天的日均值的方差大于后4天的日均值的方差

D.這10天的日均值的中位數(shù)為45

【答案】B

【解析】解：對于A,將10天中的PM2.5日均值按從小到大排列為30,32,34,40,

41,45,48,60,78,80,根據(jù)百分位數(shù)的定義可得，這10天中PM2.5日均值的70百

分位數(shù)是生詈=54,故選A錯誤；

對于B,前4天的日均值的極差為41-30=11,后4天的日均值的極差為78-45=33,故

選項B正確；

對于C,由折線圖和方差的定義可知，前4天的日均值波動性小，所以前4天的日均值的

方差小于后4天日均值的方差，故選項C錯誤；

對于D,這10天中PM2.5日均值的中位數(shù)為一7上=43,故選項D錯誤.

2

故選：B.

7.半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形

圍成的多面體，棱長為正的正方體截去八個一樣的四面體，則下列說法錯誤的是（）

A.該幾何體外接球的表面積為4兀

B.該幾何體外接球的體積為47r半

C.該幾何體的體積與原正方體的體積比為5:6

D.該幾何體的表面積與原正方體的表面積之比為（2+6）:6

【答案】D

【解析】由題意得該幾何體外接球的球心為原正方體的中心，

4

故外接球半徑為1，外接球的表面積為4兀，體積為§兀，故A,B正確；

對于C,該幾何體的體積”/方體-跖面體=（⑹=半，

正方體體積為2&，故該幾何體的體積與原正方體的體積比為5:6；

對于D,該幾何體有6個面為正方形，其余的面為邊長為1的正三角形，

S表=6xl+8x#=6+26，S正=6X（75『=12,

所以該幾何體的表面積與原正方體的表面積之比為（6+26）:12=（3+石）:6,故D錯誤.

故選：D.

22

8.在平面直角坐標系中，已知雙曲線C:=-2=l（a>0,6>0）的左、右焦點分別為尸-

F2,過耳的直線與雙曲線C的右支相交于點尸，過點0,名作ON，尸片,，尸片，垂足

分別為且M為線段PN的中點，=則雙曲線C的離心率為（）

A.2B.C.D.平

22

【答案】D

【解析】因為弓，工為雙曲線C的左、右焦點，

因為ON_LP￡,g〃，因

所以ON〃工M,又。為線段可居的中點，

所以N為線段打〃的中點，且10M=；|町

又〃為線段PN的中點，

所以閨川=|可圖=阿尸|=；歸周，

在Rt。耳N中，|ON|=a,|。團=6,

所以閨M=JLTON『=b，

所以|尸制=3叫MP|=b,

因為點尸在雙曲線的右支上，

所以|尸周-|尸閶=2%

故歸區(qū)1=36-2,

在RtM招尸中，\MF2\=2a,\MP\=b,\PF2\=3b-2a,

由勾股定理可得：（2。）2+廿=網(wǎng)-2。）2,

所以8萬2=12〃/?,BP2b=3af

所以4〃=9a2,Xb2=c2-a2,

故4c2=131,

所以e―岳

a~r

故選：D.

x+ln>0

9.設函數(shù)y(x)=<（兀、有5個不同的零點，則正實數(shù)。的取值范圍

sina）x+—,-TI<X<0

I4j

為()

A.*

C.空m口胃

【答案】A

【解析】由題，當無>0時，/(x)=x+lnx,顯然單調(diào)遞增，且了=--lnl0<0,

10

/(2)=2+ln2>0,所有此時有且只有一個零點,

所有當—TIKXKO時，/(x)=sin0X+：有4個零點，令〃x)=0,

兀_三+也

即。x+—=E，左eZ,解得4,1，

4x=--------,KeZ

CD

由題可得一兀WX<0區(qū)間內(nèi)的4個零點分別是左=0,-1,-2,-3,所以一兀即在左=-3與左=-4

之間,

兀C

------3兀

4>-71

G）々刀力曰1317

即《,斛得了40<下

44

---471

----------<-71

CD

故選：A

第n卷

二、填空題

10.已知復數(shù)z滿足色=2i(其中i為虛數(shù)單位)，則同=

Z

【答案】

【解析】由l+二3i"i,得2=l虧+3i=(l笠+3i)"x(=-i)可3-'i一3在1

故答案為：叵.

2

11.二項式。工-十］展開式的常數(shù)項為

【答案】60

【解析】卜-2］展開式的通項為心=晨-（2尤廣1_9］=C>26，（T）'x6g,

取6-|r=0,解得/'=4,常數(shù)項為C>26+（-I）,=60.

故答案為：60.

12.已知圓心為（4,0）的圓C與直線/：y=#x相切于點N（3,百），則圓C的方程

為.

【答案】（1）"=4

【解析】解：因為圓心為（。,。）的圓C與直線/：y=gx相切于點N（3,若）,

所以g=-6解得I，

所以圓心為（4,0）,半徑為《=J（4—3）~+（6）=2,

所以圓C的方程為（x-4y+y2=4,

故答案為：（彳-4）2+產(chǎn)=4

13.已知a>l,b>l,則2地/+16晦“的最小值是.

【答案】8

【解析】因為。>1,b>l,所以log8aAOJogab〉。,

Igb

log”b=

Iga

因為■=>logabxlogba=l,

lg￡

loga=

fcIgb

所以，2log°*+l6log40>2y/2log-b-16loSba=2,2砥"+4嗨。>2s百=8,

當log“6=2時取“=”.

故答案為：8.

14.某同學從家中騎自行車去學校，途中共經(jīng)過5個紅綠燈路口.如果他恰好遇見2次紅

燈，則這2次紅燈的不同的分布情形共有種；如果他在每個路口遇見紅燈的概率均

為g,用4表示他遇到紅燈的次數(shù)，則￡(/=.(用數(shù)字作答)

【答案】io|

【解析】經(jīng)過5個紅綠燈路口，恰好遇見2次紅燈的分布情形有C；=10種；

因為隨機變量48(5,g),所以磯。)=5x；=：

故答案為：10；j

JT

15.如圖，在平行四邊形ABCD中，/BAD=—,AB=2,AD=1,若M,N分別

3

是邊AD，CD上的點，且滿足12=世=心其中則AN.的取值范圍

是.

【答案】

JT

【解析】作。ZBAD=-,AD=1,

3

y\

AH=-,DH=—,

22

A(0,0),B(2,0),C

^=^=A.,:.AM=(1-A)AD,DN=(1-A)DC,

AN=AD+DD=AD+(1-A)DC+(l-A)(2,0)=|-22,

同理可得：BM=AM-AB=(1-A)AD-AB=(1-A)-(2,0)

(31.V3=萬+"3=,+3)

-------A,-----------A

I2222J

故AM5A1的取值范圍是

三、解答題

16.在AABC中，。也。分別是角A5,。的對邊，且3cosAcosC(tanAtanC-l)=l.

5兀

(l)^sin(2B--)的值；

6

(2)若a+c=適，6=百，求AABC的面積.

2

解：(1)i3cosAcosC(tanAtanC-1)=1：3cosAcosC---------------1=1

\,COSTICOSC)

3(sinAsinC-cosAcosC)=1

cos(A+C)=-~,/.cosB——

又0<5<?

,._2V2

..sinBH=------

3

4J97

sin2B=2sinBcosB=------cos2B=1-2sin9B=--

99

1_7-46

2~18^

+c2—Z?21(Q+C)—2ac—b?1

(2)由余弦定理得:cosBn=--------------=-?1-------L---------=-

2ac32ac3

-T73^/3nr45

又a+c=-----,b=73,ac=-

2----------32

c1.n150

-'-SMBC=-acsinB=-^-

17.如圖，在長方體A8CD-AgGR中，AD=AAi=l,AB=2,點E在棱A3上移動.

(1)求證：DXE-

⑵當點E為棱A3的中點時，求點E到平面AC，的距離；

TT

⑶當AE為何值時，平面1EC與平面AECD所成的角為一？

4

(1)解：。為坐標原點，直線ZM,OC,O“分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系,

設AE=x,0<x<2

則A(1,0,1),2(0,0,1)E(LX,O),A(l,0,0),C(0,2,0)

因為。4?〃石=(1,0,1).(1,x,-1)=0,所以

所以

EB

(2)解：因為E為42的中點，則E(L1,O),

從而*=(1,1,-1),AC=(-1,2,0),ADj=(-1,0,1),

fn.Ar=0

設平面AC2的法向量為〃=(a,6,c),則[AD=0

(-a+2Z?=0[a=2b/、

即“，得_，從而力=(2,1,2),

I—a+c=(J\ci—c

所以點E到平面ACD,的距離為h=W曰=馬上工=-

\n\33

TT

⑶解：由⑴AE=x'°<x<2時，平面REC與平面AE8所成角為“

則E(l,x,0),0(0,0,1),C(0,2,0),

CE=(l,x-2,0),CD}=(O,-2,l),

設平面REC的法向量機=(a,b,c),

m-CE=Q+(x—2)b=0

取Z?=l,得加=(2—%1,2),

mCD[=-2b+c=0

平面AECD的法向量P=(0,0,1),

兀\m-p\2夜

/.cos—=-------=,=——，

4\m\-\p\J(2一4+52

由0<x<2,解得x=2-&或x=2+V^(舍去).

JT

.?.AE=2-岔時，平面REC與平面AECD所成角為一.

4

22

18.設橢圓方=1(〃>6>0)的左、右焦點分別為%%點P"滿足|*=|耳周.

(1)求橢圓的離心率e；

⑵設直線P工與橢圓相交于A,B兩點，若直線P外與圓仁+爐+卜-6丁二胎相交于

M,N兩點，且|MN卜求橢圓的方程.

O

解：⑴設近一%0),居(c,0)(c>0),

因為|尸名|=|居居|,所以而守壽=2c,

整理得2(與2+￡-1=0,得-=-i(舍)，或￡=[,

aaaa2

所以ej

2

⑵由(1)知q=2c,b=V3c,可得橢圓方程為3/+4y2=12c。，

直線尸工的方程為y=^（x-c）,

3x2+4y2=12c2

A,8兩點的坐標滿足方程組為＜

,7=A/3(X-C)

8

消去y并整理，得5--8c尤=0,解得：為=0,X2=~e

8

x=0

得方程組的解i一片和＜5

%=_J3c3白，

%二七

不妨設：A(|c,羋c),B(0,-V3c),

所以|A3|=J(|C)2+(孚C+指C)2=￡C于是|M?V|="||A3|=2c,

8

|-V3-A^-A/3C|@2+c|

圓心（-1，6）到直線PF的距離為d=

22~2

222

因為屋+(刊F]=4,所以|(2+C)+C=16,

整理得：7c2+12c-52=0,得。=-?。ㄉ幔?，或c=2,

所以橢圓方程為：—+^=1.

1612

19.已知q和，:均為給定的大于1的自然數(shù)，設集合，/=：口】:…gI：,集合

A={，*=玉+七。+?-49*'1凝€A/,i=l12J'"?nj

（1）當g=[j=3時，用列舉法表示集合A；

(2)設了.1wX,s=/+a】qj=b：+么。?…4gz.其中

一47*三二*二JL：7.…”*.證明：若V貝V,!J$<r.

⑴解：本題實質(zhì)是具體理解新定義，當4=2/=3時，M={0」},

+4xx=1,2,3),再分別對(石，積七)取

A={X\X=XV+2X239iGM,/

(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,o,0),(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(1,1,1),得到A={0,1,2,3,4,5,6,7}

(2)證明：大小不等式，一般利用作差法.

s-t=(al-bl)+(a2-b2)q++(%—%)尸+(?！?=為—,根據(jù)新定義:

<q—\,an—bn<—1,(z=1,2,,n—1),

所以s_/W(4_l)+(g_l)g++(q-Dq112-q"-'=(<7~1)(1"^-qn'=-1<0,即s<"

"q

20.設函數(shù)“無戶心皿宜^^^.

⑴證明/(尤+2E)-/(x)=2Esinx,其中左為整數(shù)；

⑵設為為了⑴的一個極值點，證明［/(%)了=/匕;

1+%0

⑶設fM在(0,+co)內(nèi)的全部極值點按從小到大的順序排列4