初中數(shù)學(xué)全等三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及復(fù)習(xí)

全等三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及復(fù)習(xí)

一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

,對(duì)應(yīng)角相等

性質(zhì)＜

對(duì)應(yīng)邊相等

‘邊邊邊SSS

全等形T全等三角形邊角邊SAS二＞應(yīng)用

判定＜角邊角ASA

角角邊AAS

斜邊、直角邊HL

"作圖

角平分線

.性質(zhì)與判定定理

二、基礎(chǔ)知識(shí)梳理

（一）、基本概念

1、“全等”的理解全等的圖形必須滿足：（1）形狀相同的圖形；（2）大小相等的圖形；

即能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫全等形。同樣我們把能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等

三角形。

全等三角形定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形稱為全等三角形.（注：全等三角形是相似三

角形中的特殊情況）

當(dāng)兩個(gè)三角形完全重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互

相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角.

由此，可以得出：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。

（1）全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；

（2）全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；

（3）有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊；

（4）有公共角的，角一定是對(duì)應(yīng)角；

（5）有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；

2、全等三角形的性質(zhì)

2

（1）全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等；（2）全等三角形對(duì)應(yīng)角相等；

3、全等三角形的判定方法

（1）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

（2）兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

（3）兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

（4）兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

（5）斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。

4、角平分線的性質(zhì)及判定

性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等

判定：到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角平分線上

（-）靈活運(yùn)用定理

1、判定兩個(gè)三角形全等的定理中，必須具備三個(gè)條件，且至少要有一組邊對(duì)應(yīng)相等，因此

在尋找全等的條件時(shí)，總是先尋找邊相等的可能性。

2、要善于發(fā)現(xiàn)和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對(duì)頂角等。

3、要善于靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ卸▋蓚€(gè)三角形全等.

（1）已知條件中有兩角對(duì)應(yīng)相等，可找：

①夾邊相等（ASA）②任一組等角的對(duì)邊相等（AAS）

（2）已知條件中有兩邊對(duì)應(yīng)相等，可找

①夾角相等（SAS）②第三組邊也相等（SSS）

（3）已知條件中有一邊一角對(duì)應(yīng)相等，可找

①任一組角相等（AAS或ASA）②夾等角的另一組邊相等（SAS）

（三）經(jīng)典例題

例1.已知：如圖所示，AB=AC,N1=N2,AD=AE,求證：KABD=LACE0

3

例2.如圖所示，已知：AF=AE,AC=AD,CF與DE交于點(diǎn)B。求證：^ACF=LADE0

例3o如圖所示，AC二BD,AB=DC,求證：/B=NC.

例4。如圖所示，匕*%區(qū)如支,垂足分別為D、E,BE與CD相交于點(diǎn)0,且/1=/2

求證:BD=CE。

例5：已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC平分/BAD、CE_LAB于E,且NB+ND=180

求證:AE=AD+BE

分析：從上面例題，可以看出，有時(shí)為了證明某兩條線段和等于另一條線段，可以考慮“截

長(zhǎng)補(bǔ)短”的添加輔助線，本題是否仍可考慮這樣“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的方法呢？由于AC是角平分線,

所以在AE上截AF=AD,連結(jié)FC,可證出AD3AFC,問(wèn)題就可以得到解決。

證明（一）：

4

在AE上截取AF=AD,連結(jié)FC。

在AFC和ADC中

AF=AD（已作）

<N1=N2（已知）

AC=AC（公共邊）

AFC2ADC（邊角邊）

.■.ZAFC=ZD（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）

-/ZB+ZD=180（已知）

.?.NB=NEFC（等角的補(bǔ)角相等）

在CEB和CEF中

ZB=NEFc（affi）

<ZCEB=ZCEF=90。（已知）

CE=CE（公共邊）

CEB2CEF（角角邊）

.-.BE=EF

-/AE=AF+EF

.-.AE=AD+BE（等量代換）

證明（二）：

在線段EA上截EF=BE,連結(jié)FC（如右圖）。

小結(jié)：在幾何證明過(guò)程中，如果現(xiàn)成的三角形不可以證明，則需要我們選出所需要的三角形,

這就需要我們恰到好處的添加輔助線。

（四）全等三角形復(fù)習(xí)練習(xí)題

一、選擇題

1.如圖，給出下列四組條件：

?AB=DE,BC=EF,AC=DFi?AB=DE,ZB=ZE,BC=EF\

5

③NB=NE,BC=EF,NC=NF;@AB=DE,AC=DF,NB=NE.

其中，能使△ABCgADEb的條件共有（）A.1組B.2組C.3組D.4組

20如圖，O,E分別為△ABC的AC,3C邊的中點(diǎn)，將此三角形沿DE折疊，使點(diǎn)C落在A3邊

上的點(diǎn)P處.若NCDE=48。，則ZAP。等于（）

3.如圖（四），點(diǎn)P是A8上任意一點(diǎn)，ZABC=ZA5。，還應(yīng)補(bǔ)充一個(gè)條件，才能推出

△APC^AAPD.從下列條件中補(bǔ)充一個(gè)條件，下一定熊推出的是（）

A.BC=BDB.AC=ADC.ZACB=ZADBD.ZCAB=ZDAB

C.52°D.58

圖（四）

1題圖2題圖

4.如圖，在ZkABC與4DEF中，已至條件AB二DE,所需添加兩個(gè)條件才能使4ABC2ZWEF,不能

添加的一組條件是（）

（A）NB=NE,BC=EF（B）NB=NE(D)NA=ND,BC=EF

5.如圖，△ABC中，ZC=90°,AC=BC,AD是NBAC的平分線，DE_LAB于E,

若AC=10cm,則4DBE的周長(zhǎng)等于（）

A.10cmB.8cmC.6cmD.9cm

6.如圖所示，表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離

相等，則可供選擇的地址有（）A.1處B.2處C.3處D.4處

6

7.某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎了3塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那

么最省事的方法是（）A.帶①去B.帶②去C.帶③去D.帶①②③去

8.如圖，在中，48=90。，瓦＞是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)。，交BC

于點(diǎn)E.已知ZBAE=10。，則NC的度數(shù)為（）

A.30。B.40。C.50。D.60。

9.如圖，,ZBCB'=30°，貝IJ/AC4,的度數(shù)為()

A.20°B.30°C.35°D.40°

10.如圖，AC=AD,BC=BD,貝ij有（)

A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分AB

1題圖C.AB與CD互相垂直平分D.CD平分NACB

11.尺規(guī)作圖作ZA03的平分線方法如下：以。為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交。4、03于C、D,

再分別以點(diǎn)C、。為圓心，以大于工。長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P,作射線0P,由作法得

2

△。。尸04。。尸的根據(jù)是（）A.SASB.ASAC.AASD.SSS

12.如圖,NC=90°,AD平分NBAC交分于D,若BC=5cm,BD=3cm,則點(diǎn)D到AB的距離為（）A.

5cmBo3cmC.2cmDo不能確定

13.如圖，OP平分4403,PALOA,PBLOB,垂足分別為A,B.下列結(jié)論中不一定成立的是

（）A.PA=PBB.尸。平分ZAP5C.OA=OBD.AB垂直平分。尸

140如圖，已知A3=AO,那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABC之△ADC的是（）

C.ZBCA=ZDCAD.ZB=ZD=90°

B

14題圖

7

二'填空題

10如圖，已知=ZBAE=ZDAC,要使△ABC2△ADE,可補(bǔ)充的條件是

（寫(xiě)出一個(gè)即可）.

20如圖，在AABC中，NC=90°,AC=BC,AD平分NBAC交BC于D,DE_LAB于E,且AB=5cm,則4

DEB的周長(zhǎng)為

30如圖，=，請(qǐng)你添加一個(gè)條件：，使=（只添一個(gè)即可）.

40如圖，在AABC中，NC=90°NABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D,若BD=10厘米，BC=8厘米，

DC=6厘米，則點(diǎn)D到直線AB的距離是_________厘米。

4

題圖

50觀察圖中每一個(gè)大三角形中白色三角形的排列規(guī)律，則第5個(gè)大三角形中白色三角形

6o已知：如圖，AOAD^AOBC,且N0=70°,ZC=25°,貝ljNAEB=度。

7如圖,C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形

CDE、AD與BE交于點(diǎn)0,AD與BC交于點(diǎn)P,BE與CD交于點(diǎn)Q,連結(jié)PQO以下五個(gè)結(jié)論：①AD二BE；

②PQ〃AE；③AP=BQ；④DE二DP；⑤NA0B=60。.

恒成立的結(jié)論有（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）。

80如圖所示，AB=AD,Z1=N2,添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使4ABC義AADE,則需要添加的

B

八、a

O

條件是

6題圖7題圖8題圖

三、解答題

1.如圖，已知AB=AC,AD=AE,求證:BD=CE.

2.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZR4C=40°,分別以A3,AC為邊作兩個(gè)等腰直角三角形A8D

和ACE,使N3Ar)=NC4E=90。.

(1)求ZD3C的度數(shù)；⑵求證：3O=CE.

3.如圖，在4ABE中，AB=AE,AD=AC,ZBAD=ZEAC,BC、DE交于點(diǎn)0。求證：(1)AABC

^△AED;(2)OB=OE。

4.如圖,D是等邊4ABC的邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊向上作等邊△EDC,連接AE,找出圖

E

9

D

中的一組全等三角形,并說(shuō)明理由.

5.如圖,在ZSABC和ADCB中，AB=DC,AC=DB,AC與DB交于點(diǎn)M.

(1)求證：4ABC2ZkDCB；(2)過(guò)點(diǎn)C作CN〃BD,過(guò)點(diǎn)B作BN〃AC,CN與BN交于點(diǎn)N,試判

斷線段BN與CN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

N

6。如圖，四邊形ABC。的對(duì)角線AC與3。相交于。點(diǎn)，Z1=Z2,Z3=Z4.

求證：(1)AABC^AADC;(2)BO=DO.

7.如圖，在△ABC和△A3。中，現(xiàn)給出如下三個(gè)論斷：①AD=3C;②NC=ND;

③N1=N2.請(qǐng)選擇其中兩個(gè)論斷為條件，另一個(gè)論斷為結(jié)論，構(gòu)造一個(gè)命題.

(D寫(xiě)出所有的真命題(寫(xiě)成“"形式，用序號(hào)表示):

1012

AB

(2)請(qǐng)選擇一個(gè)真命題加以證明.

你選擇的真命題是：------P.

證明：

80已知：如圖，B、E、F、C四點(diǎn)在同一條直線上,AB=DC,BE=CF,ZB=ZC.求證：0A=0D.

9.如圖，△ABC中，NBAO90度，AB=AC,BD是NABC的平分線,BD的延長(zhǎng)線垂直于過(guò)C點(diǎn)的

直線于E,直線CE交BA的延長(zhǎng)線于F.

求證：BD=2CE.

10.如圖，=于點(diǎn)。，AD=AE,A5平分ND4后交DE于點(diǎn)/，請(qǐng)你寫(xiě)出圖中三對(duì)全

等三角形,并選取其中一對(duì)加以證明.

BDC

11

11.已知:如圖，DC〃AB,且DC=AE,E為AB的中點(diǎn),

(1)求證：4AED2△EBC.

(2)觀看圖前,在不添輔助線的情況下，除△EBC外,請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出兩個(gè)與4AED的面積相等的三角

形.(直接寫(xiě)出結(jié)果，不要求證明)：

12.如圖①，E、F分別為線段AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且DE_LAC于E,BF±AC于F,若A氏CD,AF=CE,BD

交AC于點(diǎn)M.

(1)求證:MB=MD,ME=MF

(2)當(dāng)E、F兩點(diǎn)移動(dòng)到如圖②的位置時(shí)，其余條件不變，上述結(jié)論能否成立？若成立請(qǐng)給

予證明;若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由.

②

13已知：如圖A、D、C、B在同一直線上,AC=BD,AE=BF,CE=DF

求證：(1)DF〃CE(2)DE=CF

B

14.如圖，已知在AABC中，BE、CF分別是AC、AB兩條邊上的高，在BE上截取BD=AC,在CF

的延長(zhǎng)線上截取CG=AB,連結(jié)AD、AG,則AG與AD有何關(guān)系？試證明你的結(jié)論

15.如圖，已知BE_LAC于E,CF_LAB于F,