2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江中考試題猜想數(shù)學(xué)試卷含解析

2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江外國語學(xué)校中考試題猜想數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.已知拋物線y=X2+%+c的部分圖象如圖所示，若yVO,則x的取值范圍是（）

A.-l<x<4B.-l<x<3C.xV-1或x>4D.或x>3

lax+by=3fx=1

2.已知關(guān)于x,y的二元一次方程組,的解為，，則a-2b的值是（）

ax-by=l[y=-1

A.-2B.2C.3D.-3

3.（-1）°+|-1|=（）

A.2B.1C.0D.-1

4.如圖，將△ABC沿著。E剪成一個小三角形AOE和一個四邊形。FC5,DE//BC,四邊形。FC5各邊的長度

如圖所示，則剪出的小三角形AOE應(yīng)是（）

5.把邊長相等的正六邊形ABC0E尸和正五邊形GffCD乙的CD邊重合，按照如圖所示的方式疊放在一起，延長LG

交AF于點P,貝!|NAPG=（）

C.147°D.150°

6.計算3a2—a2的結(jié)果是（）

A.4a2B.3a2C.2a2D.3

7.已知e是一個單位向量，a、b是非零向量，那么下列等式正確的是（）

A.同e=aB.\e\b^bC.^=eD.百”"

8.如圖，已知線段AB,分別以A,B為圓心，大于LAB為半徑作弧，連接弧的交點得到直線1,在直線1上取一點

2

C,使得NCAB=25。，延長AC至點M,則NBCM的度數(shù)為（）

9.如圖所示的幾何體，它的左視圖與俯視圖都正確的是（）

左視圖俯視圖片視圖俯視圖片視圖俯視圖片視圖俯視圖

10.如圖，四邊形ABCD是菱形，ZA=60°,AB=2,扇形BEF的半徑為2,圓心角為60。，則圖中陰影部分的面積是

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)

3

11.如圖，點A(3,n)在雙曲線丫=—上，過點A作AC，x軸，垂足為C.線段OA的垂直平分線交OC于點B,則

x

(k-5)x2-2x+2=0有實根，則k的取值范圍為

直徑AB_L弦CD,NA=28。，則ND=

14.在RtAABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,點D是以點A為圓心4為半徑的圓上一點，連接BD,點M為BD

中點，線段CM長度的最大值為

15.如圖，如果兩個相似多邊形任意一組對應(yīng)頂點P、所在的直線都是經(jīng)過同一點O,且有OP，=kOP(k/)),那么

我們把這樣的兩個多邊形叫位似多邊形，點O叫做位似中心，已知△ABC與4是關(guān)于點O的位似三角形,

OA，=3OA,則AABC與AA'B，(7的周長之比是.

16.據(jù)統(tǒng)計，今年無錫章頭渚“櫻花節(jié)”活動期間入園賞櫻人數(shù)約803萬人次，用科學(xué)記數(shù)法可表示為__人次.

三、解答題(共8題，共72分)

17.(8分)已知：如圖，ZABC,射線BC上一點D.

求作：等腰APBD,使線段BD為等腰△PBD的底邊，點P在NABC內(nèi)部，且點P到NABC兩邊的距離相等.

BD

18.(8分)我們已經(jīng)知道一些特殊的勾股數(shù)，如三連續(xù)正整數(shù)中的勾股數(shù)：3、4、5；三個連續(xù)的偶數(shù)中的勾股數(shù)6、

8、10；事實上，勾股數(shù)的正整數(shù)倍仍然是勾股數(shù).另外利用一些構(gòu)成勾股數(shù)的公式也可以寫出許多勾股數(shù)，畢達哥拉

斯學(xué)派提出的公式：。=2"+1,b^2n2+2n,。=2層+2"+1(”為正整數(shù))是一組勾股數(shù)，請證明滿足以上公式的a、b、c

的數(shù)是一組勾股數(shù).然而，世界上第一次給出的勾股數(shù)公式，收集在我國古代的著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，書中

提到：當(dāng)b=mn,c=—(m2+n2)(m^"為正整數(shù)，〃時，a、b、c構(gòu)成一組勾股數(shù)；利用上述結(jié)論,

22

解決如下問題：已知某直角三角形的邊長滿足上述勾股數(shù)，其中一邊長為37,且"=5,求該直角三角形另兩邊的長.

19.(8分)如圖，A3是。。的直徑，點C是A5延長線上的點，與。。相切于點。，連結(jié)3。、AD.

(1)求證；N5Z)C=NA.

(2)若NC=45。，。。的半徑為1,直接寫出AC的長.

20.(8分)已知點A、B分別是x軸、y軸上的動點，點C、D是某個函數(shù)圖象上的點，當(dāng)四邊形ABCD(A、B、C、

D各點依次排列)為正方形時，稱這個正方形為此函數(shù)圖象的伴侶正方形.如圖，正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+l圖

象的其中一個伴侶正方形.

(1)若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+l,求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長；

k

(2)若某函數(shù)是反比例函數(shù)y=—(k>0),它的圖象的伴侶正方形為ABCD,點D(2,m)(m<2)在反比例函數(shù)

x

圖象上，求m的值及反比例函數(shù)解析式；

(3)若某函數(shù)是二次函數(shù)y=ax2+c(a/0),它的圖象的伴侶正方形為ABCD,C、D中的一個點坐標(biāo)為(3,4).寫出

伴侶正方形在拋物線上的另一個頂點坐標(biāo),寫出符合題意的其中一條拋物線解析式_____,并判斷你寫出的拋物

線的伴侶正方形的個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？.(本小題只需直接寫出答案)

21.(8分)(本題滿分8分)如圖，四邊形ABCD中，一T二一二。丁="E是邊CD的中點，連接

BE并延長與AD的延長線相較于點F.

(1)求證：四邊形BDFC是平行四邊形；

(2)若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDFC的面積.

22.(10分)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,NBAD=90。，點E在BC的延長線上，且NDEC=NBAC.

(1)求證：DE是(DO的切線；

(2)若AC〃DE,當(dāng)AB=8,CE=2時，求AC的長.

k

23.(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=—(x>0)的圖像與邊長是6的正方形ORC的兩邊A5,

分別相交于M,N兩點.若點M是A3邊的中點，求反比例函數(shù)y=勺的解析式和點N的坐標(biāo)；若40=2,求

直線MN的解析式及△OMN的面積

24.計算：2cos30。+7^7J退一34（；尸

參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1、B

【解析】

試題分析：觀察圖象可知，拋物線y=x2+bx+c與X軸的交點的橫坐標(biāo)分別為（-1,0）、（1,0）,

所以當(dāng)y<0時,X的取值范圍正好在兩交點之間，即-1<X<1.

故選B.

考點：二次函數(shù)的圖象.106144

2、B

【解析】

x=l2ax+by=3\la-b-3

把"弋入方程組得：\

y=-iax-by=l[a+b=l

4

（1———

3

解得：,

b=--

3

41

所以a-2b=一一2x（一一）=2.

33

故選B.

3、A

【解析】

根據(jù)絕對值和數(shù)的0次塞的概念作答即可.

【詳解】

原式=1+1=2

故答案為：A.

【點睛】

本題考查的知識點是絕對值和數(shù)的0次暴，解題關(guān)鍵是熟記數(shù)的0次募為1.

4、C

【解析】

利用相似三角形的性質(zhì)即可判斷.

【詳解】

設(shè)AE=y,

'：DE//BC,

:.AADEs4ABC,

.AD_AEDE

...%_1;6

**x+12y+1614'

Ax=9,y=12,

故選：C.

【點睛】

考查平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

5、B

【解析】

先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式分別求得正六邊形和正五邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求得

ZAPG的度數(shù).

【詳解】

(6-2)xl80°4-6=120°,

(5-2)x180*5=108。，

ZAPG=(6-2)x180°-120°x3-108°x2

=720°-360°-216°

=144°,

故選B.

【點睛】

本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，關(guān)鍵是熟悉多邊形內(nèi)角和定理：（n-2）?180（吟3）且n為整數(shù)）.

6、C

【解析】

【分析】根據(jù)合并同類項法則進行計算即可得.

【詳解】3a2-a2

=（3-1）a2

=2a2,

故選C.

【點睛】本題考查了合并同類項，熟記合并同類項的法則是解題的關(guān)鍵.合并同類項就是把同類項的系數(shù)相加減，字母

和字母的指數(shù)不變.

7、B

【解析】

長度不為0的向量叫做非零向量，向量包括長度及方向，而長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量，注意單位向

量只規(guī)定大小沒規(guī)定方向，則可分析求解.

【詳解】

A,由于單位向量只限制長度，不確定方向，故錯誤；

B.符合向量的長度及方向，正確；

C.得出的是a的方向不是單位向量，故錯誤；

D.左邊得出的是a的方向，右邊得出的是b的方向，兩者方向不一定相同，故錯誤.

故答案選B.

【點睛】

本題考查的知識點是平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握平面向量.

8、B

【解析】

解：?.?由作法可知直線I是線段AB的垂直平分線，

：.AC=BC,

：.ZCAB=ZCBA=25°,

：.ZBCM=ZCAB+ZCBA=250+25°=50°.

故選B.

9、D

【解析】

試題分析：該幾何體的左視圖是邊長分別為圓的半徑和直徑的矩形，俯視圖是邊長分別為圓的直徑和半徑的矩形，故

答案選D.

考點：D.

10、B

【解析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)得出△DAB是等邊三角形，進而利用全等三角形的判定得出△ABGgADBH,得出四邊形GBHD的

面積等于AABD的面積，進而求出即可.

【詳解】

連接BD,

???四邊形ABCD是菱形，ZA=60°,

:.ZADC=120°,

.?.Zl=Z2=60°,

.??△DAB是等邊三角形，

；AB=2,

??.△ABD的高為g,

?.?扇形BEF的半徑為2,圓心角為60°,

.*.Z4+Z5=60°,Z3+Z5=60°,

/.Z3=Z4,

設(shè)AD、BE相交于點G,設(shè)BF、DC相交于點H,

在AABG^IlADBH中，

ZA=Z2

{AB=BD,

Z3=Z4

/.△ABG^ADBH(ASA),

???四邊形GBHD的面積等于△ABD的面積,

，圖中陰影部分的面積是：S扇形EBF-SAABD=里比----x2x-\/3

3602

故選B.

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)

11、2.

【解析】

先求出點A的坐標(biāo)，根據(jù)點的坐標(biāo)的定義得到OC=3,AC=2,再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可知AB=OB,由此推出

△ABC的周長=OC+AC.

【詳解】

3

由點A(3,n)在雙曲線y=一上得,n=2..,.A(3,2).

x

?.?線段OA的垂直平分線交OC于點B,...OBnAB.

則在△ABC中，AC=2,AB+BC=OB+BC=OC=3,

.,.△ABC周長的值是2.

12、左〈口且左H5

2

【解析】

若一元二次方程有實根，則根的判別式△=bZ4acK>,且k-l#),建立關(guān)于k的不等式組，求出k的取值范圍.

【詳解】

解：???方程有兩個實數(shù)根，

.,.△=b2-4ac=(-2)2-4X2X(k-1)=44-8史0,且k-1邦，

解得：K二且后1,

故答案為且后1.

2

【點睛】

此題考查根的判別式問題，總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：

(1)△>0訪程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)A=0的方程有兩個相等的實數(shù)根；

(3)△<0歷程沒有實數(shù)根.

13>34°

【解析】

分析：首先根據(jù)垂徑定理得出NBOD的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出ND的度數(shù).

詳解：AB±^CD,.*.ZBOD=2ZA=56°,/.ZD=90°-56°=34°.

點睛：本題主要考查的是圓的垂徑定理，屬于基礎(chǔ)題型.求出NBOD的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

14、1

【解析】

作AB的中點E,連接EM、CE,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及三角形的中位線定理求得CE和

EM的長，然后在△CEM中根據(jù)三邊關(guān)系即可求解.

【詳解】

作AB的中點E,連接EM、CE,

在直角△ABC中，AB=7AC2+BC2==10,

VE是直角△ABC斜邊AB上的中點，

1

/.CE=-AB=5,

2

是BD的中點，E是AB的中點,

1

，ME=—AD=2,

2

.?.在△CEM中,5-2<CM<5+2,BP3<CM<1,

二最大值為1,

故答案為L

【點睛】

本題考查了點與圓的位置關(guān)系、三角形的中位線定理的知識，要結(jié)合勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

一半解答.

15、1:1

【解析】

分析：根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比解答.

詳解：’.?△ABC與AA?。是關(guān)于點。的位似三角形，...△ABCS&4，B，C，.?.?QA，=IO4,.?.△ABC與△A?。的周

長之比是：OA：OA，=1：1.故答案為1：1.

點睛：本題考查的是位似變換的性質(zhì)，位似變換的性質(zhì)：①兩個圖形必須是相似形；②對應(yīng)點的連線都經(jīng)過同一點；

③對應(yīng)邊平行.

16、8.03X106

【解析】

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axion的形式，其中l(wèi)w|a|V10,n為整數(shù).確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移

動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負

數(shù).803萬=8.03x10$.

三、解答題（共8題，共72分）

17、作圖見解析.

【解析】

由題意可知，先作出NABC的平分線，再作出線段BD的垂直平分線，交點即是P點.

【詳解】

?.?點P到NABC兩邊的距離相等，

.?.點P在NABC的平分線上；

?.,線段BD為等腰△PBD的底邊，

；.PB=PD,

點P在線段BD的垂直平分線上，

...點P是NABC的平分線與線段BD的垂直平分線的交點，

如圖所示：

A

此題主要考查了尺規(guī)作圖，正確把握角平分線的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18、（1）證明見解析；（2）當(dāng)〃=5時，一邊長為37的直角三角形另兩邊的長分別為12,1.

【解析】

(1)根據(jù)題意只需要證明層+廬=02,即可解答

(2)根據(jù)題意將〃=5代入得到(/-52),b=5m,c=-(m2+25),再將直角三角形的一邊長為37,分別分三

22

種情況代入a=L(m2-52),b=5m,c=—(m2+25),即可解答

22

【詳解】

(l)Va2+Z>2=(2n+l)2+(2n2+2n)2=4n2+4n+l+4n4+8n3+47i2=4n4+8n3+8n2+4n+l,

c2—(2n2+2n+l)2—4n4+8n3+8n2+4?+l,

a2+b2=c2,

為正整數(shù)，

?*.?>b、c是一組勾股數(shù);

⑵解：?.”=5

1,,1

.,.a=—(nr-52),b=5m,c=—(m2+25),

22

直角三角形的一邊長為37,

分三種情況討論，

①當(dāng)a=37時，—(m2-52)=37,

2

解得加=±3而(不合題意，舍去)

②當(dāng)y=37時，5機=37,

解得帆=彳37(不合題意舍去)；

③當(dāng)z=37時，37=—(m2+n2),

2

解得加=±7,

Vm>n>0,m>〃是互質(zhì)的奇數(shù)，

:?m=7,

把根=7代入①②得，x=12,y=l.

綜上所述：當(dāng)”=5時，一邊長為37的直角三角形另兩邊的長分別為12,1.

【點睛】

此題考查了勾股數(shù)和勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵

19、(1)詳見解析；(2)1+72

【解析】

(1)連接前，結(jié)合切線的性質(zhì)和直徑所對的圓周角性質(zhì)，利用等量代換求解(2)根據(jù)勾股定理先求OC,再求AC.

【詳解】

(1)證明：連結(jié)0D.如圖，

CD與Q相切于點。，

.-.OD1CD,

.?./2+4DC=90。，

AB是。的直徑，

NADB=90。,即N1+/2=90。，

..11=4DC,

OA=OD,

4DC=/A；

(2)解：在Rt—ODC中，"=5°,

OC=yJlOD=V2

:.AC=OA+OC=l+>/2?

【點睛】

此題重點考查學(xué)生對圓的認識，熟練掌握圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

?7223

20、(1)；(2)y=-；(3)(-1,3)；(7,-3)；(-4,7)；(4,1),對應(yīng)的拋物線分別為y=——X2+——；

3x4040

32,13,55oj,

y=-x+-；y=~x2+亍,偶數(shù).

【解析】

(1)設(shè)正方形ABCD的邊長為a,當(dāng)點A在x軸負半軸、點B在y軸正半軸上時，可知3a=血，求出a,

(2)作DE、CF分別垂直于x、y軸，可知ADE烏△BAO^^CBF,列出m的等式解出m,

(3)本間的拋物線解析式不止一個，求出其中一個.

【詳解】

解：(1)二?正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+l圖象的其中一個伴侶正方形.

當(dāng)點A在x軸正半軸、點B在y軸負半軸上時，

/.AO=1,BO=1,

二正方形ABCD的邊長為拒，

當(dāng)點A在x軸負半軸、點B在y軸正半軸上時，

設(shè)正方形的邊長為a,得3a=血,

a=-,

3

所以伴侶正方形的邊長為夜或;也；

(2)作DE、CF分別垂直于x、y軸，

知4ADE^ABAO^JACBF,

此時，m<2,DE=OA=BF=m

OB=CF=AE=2-m

AOF=BF+OB=2

?'C點坐標(biāo)為(2-m,2),

/.2m=2(2-m)

解得m=l,

2

反比例函數(shù)的解析式為y=—,

(3)根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示:

過C作CF_Lx軸，垂足為F,過D作DELCF,垂足為E,

.IACED^ADGB△AOB△AFC,

VC(3,4),即CF=4,OF=3,

，EG=3,DE=4,故DG=DE-GE=DE-OF=4-3=1,

則D坐標(biāo)為(-1,3)；

設(shè)過D與C的拋物線的解析式為：y=ax2+b,

a+b=3

把D和C的坐標(biāo)代入得：八，,，

9a+b=4

1

Cl——Q

解得郎.

b=—

[8

.?.滿足題意的拋物線的解析式為y=^1x2+一23；

88

同理可得D的坐標(biāo)可以為：(7,-3)；(-4,7)；(4,1),；

731355

對應(yīng)的拋物線分別為丁=2爐+"；y=^+-；y=|x2+y,

所求的任何拋物線的伴侶正方形個數(shù)為偶數(shù).

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的綜合題.靈活運用相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

21、(1)見解析；(2)0：或大3

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)和中點的性質(zhì)證明三角形全等，然后根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形完

成證明；

(2)由等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況：①BD=BC,②BD=CD,③BC=CD,分別求四邊形的面積.

試題解析：(1)證明：VZA=ZABC=90°

；.AF〃BC

:.ZCBE=ZDFE,ZBCE=ZFDE

YE是邊CD的中點

/.CE=DE

/.△BCE^AFDE(AAS)

/.BE=EF

，四邊形BDFC是平行四邊形

(2)若ABCD是等腰三角形

①若BD=DC

在RtAABD中，AB=、二口,-二"=

四邊形BDFC的面積為S=：7x3=6.7；

②若BD=DC

過D作BC的垂線，則垂足為BC得中點，不可能；

③若BC=DC

過D作DGLBC,垂足為G

在RtACDG中，DG-二匚:一二二：==\?

二四邊形BDFC的面積為S="7.

考點：三角形全等，平行四邊形的判定，勾股定理，四邊形的面積

22、(1)證明見解析；(2)AC的長為竺好.

5

【解析】

(1)先判斷出BD是圓O的直徑，再判斷出BDLDE,即可得出結(jié)論；

(2)先判斷出AC±BD,進而求出BC=AB=8,進而判斷出△BCD^ADCE,求出CD,再用勾股定理求出BD,

最后判斷出△CFD^ABCD,即可得出結(jié)論.

【詳解】

(1)如圖，連接BD,

工點O必在BD上，即：BD是直徑，

:.ZBCD=90°,

/.ZDEC+ZCDE=90°.

VZDEC=ZBAC,

AZBAC+ZCDE=90°.

VZBAC=ZBDC,

AZBDC+ZCDE=90°,

AZBDE=90°,BP：BD±DE.

??,點D在。O上，

???DE是。O的切線；

(2)VDE/7AC.

■:ZBDE=90°,

:.ZBFC=90°,