2024屆廣州順德區(qū)數(shù)學(xué)高二年級上冊期末考試試題含解析

2024屆廣州順德區(qū)數(shù)學(xué)高二上期末考試試題

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知向量a=（1』,0）,^=（-1,0,2）,且左a+0與2a—b互相平行，則左的值為（）

4

A.-2B.-

3

57

C._D.一

35

2.若｛4｝等差數(shù)列，其前"項(xiàng)和為S“，S4=2,S8=6,貝!］幾=（）

A.10B.12

C.14D.16

3.等差數(shù)列｛4｝的公差為2,若。2，%，。8成等比數(shù)列，則Sg二（）

A.72B.90

C.36D.45

4.已知空間四邊形ABC。中，=OB=b，OC=c，點(diǎn)N在上，且CN=2NB,河為Q4中點(diǎn)，則MN

等于（）

12112,1

A.—a——7b+—cB.——a+—b+—c

233233

1-11-1■2,1?

C.—a+—b7——cD.——a+—b——c

232233

5.若直線a不平行于平面a,則下列結(jié)論正確的是（）

A.a內(nèi)的所有直線均與直線a異面B.直線a與平面?有公共點(diǎn)

C.a內(nèi)不存在與。平行的直線D.a內(nèi)的直線均與。相交

6.等比數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且。4a5+。3a6=4,則%。2a3。7a8=。

A.8B.16

C.32D.64

7.復(fù)數(shù)z=i3（l—i）,貝!Jz對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是。

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

8.在X0y平面上有一系列點(diǎn)4(玉，x),6(9,%)，，月(乙，％)，，對每個正整數(shù)“，點(diǎn)4位于函數(shù)y=7(x20)

的圖象上，以點(diǎn)匕為圓心的匕與X軸都相切，且匕與匕+1彼此外切.若不=1,且

%+i<%("eN*),7；=七七+1，｛￡,｝的前“項(xiàng)之和為S“,則%=()

1921

1011

C.—D.—

2123

9.某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出S的值是()

910

A.—B.—

1011

111

C.—D.—

1211

10.在中國，周朝時期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世

紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和.若一個直角三角形的斜

邊長等于5,則這個直角三角形周長的最大值為()

A.10B.12

C.5A/2+5D.5用5

11.已知點(diǎn)A,3在雙曲線V—>2=4上，線段AB的中點(diǎn)貝！J|AB|=()

A.72B.2A/2

C.y/5D.2A/5

12.已知P是橢圓?+丁=1上的一點(diǎn)，耳,&是橢圓的兩個焦點(diǎn)且cos/尸耳工=￥，則的面積是()

A.726.272

1

C.—D.1

2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.有一道樓梯共10階，小王同學(xué)要登上這道樓梯，登樓梯時每步隨機(jī)選擇一步一階或一步兩階，小王同學(xué)7步登完

樓梯的概率為.

14.拋物線y=-4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

15.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難人微”.事實(shí)上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題

加以解決，如：與J(x—02+(y—加2相關(guān)的代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)4(羽y)與點(diǎn)3(區(qū)。)之間距離的幾何問題.結(jié)合

上述觀點(diǎn)，可得方程VX2+4X+8+V%2-4X+8=4A/3的解是?

16.已知點(diǎn)M(-1,1,-2),平面萬過原點(diǎn)。，且垂直于向量〃2,2),則點(diǎn)M到平面乃的距離是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知點(diǎn)4(—3,0),5(1,0),線段是圓河的直徑.

(1)求圓用的方程；

(2)過點(diǎn)(0,2)的直線/與圓加相交于E兩點(diǎn)，且|￡>￡|=2g,求直線/的方程.

18.(12分)在AA6C中，角A5c的對邊分別為"c,且耳sinC=ccosA+c-

(1)求A；

(2)若b+c=10,AABC的面積為6百，求

19.(12分)等差數(shù)列｛q｝的公差d不為0,滿足%=13嗎,。2，&成等比數(shù)列，數(shù)列｛2｝滿足

123nn

----------1-----------1FH———

log2bllog2b,log24--------log2bn2,

(1)求數(shù)列｛4｝與也｝通項(xiàng)公式：

(2)若g=anbn,求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和Sn.

20.(12分)某校在全體同學(xué)中隨機(jī)抽取了100名同學(xué)，進(jìn)行體育鍛煉時間的專項(xiàng)調(diào)查.將調(diào)查數(shù)據(jù)按平均每天鍛煉

時間的多少(單位：分鐘)分成五組：[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到如圖所示的頻率分

布直方圖.將平均每天體育鍛煉時間不少于60分鐘的同學(xué)定義為鍛煉達(dá)標(biāo)，平均每天體育鍛煉時間少于60分鐘的同

學(xué)定義為鍛煉不達(dá)標(biāo)

(1)求〃的值，并估計(jì)該校同學(xué)平均每天體育鍛煉時間的中位數(shù)；

(2)在樣本中，對平均每天體育鍛煉時間不達(dá)標(biāo)的同學(xué)，按分層抽樣的方法抽取6名同學(xué)了解不達(dá)標(biāo)的原因，再從這

6名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行調(diào)研，求這2名同學(xué)中至少有一名每天體育鍛煉時間(單位：分鐘)在[50,60)內(nèi)的概率

21.(12分)已知函數(shù)=-at-xlnx,

(1)若/(%)在[1,+8)單調(diào)遞增，求。的取值范圍；

(2)若"eN+，求證：fl+|Yl+^-Yl+^-Y+

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=xlnx.

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(e,/(e))的切線方程;

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解題分析】應(yīng)用空間向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算求左a+。、2a-6的坐標(biāo)，根據(jù)空間向量平行有左。+5=2(2。-。)，即

可求女的值.

【題目詳解】由題設(shè)，ka+b=k(\,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2),

入。+0與2a-6互相平行，

%—1=34,

k=-2

.?.左。+。=4(2。一。)且H,貝"左=24，可得.

X=-1

2=-22I

故選：A

2、B

【解題分析】由等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)計(jì)算即可.

【題目詳解】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)可得S12-S8,S8-S4,54成等差數(shù)列，

2(S8-S4)=S4+Sl2-S&,即2(6—2)=2+?！?,

得％=12.

故選：B.

3、B

【解題分析】由題意結(jié)合為，%，%成等比數(shù)列，有4)(%+8)即可得應(yīng)，進(jìn)而得到為、an,即可求S”

【題目詳解】由題意知：。2=。4-4,%=%+8,又生，。4，。8成等比數(shù)列，

a4~=(%-4)(&+8)，解之得%=8,

，%=〃4-3d=8-6=2,則?！?q+(〃一l)d=2n,

=9x(2+2x9-o,

92

故選：B

【題目點(diǎn)撥】思路點(diǎn)睛：由其中三項(xiàng)成等比數(shù)列，利用等比中項(xiàng)性質(zhì)求項(xiàng)，進(jìn)而得到等差數(shù)列的基本量

1、由am,ak,an成等比，即a/=aman；

2、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式S”="("："")的應(yīng)用.

2

4、B

【解題分析】利用空間向量運(yùn)算求得正確答案.

_1_11

【題目詳解】MN=ON-OM=OB+BN——OA=OB+-BC——OA

232

=OB+-(OC-OB)--OA=--OA+-OB+-OC=--a+-b+-c.

32233233

故選：B

5、B

【解題分析】根據(jù)題意可得直線。與平面a相交或在平面內(nèi)，結(jié)合線面的位置關(guān)系依次判斷選項(xiàng)即可.

【題目詳解】若直線a不平行與平面則直線a與平面a相交或在平面內(nèi).

A：a內(nèi)的所有直線均與直線a異面錯誤，也可能相交，故A錯誤；

B：直線。與平面a相交或直線。在平面a內(nèi)都有公共點(diǎn)，故B正確；

C：平面a內(nèi)不存在與a平行的直線，錯誤，

當(dāng)直線a在平面a內(nèi)就存在與a平行的直線，故C錯誤；

D：平面a內(nèi)的直線均與a相交，錯誤，也可能異面，故D錯誤.

故選:B

6、B

【解題分析】由等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)即可求得答案.

【題目詳解】由題意，g%+。3。6=4=>2a4%=4=>%%=2，所以qa2a3a7a8=(a4a5?=16.

故選：B.

7、C

【解題分析】化簡復(fù)數(shù)z=-1-i,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

【題目詳解】由題意，復(fù)數(shù)Z=i3(l—i)=—i(l—i)=—1—i,

所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)為Z(-1,-1)位于第三象限.

故選：C.

8、C

【解題分析】根據(jù)兩圓的幾何關(guān)系及其圓心在函數(shù)y=f(xNO)的圖象上，即可得到遞推關(guān)系式％-七+1=2x“x.+i，

通過構(gòu)造等差數(shù)列求得招的通項(xiàng)公式，得出-------,最后利用裂項(xiàng)相消，求出數(shù)列｛(,｝前〃項(xiàng)和S“，即

2〃一12〃+1

可求出小.

詳解】由匕與2M彼此外切，

則,(％—Z+if+(%—%+1『=%+%+1,

(九"-九〃+1y+(%一%+1『=(%+%+1『'

(七一無”+1)2=(%+%+j2—(%-yn+S=4%%+1=4%/+i，

又；％+1<Xn'

c11c11,

/.xn-xn+1—2xnxn+l=>=2,故<一>為等差數(shù)列且一=1,d=2,

x.+i%[xn]占

貝」=1+2(〃-1)=2"-1nx”=——,

2Tl—1

7_11_______

“一x,,x“+i—2/7-12^+12(2“-12/1+1J

,0(1111

貝！]S?=-\1——+----+???+

"2(3352n—l

故答案選：C.

9、B

【解題分析】模擬程序運(yùn)行后，可得到輸出結(jié)果，利用裂項(xiàng)相消法即可求出答案.

【題目詳解】模擬程序運(yùn)行過程如下：

0)左=1,S=。，判斷為否，進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu)，

1)5=0+±=；/=2，判斷為否，進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu)，

2)S=-+-^—,k=3，判斷為否，進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu)，

22x3

3)5=-+——+——，攵=4，判斷為否，進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu),

22x33x4

+——次=10,判斷為否，進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu),

9x10

故輸出S=G+=+

22x3

故選:B.

【題目點(diǎn)撥】本題主要考查程序框圖，考查裂項(xiàng)相消法，難度不大.一般遇見程序框圖求輸出結(jié)果時，常模擬程序運(yùn)行以得

到結(jié)論.

【解題分析】設(shè)直角三角形的兩條直角邊邊長分別為則。2+〃=25,根據(jù)基本不等式求出的最大值后,

可得三角形周長的最大值.

【題目詳解】設(shè)直角三角形的兩條直角邊邊長分別為則/+/=25.

因?yàn)?a+b)2=25+2"W25+2X("+")，

所以(a+b)2V50,所以5<a+AV5后,

當(dāng)且僅當(dāng)a=6=逆時，等號成立.

2

故這個直角三角形周長的最大值為50+5.

故選：C

11、D

【解題分析】先根據(jù)中點(diǎn)弦定理求出直線A3的斜率，然后求出直線AB的方程，聯(lián)立后利用弦長公式求解A3的長.

X=4

【題目詳解】設(shè)4(%,另)，3(%,%)，則可得方程組：＜；，兩式相減得:

(%+%)(%—%)=(%+%)(%—%)，即中管,土?=1，其中因?yàn)锳3的中點(diǎn)為“(3,1),故號號=］

故上三=3,即直線AB的斜率為3,故直線AB的方程為：y-l=3(x-3),聯(lián)立［［一］—3),解得：

x--y-=4

X

2%2_12+17=0，由韋達(dá)定理得：X1+X2=6,X1X2=—,則AB=4+7J(/+々—4管々=2布

故選：D

12、A

【解題分析】設(shè)伊耳|=叫桃|=〃，先求出加、"，再利用面積公式即可求解.

m+n=4

m=l

【題目詳解】在△以隹中，設(shè)歸耳|=加,歸閶=〃，貝人2,解得：，

m2+^2^/3j-2mxn=3

因?yàn)閏os/P耳工=,所以sin/P4&=

所以△耳尸鳥的面積是gxp用x閨用xsinNPEB=；xlx2百義-^=yfl.

故選：A

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、生

89

【解題分析】由題意可分為5步、6步、7步、8步、9步、10步共6種情況，分別求出每種的基本事件數(shù)，再利用古

典概型的概率公式計(jì)算可得；

【題目詳解】解：由題意可分為5步、6步、7步、8步、9步、10步共6種情況，

①5步：即5步兩階，有仁=1種；

②6步：即4步兩階與2步一階，有第=15種；

③7步：即3步兩階與4步一階，有C；=35種；

④8步：即2步兩階與6步一階，有C；=28種；

⑤9步：即1步兩階與8步一階，有C；=9種；

⑥10步：即10步一階，有C：；=l種；

綜上可得一共有89種情況，滿足7步登完樓梯的有35種；

故7步登完樓梯的概率為3匚5

故答案為：—

14、F0,——

I16J

【解題分析】化成拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.

【題目詳解】由題意知，/=-，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸］。，-。

故答案為：0,-^|

15、x=+A/6

【解題分析】根據(jù)題意，列方程計(jì)算即可

【題目詳解】因?yàn)?+4%+8+VX2-4X+8=4百，所以7（^+2）2+22+7（%-2）2+22=4百，可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)（羽2）

22

到點(diǎn)（-2,0）和點(diǎn)（2,0）的距離之和為，所以點(diǎn)（羽2）在橢圓工+工=1上,則土V+土2=1,解得X=±&P-.

128128

故答案為：x=±V6

UUUI

MOn

【解題分析】確定MO，MO-n^利用點(diǎn)〃到平面%的距離為d二十,即可求得結(jié)論.

n

【題目詳解】由題意，MO=(1,—1,2)，〃=(1,一2,2),.?.MO.〃=l+2+4=7

uuirr

設(shè)MO與〃的夾角為a，則"cosa

UUU1

MOn7

所以點(diǎn)”到平面冗的距離為d=

■93

,7

故答案為：—

3

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）（x+l）2+y2=4；

（2）x=0或3x-4y+8=0.

【解題分析】（DAB兩點(diǎn)的中點(diǎn)為圓心，AB兩點(diǎn)距離的一半為半徑;

⑵分斜率存在和不存在，根據(jù)垂徑定理即可求解.

【小問1詳解】

已知點(diǎn)A(—3,0),3(1,0),線段AB是圓M的直徑，

則圓心M坐標(biāo)為(―L0),.?.半徑忸M=2,.?.圓M的方程為(x+l)2+y2=4；

【小問2詳解】

由(1)可知圓M的圓心M(T,0),半徑為2.

設(shè)N為OE中點(diǎn)，則腦V，/,\DN\=\EN\=--2yf3=yf3,

2

貝U|MV|=]=1.

當(dāng)/的斜率不存在時，/的方程為x=0,此時|MN|=1,符合題意；

當(dāng)/的斜率存在時，設(shè)/的方程為丫=去+2,即h一y+2=0,

\-k+2\,3

則/,=1,解得左=:，

3

故直線/的方程為y=^x+2,即3x—4y+8=0.

-4

綜上，直線/的方程為x=0或3x-4y+8=0.

18、(1)—；(2)277.

3

【解題分析】(1)由正弦定理得到由5111715111。=5111。8524+5111。，兩邊消去公因式得到J3sinA=cosA+1，化一即

可求得角A；(2)因?yàn)長bcsinA=@A=66,所以歷=24,再結(jié)合余弦定理得到結(jié)果.

24

【題目詳解】(1)由J“sinC=ccosA+c,

得\/3sinAsinC=sinCcosA+sinC9

因?yàn)閟inCwO,所以gsinA=cosA+l，

整理得：sin^A-|^=1,因Ae(。㈤，所以A=(.

(2)因?yàn)楣?1171='^^=66'，所以。c=24,

24

2

因?yàn)閍?=〃2+。2_2bccosA=(Z?+c)-3bcRb+c=lQ9

所以4=28，即〃=2?.

【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用以及三角形面積公式，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問題時，

正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù).解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更

方便、簡捷一般來說，當(dāng)條件中同時出現(xiàn)出?及〃、/時，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉

出現(xiàn)時，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.

19、(1)an=3n-2,b”=4"

(2)S?=(n-l)x4n+1+4

【解題分析】(1)根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到方程求出公差d,即可求出｛4｝的通項(xiàng)公式，由

123nn

--r+i―r+i―r++i一?=彳，當(dāng)”=1時，求出白，當(dāng)時

log2bxlog2b,log2b3log2bn2

123n-1n-1

；—一r—r++i―「=—r，兩式作差，即可求出色；

logo偽log2b2log2b3log2bn_x2

(2)由(1)可得c“=(3〃-2)x4",利用錯位相減法求和即可；

【小問1詳解】

解：由已知。；=?；帧?=13,所以(%—3d)2=(%—4d)(%+4)

故(13-3d>=(13-4d)(13+d)

解得d=0(舍去)或2=3

:.an=a3+(n-3)d=3n-2

123nn

-------------1---------------1---------------FH-------------二一①

log2Klog2b2log2b3log2d2

11,,c

故當(dāng)”=1時，可知^—-=-^log^i=2,；.a=4,

log2偽22

123n-ln-1

當(dāng)時，可知—+-.~+-一/++-.―L=②

brr

log2ilog?dlog2b3log2bn_x2

n117c

①一②得'----r=klog?b=2n

國1耳2n

??""=4"又白也滿足a=4",故當(dāng)〃eN*時，都有2=4"；

【小問2詳解】

解：由(1)知g=anbn=(3〃-2)x4",

故S“=1x4】+4x42+...+(3n-5)x4"-1+(3n-2)x4"(3),

4S“=1x4?+...+(3〃-5)x4"+(3〃-2)x4"+1④，

由③-④得-3S“=4+3(42+43+...+4")-(3〃-2)X4"M

-42(1—4")

=4+3x—------—(3〃—2)x4"+i

1-4

整理得S“=(〃-l)x4"+i+4.

4

20、(1)a=0.05,中位數(shù)為64；(2)y.

【解題分析】(1)由頻率和為1求參數(shù)a,根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合頻率直方圖求中位數(shù).

(2)首先由分層抽樣求6名同學(xué)的分布情況，再應(yīng)用列舉法求概率.

【題目詳解】(1)由題設(shè)，(0.005+0.010+0.015+0.020+0x10=1,可得。=0.05,

二中位數(shù)應(yīng)在［60,70）之間，令中位數(shù)為x,貝!!0.05x（70—x）+0.02義10=0.5,解得光=64.

.?.該校同學(xué)平均每天體育鍛煉時間的中位數(shù)為64.

（2）由題設(shè)，抽取6名同學(xué)中1名在［30,40）,2名在［40,50）,3名在［50,60）,

若1名在［30,40）為4,2名在［40,50）為4,2，3名在［50,60）為￡,。2，。3，

,隨機(jī)抽取2名的可能情況有

其中至少有一名在［50,60）內(nèi)的4￡，4。2,4。3，4。］，片。2，4。3,B2CpJB2C2,B2C3,C。2