2020-2021學(xué)年上海市青浦區(qū)高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

20202021學(xué)年上海市青浦區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題（共12小題）.1．已知復(fù)數(shù)z＝，其中i為虛數(shù)單位，則|z|＝．2．拋物線x2＝﹣y的焦點到準(zhǔn)線的距離是．3．雙曲線﹣＝1的漸近線方程是．4．在（2x+）6的二項展開式中，常數(shù)項為．5．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為2的正方形，PA⊥底面ABCD，且，則該四棱錐P﹣ABCD的體積為．6．已知兩條直線l1：ax﹣2y﹣3＝0，l2：4x+6y﹣3＝0，若l1的一個法向量恰為l2的一個方向向量，則a＝．7．已知拋物線y2＝8x的焦點（a＞0）的右焦點重合，則a＝．8．現(xiàn)有《詩經(jīng)》、《尚書》、《禮記》、《周易》、《春秋》各一本，分給甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)，每人一本，若甲乙都沒有拿到《詩經(jīng)》，且乙也沒拿到《春秋》，則所有可能的分配方案有種．9．甲乙兩人分別擲兩顆骰子與一顆骰子，設(shè)甲的兩顆骰子的點數(shù)分別為a與b，乙的骰子點數(shù)為c．則擲出的點數(shù)滿足a?b＝c的概率為.（用最簡分?jǐn)?shù)表示）10．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”日“置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑．”意思是：球的體積V乘以16，除以9，再開立方，即為球的直徑d，由此我們可以推測當(dāng)時圓周率的近似值大小為．11．設(shè)z1，z2，z3為復(fù)數(shù)，給出下列四個命題：①若|z1|＝|z2|，則z1＝±z2；②若z1z3＝z2z3，則z1＝z2；③若，則|z1z3|＝|z2z3|；④若，則z1＝z3．其中真命題的序號是．12．已知點P（0，2），圓O：x2+y2＝16上兩點M（x1，y1），N（x2，y2）滿足，則|3x1+4y1+25|+|3x2+4y2+25|的最小值為．二、選擇題13．若（3+i）（2+xi）＝y(tǒng)，其中x，y∈R，則復(fù)數(shù)x+yi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）A． B． C． D．15．已知直線l1：xsinα+y＝0與直線l2：3x+y+c＝0，則下列結(jié)論中正確的是（）A．直線l1與直線l2可能重合 B．直線l1與直線l2可能垂直 C．直線l1與直線l2可能平行 D．存在直線l1上一點P，直線l1繞點P旋轉(zhuǎn)后可與直線l2重合16．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別是棱AB、BC的中點，過點D1，E，F(xiàn)的截面將正方體分割成兩個部分，記這兩個部分的體積分別為V1，V2，記V1＜V2，則V1：V2＝（）A． B． C． D．三、解答題17．已知z1，z2是實系數(shù)一元二次方程的兩個虛數(shù)根，且z1，z2滿足方程2z1+（1﹣i）z2＝3+5i．（1）求z1和z2；（2）寫出一個以z1和z2為根的實系數(shù)一元二次方程．18．如圖，圓錐的底面圓心為O，直徑為AB，C為半圓弧的中點，E為劣弧的中點，且AB＝2PO＝2．（1）求異面直線PC與OE所成的角的大小；（2）求二面角P﹣AC﹣E的大小．19．如圖，某市在城市東西方向主干道邊有兩個景點A，B，它們距離城市中心O的距離均為，C是正北方向主干道邊上的一個景點，且距離城市中心O的距離為4km，為改善市民出行，準(zhǔn)備規(guī)劃道路建設(shè)，規(guī)劃中的道路M﹣N﹣P如圖所示，道路MN段上的任意一點到景點A的距離比到景點B的距離都多16km，其中道路起點M到東西方向主干道的距離為6km，線路NP段上的任意一點到O的距離都相等，以O(shè)為原點、線段AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy．（1）求道路M﹣N﹣P的曲線方程；（2）現(xiàn)要在M﹣N_P上建一站點Q，使得Q到景點C的距離最近，問如何設(shè)置站點Q的位置（即確定點Q的坐標(biāo)）？20．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點坐標(biāo)為F．（1）若直線x＝2被拋物線C截得的弦長為4，求拋物線C的方程；（2）設(shè)E為點F關(guān)于原點O的對稱點，P為拋物線上任意一點，求的取值范圍：（3）過焦點F作直線交拋物線于A、B兩點，滿足，過A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足記為A，準(zhǔn)線交x軸于C點，若，求p的值．21．如圖，已知橢圓Γ：的長軸長為4，焦距為，矩形ABCD的頂點A，B在x軸上，C、D在橢圓Γ上，點D在第一象限，CB的延長線交橢圓Γ于點E，直線AE與橢圓Γ、y軸分別交于點F、G，直線CG交橢圓于點H，聯(lián)結(jié)FH．（1）求橢圓Γ的方程；（2）設(shè)直線AB、CG的斜率分別為k1，k2，求證：為定值；（3）求直線FH的斜率k的最小值．參考答案一、填空題1．已知復(fù)數(shù)z＝，其中i為虛數(shù)單位，則|z|＝．解：∵z＝＝，∴|z|＝．故答案為：．2．拋物線x2＝﹣y的焦點到準(zhǔn)線的距離是．解：拋物線的焦點為（0，﹣），準(zhǔn)線方程為y＝，所以拋物線x2＝﹣y的焦點到準(zhǔn)線的距離﹣（﹣）＝，故答案為：．3．雙曲線﹣＝1的漸近線方程是y＝±x．解：∵雙曲線方程為﹣＝1的，則漸近線方程為線﹣＝0，即y＝±，故答案為y＝±．4．在（2x+）6的二項展開式中，常數(shù)項為60．解：∵（2x+）6的二項展開式的通項公式為Tr+1＝?26﹣r?，令6﹣＝0，求得r＝4，可得展開式的常數(shù)項為?22＝60，故答案為：60．5．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為2的正方形，PA⊥底面ABCD，且，則該四棱錐P﹣ABCD的體積為．解：因為PA⊥底面ABCD，且，所以四棱錐P﹣ABCD的體積為：V四棱錐P﹣ABCD＝?S正方形ABCD?PA＝×22×2＝．故答案為：．6．已知兩條直線l1：ax﹣2y﹣3＝0，l2：4x+6y﹣3＝0，若l1的一個法向量恰為l2的一個方向向量，則a＝3．解：兩條直線l1：ax﹣2y﹣3＝0，l2：4x+6y﹣3＝0，∵l1的一個法向量恰為l2的一個方向向量，∴l(xiāng)1⊥l2，∴a×4﹣2×6＝0，解得a＝3．故答案為：3．7．已知拋物線y2＝8x的焦點（a＞0）的右焦點重合，則a＝．解：拋物線的焦點坐標(biāo)為（2，0），因為拋物線y2＝8x的焦點（a＞0）的右焦點重合，所以c＝2，所以a2＝b2+c2＝1+4＝5，所以a＝，故答案為：．8．現(xiàn)有《詩經(jīng)》、《尚書》、《禮記》、《周易》、《春秋》各一本，分給甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)，每人一本，若甲乙都沒有拿到《詩經(jīng)》，且乙也沒拿到《春秋》，則所有可能的分配方案有54種．解：根據(jù)題意，分2種情況討論：①，甲選擇了《春秋》，乙有3種選法，將剩下的三本書全排列，對應(yīng)丙、丁、戊3人，有A33＝6種情況，則此時有3×6＝18種分法；②，甲沒有選擇《春秋》，則甲的選法有3種，乙的選法有2種，將剩下的三本書全排列，對應(yīng)丙、丁、戊3人，有A33＝6種情況，則此時有3×2×6＝36種分法；則一共有18+36＝54種選法；故答案為：54．9．甲乙兩人分別擲兩顆骰子與一顆骰子，設(shè)甲的兩顆骰子的點數(shù)分別為a與b，乙的骰子點數(shù)為c．則擲出的點數(shù)滿足a?b＝c的概率為.（用最簡分?jǐn)?shù)表示）解：甲乙兩人分別擲兩顆骰子與一顆骰子，基本事件的個數(shù)為6×6×6＝216，滿足a?b＝c的基本事件有：1×1＝1，1×2＝2，1×3＝3，1×4＝4，1×5＝5，1×6＝6，2×1＝2，3×1＝3，4×1＝4，5×1＝5，6×1＝6，2×2＝4，2×3＝6，3×2＝6，共有14個，所以擲出的點數(shù)滿足a?b＝c的概率為．故答案為：．10．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”日“置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑．”意思是：球的體積V乘以16，除以9，再開立方，即為球的直徑d，由此我們可以推測當(dāng)時圓周率的近似值大小為．解：根據(jù)題意：d＝，?V＝，由于球的體積公式V＝＝＝，∴，∴．故答案為：．11．設(shè)z1，z2，z3為復(fù)數(shù)，給出下列四個命題：①若|z1|＝|z2|，則z1＝±z2；②若z1z3＝z2z3，則z1＝z2；③若，則|z1z3|＝|z2z3|；④若，則z1＝z3．其中真命題的序號是③．解：當(dāng)z1＝1，z2＝i時，|z1|＝|z2|＝1，但z1≠±z2，故①錯誤，當(dāng)z3＝0時，z1z3＝z2z3，但z1并不一定等于z2，故②錯誤，設(shè)z1＝a+bi，∵，∴z2＝a﹣bi，∴，∴|z1||z3|＝|z2||z3|，即|z1z3|＝|z2z3|，故③正確，當(dāng)z1＝i，z3＝﹣i時，＝1，但z1≠z3，故④錯誤．故答案為：③．12．已知點P（0，2），圓O：x2+y2＝16上兩點M（x1，y1），N（x2，y2）滿足，則|3x1+4y1+25|+|3x2+4y2+25|的最小值為48．解：∵，∴P，M，N共線，又∵圓O：x2+y2＝16過兩點M（x1，y1），N（x2，y2），∴M，N是過點P（0，2）的直線與圓x2+y2＝16的兩交點，設(shè)M，N的中點為（x0，y0），2x0＝x1+x2，2y0＝y(tǒng)1+y2，則的幾何含義為M，N兩點到直線3x+4y+25＝0的距離和，則＝，又∵M(jìn)，N是過點P（0，2）的直線與圓x2+y2＝16的兩交點，∴，兩式作差可得，，又由兩點之間的斜率公式可得，，∴，化簡可得，則MN的中點軌跡為以（0，1）為圓心，以1為半徑的圓，則（x0，y0）到直線3x+4y+25＝0的距離的最小值為，∴|3x1+4y1+25|+|3x2+4y2+25|＝＝5×＝48．故答案為：48．二、選擇題13．若（3+i）（2+xi）＝y(tǒng)，其中x，y∈R，則復(fù)數(shù)x+yi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：因為（3+i）（2+xi）＝y(tǒng)，所以6﹣x+（3x+2）i＝y(tǒng)，故，解得，所以復(fù)數(shù)x+yi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第二象限．故選：B．14．將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）A． B． C． D．解：4個1和2個0隨機(jī)排成一行，共有種，2個0不相鄰，先將4個1全排列，再用插空法將2個0放入共有種，故2個0不相鄰的概率為．故選：C．15．已知直線l1：xsinα+y＝0與直線l2：3x+y+c＝0，則下列結(jié)論中正確的是（）A．直線l1與直線l2可能重合 B．直線l1與直線l2可能垂直 C．直線l1與直線l2可能平行 D．存在直線l1上一點P，直線l1繞點P旋轉(zhuǎn)后可與直線l2重合解：∵直線l1：xsinα+y＝0的斜率為k1＝﹣sinα，直線l2：3x+y+c＝0的斜率k2＝﹣3，∵﹣1≤sinα≤1，∴k1，k2不可能相等，∴直線l1與直線l2不可能重合，也不可能平行，故A，C，D均錯誤；當(dāng)sinα＝﹣時，k1k2＝﹣1，l1⊥l2，∴直線l1與直線l2可能垂直，故B正確．故選：B．16．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別是棱AB、BC的中點，過點D1，E，F(xiàn)的截面將正方體分割成兩個部分，記這兩個部分的體積分別為V1，V2，記V1＜V2，則V1：V2＝（）A． B． C． D．解：延長EF，交DC的延長線與點P，連接D1P，交CC1于點G，連接FG；延長FE，交DA的延長線與點O，連接D1O，交AA1于點H，連接HE；所以過點D，E，F(xiàn)的截面為D1HEFG，如圖所示：設(shè)正方體的棱長為2a，則過點D1、E、F的截面下方幾何體的體積為：V1＝?OD﹣2?S△AEH?OA＝??3a?2a?3a﹣2???a??a＝a3，所以另一部分幾何體的體積為V2＝8a3﹣a3＝a3，所以V1：V2＝，故選：C．三、解答題17．已知z1，z2是實系數(shù)一元二次方程的兩個虛數(shù)根，且z1，z2滿足方程2z1+（1﹣i）z2＝3+5i．（1）求z1和z2；（2）寫出一個以z1和z2為根的實系數(shù)一元二次方程．解：（1）根據(jù)題意，設(shè)z1＝a+bi，z2＝a﹣bi，代入2z1+（1﹣i）z2＝3+5i中，得2a+2bi+（1﹣i）（a﹣bi）＝3+5i，整理得3a﹣b+（b﹣a）i＝3+5i，∴，解得，∴z1＝4+9i，z2＝4﹣9i；（2）∵z1+z2＝4+9i+4﹣9i＝8；z1?z2＝（4+9i）（4﹣9i）＝97，∴以z1和z2為根的實系數(shù)一元二次方程為x2﹣8x+97＝0．18．如圖，圓錐的底面圓心為O，直徑為AB，C為半圓弧的中點，E為劣弧的中點，且AB＝2PO＝2．（1）求異面直線PC與OE所成的角的大??；（2）求二面角P﹣AC﹣E的大?。猓海?）證明：方法（1）∵PO是圓錐的高，∴PO⊥底面圓O，根據(jù)中點條件可以證明OE∥AC，得∠PCA或其補(bǔ)角是異面直線PC與OE所成的角；所以（1分）異面直線PC與OE所成的角是（1分）（1）方法（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，，E（1，1，0）∴，，，設(shè)與夾角θ，異面直線PC與OE所成的角．（2）、方法（1）、設(shè)平面APC的法向量，∴，平面ACE的法向量，（1分）設(shè)兩平面的夾角α，則，所以二面角P﹣AC﹣E的大小是arccos．方法（2）、取AC中點為D，連接PD，OD，又圓錐母線PA＝AC，∴PD⊥AC，∵底面圓O上OA＝OC∴OD⊥AC，又E為劣弧CB的中點，即有E∈底面圓O，∴二面角P﹣AC﹣E的平面角即為∠PDO，∵C為半圓弧AB的中點，∴∠AOC＝90°又直徑，∴，∵PO⊥底面圓O且OD?底面圓O，∴PO⊥OD，又∴△Rt△PDO中，，∴所以二面角P﹣AC﹣E的大小是arccos．19．如圖，某市在城市東西方向主干道邊有兩個景點A，B，它們距離城市中心O的距離均為，C是正北方向主干道邊上的一個景點，且距離城市中心O的距離為4km，為改善市民出行，準(zhǔn)備規(guī)劃道路建設(shè)，規(guī)劃中的道路M﹣N﹣P如圖所示，道路MN段上的任意一點到景點A的距離比到景點B的距離都多16km，其中道路起點M到東西方向主干道的距離為6km，線路NP段上的任意一點到O的距離都相等，以O(shè)為原點、線段AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy．（1）求道路M﹣N﹣P的曲線方程；（2）現(xiàn)要在M﹣N_P上建一站點Q，使得Q到景點C的距離最近，問如何設(shè)置站點Q的位置（即確定點Q的坐標(biāo)）？【解答】（1）根據(jù)題意，線路MN段上的任意一點到景點A的距離比到景點B的距離都多16km，則線路MN所在的曲線是以定點A，B為左右焦點的雙曲線的右上支上，其方程為x2﹣y2＝64（8?x?10，0?y?6），又由線路NP段上的任意一點到O的距離都相等，則線路NP所在的曲線為以O(shè)為圓心，ON為半徑的圓，其方程為x2+y2＝64，（8?x?10），故道路M﹣N﹣P的曲線方程為MN段：x2﹣y2＝64，（8?x?10，0?y?6）；NP段，x2+y2＝64，（8?x?10）．（2）當(dāng)Q在線路MN上，設(shè)Q（x0，y0），又由C（0，4），則，由（1）可得：x2﹣y2＝64，則，分析可得，當(dāng)y0＝2時，|CQ|有最小值，且，當(dāng)Q在線路NP上時，設(shè)Q（x0，y0），又由C（0，4），則，又由（1）：x2+y2＝64，（8?x?10），此時，當(dāng)y0＝0時，|CQ|有最小值，且，又由，即|CQ|的最小值為，此時y0＝2，則；則Q的坐標(biāo)為，此時Q到C的距離最小．20．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點坐標(biāo)為F．（1）若直線x＝2被拋物線C截得的弦長為4，求拋物線C的方程；（2）設(shè)E為點F關(guān)于原點O的對稱點，P為拋物線上任意一點，求的取值范圍：（3）過焦點F作直線交拋物線于A、B兩點，滿足，過A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足記為A，準(zhǔn)線交x軸于C點，若，求p的值．解：（1）聯(lián)立x＝2與y2＝2px，解得y＝±2，所以弦長為2﹣（﹣2）＝4＝4，解得p＝1，所以拋物線的方程為y2＝2x．（2）由于點E是點F（，0）關(guān)于原點O的對稱點，則點E（﹣，0），設(shè)點P（x0，y0），則y02＝2px0，所以＝＝＝＝≥1，當(dāng)x0＝0時，＝1，當(dāng)x0＞0時，＝