高考文數(shù)一輪復(fù)習(xí)課件第四章三角函數(shù)解三角形第八節(jié)解三角形

第八節(jié)解三角形總綱目錄教材研讀2.實際問題中的常用角考點突破3.解關(guān)于解三角形的應(yīng)用題的一般步驟考點二測量高度問題考點一測量距離問題考點三測量角度問題

1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型:測量距離、高度、角度

問題,計算面積問題等.教材研讀2.實際問題中的常用角(1)仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在

水平線①上方

的角叫仰角,目標(biāo)視線在水平線②下方

的角叫俯

角(如圖甲).

(2)方向角一般指相對于正北或正南方向的水平銳角,如南偏東30°,北偏西45°等.(3)方位角從③正北

方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角,如點B的

方位角為α(如圖乙).(4)坡角:坡面與水平面所成的銳二面角.(附:坡度(坡比):坡面的鉛直高度與水平寬度之比)3.解關(guān)于解三角形的應(yīng)用題的一般步驟(1)理解題意,弄清問題的實際背景,明確已知與未知,理清量與量之間的

關(guān)系;(2)根據(jù)題意畫出示意圖,將實際問題抽象成解三角形問題;(3)根據(jù)題意選用正弦定理或余弦定理進(jìn)行求解;(4)將所得結(jié)論還原到實際問題,注意實際問題中有關(guān)單位、近似計算

等的要求.

1.如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔

A在觀察站C的北偏東20°的方向上,燈塔B在觀察站C的南偏東40°的方

向上,則燈塔A與燈塔B的距離為

()

A.akmB.

akmC.

akmD.2akmB答案

B在△ABC中,∠ACB=180°-(20°+40°)=120°,∵AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos120°=a2+a2-2a2×

=3a2,∴AB=

a(km),故選B.2.(2015北京東城期末)如圖所示,為了測量湖泊兩側(cè)A,B間的距離,某同

學(xué)首先選定了與A,B不共線的一點C,然后給出了四種測量方案:(△ABC

的角A,B,C所對的邊分別為a,b,c)

①測量A,C,b;②測量a,b,C;③測量A,B,a;④測量a,b,B.則一定能確定A,B間距離的所有方案的序號為

()A.①②③

B.②③④C.①③④

D.①②③④2.(2015北京東城期末)如圖所示,為了測量湖泊兩側(cè)A,B間的距離,某同

學(xué)首先選定了與A,B不共線的一點C,然后給出了四種測量方案:(△ABC

的角A,B,C所對的邊分別為a,b,c)

①測量A,C,b;②測量a,b,C;③測量A,B,a;④測量a,b,B.則一定能確定A,B間距離的所有方案的序號為

()A.①②③

B.②③④C.①③④

D.①②③④答案

A對于①③,由正弦定理可確定A,B間的距離;對于②,由余弦定

理可確定A,B間的距離;對于④,不能確定A,B間的距離,故選A.A3.如圖所示,D,C,B三點在地面的同一直線上,DC=a,從C,D兩點測得A點

的仰角分別為60°,30°,則A點離地面的高度AB等于

()

A.

B.

C.

a

D.

答案

B因為∠D=30°,∠ACB=60°,所以∠CAD=30°,故CA=CD=a,所以AB=asin60°=

.B4.一船自西向東勻速航行,上午10時到達(dá)燈塔P的南偏西75°,距燈塔68海

里的M處,下午2時到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處,則此船航行的速度

為

海里/小時.答案

解析如圖,由題意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°.

在△PMN中,

=

,∴MN=68×

=34

海里.又由M到N所用的時間為14-10=4小時,∴此船的航行速度v=

=

海里/小時.5.江岸邊有一炮臺高30m,江中有兩條船,船與炮臺底部在同一水平面

上,在炮臺頂部測得兩條船的俯角分別為45°和60°,而且兩條船與炮臺

底部所連的線成30°角,則兩條船相距

m.5.江岸邊有一炮臺高30m,江中有兩條船,船與炮臺底部在同一水平面

上,在炮臺頂部測得兩條船的俯角分別為45°和60°,而且兩條船與炮臺

底部所連的線成30°角,則兩條船相距

m.答案10

10

解析由題意畫示意圖,如圖,

OM=AOtan45°=30(m),ON=AOtan30°=

×30=10

(m),在△MON中,由余弦定理得,MN=

=

=10

(m).典例1(1)如圖,從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為

75°,30°,此時氣球的高是60m,則河流的寬度BC等于

()

A.240(

-1)mB.180(

-1)mC.120(

-1)mD.30(

+1)m考點一測量距離問題考點突破(2)如圖,某觀測站C在城A的南偏西20°的方向上,從城A出發(fā)有一條走向為南偏東40°的公路,在C處觀測到距離C處31km的公路上的B處有一輛

汽車正沿公路向A城駛?cè)?行駛了20km后到達(dá)D處,測得C,D兩處的距離

為21km,這時此車距離A城

千米.

答案(1)C(2)15解析(1)如圖,∠ACD=30°,∠ABD=75°,AD=60m,在Rt△ACD中,CD=

=

=60

m,在Rt△ABD中,BD=

=

=

=60(2-

)m,∴BC=CD-BD=60

-60(2-

)=120(

-1)m.

(2)在△BCD中,BC=31km,BD=20km,CD=21km,由余弦定理得cos∠BDC=

=

=-

,所以cos∠ADC=

,所以sin∠ADC=

.在△ACD中,CD=21km,∠CAD=60°,所以sin∠ACD=sin(60°+∠ADC)=

×

+

×

=

.由正弦定理得

=

,所以AD=

×

=15km.方法技巧求解距離問題的一般步驟(1)畫出示意圖,將實際問題轉(zhuǎn)化成三角形問題;(2)明確所求的距離在哪個三角形中,有幾個已知元素;(3)使用正弦定理、余弦定理解三角形(對于解答題,應(yīng)作答).1-1設(shè)A,B兩點在河的兩岸,一測量者在A的同側(cè)選定一點C,測出AC的

距離為50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,則可以計算出A,B兩點間的距離

為

()

A.50

mB.50

mC.25

mD.

mA答案

A由題意,易得B=30°.由正弦定理,得

=

,∴AB=

=

=50

(m).典例2

(2015湖北,15,5分)如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西

行駛,到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m

后到達(dá)B處,測得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度

CD=

m.

考點二測量高度問題100答案100

解析依題意有AB=600m,∠CAB=30°,∠CBA=180°-75°=105°,∠DBC=30°,DC⊥CB.∴∠ACB=45°,在△ABC中,由

=

,得

=

,解得CB=300

m,在Rt△BCD中,CD=CB·tan30°=100

m,則此山的高度CD為100

m.易錯警示解決高度問題的注意事項(1)在解決有關(guān)高度的問題時,要理解仰角、俯角的概念.(2)在實際問題中,可能會遇到同時研究空間與平面(地面)的問題,這時

最好畫兩個圖形,一個空間圖形,一個平面圖形,這樣處理起來既清楚又

不容易搞錯.(3)一般是把高度問題轉(zhuǎn)化成三角形的問題,要注意三角形中的邊角關(guān)

系的應(yīng)用,若是空間的問題,則要注意空間圖形和平面圖形的結(jié)合.2-1在200米高的山頂上,測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°、60°,則塔高是

()A.

米

B.

米C.200

米

D.200米A答案

A如圖所示,AB為山高,CD為塔高,則由題意知,在Rt△ABC中,

∠BAC=30°,AB=200米.

則AC=

=

(米).在△ACD中,∠CAD=60°-30°=30°,∠ACD=30°,∴∠ADC=120°.由正弦定理得

=

,∴CD=

=

(米).典例3如圖,在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中,紅方一艘偵察艇(位于A處)

發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向,相距12nmile的水面B處,有藍(lán)方一艘小艇正以每

小時10nmile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn),若紅方偵察艇以每小時14n

mile的速度,沿北偏東45°+α方向攔截藍(lán)方的小艇.若要在最短的時間內(nèi)

攔截住,求紅方偵察艇所需的時間和角α的正弦值.

考點三測量角度問題解析如圖,設(shè)紅方偵察艇在C處攔截住藍(lán)方的小艇,且經(jīng)過的時間為x

小時,

則AC=14x(nmile),BC=10x(nmile),∠ABC=120°.根據(jù)余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos120°,解得x=2(負(fù)值舍去).故AC=28nmile,BC=20nmile.根據(jù)正弦定理得

=

,解得sinα=

=

.所以,要使紅方偵察艇在最短的時間內(nèi)攔截住藍(lán)方小艇,則所需要的時

間為2小時,角α的正弦值為

.易錯警示解決測量角度問題的注意事項(1)明確方向角的含義;(2)分析題意,分清已知與所求,再根據(jù)題意正確畫出示意圖,這是最關(guān)

鍵、最重要的一步;(3)將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后,注意正、余弦定理

的綜合運(yùn)用.3-1如圖所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向,相距40海里的

B處有一艘漁船遇險,在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南

偏西30°,相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線前往

B處救援,求cosθ的值.

解析在△