專題06 幾何初步（講義）（原卷版）

專題06幾何初步核心知識點精講1.了解直線、射線、線段的概念和性質(zhì)以及表示方法，掌握三者之間的區(qū)別和聯(lián)系，會解決與線段有關(guān)的實際問題；2.了解角的概念和表示方法，會把角進(jìn)行分類以及進(jìn)行角的度量和計算；3.掌握相交線、平行線的定義，理解所形成的各種角的特點、性質(zhì)和判定；4.了解命題的定義、結(jié)構(gòu)、表達(dá)形式和分類，會簡單的證明有關(guān)命題；5.了解三角形有關(guān)概念（內(nèi)角、外角、中線、高、角平分線），會畫出任意三角形的角平分線、中線和高,了解三角形的穩(wěn)定性.【知識網(wǎng)絡(luò)】考點1、直線、射線和線段

1．直線

代數(shù)中學(xué)習(xí)的數(shù)軸和一張紙對折后的折痕等都是直線，直線可以向兩方無限延伸.(直線的概念是一個描述性的定義，便于理解直線的意義).

要點詮釋：1）．直線的兩種表示方法：

(1)用表示直線上的任意兩點的大寫字母來表示這條直線，如直線AB，其中A、B是表示直線上兩點的字母；

(2)用一個小寫字母表示直線，如直線a.

2)．直線和點的兩種位置關(guān)系

(1)點在直線上(或說直線經(jīng)過某點)；

(2)點在直線外(或說直線不經(jīng)過某點).

3).直線的性質(zhì)：

過兩點有且只有一條直線(即兩點確定一條直線).2．射線

直線上一點和它一旁的部分叫做射線.射線只向一方無限延伸.

要點詮釋：(1)用表示射線的端點和射線上任意一點的大寫字母來表示這條射線，如射線OA，其中O是端點，A是射線上一點；

(2)用一個小寫字母表示射線，如射線a.

3.線段

直線上兩點和它們之間的部分叫做線段，兩個點叫做線段的端點.要點詮釋：

1)．線段的表示方法：

(1)用表示兩個端點的大寫字母表示，如線段AB，A、B是表示端點的字母；

(2)用一個小寫字母表示，如線段a.

2)．線段的性質(zhì)：

所有連接兩點的線中，線段最短(即兩點之間，線段最短).

3)．線段的中點：

線段上一點把線段分成相等的兩條線段，這個點叫做線段的中點.

4)．兩點的距離：

連接兩點間的線段的長度，叫做兩點的距離.

考點2、角

1．角的概念：

(1)定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，兩條射線分別叫做角的邊.

(2)定義二：一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形叫做角.射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部，射線的端點是角的頂點，射線旋轉(zhuǎn)的初始位置和終止位置分別是角的兩條邊.

要點詮釋：1）．角的表示方法：

(1)用三個大寫字母來表示，注意將頂點字母寫在中間，如∠AOB；

(2)用一個大寫字母來表示，注意頂點處只有一個角用此法，如∠A；

(3)用一個數(shù)字或希臘字母來表示，如∠1，∠.

2）．角的分類：

(1)按大小分類：

銳角----小于直角的角(0°＜＜90°);

直角----平角的一半或90°的角(=90°);

鈍角----大于直角而小于平角的角(90°＜＜180°);

(2)平角：一條射線繞著端點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置與起始位置成一條直線時，所成的角叫做平角，平角等于180°.

(3)周角：一條射線繞著端點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置又回到起始位置時，所成的角叫做周角，周角等于

360°.

(4)互為余角：如果兩個角的和是一個直角(90°)，那么這兩個角叫做互為余角.

(5)互為補角：如果兩個角的和是一個平角(180°)，那么這兩個角叫做互為補角.

3）．角的度量：

(1)度量單位：度、分、秒；

(2)角度單位間的換算：1°=60′，1′=60″(即：1度=60分，1分=60秒)；

(3)1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°.

4）．角的性質(zhì)：

同角或等角的余角相等，同角或等角的補角相等.

2．角的平分線：

如果一條射線把一個角分成兩個相等的角，那么這條射線叫做這個角的平分線.

考點3、相交線

1．對頂角

(1)定義：如果兩個角有一個公共頂點，而且一個角的兩邊分別是另一角兩邊的反向延長線，那么這兩個角叫對頂角.

(2)性質(zhì)：對頂角相等.

2．鄰補角

(1)定義：有一條公共邊，而且另一邊互為反向延長線的兩個角叫做鄰補角.

(2)性質(zhì)：鄰補角互補.

3．垂線

（1）定義：當(dāng)兩條直線相交所得的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線是互相垂直的，它們的交點叫做垂足.垂直用符號“⊥”來表示.

要點詮釋：

①過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.②連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.簡單說成：垂線段最短.

(2)點到直線的距離定義：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.

4．同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

(1)基本概念：兩條直線(如a、b)被第三條直線(如c)所截，構(gòu)成八個角，簡稱三線八角，如圖所示：∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是內(nèi)錯角；∠1和∠5、∠2和∠6是同旁內(nèi)角.

(2)特點：同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角都是由三條直線相交構(gòu)成的兩個角.兩個角的一條邊在同一直線(截線)上，另一條邊分別在兩條直線(被截線)上.

考點4、命題、定理、證明

1．命題：

(1)定義：判斷一件事情的語句叫命題.

(2)命題的結(jié)構(gòu)：題設(shè)+結(jié)論=命題；

(3)命題的表達(dá)形式：如果……那么……；若……則……；

(4)命題的分類：真命題和假命題；

(5)逆命題：原命題的題設(shè)是逆命題的結(jié)論，原命題的結(jié)論是逆命題的題設(shè).

2．公理、定理：

(1)公理：人們在長期實踐中總結(jié)出來的能作為判斷其他命題真假依據(jù)的真命題叫做公理.

(2)定理：經(jīng)過推理證實的真命題叫做定理.

3．證明：

用推理的方法證實命題正確性的過程叫做證明.

【題型1：直線、射線及線段】【典例1】如圖所示，關(guān)于線段、射線和直線的條數(shù)，下列說法正確的是()A．五條線段，三條射線B．一條直線，三條線段C．三條線段，兩條射線，一條直線D．三條線段，三條射線1．線段AB＝5㎝，BC＝2㎝，則A、C兩點間的距離為（）A．7B．3㎝C．7㎝或3㎝ D．不小于3㎝且不大于7㎝2．已知線段，在直線上取一段點，恰好使，點為線段的中點，則的長為（

）A．7或10 B．6或10 C．7 D．93．下列四種說法：①從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離；②連結(jié)兩點的連線的長度，叫做兩點間的距離；③已知線段AB＝5cm，AC＝3cm，線段BC長不可能為3cm；④若銳角的補角和銳角的余角互補，則和互余（

）A．①④ B．②③ C．①③ D．①②④【題型2：余角、補交的概念角】【典例2】一個角的度數(shù)是42°46′，則它的余角的度數(shù)為（）A．47°14′ B．47°54′ C．57°14′ D．37°54′1．把8.32°用度、分、秒表示正確的是（

）A．8°3′2″ B．8°30′2″ C．8°19′12″ D．8°19′20″2．趙師傅透過放大倍的放大鏡從正上方看的角，則通過放大鏡他看到的角等于（

）度．A． B． C． D．3．一個角等于它的補角的5倍，那么這個角的補角的余角是（

）A．30° B．60° C．45° D．150°【題型3：角的大小計算】【典例3】如圖，∠AOB＝90°，OD，OE分別是∠AOC與∠BOC的平分線，則∠DOE等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°1．如圖，一副三角板（直角頂點重合）擺放在桌面上，若，則________．2．如圖，O為直線AB上任意一點，射線OE⊥OF，∠BOC=2∠COE，且∠AOF的度數(shù)比∠COE的度數(shù)的4倍小8°，則∠EOC的度數(shù)為________．3．如圖，OM是的平分線，射線OC在內(nèi)，ON是的平分線，若，則的度數(shù)為__________．【題型4：按要求作圖】【典例4】如圖，小明上學(xué)從家里A到學(xué)校B有①、②、③三條路線可走，小明一般情況下都是走②號路線，用幾何知識解釋其道理應(yīng)是_____________．1．如圖，已知線段與、兩點，用圓規(guī)和無刻度的直尺按下列要求畫圖并計算：（1）畫直線、射線；（2）延長線段至點，使（保留作圖痕跡）；（3）若，，點為線段中點，求線段和線段的長．2．如圖，已知線段AB，按下列要求完成畫圖和計算：（1）延長線段AB到點C，使BC＝3AB（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，如果點D為線段BC的中點，且AB＝2，求線段AD的長度；（3）在以上的條件下，若點P從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點C移動，到點C時停止．設(shè)點P的運動時間為t秒，是否存在某時刻t，使得PB＝PA﹣PC？若存在，求出時間t：若不存在，請說明理由．1．若，則的余角等于__________．2．已知，，請你比較它們的大?。篲________（填“”、“”或“”）3．比較大小：_______（填“＞”、“＜”或“＝”）．4．在墻上固定一根木棒時，至少需要兩根釘子，這其中所體現(xiàn)的“基本事實”是_______．5．點C是線段AB上一點，BC=4厘米，D是AC的中點，DB=7厘米，則AB=________厘米．6．計算：72°35′÷2+18°33′×440．如圖，點在同一直線上，平分，若．(1)求的度數(shù)；(2)若平分，求的度數(shù)．1．問題提出：如圖1，A、B、C、D表示四個村莊，村民們準(zhǔn)備合打一口水井．(1)問題解決：若水井的位置現(xiàn)有P、Q兩種選擇方案．點P在線段上，點Q在線段上，哪一種方案的水井到各村莊的距離總和較??？請說明你判斷的理由．(2)你能給出一種使水井到各村莊的距離之和最小的方案嗎？若能，請圖2中標(biāo)出水井的位置點M，并說明理由．問題拓展：如果（2）問中找出的水井經(jīng)過招標(biāo)，由兩個工程隊修建（不存在同時修建）．已知甲工程隊單獨完成需要80天，乙工程隊單獨完成需要120天，且甲工程隊比乙工程隊每天多修建．(3)問水井要修建幾米？(4)若甲工程隊每天的施工費為0.5萬元，乙工程隊每天的費用是0.25萬元，為了縮短工期和節(jié)約資金，則甲工程隊最多施工幾天才能使工程款不超過35萬元？（甲、乙兩隊的施工時間不足一天按一天算）．2．【感悟體驗】如圖1，A、B、C三點在同一直線上，點D在線段的延長線上，且，請僅用一把圓規(guī)在圖中確定D點的位置．【認(rèn)識概念】在同一直線上依次有四點，且，那么稱與互為“對稱線段”，其中為的“對稱線段”，亦為的“對稱線段”．如圖2，下列情形中與互為“對稱線段”的是________（直接填序號）．①，；②，，；③，．【運用概念】如圖3，與互為“對稱線段”，點M為的中點，點N為的中點，且．（1）若，求的長；（2）在的長度可以變化的情況下，試說明與互為“對稱線段”．【拓展提升】（3）如圖4，在同一直線上依次有A、B、C、D四點，且（a為常數(shù)），點M為的中點，點N在上且．是否存在m的值使得的長為定值？若存在，請求出m的值以及這個定值（用含a的代數(shù)式表示）；若不存在，請說明理由．3．“時鐘里的數(shù)學(xué)問題”：時鐘是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｓ玫纳钣闷罚姳砩系臅r針和分針都繞其軸心旋轉(zhuǎn)，如圖1，表盤中1－12均勻分布，分針60分鐘轉(zhuǎn)動一周是，時針60分鐘移動一周的是，這樣，分針轉(zhuǎn)速為每分鐘轉(zhuǎn)6度，時針轉(zhuǎn)速為每分鐘轉(zhuǎn)度．【課題學(xué)習(xí)】三點二十分時，時針與分針?biāo)山嵌榷嗌俣?？解決這個問題，可以先考慮三點整，時針與分針?biāo)山嵌葹?；從三點到三點二十分，我們可以先計算分針轉(zhuǎn)動的角度，，時針轉(zhuǎn)動的角度，，，三點二十分時，時針與分針?biāo)山嵌仁牵締栴}解決】(1)三點三十分時，時針與分針?biāo)山嵌仁莀_____，三點四十分時，時針與分針?biāo)山嵌仁莀_____；(2)如圖2，十二點鐘時，時針與分針重合，在十二點鐘到十三點鐘之間，小明發(fā)現(xiàn)存在著時針和分針垂直的情況，請求出具體的時刻：(3)當(dāng)時針和分針?biāo)山嵌葹闀r形成一條直線，這條直線剛好平分鐘面，我們將這樣的時刻稱為“美妙時刻”，如圖3，六點整就是一個美妙時刻，從0時到24時共______個美妙時刻．4．如圖，A，O，B三點在同一直線上，∠BOD與∠BOC互補．（1）試判斷∠AOC與∠BOD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并加以證明；（2）OM平分∠AOC，ON平分∠AOD，①依題意，將備用圖補全；②若∠MON=40°，求