2024屆廣東省揭陽市普寧市高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2024屆廣東省揭陽市普寧市高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．甲：（是常數(shù)）乙：丙：（、是常數(shù)）?。海ā⑹浅?shù)），以上能成為數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件的有幾個(gè)（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知是等差數(shù)列，其中，，則公差()A． B． C． D．3．若，且，則下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．4．如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，向該正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域的概率是，則該陰影區(qū)域的面積是（）A．3 B． C． D．5．函數(shù)圖像的一條對(duì)稱軸方程為（）A． B． C． D．6．為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：kPa）的分組區(qū)間為[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，，第五組，如圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖，已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為（）A．6 B．8 C．12 D．187．已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如圖所示，若它們的中位數(shù)相同，平均數(shù)也相同，則圖中的的比值等于A． B． C． D．8．已知，，是三條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是A．若，，，，，則B．若，，，，則C．若，，，，，則D．若，，，則9．若平面α∥平面β，直線平面α，直線n?平面β，則直線與直線n的位置關(guān)系是（）A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面10．在中，,則=（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，若，則的值是.12．過點(diǎn)(2，－3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為_________________．13．已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，若數(shù)列是等比數(shù)列，則___________.14．一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了如圖所示的頻率分布直方圖，現(xiàn)要從這10000人中再用分層抽樣的方法抽出100人作進(jìn)一步調(diào)查，則月收入在（元）內(nèi)的應(yīng)抽出___人.15．已知函數(shù)，對(duì)于上的任意，，有如下條件：①；②；③；④．其中能使恒成立的條件序號(hào)是__________．16．已知四面體的四個(gè)頂點(diǎn)均在球的表面上，為球的直徑，，四面體的體積最大值為____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某大學(xué)要修建一個(gè)面積為的長(zhǎng)方形景觀水池，并且在景觀水池四周要修建出寬為2m和3m的小路如圖所示問如何設(shè)計(jì)景觀水池的邊長(zhǎng)，能使總占地面積最?。坎⑶蟪隹傉嫉孛娣e的最小值．18．中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，已知.（1）求角的大?。唬?）設(shè)，的面積為，求的值.19．已知函數(shù)的最小正周期為，（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．已知函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．21．如圖所示，在四棱錐中，底面是棱長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面為正三角形，且面面，分別為棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求二面角的正切值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

由等差數(shù)列的定義和求和公式、通項(xiàng)公式的關(guān)系，以及性質(zhì)，即可得到結(jié)論.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，由定義可得（是常數(shù)），且（是常數(shù)），，令，即（、是常數(shù)），等差數(shù)列通項(xiàng)，令，即（、是常數(shù)），綜上可得甲乙丙丁都對(duì).故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、求和公式的關(guān)系，考查充分必要條件的定義，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】故選：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，關(guān)鍵是熟練應(yīng)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

根據(jù)不等式性質(zhì)確定選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，不成立；因?yàn)?，所以；?dāng)時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，不成立；所以選B.【點(diǎn)睛】本題考查不等式性質(zhì)，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.4、B【解析】

利用幾何概型的意義進(jìn)行模擬試驗(yàn)，即估算不規(guī)則圖形面積的大小．【詳解】正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率，，又，.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的意義進(jìn)行模擬試驗(yàn)，計(jì)算不規(guī)則圖形的面積，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意豆子落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率與陰影部分面積及正方形面積之間的關(guān)系.5、B【解析】

對(duì)稱軸為【詳解】依題意有解得故選B【點(diǎn)睛】本題考查的對(duì)稱軸，屬于基礎(chǔ)題。6、C【解析】試題分析：由直方圖可得分布在區(qū)間第一組與第二組共有21人，分布在區(qū)間第一組與第二組的頻率分別為1．24，1．16，所以第一組有12人，第二組8人，第三組的頻率為1．36，所以第三組的人數(shù)：18人，第三組中沒有療效的有6人，第三組中有療效的有12人．考點(diǎn)：頻率分布直方圖7、A【解析】

從莖葉圖提取甲、乙兩組數(shù)據(jù)中的原始數(shù)據(jù)，并按從小到大排列，分別得到中位數(shù)，并計(jì)算各自的平均數(shù)，再根據(jù)中位數(shù)、平均值相等得到關(guān)于的方程.【詳解】甲組數(shù)據(jù)：，中位數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)：，中位數(shù)為：，所以，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查中位數(shù)、平均數(shù)的概念與計(jì)算，對(duì)甲組數(shù)據(jù)排序時(shí)，一定是最大，乙組數(shù)據(jù)中一定是最小.8、D【解析】

逐一分析選項(xiàng)，得到答案.【詳解】A.根據(jù)條件可知，若，不能推出；B.若，就不能推出；C.條件中沒有，所以不能推出；D.因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋裕军c(diǎn)睛】本題考查了面面平行的判斷，屬于基礎(chǔ)題型，需要具有空間想象能力，以及邏輯推理能力.9、D【解析】

由面面平行的定義，可得兩直線無公共點(diǎn)，可得所求結(jié)論．【詳解】平面α∥平面β，可得兩平面α，β無公共點(diǎn)，即有直線與直線也無公共點(diǎn)，可得它們異面或平行，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查空間線線的位置關(guān)系，考查面面平行的定義，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解析】

解：因?yàn)橛烧叶ɡ?，所以又ｃ＜ａ所以，所以二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由題意得，依次求得，，，，，∵，且＞0，∴，依次求得======，∴+=+=．考點(diǎn)：數(shù)列的遞推公式．12、【解析】分析：分類討論截距為0和截距不為零兩種情況求解直線方程即可.詳解：當(dāng)截距為0時(shí),直線的方程為，滿足題意；當(dāng)截距不為0時(shí),設(shè)直線的方程為,把點(diǎn)代入直線方程可得，此時(shí)直線方程為.故答案為.點(diǎn)睛：求解直線方程時(shí)應(yīng)該注意以下問題：一是根據(jù)斜率求傾斜角，要注意傾斜角的范圍；二是求直線方程時(shí)，若不能斷定直線是否具有斜率時(shí)，應(yīng)對(duì)斜率存在與不存在加以討論；三是在用截距式時(shí)，應(yīng)先判斷截距是否為0，若不確定，則需分類討論.13、或【解析】

由等比數(shù)列的定義得出，可得出，利用兩角和與差的余弦公式化簡(jiǎn)可求得的值.【詳解】由于數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則，，又?jǐn)?shù)列是等比數(shù)列，則，即，即，即，整理得，即，可得，，因此，或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義求參數(shù)，同時(shí)也涉及了兩角和與差的余弦公式的化簡(jiǎn)計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.14、25【解析】由直方圖可得[2500,3000)(元)月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分層抽樣應(yīng)抽出人．故答案為25.15、③④【解析】∵g（x）=[（﹣x）2﹣cos（﹣x）]=[x2﹣cosx]=g（x），∴g（x）是偶函數(shù)，∴g（x）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∵g′（x）=x+sinx＞0，x∈（0，]，∴g（x）在（0，]上是增函數(shù)，在[﹣，0）是減函數(shù)，故③x1＞|x2|；④時(shí)，g（x1）＞g（x2）恒成立，故答案為：③④．點(diǎn)睛：此題考查的是函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用；已知表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式判斷函數(shù)的單調(diào)性，和奇偶性，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，根據(jù)單調(diào)性的定義可知，增函數(shù)自變量越大函數(shù)值越大，減函數(shù)自變量越大函數(shù)值越小。16、2【解析】

為球的直徑，可知與均為直角三角形，求出點(diǎn)到直線的距離為，可知點(diǎn)在球上的運(yùn)動(dòng)軌跡為小圓.【詳解】如圖所示，四面體內(nèi)接于球，為球的直徑，，，，過作于，，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的小圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)面面時(shí)，四面體的體積達(dá)到最大，.【點(diǎn)睛】立體幾何中求最值問題，核心通過直觀想象，找到幾何體是如何變化的？本題求解的突破口在于找到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、水池一邊長(zhǎng)為12m，另一邊為18m，總面積為最小，為．【解析】

設(shè)水池一邊長(zhǎng)為xm，則另一邊為，表示出面積利用基本不等式求解即可．【詳解】設(shè)水池一邊長(zhǎng)為xm，則另一邊為，總面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故水池一邊長(zhǎng)為12m，則另一邊為18m，總面積為最小，為，【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．18、（1）（2）【解析】

（1）利用正弦定理可將已知等式化為，利用兩角和差余弦公式展開整理可求得，根據(jù)可求得結(jié)果；（2）利用三角形面積公式可構(gòu)造方程求出；利用余弦定理可直接求得結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理可得：，即（2）設(shè)的面積為，則由得：，解得：由余弦定理得：【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到正弦定理化簡(jiǎn)邊角關(guān)系式、三角形面積公式和余弦定理的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠通過正弦定理將邊化角，得到角的一個(gè)三角函數(shù)值，從而根據(jù)角的范圍求得結(jié)果.19、（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【解析】

（1）由二倍角公式和兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后得正弦函數(shù)的單調(diào)性求得減區(qū)間；（2）函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn).，利用函數(shù)圖象可求解．【詳解】（1）函數(shù)的最小正周期，故令，得故的單調(diào)遞減區(qū)間為（2）函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)根，即函數(shù)與的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn).，故，結(jié)合單調(diào)性可知，要使函數(shù)與圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，所以【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查二倍角公式和兩角和的正弦公式，考查零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題通常需要轉(zhuǎn)化與化歸，即轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，大多數(shù)情況是函數(shù)圖象與直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．象本題，最后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值）．20、（1）（2）最大值為2，最小值為【解析】

(1)先將函數(shù)化簡(jiǎn)為，根據(jù)公式求最小正周期.

(2)由，則，可求出函數(shù)的最值.【詳解】(1)所以的最小正周期為：.（2）由（1）有，則則當(dāng)，即時(shí)，有最小值.當(dāng)即，時(shí)，有最大值2.所以在區(qū)間上的最大值為2，最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求最小正周期和函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題.21、(1)見證明；(2)【解析】

（1）取PD中點(diǎn)G，可證EFGA是平行四邊形，從而，得證線面平行；（2）取AD中點(diǎn)