專題02 破角與添角解答四大平行線模型講義（解析版）

專題02破角與添角解答四大平行線模型講義【模型一】二師兄的腳（豬蹄型）如圖，①已知：AB∥CD，結(jié)論：∠APC=∠A+∠C；【破角】過點P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PQ∴∠1=∠2，∠3=∠4【加】∴∠APC=∠2+∠3=∠1+∠4.【添角】連接AC，∵AB∥CD∴∠1+∠3+∠2+∠4=180°，又∠2+∠3+∠APC=180°∴∠APC=∠1+∠4.②已知：∠APC=∠A+∠C，結(jié)論：AB∥CD.過點P作PQ∥AB，∴∠1=∠2，∵∠APC=∠1+∠4=∠2+∠3∴∠3=∠4，∴PQ∥CD∴AB∥CD.【豬蹄變形記】已知：AB∥CD，結(jié)論：∠A+∠P2+∠C=∠P1+∠P3.【模型二】鉛筆頭如圖，①已知：AB∥CD，結(jié)論：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；證法一：【破角】過點P作PQ∥AB則AB∥CD∥PQ∴∠BAP+∠APQ=180°，∠CPQ+∠PCD=180°【加】∴∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=360°即∠PAB+∠APB+∠PCD=360°.證法二：連接AC，易知，∠1+∠4=180°，∠2+∠3+∠P=180°∴∠1+∠4+∠2+∠3+∠P=360°即∠PAB+∠APB+∠PCD=360°.②已知：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°，結(jié)論：AB∥CD.請同學(xué)們自己完成證明：【鉛筆頭變形記】已知：AB∥CD，結(jié)論：∠1+∠2+…+∠n=180（n－1）.【模型三】拐彎型【類型一】如圖，已知AB∥CD，結(jié)論：∠1=∠2+∠3.證法一：【添角】過點P作PQ∥AB，則AB∥CD∥PQ∴∠2+∠3+∠4=180°，∠1+∠4=180°∴∠1=∠2+∠3.證法二：延長AB交PD于Q，則∠2=∠4，∠1+∠5=180°，∠5+∠3+∠4=180°∴∠1=∠3+∠4=∠2+∠3.【類型二】如圖，AB∥CD，結(jié)論：∠2=∠1+∠3.請同學(xué)們自行完成證明.【模型四】“5”字型如圖，AB∥CD，結(jié)論：∠1+∠3－∠2=180°.過P作PQ∥AB，則AB∥CD∥PQ∴∠1+∠4=180°，∠4+∠5=∠3，∠5=∠2∴∠1+∠3－∠2=180°.【題型一】例1.（2021·山東青島期末）如圖，，點在上，，，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）（1）；（2）；（3）；（4）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B.【解析】解：過點E作EF∥AB，（1）無法判斷；（2）∵AB//CD，AB//EF，∴EF//CD，∴∠AEF=70°，∠DEF=15°，∴∠AED=85°，正確；（3）由（2）得：∠A=∠CEF=∠CED+∠DEF，∠DEF=∠D∴∠A=∠CED+∠D，正確；（4）無法判斷；故答案為：B．【變式1】如圖，，，則，，之間的關(guān)系是（）

A． B．C． D．【答案】C.【解析】解：分別過C、D作AB的平行線CM和DN，

則AB∥CM∥DN∥EF∴∠α=∠BCM，∠DCM=∠CDN，∠NDE=∠γ而∠β=∠CDN+∠NDE=∠DCM+∠γ=90°－∠BCM+∠γ=90°－∠α+∠γ.即∠α+∠β－∠γ=90°，

故答案為：C．例2．（2020·浙江金華期中）如圖（1）所示是一根木尺折斷后的情形，你可能注意過，木尺折斷后的斷口一般是參差不齊的，那么請你深入考慮一下其中所包含的一類數(shù)學(xué)問題，我們不妨取名叫“木尺斷口問題”．

（1）如圖（2）所示，已知，請問，，有何關(guān)系并說明理由；（2）如圖（3）所示，已知，請問，，又有何關(guān)系并說明理由；（3）如圖（4）所示，已知，請問與有何關(guān)系并說明理由．【答案】見解析.【解析】解：（1）∠E=∠B+∠D，理由如下：過點E作直線a∥AB，則a∥AB∥CD，則∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D.（2）∠E+∠B+∠D=360°，理由如下：過點E作直線b∥AB，則b∥AB∥CD∴∠B+∠3=180°，∠4+∠D=180°∴∠B+∠3+∠4+∠D=360°即∠E+∠B+∠D=360°.（3）∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，理由如下：過點E，F(xiàn)，G作直線c∥AB，d∥AB，e∥AB，則c∥AB∥d∥e∥CD，則∠B=∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D∴∠B+∠EFG+∠D=∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF+∠FGD.【變式2】（2021·山西八年級期末）綜合與探究問題情境綜合實踐課上，王老師組織同學(xué)們開展了探究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動．（1）如圖1，，點分別為直線上的一點，點為平行線間一點且，求度數(shù)；問題遷移（2）如圖2，射線與射線交于點，直線，直線分別交于點，直線分別交于點，點在射線上運動．①當(dāng)點在（不與重合）兩點之間運動時，設(shè)．則之間有何數(shù)量關(guān)系？②若點不在線段上運動時（點與點三點都不重合），請你直接寫出間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）110°；（2）①∠CPD=α+β；②當(dāng)P在BA延長線時，∠CPD=β－α；；當(dāng)P在OB之間時，∠CPD=α－β.【解析】解：（1）過P作PG∥EF，則PG∥EF∥MN，∴∠PAF+∠GPA=180°，∠PBN+∠GPB=180°∴∠GPA=180°－130°=50°∠GPB=180°－∠PBN=60°∴∠APB=∠GPA+∠GPB=50°+60°=110°.（2）①∠CPD=∠α+∠β.②當(dāng)P在BA延長線時，∠CPD=β－α.過P作PE∥AD交AD于E，∵AD∥BC，∴∠DPE=α，∠CPE=β∴∠CPD=β－α.當(dāng)P在OB之間時，∠CPD=α－β過P作PE∥AD交CD于E，同理，得：∠CPD=α－β.【變式3】（2020·河南新鄉(xiāng)期末）把一塊含60°角的直角三角尺放在兩條平行線之間．（1）如圖1，若三角形的60°角的頂點放在上，且，求的度數(shù)；（2）如圖2，若把三角尺的兩個銳角的頂點分別放在和上，請你探索并說明與間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，若把三角尺的直角頂點放在上，30°角的頂點落在上，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）40°；（2）∠AEF+∠FGC=90°；（3）∠AEG+∠CFG=300°.【解析】解：(1)∵AB∥CD，∴∠1=∠EGD，∵∠2+∠FGE+∠EGD=180°，∠2=2∠1，∴2∠1+60°+∠1=180°，∴∠1=40°；(2)過點F作FP∥AB，∵CD∥AB，∴FP∥AB∥CD，∴∠AEF=∠EFP，∠FGC=∠GFP.∴∠AEF+∠FGC=∠EFP+∠GFP=∠EFG，∵∠EFG=90°，∴∠AEF+∠FGC=90°；(3)∠AEG+∠CFG=300°，理由如下：∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE=180°，即∠AEG?30°+∠CFG?90°=180°，整理得：∠AEG+∠CFG=300°．【題型二】例1．（2021·福建泉州期末）問題情境：我市某中學(xué)班級數(shù)學(xué)活動小組遇到問題：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．經(jīng)過討論形成的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可求得∠APC的度數(shù)．（1）按該數(shù)學(xué)活動小組的思路，請你幫忙求出∠APC的度數(shù)；（2）問題遷移：如圖3，∥，點在、兩點之間運動時，，．請你判斷、、之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：如圖4，已知兩條直線∥，點在兩平行線之間，且的平分線與∠DFP的平分線相交于點Q，求的度數(shù)．【答案】（1）110°；（2）∠CPD＝α＋β，見解析；（3）360°.【解析】解：（1）過點P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD．∴∠A＋∠APE＝180°，∠C＋∠CPE＝180°∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝110°．（2）∠CPD＝α＋β，理由如下：過P作PE∥AD交CD于E．∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠DPE＝α，∠CPE＝β，∴∠CPD＝∠DPE＋∠CPE＝α＋β．（3）由（1）可得，∠P+∠BEP+∠DFP=360°又∵QE平分∠PEB，QF平分∠PFQ∴∠BEP=2∠BEQ，∠DFP=2∠DFQ∴∠P+2∠Q=∠P+2（∠BEQ+∠DFQ）=∠P+∠BEP+∠DFP=360°.例2．（2020·陜西省西安月考）下列各圖中的MA1與NAn平行．（1）圖①中的∠A1+∠A2=度，圖②中的∠A1+∠A2+∠A3=度，圖③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=度，圖④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=度，…，第⑩個圖中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10=度（2）第n個圖中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=．【答案】（1）180；360；540；720；1620；（2）180°（n﹣1）．【解析】解：（1）∵MA1∥NA2，∴∠A1+∠A2=180°，如圖，分別過A2、A3、A4作MA1的平行線，圖②中的∠A1+∠A2+∠A3=360°，圖③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°，圖④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=720°，…，第⑩個圖中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10=1620°；（2）第n個圖中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=180°（n﹣1）．故答案為180，360，540，720，1620；180°（n﹣1）．【變式1】．（2020·洛陽市期中）已知：如圖1，，．（1）判斷圖中平行的直線，并給予證明；（2）如圖2，，，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）AB∥CD，EF∥HL，見解析；（2）∠P=3∠Q，見解析．【解析】解：（1）AB∥CD，EF∥HL，∵∠1=∠AMN，∴∠1+∠2=180°，

∴∠AMN+∠2=180°，

∴AB∥CD；

延長EF交CD于F1，

∵AB∥CD，

∴∠AEF=∠EF1L，∵∠AEF=∠HLN，∴∠EF1L=∠HLN，

∴EF∥HL；

（2）∠P=3∠Q，由（1）得AB∥CD，作QR∥AB，PL∥AB，

∴∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，

∴∠RQN=∠QND，

∴∠MQN=∠QMB+∠QND，

∵AB∥CD，PL∥AB，

∴AB∥CD∥PL，

∴∠MPL=∠PMB，∠NPL=∠PND，

∴∠MPN=∠PMB+∠PND，

∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，

∴∠PMB=3∠QMB，∠PND=3∠QND，

∴∠MPN=3∠MQN，

即∠P=3∠Q.【變式2】．（2020·莆田月考）AB∥CD，C在D的右側(cè)，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直線交于點E．∠ADC＝80°．（1）若∠ABC＝50°，求∠BED的度數(shù)；（2）將線段BC沿DC方向平移，使得點B在點A的右側(cè)，其他條件不變，若∠ABC＝120°，求∠BED的度數(shù)．【答案】（1）65°；（2）160°.【解析】解：(1)過E作EF∥AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE＝∠ABC＝25°，∠EDC＝∠ADC＝40°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∵∠BEF＝∠ABE＝25°，∠FED＝∠EDC＝40°，∴∠BED＝25°+40°＝65°；(2)過E作EF∥AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE＝∠ABC＝60°，∠EDC＝∠ADC＝40°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∵∠BEF＝180°﹣∠ABE＝120°，∠FED＝∠EDC＝40°，∴∠BED＝120°+40°＝160°．【變式3】．（2020·佛山順德區(qū)月考）問題情境1：如圖1，AB∥CD，P是ABCD內(nèi)部一點，P在BD的右側(cè)，探究∠B，∠P，∠D之間的關(guān)系？小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可得∠B，∠P，∠D之間滿足關(guān)系．（直接寫出結(jié)論）問題情境2如圖3，AB∥CD，P是AB，CD內(nèi)部一點，P在BD的左側(cè)，可得∠B，∠P，∠D之間滿足關(guān)系．（直接寫出結(jié)論）問題遷移：請合理的利用上面的結(jié)論解決以下問題：已知AB∥CD，∠ABE與∠CDE兩個角的角平分線相交于點F（1）如圖4，若∠E＝80°，求∠BFD的度數(shù)；（2）如圖5中，∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，寫出∠M與∠E之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論．（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，設(shè)∠E＝m°，用含有n，m°的代數(shù)式直接寫出∠M＝．【答案】問題情境1：∠B+∠BPD+∠D＝360°，∠P＝∠B+∠D；（1）140°；（2）∠E+∠M＝60°（3）.【解析】（1）∵BF、DF分別是∠ABE和∠CDE的平分線，∴∠EBF＝∠ABE，∠EDF＝∠CDE，由問題情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∵∠E＝80°，∴∠ABE+∠CDE＝280°，∴∠EBF+∠EDF＝140°，∴∠BFD＝360°﹣80°﹣140°＝140°；（2）∠E+∠M＝60°，理由是：設(shè)∠ABM＝x，∠CDM＝y(tǒng)，則∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，由問題情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴6x+6y+∠E＝360°，即∠E＝60﹣x﹣y，∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，∴∠M＝x+y，∴∠E+∠M＝60°；（3）設(shè)∠ABM＝x，∠CDM＝y(tǒng)，則∠FBM＝（n﹣1）x，∠EBF＝nx，∠FDM＝（n﹣1）y，∠EDF＝ny，由問題情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴2nx+2ny+∠E＝360°，∴x+y＝，∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴2nx+2ny+∠E＝∠M+（2n﹣1）x+（2n﹣1）y+∠E，∴∠M＝；故答案為：∠M＝．【題型三】例1.（2020·余干縣期末）如圖1，ADBC，的平分線交BC于點G，．（1）求證：；（2）如圖2，若，的平分線交于點E，交射線GA于點F，的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）20°.【解析】解：（1）∵DA∥BC∴∠DAG=∠AGB∵AC平分∠BAD∴∠BAG=∠DAG∴∠BAG=∠AGB.（2）∵∠ABC=50°∴∠BGA=∠BAG=65°，∴∠AGC=115°∵CE平分∠DCB∴∠ECB=45°，∴∠AFC=180°－∠AGC－∠ECB=20°.例2．（2020·忠縣月考）如圖，已知直線l1//l2，l3、和l1、l2分別交于點A、B、C、D，點P在直線l3或上且不與點A、B、C、D重合．記∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若點P在圖（1）位置時，求證：∠3=∠1+∠2；（2）若點P在圖（2）位置時，請直接寫出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系；（3）若點P在圖（3）位置時，寫出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系并給予證明；（4）若點P在線段DC延長線上運動時，請直接寫出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系．【答案】（1）見詳解；（2）∠3＝∠2﹣∠1；（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2；（4）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．【解析】（1）證明：過P作PQ∥l1，則PQ∥l1∥l2，∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF∵∠EPF＝∠QPE+∠QPF，∴∠EPF＝∠1+∠2．（2）∠3＝∠2﹣∠1；過P作PQ∥l1，則PQ∥l1∥l2，則：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF∵∠EPF＝∠QPF﹣∠QPE，∴∠EPF＝∠2﹣∠1．（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．過P作PQ∥l1，則PQ∥l1∥l2，∴∠EPQ+∠1＝180°，∠FPQ+∠2＝180°，∵∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ；∴∠EPQ+∠FPQ+∠1+∠2＝360°，即∠EPF＝360°﹣∠1﹣∠2；（4）點P在線段DC延長線上運動時，∠3＝∠1﹣∠2．過P作PQ∥l1，則PQ∥l1∥l2，∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；∵∠QPE﹣∠QPF=∠EPF；∴∠3＝∠1﹣∠2．【變式】．（2020·福建三明期中）一、問題情境：在綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“兩條平行線AB，CD和一塊含角的直角三角尺”為主題開展數(shù)學(xué)活動．二、操作發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，小明把三角尺的角的頂點G放在CD上，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，小穎把三角尺的兩個銳角的頂點E、G分別放在AB和CD上，請你探索并說明與之間的數(shù)量關(guān)系；三、結(jié)論應(yīng)用：（3）如圖3，小亮把三角尺的直角頂點F放在CD上，角的頂點E落在AB上．若，求的度數(shù)用含的式子表示．圖1圖2圖3【答案】（1）40°；（2）∠AEF+∠FGC=90°；（3）∠CFG=60°－α.【解析】解：（1）∵AB∥CD，∴∠1=∠EGD．又∵∠2=2∠1，∴∠2=2∠EGD．又∵∠FGE=60°，∴∠EGD=（180°﹣60°）=40°，∴∠1=40°；（2）∵AB∥CD，∴∠AEG+∠CGE=180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC=180°．又∵∠FEG+∠EGF=90°，∴∠AEF+∠FGC=90°；（3）∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE=180°，即∠AEG+∠FEG+∠EFG+∠GFC=180°．又∵∠GFE=90°，∠GEF=30°，∠AEG=α，∴∠GFC=180°﹣90°﹣30°﹣α=60°﹣α．【題型四】例1．（2020·江蘇淮安期末）如圖，AB∥CD，則∠1+∠3－∠2的度數(shù)等于__________．【答案】180°.【解析】解：∵AB∥CD∴∠1=∠EFD∵∠2+∠EFC=∠3，∠EFD=180°－∠EFC∴∠1+∠3－∠2=180°故答案為：180°.例2．（2020·湖北咸寧市期末）（感知）如圖①，AB∥CD，點E在直線AB與CD之間，連結(jié)AE、BE，試說明∠BAE+∠DCE=∠AEC；（探究）當(dāng)點E在如圖②的位置時，其他條件不變，試說明∠AEC+∠BAE+∠DCE=360°；（應(yīng)用）點E、F、G在直線AB與CD之間，連結(jié)AE、EF、FG和CG，其他條件不變，如圖③，若∠EFG=36°，則∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=______°.【答案】【感知】見解析；【探究】∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°；【應(yīng)用】396°.【解析】解：【感知】過E點作EF//AB∵AB//CD∴EF//CD∵AB//CD∴∠BAE=∠AEF∵EF//CD∴∠CEF=∠DCE∴∠BAE+∠DCE=∠AEC.【探究】過E點作AB//EG.∵AB//CD∴EG//CD∵AB//CD∴∠BAE+∠AEG=180°∵EG//CD∴∠CEG+∠DCE=180°∴∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°.【應(yīng)用】過點F作FH∥AB.∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠BAE+∠AEF+∠EFH=360°，∠HFG+∠FGC+∠GCD=360°，∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD=720°，∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD+∠EFG=720°+36°，∴∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=720°-360°+36°=396°故答案為396°.【變式1】