2023-2024學年湖南省長沙市中考數(shù)學模擬試題（3月）（附答案）

2023-2024學年湖南省長沙市中考數(shù)學模擬試題（3月）

注意事項：

1.答題前，請考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，并認真核對條形碼上的姓名、準考

證號、考室和座位號；

2.必須在答題卡上答題，在草稿紙、試題卷上答題無效；

3.答題時，請考生注意各大題題號后面的答題提示；

4.請勿折疊答題卡，保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔；

5.答題卡上不得使用涂改液、涂改膠和貼紙；

6.本學科試卷共25個小題，考試時量120分鐘，滿分120分.

一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的.請在答題卡中填涂符合題意

的選項.本大題共10個小題，每小題3分，共30分）

1.數(shù)軸上表示數(shù)a的點在原點右側(cè)，與原點相距2024個單位長度，則數(shù)a為（）

A.2024B.-2024C.±2024D.不確定

2.為了減碳，提高充電效率，某科技公司研發(fā)了全液冷超充技術(shù)，電動汽車充電100度僅需

10分鐘，實現(xiàn)了“一秒一公里”，預計2024年裝車量達到800萬輛.數(shù)據(jù)“800萬”用科學記

數(shù)法表示為（）

A.0.8xl07B.8xl06C.80xl05D.8xl05

3.下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）

4.下列計算正確的是（）

1111〃丫/

A.--------=---------B.-=—

mnm-n）m

D.（加〃之）=加3〃6

5.如圖，將等腰直角三角形板和直尺擺放如下，直角頂點E正好落在直尺的邊上.如果

ZABC=75°,那么N3E的大小為（)

C.60°D.65°

6.如圖，點A,B,C,D,E是。。上的五等分點,則的度數(shù)為（

A.32°B.34°C.36°D.38°

7.《九章算術(shù)》中記載有盈不足問題、今有共買金、人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一

百，問人數(shù)、金價各幾何？其大意是：今有人合伙買金，每人出錢400,會多出3400錢；每

人出錢300,會多出100錢，問合伙人數(shù)、金價各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為x人，金價為y錢,

則可列方程為（）

A組；坐地鐵

sail坐公交

cffl：步行

D組：騎自行車

E組?箕他方式

ABCDE交通方式

（第7題圖）

y+3400=400%y+3400=400x

A.《B.〈

j-100=300%y+100=300x

y-3400=400xy-3400=400x

c.<D.《

y-100=300x^+100=300%

9.已知關(guān)于x的一次函數(shù)y=3x+2,則該一次函數(shù)圖象經(jīng)過（）

A.第一、；二、三象限B.第二、二、四象限C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第二、

、四象限

10.如圖，已知線段BC,按照如下步驟作圖:

第一步：分別以點B,C為圓心、大于』5C長為半徑畫弧；

2

第二步：過兩弧的交點作直線1交BC于點D；

第三步：以點D為圓心、BD長為半徑畫弧交直線1于點0；

第四步：以點。為圓心、OB長為半徑畫圓.

若。。的半徑為3,點A是圓上的動點.當點A在BC所對的優(yōu)弧上運動時，記△48C面積

的最大值為E，當點A在BC所對的劣弧上運動時，記AABC面積的最大值為S2,則E+邑

的值等于（）

（第10題圖）

A.8>72B.9拒C.106D.11V2

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.已知函數(shù)p=—19,則自變量x的取值范圍是.

12.分解因式：（4a『—8。+1=.

13.為營造“全民亞運，全民健身”的氛圍，提升全民健身的熱情，某校舉行了“2023年亞

運會知識”競賽.隨機抽取部分學生成績，統(tǒng)計如下表，則這一部分學生成績（分）的中位數(shù)

位于.（填“A”“B”“C”或"D”）組.

學生成績A組B組C組D組

（分）（60<x<70）（70<x<80）（80<^<90）（90<x<100）

學生人數(shù)

10203015

（人）

14.如圖，已知等邊△05C的頂點B在x軸正半軸上，點A在第一象限，OB=6,反比例

函數(shù)y="（x>0）的圖象正好經(jīng)過點A,則k的值為.

X

Fi

（第14題圖）

15.為接續(xù)推進全面脫貧與鄉(xiāng)村振興銜接，長沙某村以文化展板呈現(xiàn)了鄉(xiāng)村振興中的詩與遠

方.如圖，該展板為扇形結(jié)構(gòu)，0A=3m,OD=lm,ZAOB=150°,則圖中的陰影部分

面積是m?.（結(jié)果保留不）

（第15題圖）

16.如圖，在矩形ABCD中，E為邊AD上一點，連接BE,作點A關(guān)于BE對稱的點F,連

接BF,EF.若4s=12,點F到邊BC,AD的距離之比為1:2,則.

三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第

22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證

明過程或演算步驟）

17.計算:V3XV6-6cos45°+（^--2024）°+Qj.

1

18.先化簡，再求值：（x+19）—2x（x—l）+（x—l）（x+l）,其中》=一^.

19.“橋”見湘江，品湖湘記憶.橘子洲大橋原名“長沙湘江大橋”（湘江一橋），是目前中國

規(guī)模最大的雙曲拱橋.在世界橋梁建筑史上留下濃墨重彩的一筆.課外實踐活動中，學生小明

用無人機來測量橘子洲大橋的主橋長度.如圖，無人機在橋的正上方400m高度的點A處，測

得主橋西起點B的俯角為45。，在橋的正上方400nl高度的點D處測得主橋東起點C處的俯

角為30°,AD的距離為170m.（注：點A,B,C,D在同一平面內(nèi).結(jié)果精確到0.1m,73~1.7）

（1）求橘子洲大橋主橋BC的長；

（2）延長CD至于點Q.且。。=170（百-l）m.若無人機在點Q處進行測量，則該無人機

與橋面BC的距離是多少米?

20.“促進兒童心理健康，共同守護美好未來”.加強學生的心理健康教育上升為國家戰(zhàn)略.國

家衛(wèi)生健康委舉行新聞發(fā)布會,介紹我國如何從制度、服務(wù)、宣傳等層面,守護兒童心理健康.為

促進學生健康成長，某校開展了心理健康教育講座.講座前從該校七、八、九年級中隨機抽取

了部分學生，對學生關(guān)于心理健康知識的了解情況進行了問卷調(diào)查，根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)信息進

行統(tǒng)計.繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖表.

某校學生心理健康知識了解情況統(tǒng)計表

分組類別分數(shù)

A組不了解20

B組了解少a

C組基本了解40

D組非常了解b

某校學生心理健康知識了解情況扇形圖

解答下列問題.

(I)直接寫出答案：a=，b=m=

(2)D組扇形所對的圓心角的度數(shù)是多少？

(3)從D組的甲、乙、丙、丁4位同學中，隨機抽取兩位同學進行心理健康知識宣講，請用

列表法或畫樹狀圖法求出丁同學未被抽中的概率.

21.如圖，在△45C中，ZABC=90°,AC=2BC,以AC為邊作等邊△4DC,E是AC

的中點，連接DE.

(1)求證：AABgADEC；

(2)連接BD.若BC=1,求BD的長.

22.“雙減”在行動，教有在提質(zhì).由長沙市教育局傾力打造的“名師云課堂”已于2023年9

月9日正式上線.每周六（除節(jié)假日外）上午九點，“名師云課堂”都會如約而至.據(jù)不完全

統(tǒng)計，第一周收看人數(shù)為24200人，第三周收看人數(shù)為29282人.假設(shè)每周收看人數(shù)的平均增

長率相同.

（1）求第一周到第三周“名師云課堂”收看人數(shù)的平均增長率；

（2）按照（1）中平均增長率.試估計第四周有多少人收看“名師云課堂”.（結(jié)果保留整數(shù)）

23.如圖，將048CD沿AD對折，得至iJnZEED,連接BE交AD于點O,連接FO.

（1）求證：BO=EO；

⑵若BC=2AB=8,ZC=60°,求AO的長及四邊形AFOB的面積.

24.如圖，在AABC中，NZ:ZACB:ZABC=1:1:2,以BC為直徑作QO交AC于點G.點

D赴AB延長線上一動點，連接DG交BC于點H.交。。于點E,連接BE,CE,連接DC

交。。于點F.

（1）求證：直線AD是。。的切線；

（2）設(shè)ACGH的面積為E,ACDH的面積為邑.若點D運動到邑=2sl時.求sinNBDH

的值;

CRBF

（3）連接EF,當點D運動時，若J=一m,試求——的值.

CDnEF

25.我們不妨約定：在平面直角坐標系xOy中，若點優(yōu)）和點滿足:

%|+（4+4）2=0,我們就說點P和點Q是該坐標平面內(nèi)的一對“共贏點”.若函數(shù)乂，

歹2的圖象上存在一對或；一對以上“共贏點”(其中點P在乂的圖象上，點Q在歹2的圖象上)，

我們就說函數(shù)%,歹2互為“共贏函數(shù)”.據(jù)約定，解答下列問題：

2

(1)若一次函數(shù)必=履+2%，y2=kx-3k,且左wO.當自變量》=左時，函數(shù)必，歹2的

圖象上恰好是一對“共贏點”，試求一次函數(shù)必，為的解析式.

(2)已知反比例函數(shù)%=—,%=—，且加〃W0.試判斷函數(shù)%,歹2是否互為“共贏函

XX

數(shù)”.若是，請求出“共贏點”的坐標；若不是，請說明理由.

(3)已知以x為自變量的二次函數(shù)％=f一2加%+加2(加＞0),函數(shù)乃與為互為“共贏函

數(shù)”，且當自變量X取任意實數(shù)時，函數(shù)乂，%的圖象上都存在“共贏點”.記函數(shù)必，歹2的

圖象分別交y軸于A,B兩點，函數(shù)必的圖象交X軸于點C,經(jīng)過A,B,C三點的圓與x軸

的另一個交點為D,點P是x軸下方圓上的動點，且點P不與點B,C,D重合，設(shè)Pf—?片=上

S&PCD=S，令/='，當f取最大值時，試判斷四邊形ACBD的形狀，并說明理由?

S

數(shù)學（一）答案及評分標準

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）

題號12345678910

答案ABDDCCABAB

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.x>—12.（4tz-l）13.C

14.9^315.—7T16.6^6

3

三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第

22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證

明過程或演算步驟）

17.解：原式=-6x^^+1+3=4.

2

18.解：原式=x?+2x+1—2x?+2x+-1=4x.

1(

當》=——時，原式=4x——=-l.

4I4；

19.解：(1)如圖1,過點A作NGLBC于點G.過點D作于點H.

在中，NB=NEAB=45。,ZAGB=90°,

ACi

：.BG=——=400(m).

tan45°

在R3DHC中，ZC=ZFDC=30°,NDHC=90°,

:.HC=^—=￥=400百(m).

tan30°V3

3

由圖易知四邊形AGHD為矩形，G/f=4D=170（m）,

ABC=BG+GH+HC=400+170+400^-1250(m).

圖1

答：橘子洲大橋主橋BC的長約為1250m；

（2）如圖2,過點Q作QNJ_5C于點N,交AD于點M.

在Rt/XQQM中，AQDM=ZFDC=30°,ZQMD=90°,

.?.QN=W+7W=85(G-1)+400它459.5(m).

答：該無人機與橋面BC的距離約為459.5m.

20.解：⑴30；10；20；

10

(2)D組扇形所對的圓心角的度數(shù)為360°義=36°；

20+30+40+10

(3)畫樹狀圖如下:

開始

由圖可知，一共有12種等可能的結(jié)果，丁同學未被抽中的結(jié)果一共有6種,

丁同學未被抽中的概率為尸=9=J_.

122

21.(1)證明：是等邊三角形，E是AC的中點,

ZDEC=90°,AC=DC,AE=EC.

VAC=IBC,BC=EC.

BC=EC,

在RtZUBC和RtADEC中，〈

AC=DC,

(2)解：如圖，連接BD.

在RtZkASC中，BC=1,：.AC=2BC=2.

由勾股定理，得AB=LC2-BC2=6

???△4DC是等邊三角形，/.AD=AC=2,ZDAC=60°.

在△ZBC中，ZABC=90°,AC=2BC,

：.ABAC=30°,/BAD=ABAC+ADAC=90°,

△28。是直角三角形,

2

BD=^AB~+AD=+、2=V7.

A

D

c

22.解：(1)設(shè)第一周到第三周“名師云課堂”收看人數(shù)的平均增長率為X.

則24200(l+x)2=29282,

解得占=0.1=10%,x2——2.1(舍).

答：第一周到第三周“名師云課堂”收看人數(shù)的平均增長率為10%；

(2)29282x(1+10%)-32210(人).

答：估計第四周有32210人收看“名師云課堂”.

23.(1)證明：如圖，連接BF交AD于點G.

?.?將nABCD沿AD對折，得至I」nAFED,

J_ZD于點G,BG=FG,AD//BC//FE,

由平行線分線段成比例定理得，—=—=1,：.BO=EO；

EOFG

(2)解：由(1)得，若BC=2AB=8,ZC=60°,BFVAO,

則45=Zb=4,FE=BC=8,

NBAO=ZFAO=ZC=60°,ZAGB=ZAGF=90°,

AG-AB-cos60°=2.

由(1)得，GO是尸的中位線，

GO=—FE=4,AO=AG+GO=2+4=6,

2

；BG=4B?sin60°=273，,BF=2BG=473,

:-SnmAFOB=-5F=1X6X4A/3=12A/3.

24.(1)證明：在△NBC中，:ZACB:ZABC=1:1:2,

又：Z^+NZCB+NZ8C=180°,/.ZA=ZACB=180°x-=45°,

4

ZABC=180°x-=90°,

4

，48,CB.是。。的直徑，，直線AD是。。的切線；

(2)解：如圖1,連接0G.

由(1)得408=45°,二N5OG=90°,

AZOCG=ZOGC=45°,ZGOB=ZCBD=90°,OG//BD.

又ZOHG=NBHD,：./\OGH^/\BDH.

'：ACGH和MDH在GH和上的高相等，

?色=絲」.—吧、

S2DH2'BHDHBD2'

設(shè)OH=a,則=OB=OG=3a,：.BD=2OG=6a,

：.DH=yjBH2+BD2=2屈a,sinZBDH=—==—；

DH25a10

余.

(3)解：如圖2,連接EF,BG,BF.

BC是直徑,：.NBGC=NBEC=NBFC=90°.:NBCG=45°,

ZCBG=ZBCG=45°,GB=CG.

由(2)得ZCBD=90°,；.ZEBD+ZCBE=90°.又；ZECB+ZCBE=90°,

BEDB

：.ZEBD=ZECB=NBGD.：NEDB=ZBDG,：.Z\DBE^Z\DGB,：.——=——.①

GBDG

?..點C,廠，瓦G四點共圓，ND/7E=NDGC.

EFDF

'：ZEDF=ZCDG,:.ADEFS&DCG,：.—=——，②

CGDG

①+②得，――=――-――=—,CB=mk,CD=nk.(k>0)

EFDFCDnv7

由勾股定理，得BD=yJCD2-CB2=ksln2-m2.

?：NDFB=NDBC=90°,ZBDF=ZCDB,/\DBF^/\DCB,

DFDB.clDB?k(rr-nT^.BEDBn^n2-m2

—,??DF--=,??==Q'

DBDCDCnEFDFn2-m2

c

222

25.解：（1）當自交量l二左時，yl=kx+2k=k+2k,y2=kx—3k——2k.

??,當自變量x=左時，函數(shù)％,%