2023-2024學(xué)年甘肅省民樂縣高三年級上冊第一次診斷考試數(shù)學(xué)試題（附答案）

o

2023_2024學(xué)年甘肅省民樂縣高三上冊第一次診斷考試數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的4個選項中，只有1項是

符合題目要求的.

1.已知MN均為R的子集,且?！拔葚皠tMu@v）=（）

A.0B.Mc.ND.R

2.祖昭原理：“暴勢既同，則積不容異”，它是中國古代一個涉及幾何體體積的原理，意思是兩

個等高的幾何體，若在同高處的截面積恒相等，則體積相等.設(shè)A,8為兩個等高的幾何體，

O

而的體積相等.夕：48在同高處的截面積恒相等.根據(jù)祖眶原理可知，夕是。的（）

抑

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.在平面直角坐標(biāo)系中，角。和角夕的頂點均與原點。重合，始邊均與x軸的非負(fù)半軸

2

_cosa=—.〃

重合，它們的終邊關(guān)于直線>對稱，若則二（）

喙3,sm,

_V5_22V5

A.3B.3C.3D.3

O

=3sinf2%+———

4.若將函數(shù)I3>2的圖象向右平移6個單位長度，則平移后圖象的對稱中心為

()

教

9黑3)g+；可(%wZ)

A.B.

(keZ)y,0l(^eZ)

C.D.

O

/（）=r2+2x,x-°,

5.已知函數(shù)xl*+2x，x<0,若7（2-/）>/（"）,貝埃數(shù).的取值范圍是（）

A(-0o,-l)U(2,+oo)B.S,)

C.HQD.（_CO>-2）U（1，+00）

K

6.割圓術(shù)的核心思想是將一個圓的內(nèi)接正”邊形等分成〃個等腰三角形（如圖所示），當(dāng)〃變得

很大時，這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積.運用割圓術(shù)的思想得到sin3。的近似

值為（）

O

1/16

71Tt

A.90B.180

71

C.270D.60

7.已知曲線"x）=e'在點尸（OJ（。））處的切線也是曲線g（x）=ln3）的一條切線，貝心的值為

（）

ee_Q

A.3B.2C./D.3

8.已知a=41n3",6=31n4=c=41nM,則”，b,c的大小關(guān)系是

A.c<b<aB.b<c<ac.b<a<cD.a<b<c

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列命題中的真命題是（）

2

A.VxeR;e'T>0B.VxeN,x>0

c.,"z,使得VIx+y=4D.GR,使得tanx=V^

10.下列結(jié)論正確的是（）

a3+±

A.設(shè)。>0,則“+/的最小值是26

1

XH----

B.當(dāng)%>1時，工的最小值是2

y/xH-22

C.當(dāng)、>。時，口

54cl

x<—y=4x-2H------

D.當(dāng)4時，.4x-5的最大值是1

11.已知定義（一叫+8）的奇函數(shù)，滿足/3=/（2-x）,若"1）=1,則（）

A./。）=1B.4是,（X）的一個周期

c./（2018）+/（2019）+/（2020）=-1D.八、）的圖像關(guān)于、=1對稱

12.關(guān)于函數(shù)"x）=cosx+Mnx],下述結(jié)論正確的是（）

A./（X）的最小值為-亞B./（X）在阮2兀］上單調(diào)遞增

C.函數(shù)了=在［-兀,可上有3個零點D.曲線，="“）關(guān)于直線》=兀對稱

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

^-<2

13.不等式x+1的解集為.

14.若-1<。+方<3,2<”6<4,則2。+36的取值范圍為.

15.若tan20°+加sin200=e,則加的值為.

16,已知/（X）為偶函數(shù)，且當(dāng)xe［°，+°°）時，/。）+切'。）<0,其中尸（x）為?。┑膶?dǎo)數(shù),

則不等式（1一x）/（xT）+2xf（2x）>0的解集為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

1+1=2

17.已知正實數(shù)x,y滿足等式龍了.

⑴求孫的最小值；

⑵求3x+>的最小值.

sin(<z+^)=—,sin(a-y0)=—

18.已知55

tana

(I)求tan/的值；

JI

0<￡<aV—0

(n)若4,求cos￡的值.

19.設(shè)加6R,關(guān)于x的不等式#+2"a+加+2<0的解集為0.

（1）求加的取值范圍;

（2）求關(guān)于龍的不等式以？+（機(jī)-2）x-220的解集.

f（x）=4sin絲cos—巴］+加（0>0）

20.已知函數(shù)2I23J.在下列條件①、條件②、條件③這三個條

件中，選擇可以確定。和機(jī)值的兩個條件作為已知.條件①：/（X）最小正周期為兀；條件②:

/（X）最大值與最小值之和為0；條件③.〃°）=2

⑴求<3J的值；

（2）若函數(shù)/（X）在區(qū)間［°，可上單調(diào)遞增，求實數(shù)”的最大值.

3/16

21.已知函數(shù)/Q）=lnx_x[

（1）求函數(shù)/（'）的單調(diào)增區(qū)間；

（2）求函數(shù)"x）在（。同（3>。）上的最大值.

fG）=——x2+ax-\nx（aeR）

22.設(shè)函數(shù)2V<

（1）當(dāng)。=1時，求函數(shù)/（X）的極值；

⑵若對任意”€（4,5）及任意項,恒有〒加+歷2>|/（玉）-/（々）成立，求實數(shù)加的

取值范圍.

1.B

【分析】由題意利用集合的包含關(guān)系或者畫出％加圖，結(jié)合％而圖即可確定集合的運算結(jié)果.

【詳解】解法一：據(jù)此可得.,.?(”)=%

故選：B.

解法二：如圖所示，設(shè)矩形48cZ)表示全集R,

矩形區(qū)域表示集合M,則矩形區(qū)域CDE”表示集合4M,

矩形區(qū)域CDFG表示集合N,滿足1N,

結(jié)合圖形可得"U(ON)="

故選：B.

AFED

BGHC

2.A

【分析】根據(jù)之間的推出關(guān)系可得正確的選項.

【詳解】設(shè)A為正方體，其棱長為2,體積為8,B為長方體，底面為邊長為1的正方形，高為

8,顯然42在等高處的截面面積不相等，若夕是。的不必要條件，

當(dāng)A,B在同高處的截面積恒相等時，根據(jù)祖眶原理有A,3的體積相等，

所以充分性成立，因此是〃的充分不必要條件.故選A.

兩個條件之間的關(guān)系判斷，可依據(jù)命題“若〃則1”、“若則尸”真假來判斷，此類問題屬于基礎(chǔ)

題.

3.B

【分析】由角的終邊得出兩角的關(guān)系，然后由誘導(dǎo)公式求值.

1/16

a+0=2(kit)=2ATL—

【詳解】角a和角尸的終邊關(guān)于直線>=對稱，則4-2,keZ.

sin,=sin[2E-(—+a)]-sin(—+a)=-cosa=--

2=23

故選：B.

4.C

【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得平移后的圖象的解析式，再利用整體代入法即可求得

其對稱中心.

=3sinf2x+——

【詳解】將函數(shù)"I3>2的圖象向右平移6個單位長度，

兀11,1

H—H——3sin2xH—

H3」22的圖象,

=至k7

令2x=kjt,kGZ,得'2'￡,

［筵」］（左￡Z）

所以平移后圖象的對稱中心為12,2>

故選：C.

5.C

【分析】探討給定函數(shù)的單調(diào)性，再借助單調(diào)性求解不等式作答.

【詳解】因>=%?+2無在電+◎上單調(diào)遞增，>=一/+2%在(-8,0)上單調(diào)遞增，

zxJx2+2x,x>0

因此，函數(shù)L/+2x，x<0在R上單調(diào)遞增，則/(2-/)>/(。)=2-/>一解得

—2<a<1,

所以實數(shù)。的取值范圍是(-2』).

故選：C

6.D

【分析】由題意，將360。的圓周角平均分為120份，利用面積公式，建立方程，可得答案.

【詳解】將一個單位圓分成120個扇形，則每個扇形的圓心角度數(shù)均為3。，

因為這120個扇形對應(yīng)的等腰三角形的面積之和近似等于單位圓的面積，

]71

120x—xlxl-sin3°=60sin3°q兀sin3°?—

所以2，所以60.

故選:D.

7.C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得了(X)在尸點處的切線方程，設(shè)其與g(x)相切于點

(x0,ln(?x0))；由切線斜率可求得％,利用兩點連線斜率公式構(gòu)造方程求得。.

【詳解】?.?/'(%)=/,/(°)=1,,

'/(x)在點尸(°J(°》處的切線方程為：片X+1;

設(shè)y=x+l與g(x)相切于點&,ln(%)),則g(/)X。\解得：%=1,

ln(ox0)-l_

—1

又X。一°,.-.ln?-l=l,解得.0=/

故選：C.

8.B

【分析】若對數(shù)式的底相同，直接利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可，若底不同，則根據(jù)結(jié)構(gòu)構(gòu)造

函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小.

【詳解】對于“)的大小：a=41n3"=ln34"="ln81,6=31n4"=ln43"="ln64,明顯。>b；

z-z、Inx、，1-lnx

/(x)=-----/(x)=——7—

對于凡c的大?。簶?gòu)造函數(shù)X，則X?,

當(dāng)xe(0,e)時，f(x)>0,/(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,

當(dāng)xe(e,+oo)時，f(x),<0,f(x)在(e,+oo)上單調(diào)遞減,

,、“、—<—,.-.31n^<^-ln3,.-.ln^3<ln3\.\<3^

...乃>3>e,;./(萬)</(3)即"3:.a>c

343

對于的大?。?=31n4"=ln64",c=41n7r=ln[(^-)],64"<[(萬>『，c>b

故選B.

將a,4c兩兩變成結(jié)構(gòu)相同的對數(shù)形式，然后利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷，對于結(jié)構(gòu)類似的，可以

通過構(gòu)造函數(shù)來來比較大小，此題是一道中等難度的題目.

9.ACD

【分析】對A,D,可由對應(yīng)的函數(shù)進(jìn)行判斷；對B,C,可由特殊值進(jìn)行判斷.

【詳解】解:對A,■■x-leR,

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域為(0'+“)，

3/16

即y=ei>°,故A正確；

對B,當(dāng)工=0時，x2=0,故B錯誤；

對C,當(dāng)x=°，了=4時，0x+y=4,故c正確;

對D,：尸tanx的值域為(f+8),故土eR,tanx=2,口正確.

故選：ACD.

10.CD

【分析】運用基本不等式逐一判斷即可.

【詳解】對于選項A：:26不是定值，2而不是“十/的最小值，故選項A錯誤;

、c

xH—122jx—1=2C

對于選項B：當(dāng)時,由基本不等式可得XX

1

X———

等號成立的條件為X,即x=l.

1

XH---

但X>1,故取不到等號,故2不是x的最小值，故選項B錯誤;

yfxH--,=22=2

對于選項C：當(dāng)龍>°時,由基本不等式可得C

即x=l時，等號成立，故選項C正確;

5

X<一

對于選項D：當(dāng)4,即5-4x>0時，

y=4x-2+—!—=(4x-5)+—>―+3=-[(5-4x)+—'―]+3

4x-54x-55-4x

(5-4x)+>2.(5-4x)—-2

由基本不等式可得5-4XV5-4%

5—4%---------

當(dāng)且僅當(dāng)'5-4X,即x=l時等號成立.

y=-[(5-4x)+—>―]+3<-2+3=1

此時5-4x

即當(dāng)、=1時，y有最大值1,故選項D正確.

故選：CD.

11.BCD

【分析】對于A,f(3)=-1,故A錯誤；對于5,/(%+4)=/(x),即4是/(、)的一個周

期，故B正確；對于C,/(2018)+/(2019)+/(2020)=-1,故C正確；對于。，“幻的圖象關(guān)

于x=l對稱，故。正確.

【詳解】對于A,f(3)=八一1)=一/(1)=-1,故A錯誤;

對于8,+4)=f[2-(x+4)]=/(-x-2)=-/(x+2),

而f(x+2)=/[2-(x+2)]=/(-x)=-/(x),

；./(x+4)=/(x),即4是〃x)的一個周期,故B正確；

對于C,?."(X)是奇函數(shù)，.?./(0)=0,

又“X)的一個周期為4,

?-?7(2018)=/Q)=/(。)=0,7(2019)=/⑶=一，/(2020)=〃0)=0,

???7(2018)+/(2019)+/(2020)=-1；故C正確；

對于D,??./(%)=/(2—%),f(x+1)=f[2-(x+1)]=/(I-x),

???/(X)的圖象關(guān)于x=l對稱，故。正確；

故選：BCD.

本題主要考查了函數(shù)奇偶性、函數(shù)周期性和對稱性判斷，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握

水平.

12.CD

【分析】分情況討論，去掉絕對值，結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)可得答案.

f(x+2n)=cos(^+2K)+|sin(x+27i)|=cos^+|sinx|=/(x)

【詳解】因為

所以/(x)的一個周期為2兀;

f(x)=cosx+sinx=V2sin71

對于A,當(dāng)內(nèi)他71]時,X+-

n7C5兀

因為xe[0,%],所以x+^e4'4」，/(X)的最小值為-1；

當(dāng)xe(兀,2兀)時/a)=cosxTinx=也cosx+—

I4

7T5兀9兀

因為xe(兀，2兀)，所以工+^￡5

TT,/(X)的最小值為T,A不正確.

「ol/(x)=cosx-sinx=V2cos

對于B,當(dāng)兀1時，

5/16

令414'4」，由〉=cosf的單調(diào)性可知/(x)在[兀,2句上先增后減，B不正確.

對于c,當(dāng)xe[O,何時，令&)=1得sm(x+刈2,

YL兀U「兀5兀17171713K兀

%+:，下x+—=—X+—=—%=-

因為4L44」，所以44或44,即X=O或2.

V2

當(dāng)xe(fO)時，令小)=1得c°s

上兀(3兀叫兀71兀

一-r?7x+—=——x=——

因為4I4”,所以44,即2.所以共有3個零點，C正確.

對于D因為/(2兀一元)=cos(2兀-x)+|sin(27i-x)|=cosx+|sinx\=/(x)

所以曲線了=/G)關(guān)于直線》=兀對稱，D正確.

故選：CD

13(-°°，-3]U(-1,+℃)

【分析】利用分式不等式的解法即可求解.

342--2<0^>0

【詳解】不等式X+1可化為X+1，即X+1,

f(x+l)(x+3)>0

等價于"+1*°,解得XV-3或X>-1,

x-1.2

所以不等式二^一的解集為(一00'-3]U(T，+S)

故答案為.S-3]U(T”)

14.I2R

[分析]設(shè)2a+3b=x(a+b)+y(a_b)=(x+y)a+(x_j0b,利用系數(shù)相等求得x/的值，結(jié)合不

等式的基本性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由題意，設(shè)2a+36=x(a+6)+y(a-6)=(x+y)a+(x-〉M,

[x+y=251

則〔無7=3,解得一2',一2.

因為一1<。+6<3,2<。一6<4,

-1<|(a+6)<y,-2<-1(a-6)<-l

可得

——<一(Q+6)——(a-b)<---

所以2222,即2a+36的取值范圍是I22

L112

故答案為22

15.4

【分析】根據(jù)給定條件，利用湊特殊角的方法及三角恒等變換求解作答.

?”c/cc”csin60°sin20°

“C..C/T加sm20=tan60—tan20=-----------------------

【詳解】tan20°+msin20°=V3得cos60°cos20°

sin60°cos20°-cos60°sin20°sin40°4sin20°cos20°..___

=---------------------------------------=------------=---------------------=4sin20°

cos60°cos20°1“c”ocos20°

—cos20

2,而sin20°>0,

所以加=4.

故4

16.(r°,T)

【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合奇偶性求解不等式作

答.

【詳解】令函數(shù)g(x)=^(x),當(dāng)xeR+s)時，g'(x)=/(x)+^(x)<0,即函數(shù)g(x)在

電+網(wǎng)上單調(diào)遞減，

由/(x)為偶函數(shù)，得g(f)=-泣-x)=-4(x)=-g(x),即函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，于是g(X)在R

上單調(diào)遞減，

不等式(1-x)y(x-1)+2V(2x)>0O2切(2x)>(x-1)/(x-1)og(2x)>g(x-1),

因此2x<x-l,解得x<7,所以原不等式的解集是

故(一8,-1)

關(guān)鍵點睛：根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵.

17.(1)3

⑵6

【分析】(1)直接利用基本不等式求解即可;

(2)根據(jù)條件,,再利用基本不等式求解即可.

7/16

2=-+->2

【詳解】(1)》>xy,即中23,

￡2

當(dāng)且僅當(dāng)無了，即》=1,、=3時等號成立,

所以孫的最小值為3.

(2)

9x_y

當(dāng)且僅當(dāng)了》即x=l,V=3時等號成立,

即(3x+XL=6.

9=7逑

18.⑴tan/?(ID10

sinacosB=——

【分析】（D利用兩角和與差的正弦公式將已知兩式展開，分別作和、作差可得10,

1tancr_sinacos0

coscrsin/?=——二—~=--------:~~

1°,再利用tan夕cosasm/7,即可求出結(jié)果；

(II)由已知求得c°s(a+￡)，cos(”-"),再由cos2"=cos[(a+#)-(a-m],利用兩角差的

余弦公式展開求解，即可求出結(jié)果.

4

sin(a+￡)=sinacosB+cosasinB--

【詳解】解：(I)5①

3

sin(cir-/7)=sinacos/?-cosasin/?=—

5②

Q7

sinacosp-——

由①+②得10③

?

cosasmpQ=——1

由①-②得10④

tanar

------=7

由③?④得tan△

Q<J3<a<^sin(a+/7)=],sin(a—￡)=]

0<a+/?<—,0<a-/3V—cos(a+4)=Jl-sin2(a+￡)=~，

cos(a_0)=J]-sin?(a_0)——,

cos2/?=cos[(a+￡)-(a-0]

=cos(a+))cos(a—/7)+sin(a+/3)sin(cif-/7)

344324

=—x--F—x—=——

555525

1+cos2尸

vcos2y0=2cos2(3八：.cosp=

本題主要考查了兩角和差的正余弦公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化

思想，屬于中檔題.

19.(1)-y<m<2.(2)見解析.

(1)由一元二次不等式恒成立的性質(zhì)運算即可得解;

(2)轉(zhuǎn)化條件為(M-2)(X+1)20,按照加=0、0<%<2、-1、用<°討論,運算即可得解.

【詳解】(1)因為關(guān)于x的不等式爐+2*+機(jī)+2<0的解集為0,

所以關(guān)于x的不等式V+2加x+加+220恒成立,

所以公=4/-4(7〃+2)V0,解得一”7"W2,

所以〃？的取值范圍為

(2)不等式加/+(加一2)%一220等價于(加%—2)(%+1)之0,

當(dāng)加=0時，不等式可化為-2X-2N0,解集為｛X/VT｝；

cc—>-1&X<-1X--

當(dāng)0〈俏W2時，m,此時不等式的解集為1或m

—<-1jx|—<x<-l

當(dāng)一IV機(jī)<。時，m,此時不等式的解集為〔加

△/1=26+2

20.⑴選擇②③無解；選①②：;選①③：〈3).

5兀

⑵五

f(x)=2sincox--+A/3+m

【分析】(1)先化簡得到I3),選擇②③時無解，舍去，選擇①②

或①③，確定①，加的值，進(jìn)而求出(2)

.coxCOX71”.CDX\1coxV3.cox^

j(x)=4sm——cos+m=4sin———cos——+——sm——+m

【詳解】(1)函數(shù)22322222J

=sin3x-也cosGX+逝+加=2sin1+

3

9/16

選條件①②：

由于/(X)最小正周期為兀，所以。=2,

/(x)=2sin|2x-—|+V3+m

所以I3J；

由/(X)最大值與最小值之和為0,

/(%).=一2+省+加f(x)=2+省+加

J\/nun,“'/max,

故―2+V3+加+2+V3+加=0,解得m——A/3

f2sin|2x--I

所以3I3)

選條件①③：

由于/(x)最小正周期為兀，所以0=2,

f(x)=2sin2x--+V3+m

所以I3J；

f(0)=2sin(—巴］+6+加=2f(x)=2sin|2x-—|+^3+2

I3),解得：m=2,故I3J

/^=2siny+V3+2=2V3+2

f(x)=2sin69X--+V3+mfz、

選②③：由于I3J,所以/口加n=-2+V3+m

/(x)max=2+百+加,故一2+G+加+2+百+機(jī)=0,解得.加=_指

f(0)=2sin--+V3+m=2

又I3J,解得:m=2,矛盾，此時無法確定公和加值，舍去

2x--G」2a--

3」，由于函數(shù)在區(qū)間R"］上是增函數(shù)，所以2a--<-

(2)當(dāng)時，332,

5兀

QS---

解得一12,

5兀

故。的最大值為12.

21.(1);（2）答案見解析.

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)/口）>°,直接解得/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間；

0顯

（2）分類討論：當(dāng)<“<2時，"X）在（°，可上單調(diào)遞增，此時/㈤曲=/（°）=In"。

a>—0'V~T,a

當(dāng)2時，〃x）在IJ上單調(diào)遞增，在IJ上單調(diào)遞減，可以求出最大值.

」-2x=l-2x2

【詳解】（1）/（X）的定義域為（Q+"）,

X

l-2x?0<x〈旦

令尸得

(x)>0,x>,...x>02

。考

故/a）的單調(diào)遞增區(qū)間為IA