北京市八十中2024年高考仿真卷數(shù)學(xué)試題含解析

北京市八十中2024年高考仿真卷數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

a,an1

1.已知數(shù)列〃i，—,—,工是首項(xiàng)為8,公比為一得等比數(shù)列，則。3等于（）

。2an-l2

A.64B.32C.2D.4

V

2.已知正四面體的內(nèi)切球體積為心外接球的體積為V,則一=（）

v

A.4B.8C.9D.27

22

3.雙曲線二-上=1（。>0,6>0）的右焦點(diǎn)為口，過點(diǎn)口且與x軸垂直的直線交兩漸近線于兩點(diǎn)，與雙曲線的

ab

其中一個(gè)交點(diǎn)為P,若OP=^OM+〃ON（九〃eR）,且=卷，則該雙曲線的離心率為（）

A3血5A/2?573576

A.-----RB.------C.------Dn.------

4121212

4.函數(shù)/（x）=4sin+|（?>0）的最小正周期是3萬，則其圖象向左平移￡個(gè)單位長度后得到的函數(shù)的一條對(duì)

稱軸是（）

乃〃?5萬19乃

A.X=——B.x=——C.x=—D.x=------

43612

5.某工廠只生產(chǎn)口罩、抽紙和棉簽，如圖是該工廠2017年至2019年各產(chǎn)量的百分比堆積圖（例如：2017年該工廠

口罩、抽紙、棉簽產(chǎn)量分別占40%、27%、33%）,根據(jù)該圖，以下結(jié)論一定正確的是（）

A.2019年該工廠的棉簽產(chǎn)量最少

B.這三年中每年抽紙的產(chǎn)量相差不明顯

C.三年累計(jì)下來產(chǎn)量最多的是口罩

D.口罩的產(chǎn)量逐年增加

6.從集合｛—3,—2,-1,1,2,3,4｝中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為加，從集合｛—2,-1,2,3,4｝中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為〃，則在方

2222

程二+匕=1表示雙曲線的條件下，方程土+匕=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的概率為()

mnmn

98179

A.B.——C.—D.

17173535

函數(shù)f(x)=辦+工在(2,+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

7.()

X

111

A.—,+ooB.—,+ooC.[1,-Hx))D.—00,—

444

8.“角谷猜想”的內(nèi)容是：對(duì)于任意一個(gè)大于1的整數(shù)〃，如果〃為偶數(shù)就除以2,如果〃是奇數(shù)，就將其乘3再加1,

執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入〃=10,則輸出i的()

/

A.6B.7C.8D.9

Ax-l,x>0,

9.己知函數(shù)/(%)=<若函數(shù)/(x)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有2對(duì)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是()

-ln(-x),x<0,

A.—00,0)B.(0,1)C.(0,+a)D.

10.有一改形塔幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面

各邊的中點(diǎn).已知最底層正方體的棱長為8,如果改形塔的最上層正方體的邊長小于1,那么該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至

少是()

A.8B.7C.6D.4

11.若〃=log23/=log47,c=0.74,則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a

22

12.若雙曲線二-斗=1（。>0,6>0）的一條漸近線與直線6x—3y+1=0垂直，則該雙曲線的離心率為（）

ab

A.2B.@C.D.2百

22

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知圓柱的上、下底面的中心分別為。-02,過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則

該圓柱的表面積為.

14.在棱長為1的正方體A3CD-4用GR中，P、。是面對(duì)角線AG上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)?以下四個(gè)命題：①存在

P、Q兩點(diǎn)，使8PLOQ；②存在P、。兩點(diǎn)，使8尸、。。與直線與。都成45。的角；③若|PQI=1,則四面體

3DPQ的體積一定是定值；④若1尸。1=1,則四面體BDPQ在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值.其中為

真命題的是—.

15.某校共有師生1600人，其中教師有1000人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個(gè)容量為80的樣本，則

抽取學(xué)生的人數(shù)為.

3

16.已知｛4｝為等比數(shù)列，S“是它的前幾項(xiàng)和.若出生=2卬，且％與2%的等差中項(xiàng)為1,貝?。莨?.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為0,公差為a,aeN*;等差數(shù)列也｝的首項(xiàng)為0,公差為瓦beN*.由數(shù)列｛4｝

和｛〃｝構(gòu)造數(shù)表M,與數(shù)表M*；

記數(shù)表M中位于第i行第/?列的元素為“，其中與=q+",（i,j=i,2,3,...）.

記數(shù)表M*中位于第i行第，列的元素為四,其中4=%-%+1Cl<i<b,zeNSjeN*）.如：cl2=ax+b2,

4,2=一優(yōu).

⑴設(shè)。=5,b=9,請(qǐng)計(jì)算。2,6,C396,6，12.6；

(2)設(shè)。=6,6=7,試求為,&的表達(dá)式(用i,j表示)，并證明：對(duì)于整數(shù)。若f不屬于數(shù)表M,則f屬于數(shù)

表“1；

(3)設(shè)。=6,b=7,對(duì)于整數(shù)f,f不屬于數(shù)表M,求f的最大值.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=logK2如2—3無+8〃，).

4

(I)當(dāng)m=1時(shí)，求函數(shù)/Xx)在d,2］上的值域；

2

(II)若函數(shù)/(X)在(4,+8)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程為10°。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，工軸的

正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為0=4sin6?.

(1)求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線/與曲線C交于A、B兩點(diǎn),求AQ鉆的面積.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=x+a(l-e*),aeR.

(1)討論了(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)aNl時(shí)，證明：/(x)-alna+a<l.

21.(12分)在直角坐標(biāo)系xQy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。的參數(shù)方程為

x=2+2cos。/i-\

<(6為參數(shù))，直線/經(jīng)過點(diǎn)1,-3j3)且傾斜角為a.

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程和直線/的參數(shù)方程；

(2)已知直線/與曲線C交于A3,滿足A為MB的中點(diǎn)，求tancr.

22.(10分)在A45C中，內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別是"c,已知A=工，/+02—且%=片.

33

(1)求。的值；

(2)若6=1,求AABC的面積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

根據(jù)題意依次計(jì)算得到答案.

【詳解】

根據(jù)題意知：q=8,—=4,故里=32,--2,%=64.

a2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)列值的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

2、D

【解析】

設(shè)正四面體的棱長為1,取的中點(diǎn)為。，連接AO,作正四面體的高為首先求出正四面體的體積，再利用

等體法求出內(nèi)切球的半徑，在中，根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑，利用球的體積公式即可求解.

【詳解】

設(shè)正四面體的棱長為1,取的中點(diǎn)為。，連接AO,

作正四面體的高為PM,

則A￡>=走,AM=—,

233

PM=弋PA2-AM?=逅,

3

_16V6_V2

?.Vp=—x--x---=---9

ARcC34312

設(shè)內(nèi)切球的半徑為廠，內(nèi)切球的球心為。，

則VP-ABC=4VO-ABC=4X；X￥r,

解得：「=在;

12

設(shè)外接球的半徑為R，外接球的球心為N,

則|W|=|PM_R|或忸_。閭，AN=R,

在RA4AW中，由勾股定理得：

AM~+MN~=AN\

+-7?^=R2,解得R=比,

3I3J4

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了多面體的內(nèi)切球、外接球問題，考查了椎體的體積公式以及球的體積公式，需熟記幾何體的體積公式,

屬于基礎(chǔ)題.

3、D

【解析】

根據(jù)已知得本題首先求出直線與雙曲線漸近線的交點(diǎn)，再利用OP=幾OM+〃ON,求出點(diǎn)P/4+〃)c，(2一〃)—>

「6

因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上，及0=—,代入整理及得4e2〃/=l,又已知4〃=一，即可求出離心率.

a25

【詳解】

由題意可知—1,N卜,----],代入OP=2OM+〃ON得:+〃)c,(4—〃)—

代入雙曲線方程1一1=1整理得：4e22//=l,又因?yàn)?即可得到e=9,

a2b22512

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是雙曲線的簡單幾何性質(zhì)和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，離心率問題關(guān)鍵尋求關(guān)于。，b,，的方程或不等式,

由此計(jì)算雙曲線的離心率或范圍，屬于中檔題.

4、D

【解析】

由三角函數(shù)的周期可得。=]，由函數(shù)圖像的變換可得，平移后得到函數(shù)解析式為y=4sin(gx+[t],再求其

對(duì)稱軸方程即可.

【詳解】

解：函數(shù)/(x)=4sin(0x+g](0>O)的最小正周期是3萬，則函數(shù)/(x)=4sin1|x+g),經(jīng)過平移后得到函數(shù)

ME一d/.2171]n/?12471\247r7萬〃

解析式為y=4sin—xH—H—=4sin-xH-----,由一xH--------k兀H—(kGZ),

_3v6J3J(39)392

3jr197r

得x=5版r+五伏eZ),當(dāng)左=1時(shí)，x=~^-

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移變換，屬基礎(chǔ)題.

5、C

【解析】

根據(jù)該廠每年產(chǎn)量未知可判斷A、B、D選項(xiàng)的正誤，根據(jù)每年口罩在該廠的產(chǎn)量中所占的比重最大可判斷C選項(xiàng)的

正誤.綜合可得出結(jié)論.

【詳解】

由于該工廠2017年至2019年的產(chǎn)量未知，所以，從2017年至2019年棉簽產(chǎn)量、抽紙產(chǎn)量以及口罩產(chǎn)量的變化無法

比較，故A、B、D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

由堆積圖可知，從2017年至2019年，該工廠生產(chǎn)的口罩占該工廠的總產(chǎn)量的比重是最大的，則三年累計(jì)下來產(chǎn)量最

多的是口罩，C選項(xiàng)正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查堆積圖的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

6、A

【解析】

2222

設(shè)事件A為，，方程土+匕=1表示雙曲線”，事件5為“方程土+匕=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線”，分別計(jì)算出

mnmn

P(AB}

P(A),P(AB),再利用公式P(B/A)=Yy一計(jì)算即可.

p⑷

【詳解】

2222

設(shè)事件A為“方程上+匕=1表示雙曲線”，事件B為“方程L+匕=1表示焦點(diǎn)在y軸上

mnmn

3x3+4x?173x3Q

的雙曲線”，由題意，P(A)=一=一=—,P(AB)=一|=三，則所求的概率為

7x5357x535

P(AB)9

P(B/A)=

P(A)17

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用定義計(jì)算條件概率的問題，涉及到雙曲線的定義，是一道容易題.

7、B

【解析】

對(duì)4分類討論，當(dāng)aWO,函數(shù)在(0,+8)單調(diào)遞減，當(dāng)。>0,根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，求出單調(diào)遞增區(qū)間，即可

求解.

【詳解】

當(dāng)4V0時(shí)，函數(shù)/(乃=辦+!在(2,+8)上單調(diào)遞減,

X

/(刈=依+,的遞增區(qū)間是

所以〃>0,

X

c11

所以227=，即

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)單調(diào)性，熟練掌握簡單初等函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

8、B

【解析】

模擬程序運(yùn)行，觀察變量值可得結(jié)論.

【詳解】

循環(huán)前i=l,〃=10,循環(huán)時(shí)：n=5,i=2,不滿足條件〃=1；"=16,7=3,不滿足條件〃=1；n=8,i=4,不滿

足條件〃=1；n=4,i=5,不滿足條件〃=1；/=2,7=6,不滿足條件〃=1；n=\,i=7,滿足條件〃=1,退出

循環(huán)，輸出i=7.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查程序框圖，考查循環(huán)結(jié)構(gòu)，解題時(shí)可模擬程序運(yùn)行，觀察變量值，從而得出結(jié)論.

9、B

【解析】

考慮當(dāng)x＞0時(shí)，丘—l=lnx有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令M%）=lnx—依+1,則可另有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)和

零點(diǎn)存在定理可得實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【詳解】

因?yàn)?（尤）的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有2對(duì)，

所以%＞0時(shí)，立—1=Inx有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.

令/z（x）=lnx—丘+1,則/?）在（0,+“）有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

1-kx

又〃（X）

X

當(dāng)上＜0時(shí)，h'（x）＞0,故&（x）在（0,+功上為增函數(shù),

⑺在（0,+。）上至多一個(gè)零點(diǎn)，舍.

當(dāng)左＞0時(shí),

,則〃（%）＞0,網(wǎng)對(duì)在（0.

若xe上為增函數(shù);

若xe*I，+s］上為減函數(shù);

,則〃（力＜0,人⑺在

故力=ln/

因?yàn)镸%）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以ln：＞0,解得0〈左＜1.

K

又當(dāng)0〈左＜1時(shí)，工V"1■且”0,故/?(%)在H

<上存在一個(gè)零點(diǎn).

ek

又/(我)=In+1=2+2In/-eZ,其中/=:〉1.

令g(/)=2+21nf—ef,則=

當(dāng)/>1時(shí)，gr(t)<0,故且⑺為(1,+℃)減函數(shù)，

所以g1)<g(l)=2_e<0即丸<0.

因?yàn)槲?I,所以3)在1

,+oo上也存在一個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng)0＜左＜1時(shí)，妝了)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，一般地，較為復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)，必須先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理說

明零點(diǎn)的存在性，本題屬于難題.

10、A

【解析】

則從下往上第二層正方體的棱長為：而不=40，從下往上第三層正方體的棱長為：J(20『+(20『=4,

從下往上第四層正方體的棱長為：五百=2拒，以此類推，能求出改形塔的最上層正方體的邊長小于1時(shí)該塔形

中正方體的個(gè)數(shù)的最小值的求法.

【詳解】

最底層正方體的棱長為8,

則從下往上第二層正方體的棱長為：戶了=40，

從下往上第三層正方體的棱長為：,(2可+(2何=4,

從下往上第四層正方體的棱長為：萬萬=272，

從下往上第五層正方體的棱長為：，(后『+(夜『=2,

從下往上第六層正方體的棱長為：喬丁二也,

從下往上第七層正方體的棱長為:

從下往上第八層正方體的棱長為：=2^,

...改形塔的最上層正方體的邊長小于1,那么該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是8.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查正方體有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

11、A

【解析】

將?；梢?為底的對(duì)數(shù)，即可判斷a力的大小關(guān)系；由對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可判斷出仇。與1的大小關(guān)

系，從而可判斷三者的大小關(guān)系.

【詳解】

依題意，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得a=log23=log49>。=log47.

又因?yàn)閏=0.74<0.7°=l=log44<log47=6,故a>b>c.

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).兩個(gè)對(duì)數(shù)型的數(shù)字比較大小時(shí)，底數(shù)相

同，則構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)，結(jié)合對(duì)數(shù)的單調(diào)性可判斷大??；若真數(shù)相同，則結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像或者換底公式可判斷大小;

若真數(shù)和底數(shù)都不相同，則可與中間值如1,0比較大小.

12、B

【解析】

由題中垂直關(guān)系，可得漸近線的方程，結(jié)合。2=42+62,構(gòu)造齊次關(guān)系即得解

【詳解】

22

雙曲線工-斗=1（。>0/>0）的一條漸近線與直線6x—3y+1=0垂直.

ab

???雙曲線的漸近線方程為丁=冗.

,得4Z?2=a2,c~-a2=—a2.

a24

則離心率6=￡=1.

a2

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線的漸近線和離心率，考查了學(xué)生綜合分析，概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、12萬

【解析】

設(shè)圓柱的軸截面的邊長為x,可求得％=2a，代入圓柱的表面積公式，即得解

【詳解】

設(shè)圓柱的軸截面的邊長為X,

則由3=8,得x=20，

S圓柱表=2s底+S側(cè)=2x?x(V2)2+2?x夜x2^2=12乃.

故答案為：12%

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓柱的軸截面和表面積，考查了學(xué)生空間想象，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

14、①③④

【解析】

對(duì)于①中，當(dāng)p點(diǎn)與4點(diǎn)重合，。與點(diǎn)G重合時(shí)，可判斷①正確；當(dāng)點(diǎn)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合，旅與直線與。所成的角

最小為60，可判定②不正確；根據(jù)平面08。將四面體BDPQ可分成兩個(gè)底面均為平面08。，高之和為PQ的棱錐,

可判定③正確；四面體3。尸。在上下兩個(gè)底面和在四個(gè)側(cè)面上的投影，均為定值，可判定④正確.

【詳解】

對(duì)于①中，當(dāng)尸點(diǎn)與4點(diǎn)重合，。與點(diǎn)G重合時(shí)，BP±DQ,所以①正確；

對(duì)于②中，當(dāng)點(diǎn)尸點(diǎn)與4點(diǎn)重合，與直線瓦。所成的角最小，此時(shí)兩異面直線的夾角為60，所以②不正確；

對(duì)于③中，設(shè)平面4月。12兩條對(duì)角線交點(diǎn)為。，可得平面080,

平面08。將四面體3OPQ可分成兩個(gè)底面均為平面OBD,高之和為PQ的棱錐，

所以四面體BDPQ的體積一定是定值，所以③正確；

對(duì)于④中，四面體BDPQ在上下兩個(gè)底面上的投影是對(duì)角線互相垂直且對(duì)角線長度均為1的四邊形，其面積為定義，

四面體BDPQ在四個(gè)側(cè)面上的投影，均為上底為立，下底和高均為1的梯形，其面積為定值，

2

故四面體BDPQ在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值，所以④正確.

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了以空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征為載體的謎題的真假判定及應(yīng)用，其中解答中涉及到棱柱的集合特征，異面

直線的關(guān)系和椎體的體積，以及投影的綜合應(yīng)用，著重考查了推理與論證能力，屬于中檔試題.

15、1

【解析】

直接根據(jù)分層抽樣的比例關(guān)系得到答案.

【詳解】

分層抽樣的抽取比例為黑=±.?.抽取學(xué)生的人數(shù)為600><L=L

16002020

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

本題考查了分層抽樣的計(jì)算，屬于簡單題.

16、-11

【解析】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為彘根據(jù)題意求出樂和%的值，進(jìn)而可求得4和q的值，利用等比數(shù)列求和公式可求得S5的

值.

【詳解】

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得2。1==29

33311

由于〃4與2%的等差中項(xiàng)為］,則〃4+2%=2，則2%=］—%=—］，??%W，

,3_%_11%

?-Q=——：.q=——，?i=-4=-16,

%8"2q

因此，55=-11-

i-q

2

故答案為：-11.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列求和，解答的關(guān)鍵就是等比數(shù)列的公比，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)50,2020,-49(2)詳見解析(3)29

【解析】

(1)將a=5,6=9代入，可求出4，bn,可代入求牝，4.八可求結(jié)果.

(2)可求看,d.j,通過反證法證明，

(3)可推出f的最大值，就是集合M*中元素的最大值，求出.

【詳解】

(1)由題意知等差數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為：an=5n-5.

等差數(shù)列仍“｝的通項(xiàng)公式為：2=9〃-9,

得c,.=%+嗎=(5z-5)+(9/-9)=5i+9j-14,

則。2,6=50,。396,6=2020,

得4j=a,-bj+1=(5/-5)-[9(j+l)-9]=5i-9j-5,

故4,679.

(2)證明：已知a=6.b=7,由題意知等差數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式為：a?=6n-6；

等差數(shù)列也,｝的通項(xiàng)公式為：d=7w-7,

得々=卬+年=(6i-6)+(7i-7)=6i+7j-13,(iwN*,jeN*).

dab6i67

#i.j=i-j+i=(-)-t(J+1)-7]=6?-7j-6,O7,zGN*,jwN*).

所以若feM,則存在“eN,v&N,使r=6“+7v,

若方￡知*,貝!|存在HEN,W?6,veN*,使，=6〃-7u,

因此，對(duì)于正整數(shù)，，考慮集合M)={x|x="6",UGN,孫6},

即"，f—6,t—12ft—18,t—24,—30,，—36}.

下面證明：集合中至少有一元素是7的倍數(shù).

反證法：假設(shè)集合中任何一個(gè)元素，都不是7的倍數(shù)，則集合M。中每一元素關(guān)于7的余數(shù)可以為1,2,3,4,5,

6,

又因?yàn)榧现泄灿?個(gè)元素，所以集合中至少存在兩個(gè)元素關(guān)于7的余數(shù)相同，

不妨設(shè)為-6%,%-%，其中%wN,ux<w2?6.則這兩個(gè)元素的差為7的倍數(shù)，即。一%)-。一6〃1)=6(〃1一%),

所以％-%=0,與%矛盾，所以假設(shè)不成立，即原命題成立.

即集合中至少有一元素是7的倍數(shù)，不妨設(shè)該元素為-6%,%,,6,%￡N,

則存在seZ,使r-6%=7s,UgwN,w0?6,即/=6%+7s,u°wN,s^Z,

由已證可知，若則存在veN,使，=6〃+7v,而％eM,所以S為負(fù)整數(shù)，

設(shè)V=—s,貝!luwN*,且方=6%—7口，uoeN9w0?6,,

所以，當(dāng)。=6,Z?=7時(shí)，對(duì)于整數(shù)，，若，eM,則成立.

(3)下面用反證法證明：若對(duì)于整數(shù)匕reM*,貝！假設(shè)命題不成立，即止M*,且，

則對(duì)于整數(shù)乙存在〃eN,meN，ueN,w?6,VGN*,使展=6〃一7V=6〃+7W成立，

整理，得6(沅一〃)=7(m+?),

又因?yàn)楦鵈N,veN*,

一7

所以〃一〃=：O+v)>0且〃一〃是7的倍數(shù)，

因?yàn)椤╡N,6,所以a-%,6,所以矛盾，即假設(shè)不成立.

所以對(duì)于整數(shù)g若貝！ke",

又由第二問，對(duì)于整數(shù)摩加，則徐〃*,

所以f的最大值，就是集合V*中元素的最大值，

又因?yàn)閒=6〃-7v,ueN,veN*,U?6,

所以%,=("*)四=6x6-7x1=29.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，以及反證法，求最值，屬于難題.

(H)Q

18、(I)logj10,log1—

_4ax

【解析】

(I)把力=1代入，可得/。)=1嗚(2必一3x+8),令>=2/-3》+8,求出其在［士2］上的值域，利用對(duì)數(shù)函

22

數(shù)的單調(diào)性即可求解.

(II)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得且(%)=2如2—3元+8加在(4,+8)上單調(diào)遞增，再利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得

m>0,

3

—<4,解不等式組即可求解.

4m

g(4)20,

【詳解】

2

(I)當(dāng)m=1時(shí)，JW=log1(2x-3x+8)>

2

此時(shí)函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?,2.

因?yàn)楹瘮?shù)y=2%2-3x+8的最小值為4x2x8-3-=55

88

最大值為2x22—3x2+8=10,故函數(shù)/(尤)在：,2上的值域?yàn)閘ogl10,log,；

L2」L478_

(II)因?yàn)楹瘮?shù)y=i°g［x在(o,+s)上單調(diào)遞減,

4

m>0,

-±<4,

故g(%)=2rwc2-3x+8m在(4,+oo)上單調(diào)遞增，則<

4m

g⑷NO,

33

解得加之一，綜上所述，實(shí)數(shù)M的取值范圍—,+?

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域、利用對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍以及二次函數(shù)的圖像與

性質(zhì)，屬于中檔題.

19、(1)/:2x+y—3=。，C:x2+y2-4y=0；⑵啜

【解析】

(1)在直線/的參數(shù)方程中消去參數(shù)/可得出直線/的普通方程，在曲線C的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以夕，結(jié)合

"2_22

.p=x+y可將曲線c的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

夕sm6=y

(2)計(jì)算出直線/截圓C所得弦長|人因,并計(jì)算出原點(diǎn)。到直線/的距離d',利用三角形的面積公式可求得\OAB的

面積.

【詳解】

X—t

(1)由1cc得y=3-2x,故直線/的普通方程是2x+y-3=0.

[y=3-2f

'2_22

由0=4sin。，得夕2=4psin。，代入公式°="+，得_?+/=4丫，得/+/一4丁=0,

[psin。=y

故曲線C的直角坐標(biāo)方程是f+丁—4y=0；

(2)因?yàn)榍€。：/+丁2-4y=0的圓心為(0,2),半徑為r=2,

圓心(0,2)到直線2x+y—3=0的距離為d=q1=與,

則弦長一1=2卜1￡=當(dāng)'

又。到直線/：2x+y-3=0的距離為/=m=d6，

百5

訴114nl〃12揚(yáng)3行3M

所以SA.=]|A3|xd=-x^—=.

【點(diǎn)睛】

本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，同時(shí)也考查了直線與圓中三角形面積的計(jì)算，考查計(jì)算能力，

屬于中等題.

20、(1)見解析；(2)見解析

【解析】

(1)求導(dǎo)得/'(%)=1—ae，,分類討論awo和。>0,利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性；

(2)根據(jù)(1)中求得的/(九)的單調(diào)性，得出/(%)在％=-Ina處取得最大值為

/(-Ina)=-ln<7+a|1--|=o-lnt?-l,構(gòu)造函數(shù)g(a)=a_lna_l-alna+a,利用導(dǎo)數(shù)，推出

g(a)<g(l)=l,即可證明不等式.

【詳解】

解：(1)由于〃x)=x+a(l—ex),得/'(x)=l—ae”,

當(dāng)aVO時(shí)，/(龍)>0,此時(shí)/(%)在R上遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，由/'(%)=0,解得x=-lna,

若xe(fo,-Ina),則廣(1)>0,

若xe(-ln“,+co),/'(x)<0,

此時(shí)/(%)在(-8,-111。)遞增，在(Tna,+co)上遞減.

(2)由(1)知/(x)在x=—Ina處取得最大值為：

f(—Ina)=-Ina+a［1—1—ci—Inci—1,

設(shè)g(a)=a—lna一1—alna+a,貝?。?1---Ina,

令//(a)=l-L-lna,貝(J/(a)=3-工<0,

aaa

則h(a)在［1,+8)單調(diào)遞減，.?./i(a)</z(l)=0,

即g'(a)K0,則g(a)在［L+8)單調(diào)遞減

：?