8.6.2直線與平面垂直（8大題型）

8.6.2直線與平面垂直1、了解直線與平面垂直的定義和直線與平面所成的角的概念；2、理解直線與平面垂直的判定定理，并會(huì)用定理判定線面垂直；3、能解決簡(jiǎn)單的線面角問(wèn)題；4、理解平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并能夠證明；2、能用性質(zhì)定理證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.一、直線與平面垂直的定義1、文字語(yǔ)言：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直2、符號(hào)語(yǔ)言：l⊥α3、有關(guān)概念：直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足4、圖形語(yǔ)言：5、畫(huà)法：畫(huà)直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫(huà)成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直.6、空間距離①點(diǎn)到平面的距離：過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離②直線到平面的距離：一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離.③兩個(gè)平行平面間的距離：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離.【注意】過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條.二、直線與平面垂直的判定定理1、文字語(yǔ)言：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直2、符號(hào)語(yǔ)言：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α3、圖形語(yǔ)言：4、作用：證明線面垂直三、直線和平面所成的角1、有關(guān)概念：（1）斜線：與平面α相交，但不和平面α垂直，圖中直線PA（2）斜足：斜線和平面的交點(diǎn)，圖中點(diǎn)A（3）射影：過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影，圖中斜線PA在平面α上的射影為AO2、直線與平面所成的角（1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角.（2）規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°的角3、取值范圍：[0°，90°]四、直線與平面垂直的性質(zhì)定理1、文字語(yǔ)言：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.2、符號(hào)語(yǔ)言：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b3、圖形語(yǔ)言：4、作用：①線面垂直?線線平行②作平行線5、推論：（1）一條直線垂直于一個(gè)平面，它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直．（2）若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直這個(gè)平面.（3）若一條之心垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則它必垂直于另外一個(gè)平面/（4）垂直于同一條直線的兩個(gè)平行平行.五、三心問(wèn)題結(jié)論設(shè)P是三角形ABC所在平面α外一點(diǎn)，O是P在α內(nèi)的射影（1）若PA＝PB＝PC，則O為△ABC的外心．特別地當(dāng)∠C＝90°時(shí)，O為斜邊AB的中點(diǎn)．（2）若PA、PB、PC兩兩垂直，則O為△ABC的垂心．（3）若P到△ABC三邊距離相等，則O為△ABC的內(nèi)心．題型一線面垂直的判定與性質(zhì)定理【例1】（2223高一下·甘肅慶陽(yáng)·月考）已知、表示兩條不同的直線，表示平面，則下面四個(gè)命題正確的是（

）①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則．A．①② B．②③ C．①③ D．③④【答案】D【解析】長(zhǎng)方體中，平面為平面，直線BC為直線b，如圖，當(dāng)直線AD為直線a時(shí)，滿足，，而，①不正確；當(dāng)直線為直線a時(shí)，滿足，，而，②不正確；在平面內(nèi)取兩條相交直線m，n，如圖，因，則，而，則，又，m，n是相交直線，∴，③正確；因，過(guò)直線b作平面，如圖，則有，又，，于是得，從而得，④正確，∴給定命題正確的是③④.故選：D.【變式11】（2223高一下·江蘇蘇州·月考）（多選）已知m，n是不同的直線，，是不重合的平面，則下列命題中，真命題有（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則【答案】BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，若，，則或，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)B，若，，則，又有，則，選項(xiàng)B正確.對(duì)于選項(xiàng)C，若，，則，又有，則，選項(xiàng)C正確.對(duì)于選項(xiàng)D，若，，則，又有，由直線與平面平行的性質(zhì)定理，可知存在使得，則，則.選項(xiàng)D正確.故選：BCD.【變式12】（2223高一下·山東臨沂·月考）（多選）設(shè)是不同的直線，是不同的平面，則下列命題不正確的是（

）A．，則B．，則C．，則D．，則【答案】ABC【解析】對(duì)于A，在長(zhǎng)方體中，平面為平面分別為直線，顯然滿足，而，此時(shí)不成立，A不正確；對(duì)于B，在長(zhǎng)方體中，平面，平面分別為平面為直線，顯然滿足，而，此時(shí)不成立，B不正確；對(duì)于C，在長(zhǎng)方體中，平面，平面分別為平面為直線，顯然滿足，而，此時(shí)不成立，C不正確；對(duì)于D，因?yàn)?，由線面垂直的性質(zhì)知，，D正確.故選：ABC.【變式13】（2223高一下·山東濟(jì)南·月考）已知在正方體中，，交于點(diǎn)，則（

）A．平面 B．平面C．平面 D．【答案】C【解析】連接，作出圖形如圖所示，因?yàn)榍?，所以為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，同理可證，即可證明平面，又，平面，所以平面平面，故平面，故C正確；對(duì)于A，因?yàn)椋矫?，平面，所以，又，平面，所以平面，而與不平行，所以不垂直于平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，同理可證平面，而與不平行，所以不垂直于平面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，易知，而，，共面且與不平行，所以不垂直于，故D錯(cuò)誤．故選：C．題型二線面垂直的證明【例2】（2324高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知，.證明：平面；【答案】證明見(jiàn)解析【解析】在中，，所以.所以，故，則.又，即.平面，所以平面.【變式21】（2324高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，是的中點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）若，求證：平面.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以.在中，，由已知，所以，所以.又平面，所以平面.（2）因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，所以.由（1）知.又因?yàn)槠矫?，所以平?【變式22】（2223高一下·全國(guó)·練習(xí)）如圖，在圓錐PO中，已知，的直徑，點(diǎn)C在上，且，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)．證明：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：連接，則，因?yàn)辄c(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)闉榈闹睆?，所以，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)，所以‖，，所以，因?yàn)?，平面，所以平?【變式23】（2324高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，在四面體中，已知，，，.是線段上一點(diǎn)，，點(diǎn)在線段上，且.證明：平面；【答案】證明見(jiàn)解析【解析】，所以，即，又.而.故，又，，平面，所以平面.題型三由線面垂直證明線線垂直【例3】（2324高一·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】因?yàn)锳B⊥平面PAD，AE?平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因?yàn)锳D＝AP，E是PD的中點(diǎn)，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因?yàn)镸N⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又因?yàn)镸N⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.【變式31】（2324高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2．，分別為與上的點(diǎn)，且，．求證：.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：如圖，連接，．∵平面，平面，∴．∵四邊形是正方形，∴，又∵，平面，∴平面．又∵平面，∴．同理可得，又∵，平面，∴平面．∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴．∵，∴．又∵，，平面，∴平面．∴．【變式32】（2223高一下·新疆·月考）如圖，已知平面ACD，平面ACD，為等邊三角形，，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，求證：∥平面BCE.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】因?yàn)槠矫鍭CD，平面ACD，則∥，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則∥，且，由題意可得：∥，且，則∥，且，則為平行四邊形，可得∥，且平面BCE，平面BCE，所以∥平面BCE.【變式33】（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖（1），在梯形中，且，線段上有一點(diǎn)E，滿足，，現(xiàn)將，分別沿，折起，使，，得到如圖（2）所示的幾何體，求證：【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：在中，，所以，，在中，，，，由余弦定理得，所以，所以，同理可得，在中，，且，在中，，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，在中，，在中，，則，因?yàn)?，平面，所以平面，所?題型四由線面垂直證明線線垂直【例4】（2223高一下·河南商丘·月考）已知四邊形是矩形，平面，，，為的中點(diǎn).求證：.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以為等腰直角三角形，由此可得，同理，所以，即，又因?yàn)槠矫?，且平面，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?【變式41】（2324高一下·全國(guó)·練習(xí)）如圖所示，在正方體中，為棱的中點(diǎn)，N為棱上的點(diǎn)，且，求證：.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】連接，設(shè)，則，，，又，∴.∴，又，∴，即，又平面，平面，所以，平面，所以平面，平面，∴.【變式42】（2223高一下·四川成都·期末）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，邊長(zhǎng)為，，點(diǎn)為側(cè)棱的中點(diǎn)，過(guò)，，三點(diǎn)的平面交側(cè)棱于點(diǎn).（1）求四棱錐的體積；（2）求證：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）∵平面，平面，∴，∵，，∴，∴四棱錐的體積.（2）∵PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，∴PD⊥DC，∵DC⊥AD，AD∩PD＝D，AD，PD平面PAD，∴DC⊥平面PAD，又PA平面PAD，∴DC⊥PA，∵PD＝AD，E為側(cè)棱PA的中點(diǎn)，∴DE⊥PA，∵DC∩DE＝D，DC，DE平面CDEF，∴PA⊥平面CDEF，∵CF平面CDEF，∴PA⊥CF．【變式43】（2223高一下·四川綿陽(yáng)·期末）如圖，在四棱錐中，，，平面，與交于點(diǎn)，，點(diǎn)為的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接.（1）求證：平面；（2）求證：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）連接，，，，點(diǎn)為的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），，，，又平面，平面，平面.（2），為中點(diǎn)，；平面，平面，，平面，平面，平面，；，，四邊形為平行四邊形，又平面，平面，，四邊形為矩形，，又，平面，平面，又平面，.題型五求直線與平面所成角【例5】（2223高一下·廣西玉林·月考）在正三棱錐中，，則側(cè)棱PA與底面ABC所成角為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)的中心點(diǎn)為，連接，則底面，所以為側(cè)棱與底面所成的角，為的外接圓的半徑，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所?故選：B.【變式51】（2223高一下·重慶·期末）如圖，在長(zhǎng)方體中，.則直線與平面所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，連接直線，顯然，在長(zhǎng)方體中，平面，故即為直線與平面所成角，在中，，，，，故選：C.【變式52】（2223高一下·江蘇蘇州·月考）直三棱柱中，，，則與平面所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，將直三棱柱補(bǔ)全為如下圖示的正方體，為上底面對(duì)角線交點(diǎn)，所以，而面，面，故，又，面，故面，則與平面所成角為，若，所以，，則，故.故選：A【變式53】（2223高一下·山西·月考）如圖，在圓柱OP中，底面圓的半徑為2，高為4，AB為底面圓O的直徑，C為上更靠近A的三等分點(diǎn)，則直線PC與平面PAB所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，取OA的中點(diǎn)D，連接CO，PO，CD，PD，由題意得，所以△AOC為正三角形，則，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，同理，而平面，所以平面，而平面，則，由平面可得直線與平面所成的角為．由等邊三角形及可得．又，得．故選：A.題型六利用線面角求其他問(wèn)題【例6】（2223高一下·山東青島·期末）已知圓錐的母線與底面所成角為，側(cè)面積為，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)閳A錐的母線與底面所成角為，則該圓錐的軸截面是正三角形，令圓錐底面圓半徑為，則母線，圓錐側(cè)面積，解得，圓錐的高，所以該圓錐的體積為.故選：B【變式61】（2223高二上·安徽馬鞍山·期中）在長(zhǎng)方體中，，與平面所成的角為，則該長(zhǎng)方體的體積等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知，是直角三角形，且即為與平面所成的角，即，，則，則.長(zhǎng)方體的體積.故選：C.【變式62】（2324高二上·上海長(zhǎng)寧·期末）已知斜三棱柱的底面是正三角形，與底面中心的連線垂直于底面，側(cè)棱，，且與底面所成角的大小是，則此三棱柱的底面邊長(zhǎng)是．【答案】【解析】令正的中心為，連接，由平面，得是直線與底面所成的角，即，而平面，則有，，因此正邊上的高，所以正的邊長(zhǎng)為.【變式63】（2324高一下·河北保定·開(kāi)學(xué)考試）如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與平面所成的角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.【答案】【解析】若直線與平面所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為圓錐的側(cè)面與正方體的表面的交軌，在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡為對(duì)角線（除掉點(diǎn)，不影響）；在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡為對(duì)角線（除掉點(diǎn)，不影響）；在平面內(nèi)是以點(diǎn)為圓心2為半徑的圓弧，如圖，故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為．題型七求點(diǎn)面距、線面距、面面距【例7】（2324高一下·北京順義·月考）如圖，在四面體中，，，兩兩垂直，已知，，則點(diǎn)O到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，在中，由余弦定理得，所以，所以，設(shè)點(diǎn)O到平面的距離為，由，得，解得，即點(diǎn)O到平面的距離為.故選：D.【變式71】（2223高一下·云南·期末）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為是棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，利用等體積法，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d，正方體的棱長(zhǎng)為4，故，如圖，設(shè)中為邊的高，，即，又點(diǎn)到平面的距離，即到平面的距離，為，，由得，即，故.故選：D【變式72】（2223高一下·福建南平·期末）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB=2，CC1=E為CC1的中點(diǎn)，則直線AC1與平面BED的距離為A．2 B． C． D．1【答案】D【解析】平面，到平面的距離等于到平面的距離，由題計(jì)算得，在中，，邊上的高，所以，所以，利用等體積法，得:,解得:【變式73】（2324高一下·全國(guó)·練習(xí)）用六個(gè)完全相同的正方形圍成的立體圖形叫正六面體.已知正六面體的棱長(zhǎng)為，則平面與平面間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知：正六面體是棱長(zhǎng)為的正方體，，，，，平面平面，連接，，，，平面，又平面，，同理可證得：，又平面，，平面，平面，設(shè)垂足分別為，則平面與平面間的距離為.正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為.在三棱錐中，由等體積法求得：，∴平面與平面間的距離為：.故選：.題型八立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)探究問(wèn)題【例8】（2324高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中點(diǎn)．在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】存在，【解析】存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí)，證明如下：連接，為中點(diǎn)，連接，直角梯形中，，，，，則，，四邊形為平行四邊形，有，則，所以，又底面，底面，則，則，，則，得，又，，，由余弦定理得，，則，，又，是的中點(diǎn)，則，，平面，則平面，故存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí)．【變式81】（2223高一下·湖南永州·期末）如圖，在四棱錐中，平面，正方形的邊長(zhǎng)為2，E是