2023屆江蘇省南京市建鄴區(qū)高三上學(xué)期第一次聯(lián)合統(tǒng)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南京市建鄴區(qū)2023屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)合統(tǒng)測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗∵，∴故選：A.2.在棱長為2的正方體中，異面直線與的距離為（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，∵為正方形，則又∵平面，平面，則∴異面直線與的距離為故選：B.3.若，則的最大值為（）A. B. C.2 D.3〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則∵∴復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在圓上圓的圓心，半徑，則的最大值為，其中O為復(fù)平面的坐標(biāo)原點故選:D.4.已知，且，則可能為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，所以，所以，整理得，，所以或，所以或，①當(dāng)時，，，因為，所以，所以，因為，所以，②當(dāng)時，，因為，所以，由于，所以解得，③當(dāng)時，，因為，所以，由于，所以解得，綜上，，或，或，故選：B5.已知函數(shù)若方程有三個不同的解，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵，則∴原題轉(zhuǎn)化為與有三個不同的交點表示為斜率為1，縱截距為a的直線，如圖可知：滿足條件的直線以過點的直線，與相切的直線為臨界位置若過點，則，即若與相切，則，可得即切點坐標(biāo)為，則∴a的取值范圍是故選：B.6.已知，為單位向量．若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，的夾角為，因為，為單位向量,且，所以，即，整理得，解得或（舍），因為.故選:A.7.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列均為遞增數(shù)列，且，，若，則k的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗B〖解析〗設(shè)等差數(shù)列公差為，等比數(shù)列公比為，則，，因為，，所以①，而，所以②，由①②得：，即，，，所以的最小值為4.故選：B.8.若體積為的四棱錐的五個頂點都在表面積為的球面上，四棱錐的底面是邊長為的正方形，平面平面，則棱的長為（）A.或 B.或 C.或 D.或〖答案〗D〖解析〗設(shè)四棱錐的外接球球心為，半徑為，則，解得，設(shè)四棱錐的高為，則，解得，設(shè)的中點為，過點在平面內(nèi)作，因為平面平面，平面平面，平面，平面，由球的幾何性質(zhì)可知平面，且，則，所以，平面，故的外接圓的半徑為，，且，因為，所以，、在的同側(cè)，則為銳角，設(shè)，，所以，，，可得，①由余弦定理可得，，②聯(lián)立①②可解得或.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知隨機變量X的概率密度函數(shù)為(，)，且的極大值點為，記，，則（）A.B.C.D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，由隨機變量X的概率密度函數(shù)為可得，因為，所以，所以隨機變量X服從正態(tài)分布，故錯誤；對于B，因為二次函數(shù)在上遞增，在上遞減，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得(，)在上遞增，在上遞減，所以的極大值點為，所以，所以隨機變量X服從正態(tài)分布，故正確；對于C，因為，，又，所以，即，故正確；對于D，因為，，所以，故正確；故選：BCD10.已知函數(shù)，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗對于A選項，對任意的，，則，所以，，A對；對于B選項，，則，B對；對于CD選項，由題意可知，的最小正周期為，則，則，當(dāng)時，，由可得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，由可得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，，則，所以，，則，所以，，C錯，因為，則，所以，，則，所以，故，則，D錯.故選：AB.11.已知雙曲線C：，曲線E：，記兩條曲線過點的切線分別為，，且斜率均為正數(shù)，則（）A.若，，則C與E有一個交點B.若，，則C與E有一個交點C.若，則與E夾角的正切值為D.若，則與夾角的余弦值為〖答案〗AC〖解析〗對于A，若，，則，因為雙曲線C：的漸近線為，所以曲線E：與雙曲線C的漸近線為平行，所以C與E有一個交點，故A正確；對于B，若，，則曲線E：，與雙曲線C：聯(lián)立，則，即，令，則，則由有，由有，所以，所以無解，故B錯誤；對于C，若，曲線E：，對于雙曲線C：，易知過點的切線的斜率顯然存在，設(shè)切線方程為，與聯(lián)立有：，由，解得，因為斜率均為正數(shù)，所以為：，則與E夾角的正切值為，故C正確；對于D，若，曲線E：，則，則，則為：，其方向向量，又為：，其方向向量，所以，故D錯誤.故〖答案〗為：AC.12.設(shè)，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，在單調(diào)遞增，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗對A：∵函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則，A錯誤；由題意可得：在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增∵，則∴函數(shù)關(guān)于對稱，則在上單調(diào)遞減當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，；當(dāng)且僅當(dāng)或時，∵函數(shù)關(guān)于對稱，則，即∴，則函數(shù)周期為4當(dāng)時，則有：的根依次為，即當(dāng)且僅當(dāng)，若，則，即，C、D錯誤；的根依次為，即當(dāng)且僅當(dāng)，∵，則，B正確；故選：B.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.同時將圓和的面積平分的直線的斜截式方程為________．〖答案〗〖解析〗圓的圓心為，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其圓心為，同時將圓和的面積平分的直線過兩圓圓心，所以所求直線方程為，即.故〖答案〗為：.14.的展開式中的系數(shù)為________（用數(shù)字作答）．〖答案〗9〖解析〗分兩部分考慮：①求中的系數(shù)：二項式的通項為：，令，得，故.②求中的系數(shù)：二項式的通項為：，令，得，故，所以有，即的系數(shù)為9.故〖答案〗為：915.已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，離心率為．若過點的直線與C交于A，B兩點，且，則________．〖答案〗〖解析〗∵雙曲線C的離心率為，則∴雙曲線C：，由題意可得：直線聯(lián)立方程，解得或即∴，則則，同理可得：在中，由正弦定理，可得故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是________．〖答案〗.〖解析〗因為，則，因為函數(shù)，由有：且，因為，大致圖象如圖，①當(dāng)且時，，所以，顯然滿足；②當(dāng)時，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則同增異減可得，單調(diào)遞減，當(dāng)時，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則同增異減可得，單調(diào)遞增，又，，所以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性有：由,解得：或.綜上，滿足的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.現(xiàn)有三個白球，十五個紅球，且甲、乙、丙三個盒子中各裝有六個小球．（1）若甲、乙、丙三個盒子中各有一個白球，且小明從三個盒子中任選兩個盒子并各取出一個球，求小明取出兩個白球的概率；（2）若甲盒中有三個白球，小明先從甲盒中取出一個球，再從乙盒中取出一個球，最后再從丙盒中取出一個球，如此循環(huán)，直至取出一個白球后停止取球，且每次取球均不放回．若小明在第次取球時取到白球，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望．解：（1）因為甲、乙、丙三個盒子中各有一個白球，從一個盒中取出一個球是白球的概率為，所以小明取出兩個白球的概率為；（2）由題可知可取1,4,7,10，則，，，，所以的概率分布為：14710所以.18.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）若，求C；（2）若，證明：△ABC是等腰直角三角形．（1）解：由得，，即，所以，則有,即，即，所以，即，即，因為,所以，由得，，所以,所以,（2）證明：由(1)知，得或，所以或,當(dāng)時，因為得，解得，則有△ABC是等腰直角三角形;當(dāng)時，因為得，解得，則有△ABC是等腰直角三角形;所以△ABC是等腰直角三角形.19.已知數(shù)列滿足.（1）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）由已知有：所以，，其中，所以數(shù)列為以為首項，公比為的等比數(shù)列.所以，得.（2）由（1）知：，，所以.20.如圖，已知平面平面，點O在線段上，，都等邊三角形.（1）證明：B，C，E，F(xiàn)四點共面；（2）求平面與平面所成角的正弦值.（1）證明：證法1，如圖，延長交直線于點，延長交直線于點，因為，所以，又因為，所以，即，同理可得，所以重合，所以相交，所以B，C，E，F(xiàn)四點共面.證法2，分別取的中點N，M，連接.因為都是等邊三角形，所以.又因為平面平面，平面平面，所以平面平面.又因為平面平面，所以，所以兩兩垂直，兩兩垂直，以M為坐標(biāo)原點，所在直線建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系..因為，所以，即B，C，E，F(xiàn)四點共面.（2）解：因為，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，所以平面的法向量.因為.設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，所以平面的法向量.設(shè)平面與平面所成夾角為，則，所以，所以平面與平面所成角的正弦值為.21.已知O為坐標(biāo)原點，點在橢圓C：上，直線l：與C交于A，B兩點，且線段AB的中點為M，直線OM的斜率為．（1）求C的方程；（2）若，試問C上是否存在P，Q兩點關(guān)于l對稱，若存在，求出P，Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．解：（1）設(shè)，則∵在橢圓上，則兩式相減得，整理得∴，即，則又∵點在橢圓C：上，則聯(lián)立解得∴橢圓C的方程為（2）不存在，理由如下：假定存在P，Q兩點關(guān)于l：對稱，設(shè)直線PQ與直線l的交點為N，則N為線段PQ的中點，連接ON，∵，則，即由（1）可得，則，即直線聯(lián)立方程，解得即∵，則在橢圓C外∴假定不成立，不存在P，Q兩點關(guān)于l對稱.22.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，，求的取值范圍；（2）設(shè)，且時，，求的取值范圍．解：（1）解法1：當(dāng)時，，即恒成立，當(dāng)時，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，故，而在上單調(diào)遞增，故，故恒成立，滿足題意；當(dāng)時，恒成立，滿足題意；當(dāng)時，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，故，對兩邊取自然對數(shù)得，即恒成立，由得，故在上恒成立，令，則，，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以；綜上：，即解法2：因為當(dāng)時，，故，即恒成立，由得，故在上恒成立，令，則，，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以；（2）解法1：當(dāng)時，令，則，所以在上單調(diào)遞減，注意到，則，所以，，故在上存在零點，所以在上，即，故，兩邊取以為底的指數(shù)，得，即，所以，所以在上，不符合題意，舍去；當(dāng)時，，由得，故，滿足題意；當(dāng)時，由（1）知必然有，再由可知，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，因為，所以，故，即，故恒成立，即，由上述討論知可推得恒成立；綜上：，又，所以.解法2：因為時，，即，設(shè)，若，取，則，這與題設(shè)矛盾，故舍；若，則對任意恒成立，符合；若，由（1）可得，故，又，所以.江蘇省南京市建鄴區(qū)2023屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)合統(tǒng)測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗∵，∴故選：A.2.在棱長為2的正方體中，異面直線與的距離為（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，∵為正方形，則又∵平面，平面，則∴異面直線與的距離為故選：B.3.若，則的最大值為（）A. B. C.2 D.3〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則∵∴復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在圓上圓的圓心，半徑，則的最大值為，其中O為復(fù)平面的坐標(biāo)原點故選:D.4.已知，且，則可能為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，所以，所以，整理得，，所以或，所以或，①當(dāng)時，，，因為，所以，所以，因為，所以，②當(dāng)時，，因為，所以，由于，所以解得，③當(dāng)時，，因為，所以，由于，所以解得，綜上，，或，或，故選：B5.已知函數(shù)若方程有三個不同的解，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵，則∴原題轉(zhuǎn)化為與有三個不同的交點表示為斜率為1，縱截距為a的直線，如圖可知：滿足條件的直線以過點的直線，與相切的直線為臨界位置若過點，則，即若與相切，則，可得即切點坐標(biāo)為，則∴a的取值范圍是故選：B.6.已知，為單位向量．若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，的夾角為，因為，為單位向量,且，所以，即，整理得，解得或（舍），因為.故選:A.7.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列均為遞增數(shù)列，且，，若，則k的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗B〖解析〗設(shè)等差數(shù)列公差為，等比數(shù)列公比為，則，，因為，，所以①，而，所以②，由①②得：，即，，，所以的最小值為4.故選：B.8.若體積為的四棱錐的五個頂點都在表面積為的球面上，四棱錐的底面是邊長為的正方形，平面平面，則棱的長為（）A.或 B.或 C.或 D.或〖答案〗D〖解析〗設(shè)四棱錐的外接球球心為，半徑為，則，解得，設(shè)四棱錐的高為，則，解得，設(shè)的中點為，過點在平面內(nèi)作，因為平面平面，平面平面，平面，平面，由球的幾何性質(zhì)可知平面，且，則，所以，平面，故的外接圓的半徑為，，且，因為，所以，、在的同側(cè)，則為銳角，設(shè)，，所以，，，可得，①由余弦定理可得，，②聯(lián)立①②可解得或.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知隨機變量X的概率密度函數(shù)為(，)，且的極大值點為，記，，則（）A.B.C.D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，由隨機變量X的概率密度函數(shù)為可得，因為，所以，所以隨機變量X服從正態(tài)分布，故錯誤；對于B，因為二次函數(shù)在上遞增，在上遞減，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得(，)在上遞增，在上遞減，所以的極大值點為，所以，所以隨機變量X服從正態(tài)分布，故正確；對于C，因為，，又，所以，即，故正確；對于D，因為，，所以，故正確；故選：BCD10.已知函數(shù)，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗對于A選項，對任意的，，則，所以，，A對；對于B選項，，則，B對；對于CD選項，由題意可知，的最小正周期為，則，則，當(dāng)時，，由可得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，由可得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，，則，所以，，則，所以，，C錯，因為，則，所以，，則，所以，故，則，D錯.故選：AB.11.已知雙曲線C：，曲線E：，記兩條曲線過點的切線分別為，，且斜率均為正數(shù)，則（）A.若，，則C與E有一個交點B.若，，則C與E有一個交點C.若，則與E夾角的正切值為D.若，則與夾角的余弦值為〖答案〗AC〖解析〗對于A，若，，則，因為雙曲線C：的漸近線為，所以曲線E：與雙曲線C的漸近線為平行，所以C與E有一個交點，故A正確；對于B，若，，則曲線E：，與雙曲線C：聯(lián)立，則，即，令，則，則由有，由有，所以，所以無解，故B錯誤；對于C，若，曲線E：，對于雙曲線C：，易知過點的切線的斜率顯然存在，設(shè)切線方程為，與聯(lián)立有：，由，解得，因為斜率均為正數(shù)，所以為：，則與E夾角的正切值為，故C正確；對于D，若，曲線E：，則，則，則為：，其方向向量，又為：，其方向向量，所以，故D錯誤.故〖答案〗為：AC.12.設(shè)，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，在單調(diào)遞增，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗對A：∵函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則，A錯誤；由題意可得：在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增∵，則∴函數(shù)關(guān)于對稱，則在上單調(diào)遞減當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，；當(dāng)且僅當(dāng)或時，∵函數(shù)關(guān)于對稱，則，即∴，則函數(shù)周期為4當(dāng)時，則有：的根依次為，即當(dāng)且僅當(dāng)，若，則，即，C、D錯誤；的根依次為，即當(dāng)且僅當(dāng)，∵，則，B正確；故選：B.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.同時將圓和的面積平分的直線的斜截式方程為________．〖答案〗〖解析〗圓的圓心為，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其圓心為，同時將圓和的面積平分的直線過兩圓圓心，所以所求直線方程為，即.故〖答案〗為：.14.的展開式中的系數(shù)為________（用數(shù)字作答）．〖答案〗9〖解析〗分兩部分考慮：①求中的系數(shù)：二項式的通項為：，令，得，故.②求中的系數(shù)：二項式的通項為：，令，得，故，所以有，即的系數(shù)為9.故〖答案〗為：915.已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，離心率為．若過點的直線與C交于A，B兩點，且，則________．〖答案〗〖解析〗∵雙曲線C的離心率為，則∴雙曲線C：，由題意可得：直線聯(lián)立方程，解得或即∴，則則，同理可得：在中，由正弦定理，可得故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是________．〖答案〗.〖解析〗因為，則，因為函數(shù)，由有：且，因為，大致圖象如圖，①當(dāng)且時，，所以，顯然滿足；②當(dāng)時，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則同增異減可得，單調(diào)遞減，當(dāng)時，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則同增異減可得，單調(diào)遞增，又，，所以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性有：由,解得：或.綜上，滿足的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.現(xiàn)有三個白球，十五個紅球，且甲、乙、丙三個盒子中各裝有六個小球．（1）若甲、乙、丙三個盒子中各有一個白球，且小明從三個盒子中任選兩個盒子并各取出一個球，求小明取出兩個白球的概率；（2）若甲盒中有三個白球，小明先從甲盒中取出一個球，再從乙盒中取出一個球，最后再從丙盒中取出一個球，如此循環(huán)，直至取出一個白球后停止取球，且每次取球均不放回．若小明在第次取球時取到白球，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望．解：（1）因為甲、乙、丙三個盒子中各有一個白球，從一個盒中取出一個球是白球的概率為，所以小明取出兩個白球的概率為；（2）由題可知可取1,4,7,10，則，，，，所以的概率分布為：14710所以.18.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）若，求C；（2）若，證明：△ABC是等腰直角三角形．（1）解：由得，，即，所以，則有,即，即，所以，即，即，因為,所以，由得，，所以,所以,（2）證明：由(1)知，得或，所以或,當(dāng)時，因為得，解得，則有△ABC是等腰直角三角形;當(dāng)時，因為得，解得，則有△ABC是等腰直角三角形;所以△ABC是等腰直角三角形.19.已知數(shù)列滿足.（1）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）由已知有：所以，，其中，所以數(shù)列為以為首項，公比為的等比數(shù)列.所以，得.（2）由（1）知：，，所以.20.如圖，已知平面平面，點O在線段上，，都等邊三角形.（1）證明：B，C，E，F(xiàn)四點共面；（2）求平面與平面所成角的正弦值.（1）證明：證法1，如圖，延長交直線于點，延長交直線于點，因為，所以，又因為，所以，即，同理可得，所以重合，所以相交，所以B，C，E，F(xiàn)四點共面.證法2，分別取的中點N，M，連接.因為都是等邊三角形，所以.又因為平面平面，平面平面，所以平面平面.又因為平面平面，所以，所以兩兩垂直，兩兩垂直，以M為坐標(biāo)原點，所在直線建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系