2024年初三中考第一次模擬考試試題：數(shù)學(xué)（泰州卷）（全解全析）

2024年中考第一次模擬考試（泰州卷）

數(shù)學(xué)?全解全析

第I卷

一、選擇題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題

目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）

1.-2023的相反數(shù)是（）

A.-2023B.2023C.」一

20232023

【答案】B

【解析】解：-2023的相反數(shù)是2023.故選：B.

2.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)注》中記載：“邪解立方，得兩塹堵.”意即把一長方體沿對角面一分為二，

這相同的兩塊叫做“塹堵”.如圖是“塹堵”的立體圖形，它的左視圖為（）

B.

【答案】C

【解析】解：由題意得：它的左視圖為一個三角形，如圖:

故選：C.

3.張明在對一組數(shù)據(jù)“6.,15,28,63,39,28”進(jìn)行分析時，發(fā)現(xiàn)第一個兩位數(shù)的個位數(shù)字被墨水弄臟

看不到了，此時統(tǒng)計結(jié)果不受影響的統(tǒng)計量是（）

A.方差B.眾數(shù)C.平均數(shù)D.中位數(shù)

【答案】D

【解析】解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差和眾數(shù)都與被涂污數(shù)字有關(guān)，而這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為28與39的平

均數(shù)，與被涂污數(shù)字無關(guān).

故選：D.

4.如圖，直線4〃心直角三角形如圖放置，/DCB=90°,若4=118。，則N2的度數(shù)為（）

【答案】A

【解析】解：如圖,

a//b,ZDCB=90°,Zl=118°,

:.ZBCE=ZL=118°,

N2=NBCE-ZDCB=28°,

故選：A.

5.下列命題正確的是（）

A.對角線相等的四邊形是矩形B.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

C.順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是正方形D.菱形的面積為兩條對角線長度乘積的一半

【答案】D

【解析】A、等腰梯形的對角線相等，但它不是矩形，故該選項不符合題意；

B、對角線互相平分、垂直且相等的四邊形是正方形，故該選項不符合題意；

C、順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是矩形，故該選項不符合題意;

D、菱形的面積為兩條對角線長度乘積的一半，符合題意;

故選：D

6.如圖，O的半徑為2,弦垂直直徑于點E,且E是。4的中點，點P從點E出發(fā)（點尸與點E

不重合），沿EfD-3的路線運(yùn)動，設(shè)AP=x,sinNAPC=y,那么y與尤之間的關(guān)系圖象大致是（）

【答案】C

【解析】解：連接O2AO,如圖,

?.?弦8垂直直徑于點E,且E是Q4的中點，OA=2,

：.AE=OE=^OA=l,AD=OD=2,

又AP=x,

AF1

???當(dāng)點尸在線段即時，y=sinZAPC=--=-,

PAx

?,?當(dāng)1<%<2時，函數(shù)圖形是反比例函數(shù)，

當(dāng)點尸在5。上時，/APC是定值，y是定值,

故選：C.

第n卷

二、填空題(本大題共10個小題，每小題3分，共30分)

7.分解因式：-3(?%+94?%=.

【答案】-3ab(a-3bc)

【解析】解：-hc^b+9akrc=-3ab^a-3bc)-

故答案為：-3必(a-3bc)

8.國家鐵路集團(tuán)有限公司(簡稱“國鐵集團(tuán)”)最新數(shù)據(jù)顯示，11月份，國家鐵路發(fā)送煤炭L78億噸.“1.78

億”用科學(xué)記數(shù)法表示為.

【答案】1.78x10s

【解析】解：將L78億用科學(xué)記數(shù)法表示為：1.78x108.

故答案為：1.78x10s.

9.物理課上我們學(xué)習(xí)過凸透鏡成像規(guī)律.如圖，蠟燭AB的高為15cm,蠟燭AB與凸透鏡的距離BE為32cm,

蠟燭的像與凸透鏡的距離DE為8cm,則像8的高為cm.

【答案吟

【解析】解：Q.ABLBD,CD±BD,

:.AB//CD,

/.ZABE=ZCDE,ZBAE=ZCDE,

..AABEsLCDE,

ABBE

~CD~~DE

AB的高為15cm,BE為32cm,DE為8cm,

1532/.CD=￡(cm),

cn-T

故答案為：J.

10.已知圓錐展開圖的圓心角為216。，母線長為5,則該圓錐的體積為

【答案】121

【解析】解：如圖：設(shè)該圓錐的底面半徑為廣,

圓錐的高為：,52—32=4,

根據(jù)圓錐的體積公式V=

得到該圓錐的體積為：1^X32X4=12^,

故答案為：12*

11.一只蜘蛛爬到如圖所示的一塊瓷磚上，并隨機(jī)停留在某一位置上，則它停留在陰影區(qū)域上的概率是

【解析】解：設(shè)一塊瓷磚的面積為。，

則S陰影=3。,

則它停留在陰影區(qū)域上的概率是尸=m皿=衛(wèi)=1,

9a9a3

故答案為：—.

12.如圖，C4平分N5CD,BC=CD,DA的延長線交5c于點區(qū)若NE4c=50。，則24七的度數(shù)為

D

【答案】80。/80度

【解析】解：C4平分ZDC3,

ZBCA=ZDCA,

又.CB=CD,AC=AC,

ABC^,ADC（SAS）,

:.ZB=ZD,

:.ZD+ZACD^ZB+ZACB=ZCAE^50°,

../BAE=180。一4一ZAC3—NC4E=80°,

故答案為：80°.

13.如圖，工人師傅用扳手?jǐn)Q形狀為正六邊形的螺帽，現(xiàn)測得扳手的開口寬度6=4cm,則螺帽邊長。=

【解析】解：如圖：連接AC,過點2作3DLAC于。,

ZBCD=ZBAC=3O°,

由AC=6=4,則A￡)=C￡)=Lb=2,

2

?.?在RtZkAB￡>中，SID=30°,

/.BD=-AB=-a,

22

故答案為g相.

14.在《代數(shù)學(xué)》中記載了求方程d+8x=33正數(shù)解的幾何方法：如圖①，先構(gòu)造一個面積為V的正方形,

再以正方形的邊為一邊向外構(gòu)造四個面積為2x的矩形，則圖中大正方形的面積為33+16=49,則該方程的

正數(shù)解x=M-2x2=3,小明嘗試用此方法解關(guān)于尤的方程尤z+10x+c=0時，構(gòu)造出如圖②所示的正方

形.已知圖②中陰影部分的面積和為55,則該方程的正數(shù)解為

【答案】4君-5/-5+4石

【解析】如圖2所示:

圖22

先構(gòu)造一個面積為尤2的正方形，再以正方形的邊為一邊向外構(gòu)造四個面積為gx的矩形，得到大正方形的面

2

積為55+gjx4=80,則該方程的正數(shù)解為屈-gx2=4君-5.

故答案為：475-5

15.平面直角坐標(biāo)系中，在x軸上，且到一條拋物線的頂點及該拋物線與y軸的交點的距離之和最小的點,

稱為這條拋物線與X軸的“親密點”，那么拋物線y=2/+4x+5與無軸的“親密點”的坐標(biāo)是.

【答案】||，。］

【解析】解：y=2x2+4x+5=2(x+l)2+3,

拋物線開口向上，頂點P為(-1,3),

???頂點關(guān)于x軸的對稱點Q為(-1,-3),

當(dāng)x=0時，y=5,

???拋物線與y軸的交點”為(。,5),

設(shè)直線MQ的解析式為y=kx+5,

代入(—1,—3)得，—3=-左+5,

解得人=8，

直線MQ的解析式為y=8x+5,

令y=0,貝"=

O

拋物線y=2/+4x+5與x軸的“親密點”的坐標(biāo)是［-±0),

BC=5,點N是邊BC上一點,且BN=1,將矩形ABC。繞A順時針

旋轉(zhuǎn)a(0°<a<180°),得到矩形嶼心,點2的對應(yīng)點是點E,點C的對應(yīng)點是點尸，點。的對應(yīng)點是點

G,連接C/.點〃是C尸的中點，連接MV,在旋轉(zhuǎn)過程中，線段初V的最大值為

【答案】逑+且

22

【解析】連接AC,50交于點0,連接OM,AF,過點。作OTLAC于點T,連接QV,

ABCD是矩形，

：.OB=OC=OA=OD,

??,點M是的中點，

???OM是△ACF的中位線，

OM=-AF=-AC=OC,

22

???點M在以。為圓心，以0C為半徑的圓上運(yùn)動,

,?*AF=AC=yjAB2^-BC2=732+52^734,

：.MO=-y/34f

2

VOTVAC,AB1BC,

：.OT//AB,

:..CTOsCBA

.TOCOCT_1

**AC-CB-2

1315

：.TO=-AB=-CT=-BC=~,

222f2

BN=\,

：.TN=-3

2

在RtTON中,ON=y/TO2+TN2=述

2

.??線段肱V的最大值為逑+亙

22

故答案為：量1+五.

22

三、解答題（本大題共10個小題，共102分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

(-1)2014-(^-3)°；

17.(1)計算:I+

Y4

⑵解方程:U=—T

2014

【解析】（1）I+(-1)-(^-3)°

=-+1-1,

2

2

(2)—=---1

x-22-x

原方程去分母得：x=T-（%-2）

去括號得：x=—4—x+2,

移項，合并同類項得：2x=-2,

系數(shù)化為1得：x=-l,

檢驗：將x=-1代入（x-2）得-1-2/0,

故原方程的解為：尸-1

18.2023年11月24日，第十屆【媒眼看國茶】論壇：文明互鑒，“一帶一路”共筑茶緣在中國舉行.為了

解A、8兩種鐵觀音茶葉的畝產(chǎn)量，工作人員從兩種類型的鐵觀音中各隨機(jī)抽取10畝，在完全相同條件下

試驗，統(tǒng)計了茶葉的畝產(chǎn)量（單位：千克/畝），并進(jìn)行整理、描述和分析（畝產(chǎn)量用尤表示，共分為三個等

級：合格50Vx<55,良好55Wx<6。，優(yōu)秀xN60）,下面給出了部分信息：

10畝A型鐵觀音茶葉的畝產(chǎn)量：50,54,55,55,55,57,57,58,59,60.

10畝2型鐵觀音茶葉中“良好”等級包含的所有數(shù)據(jù)為：57,57,57,59.

抽取的A、8型鐵觀音畝產(chǎn)量統(tǒng)計表

型號AB

平均數(shù)5656

中位數(shù)56b

眾數(shù)a57

方差7.415.8

“優(yōu)秀”等級所占百分比10%20%

B型鐵觀音茶葉畝產(chǎn)量扇形統(tǒng)計圖

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

⑴填空：a=,b=,m=

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為哪款茶葉更好？請說明理由（寫出一條理由即可）；

（3）若某市今年種植B型鐵觀音茶葉3000畝，估計今年B型鐵觀音茶葉畝產(chǎn)量在“良好”等級及以上的有多少

畝？

【解析】（1）在50,54,55,55,55,57,57,58,59,60中，出現(xiàn)次數(shù)最多的是55,

...眾數(shù)。=55，

3型中“良好，，等級有4個，占40%,“優(yōu)秀”等級所占百分比為20%,

二.“合格”等級占1-40%-20%=40%,即〃z=40,

把B型數(shù)據(jù)從小到大排列后，第5個和第6個數(shù)都是57,

故答案為：55,57,40；

（2）B款茶葉更好，

理由：因為B款茶葉的中位數(shù)和眾數(shù)都大于A款茶葉的，所以B款茶葉更好（答案不唯一）；

（3）3000x（40%+40%）=2400（畝），

答：估計今年B型鐵觀音茶葉畝產(chǎn)量在“良好”等級及以上的有2400畝.

19.為弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，某地近期舉辦了中小學(xué)生“國學(xué)經(jīng)典大賽”.比賽項目為：A.唐詩；B.宋詞；C.論

語；D.三字經(jīng).比賽形式分“單人組”和“雙人組”.

（1）小麗參加“單人組”，她從中隨機(jī)抽取一個比賽項目，恰好抽中“三字經(jīng)”的概率為，是事件（填

“隨機(jī)”或“不可能”或“必然”）？

⑵小紅和小明組成一個小組參加“雙人組”比賽，比賽規(guī)則是：同一小組的兩名隊員的比賽項目不能相同，

且每人只能隨機(jī)抽取一次，則恰好小紅抽中“唐詩”且小明抽中“宋詞”的概率是多少？請用畫樹狀圖或列表的

方法進(jìn)行說明.

【解析】（1）解：小麗隨機(jī)抽取一個比賽項目，共有4種等可能的結(jié)果，其中恰好抽中"三字經(jīng)''的情況只有

1種，

是隨機(jī)事件；

4

故答案為：—,隨機(jī)；

4

（2）畫出樹狀圖如圖：

開始

BCDACDABDABC

由圖可知，共12種等可能的結(jié)果，其中小紅抽中“唐詩”且小明抽中“宋詞”的情況只有1種,

20.如圖，A3是<。的直徑，點C在,。上，且AC=8,BC=6.

（1）尺規(guī)作圖：過點。作AC的垂線，垂足為E,交劣弧AC于點連接C￡>（保留作圖痕跡，不寫作法）;

⑵在（1）所作的圖形中，分別求OE和8的長.

【解析】（1）解：分別A、C以為圓心，大于!AC的長為半徑畫弧交于點尸，連接紗，與圓的交點即為￡）,

2

則。D即為AC的垂線，連接CD,如圖即為所求;

(2)由(1)可知，ODLAC,則AE=CE=；AC=4,即點E為AC的中點，

OA=OB,

.??0E為"1SC的中位線，

OE=-BC=3,

2

；AB是一一。的直徑，

Z4CB=90°,

由勾股定理可得：AB=YIAC2+BC2=10-

OD=OB=^AB=5,貝！]r)E=Or)-OE=2,

由勾股定理可得：CD=yjDE2+CE2=2而.

21.樂樂超市為了元旦促銷，印制一批宣傳冊.該宣傳冊每本共10頁，由A,8兩種彩頁構(gòu)成.已知A種

彩頁制版費(fèi)為3元/張，B種彩頁制版費(fèi)為2元/張，共計24元(注：彩頁制版費(fèi)與印數(shù)無關(guān)).

(1)每本宣傳冊A,8兩種彩頁各有多少張？

(2)據(jù)了解，A種彩頁印刷費(fèi)為0.5元/張，8種彩頁印刷費(fèi)為0.3元/張，這批宣傳冊的制版費(fèi)與印刷費(fèi)的和不

超過594元.如果按到超市的顧客人手一冊發(fā)放宣傳冊，那么最多能發(fā)多少位顧客？

【解析】(1)解：設(shè)每本宣傳冊中A種彩頁有x頁，8種彩頁有y頁，

.[x+y=lQ

??13x+2y=24‘

fx=4

解得，4,

[y=6

.??每本宣傳冊中A種彩頁有4張，B種彩頁有6張；

(2)解：設(shè)可以發(fā)加位顧客，

4x0.5m+6x0.3m+24<594,

解得，m<150,

???最多可以發(fā)150位顧客.

22.金秋十一月，陽光大草坪ABCD正處于草坪養(yǎng)護(hù)階段，如圖為草坪的平面示意圖.經(jīng)勘測，入口B在

入口A的正西方向，入口C在入口B的正北方向，入口D在入口C的北偏東60。方向400m處，入口。在入

口A的北偏西45°方向1000m處.（參考數(shù)據(jù)0。。1.73）

北

（2）小明從入口。處進(jìn)入前往M處賞花，點M在上，距離入口B的500m處.小明可以選擇鵝卵石步道

①D-C-B-M,步行速度為50m/min,也可以選擇人工步道②￡）-A-M,步行速度為60m/min,請計算

說明他選擇哪一條步道時間更快？（結(jié)果精確到O.lmin）

【解析】（1）過點。作DEIAB于點E,過點C作CFLDE于點產(chǎn)，

北

在RtACDF中，CP=CD.sin60°=400x^-=200如?346,

2

.-.BE=346,

在RtAADE中，AE=AD-cos45°=1000x^1=50072a705，

2

AB=AE+BE=1051m.

AB的長度為1051m.

(2)由(1)知，AB=1051,

BM=500,

:.AM=AB-BM^551,

在Rt^ADE中，DE=AE=705,

在RtACDF中，DF=CDcos60°=400x1=200,

2

EF=BC=DE-DF=505.

鵝卵石步道的路程為OC+C3+即/=400+505+500=1405,

所需時間為1405+50=28.1(min).

人工步道的路程為ZM+AM=1000+551=1551,

所需時間為1551+60=25.85a25.9(min).

28.1>25.9,

他選擇人工步道時間更快.

23.如圖，過正方形45co頂點8,C的。與AD相切于點E,與8相交于點片連接所.

(1)求證：EF平分NBFD.

(2)若〒=二，DF=后,求EF的長.

nC4

【解析】(1)證明：如圖，連接0E,

。與AD相切于點E,

.-.OE1.AD,即NOE4=90°,

四邊形ABCQ是正方形,

.\ZD=9Q°=ZOEA,

:.OE//CD,

;./OEF=/EFD,

OE=OF,

:.Z.OEF=Z.OFE,

.\ZOFE=ZEFD,

，EF平分NBFD.

四邊形A3CD是正方形，

：.AD=CD=BC9ZC=ZD=90°,ABCD,

?是。的直徑，

:.OF=OB,

由(1)已證：OECD,

:.AB//OE//CD,

DEOF

=----=1，

~AEOB

AE：=DE=-AD,

2

FC_3

~BC~4f

.,?設(shè)廠C=3x,貝ijAD=CD=5C=4%,

DF=CD-FC=X=E

:.DE=-AD=-CD=2x=245f

22

則在RtZXO毋中，EF=yjDE2+DF2=5-

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系x0y中，直線產(chǎn)r+〃與雙曲線丫='(加力0)交于48兩點，與y軸交于點C,

X

與X軸交于點O,其中點A的坐標(biāo)為(1,3).

(1)求雙曲線和直線AB的表達(dá)式；

(2)將直線向下平移，當(dāng)平移后的直線與雙曲線只有一個交點時，請求出直線A?的解析式;

(3)在>軸上是否存在點P使得NAPD=45。？若存在，請求出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解析】(1)解：把A(L3)代入y=:得〃=3,

則雙曲線的表達(dá)式是1=3,

X

把A(l,3)代入y=-x+〃得—1+6=3,

解得6=4,

則直線AB的表達(dá)式是y=r+4：

(2)解：將直線向下平移“(">0)個單位長度得直線解析式為〉=-尤+4-〃，

?..直線48向下平移”(〃>0)個單位長度后與反比例函數(shù)的圖象只有一個交點，

3

一=-x+4-〃，

x

整理得爐+(，-4卜+3=0,

A=(?-4)2-4X1X3=0,

解得〃=4+2省或〃=4-2指,

二直線的解析式為y=-x-20或y=-尤+；

(3)解:存在，

過點A作A"_Lx軸于點M,

?.?點A的坐標(biāo)為（1,3）,

直線AB的表達(dá)式是y=-x+4,

令y=0,則0=一％+4,

解得x=4,

D（4,0）,

：.AM=DM=3,

是等腰直角三角形，

以M為圓心，為半徑作（/，與》軸交于點尸，連接MP,

ZAPD=-ZAMD=45°,

2

設(shè)P（0,P）,

MP=出+p2=3,

P=+2y/2,

.?.點尸的坐標(biāo)為（。，2夜）或（0,-2收）.

25.如圖，拋物線y=；（x+2）（尤-a）（其中。＞1）與無軸交于A、B兩點,交y軸于點C.

⑴求/OBC的度數(shù)和線段A3的長（用。表示）：

⑵若點D為，ABC的外心，且二ACD與.3CO的周長之比為亞:4,求此拋物線的解析式；

（3）在（2）的前提下，試探究拋物線y=；（x+2）（尤-a）上是否存在一點P,使得/CBP=/ZMB?若存在，求

出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解析】（1）解：在_y=；（x+2）（x-q）中，當(dāng)y=0,即，x+2）（x—a）=0,解得x=-2或無=。，

5（a,0）,A（-2,0）,

AB=a—（-2）=a+2

在〉=；（X+2）（%—。）中，當(dāng)％=0時，得至ljy=一。，

C（0,—a）,

/.OB=OC=a,

ZBOC=90°,

/.ZOBC=45°.

（2）解：由（1）知NO5C=45?,

?點。是ABC的外心，

ZADC=2ZOBC=90°,DA=DC,

：.ZADC=NBOC=90?,—=—，

CDCO

:.ADAC^AOBC,

?.,.ACE）與BCO的周長之比為M：4,

ACM

----=------,

BC4

.Vio

——=—，

yjla4

解得a=4或。=-4(舍去)，

，拋物線的解析式為^=1(X+2)(X-4)=|X2-X-4.

(3)解：如圖3-1,作點C關(guān)于直線元=1的對稱點C',連接5C',過點C'作C'HLv軸于H,

由(2)得C(0,-4),3(4,0),拋物線對稱軸為直線無=一裝T=l,

X2

AC(2,-4),且點C在拋物線上，

OC=HC'=4,OH=2,

：.OA=BH=2,

又,/ZAOC=ZBHC=90?,

AAO&ABHC(SAS),

:"CAB=NC'BA,

NZMC=/O3C=45。，

:.ZDAB=ZCBC,

點C就是所求的點P,

.■,P(2,-4).

如圖3-2所示，作點P關(guān)于直線BC的對稱點E,則/E3C=/PBC=miB,作直線AE交拋物線于P，

圖3-2

由對稱性質(zhì)可知，ZBCE=/BCP,CE=CP,

?：C（0,-4）,P（2,-4）,

CP_Ly軸，即NOCP=90?,CE=CP=2,

,/ZOCB=ZOBC=45?,

：.ZBCP=45°,

:.ZPCE=2ZPCB=90°,

???點E在y軸上,

OE=OC—CE=2,

.'.￡（0,-2）,

B（4,0）,E（0,-2）,

直線BE的解析式為y=gx-2,

x=-l

x=4-

，解得y=。或5

y=——

2

綜上所述，滿足條件的點P的坐標(biāo)為(2,Y)或12,-：

26.某“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組”成員在復(fù)習(xí)《圖形的變化》時，對下面的圖形背景產(chǎn)生了濃厚的興趣，并嘗試運(yùn)

用由“特殊到一般”的思想進(jìn)行了探究:

I1問題背景U如圖1,正方形ABCD中，點E為43邊上一點，連接DE,過點E作交BC邊于點尸，

將AADE沿直線OE折疊后，點A落在點A，處，當(dāng)/BEF=25°,則4E4=

I1特例探究U如圖2,連接OR,當(dāng)點A恰好落在DF上時，求證：AE=2A'F.

(深入探究』如圖3,若把正方形A3CD改成矩形A3CD,且AD=〃AB,其他條件不變，他們發(fā)現(xiàn)AE與AF

之間也存在著一定的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出AE與A'P之間的數(shù)量關(guān)系式.

K拓展探究X如圖4,若把正方形ABCO改成菱形A3CO,且NB=60。，ZDEF=120°,其他條件不變，當(dāng)

AE=2痣時，請直接寫出A尸的長.

圖4

【解析】K問題背景』解：EFLDE,/BEF=25。，

:.ZAED=65°,

將VADE沿直線OE折疊后，點A落在點A，處,

ZAED=ZAED=65°,

:.ZFEA!=25°,

故答案為:25；

K特例探究】證明：；將VADE沿直線DE折疊后，當(dāng)點A恰好落在。尸上時,

:.AE=AE,ZA=ZDAE=90°,ZAED=ZDEA,

:.ZB=ZEA：F=9Q°,

ZAED+ZBEF=90°=ZDEA+ZFE4,,

:.ZBEF=ZFEA,

又'EF=EF,

：.BEFNA'EF(AAS),

.-.BE=AE=AE,AF=BF,

:.AE=-AD,