廣西柳州鐵路第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高考仿真卷數(shù)學(xué)試題含解析

廣西柳州鐵路第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高考仿真卷數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

22

1.已知耳,M是雙曲線二-斗=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)居關(guān)于雙曲線漸近線的對(duì)稱點(diǎn)A滿足

ab

=（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=i2xB.y=±y/3xC.y=±A/2XD.>=±九

22_

2.設(shè)雙曲線.—去=1（a>0,ft>0）的一個(gè)焦點(diǎn)為尸（c,0）（c>0）,且離心率等于石，若該雙曲線的一條漸近

線被圓x2+/-2cx=0截得的弦長為2石，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

?222

A.工-乙=1B.工-工=1

20525100

3.若/（%）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且“X+2）=-"可，則

A.”力的值域?yàn)镽B./（%）為周期函數(shù)，且6為其一個(gè)周期

C.〃尤）的圖像關(guān)于x=2對(duì)稱D.函數(shù)/（%）的零點(diǎn)有無窮多個(gè)

4.已知三棱錐P-4BC的頂點(diǎn)都在球。的球面上，PA=?,PB=A,AB=4,CA=CB=y/lQ,面BLB,面ABC,

則球O的表面積為（）

IOTT257r40?507r

A.-----B.-----C.-----D?-----

3693

5.已知加為一條直線，。，分為兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（）

A.若加〃/?！ㄊ?則相〃尸B.若。_L￡,m_La,則根_L/?

C.若m〃a,a；0、則加_L/?D.若m工a,a〃廿，則根_L/?

6.已知拋物線9=2內(nèi)（p〉0）,尸為拋物線的焦點(diǎn)且MN為過焦點(diǎn)的弦，若|。尸|=1,|MN|=8,貝!j的面

積為（）

3V2

A.2夜B.3后C.4夜D.

7.已知直線辦"和平面&,若則"加J_""是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.不充分不必要

x+y<10

8.設(shè)實(shí)數(shù)X、丁滿足約束條件x—yW2,則z=2x+3y的最小值為（）

x>4

A.2B.24C.16D.14

9.函數(shù)/(%)=/(/7卜2—4的圖象可能是()

11.已知AABC是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)。，E分別是邊AB,的中點(diǎn)，連接OE并延長到點(diǎn)尸，使得

DE=2EF,則AE-BC的值為（）

11511

A.—B.—C.—D?一

8448

22

12.若雙曲線E：土-乙=1（m〃>0）繞其對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)g后可得某一函數(shù)的圖象，則E的離心率等于（）

mn3

A.B.石C.2或這~D.2或6

33

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知，〉0,記;?⑺=—C；2x+C；4/—。81+...—C；128/+C；256x8）公，則/⑺的展開式中各項(xiàng)系數(shù)

和為.

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A,5為X軸正半軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，尸（異于原點(diǎn)。）為y軸上的一個(gè)定點(diǎn).若以A3

為直徑的圓與圓好+3-2)2=1相外切，且NAP5的大小恒為定值，則線段0P的長為.

15.設(shè)/(九)為偶函數(shù)，且當(dāng)尤式一2,0］時(shí)，/(x)=-X(X+2)；當(dāng)xe［2,+s)時(shí)，/(x)=(?-x)(x-2).關(guān)于函數(shù)

g(x)=/(x)-m的零點(diǎn)，有下列三個(gè)命題：

①當(dāng)a=4時(shí)，存在實(shí)數(shù)機(jī)，使函數(shù)g(x)恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)；

②若切函數(shù)g(x)的零點(diǎn)不超過4個(gè)，則aW2；

③對(duì)\/me(l,+8),〃e(4,+⑹，函數(shù)g(x)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，且這4個(gè)零點(diǎn)可以組成等差數(shù)列.

其中，正確命題的序號(hào)是.

16.已知過點(diǎn)。的直線與函數(shù)>=3工的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)4在線段08上，過A作V軸的平行線交函數(shù)y=9'

的圖象于C點(diǎn)，當(dāng)8C〃x軸，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=a(x+l)ln(x+l)-x2一ar(a>0)是減函數(shù).

(1)試確定a的值；

(2)已知數(shù)列{?！▆a”=M(〃+1)=［出生a,,(neN*),求證：+一工

〃+1'2

71

18.(12分)已知傾斜角為一的直線經(jīng)過拋物線。：12=2加(0〉0)的焦點(diǎn)產(chǎn)，與拋物線C相交于4、B兩點(diǎn),且

4-

\AB\=S.

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)P為拋物線C上任意一點(diǎn)(異于頂點(diǎn))，過P做傾斜角互補(bǔ)的兩條直線人12,交拋物線。于另兩點(diǎn)。、D,

記拋物線C在點(diǎn)P的切線/的傾斜角為a,直線CD的傾斜角為￡,求證：1與￡互補(bǔ).

19.(12分)已知拋物線G：￡=2處(0>0)和圓。2：(%+1)2+>2=2,傾斜角為45。的直線過拋物線q的焦點(diǎn)，

且人與圓。2相切.

(1)求。的值；

(2)動(dòng)點(diǎn)M在拋物線G的準(zhǔn)線上，動(dòng)點(diǎn)A在q上，若G在A點(diǎn)處的切線4交y軸于點(diǎn)3,設(shè)MN=M4+M8.求

證點(diǎn)N在定直線上，并求該定直線的方程.

17

20.(12分)函數(shù)/(x)=w(x+l).

(1)證明：/(x)+|/(x)-2|>2;

1

加-1|成立,

(2)若存在xeH,且使得4:")+求加取值范圍.

21.(12分)已知點(diǎn)尸(1,2)到拋物線C：yi=lpx(p>0)準(zhǔn)線的距離為1.

(I)求C的方程及焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(II)設(shè)點(diǎn)尸關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q,過點(diǎn)。作不經(jīng)過點(diǎn)。的直線與C交于兩點(diǎn)A,B,直線PB,分別交

x軸于N兩點(diǎn)，求|八必卜|凡可的值.

22.(10分)已知函數(shù)/(%)=(X—2)/-。(％-1丫,其中aeR,g(x)=x-lnx.

⑴函數(shù)/(%)的圖象能否與x軸相切?若能，求出實(shí)數(shù)若不能，請(qǐng)說明理由.

⑵若〃(x)="X)-g(可在x=1處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

先利用對(duì)稱得AF2LOM,根據(jù)Z^AO=ZAOFl可得4耳=c,由幾何性質(zhì)可得NA6O=60,即ZMOF2=60,

從而解得漸近線方程.

【詳解】

如圖所示：

由對(duì)稱性可得：M為人鳥的中點(diǎn)，且

所以片ALAg,

因?yàn)镹EAO=NAO￡,所以AFJ=￡O=c,

故而由幾何性質(zhì)可得ZAF.O=60,即ZMOF2=60,

故漸近線方程為y=±G，

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的知識(shí)，考查了雙曲線漸近線方程，由題意得出NM。鳥=60是解題的關(guān)鍵，屬于中檔

題.

2、C

【解析】

由題得￡=逐，—r^^=b7c2—5,又ce+吩=e，聯(lián)立解方程組即可得片=5,b2=2Q，進(jìn)而得出雙曲線

ay/a~+b

方程.

【詳解】

由題得e=￡=6①

a

又該雙曲線的一條漸近線方程為區(qū)-町=。，且被圓X2+J2-2cx=0截得的弦長為2石，

所以4=

②

又（^+護(hù)③

由①②③可得：/=5,=20，

22

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為土-匕=1.

520

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，圓的方程的有關(guān)計(jì)算，考查了學(xué)生的計(jì)算能力.

3、D

【解析】

運(yùn)用函數(shù)的奇偶性定義，周期性定義，根據(jù)表達(dá)式判斷即可.

【詳解】

/(%)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則/(T)=一/(?，/(。)=0,

又/(x+2)=—/(%),/(%+4)=-/(x+2)=/(x),

即」(%)是以4為周期的函數(shù)，于(4k)=/(0)=0(左eZ),

所以函數(shù)/(%)的零點(diǎn)有無窮多個(gè)；

因?yàn)镴(x+2)=—J(x),/[(x+l)+l>/(-x),令/=1+尤，則/。+1)=/(1—力，

即/(%+1)=/(I—x),所以/(X)的圖象關(guān)于無=1對(duì)稱，

由題意無法求出/(x)的值域，

所以本題答案為D.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，主要是抽象函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)式子判斷得出結(jié)論是關(guān)鍵.

4、D

【解析】

由題意畫出圖形，找出△Mb外接圓的圓心及三棱錐尸-5CZ)的外接球心O,通過求解三角形求出三棱錐P-3c。的

外接球的半徑，則答案可求.

【詳解】

如圖；設(shè)A3的中點(diǎn)為。；

'：PA=y[i，PB=714?AB=4,

為直角三角形，且斜邊為A5,故其外接圓半徑為：

2

設(shè)外接球球心為。；

VCA=CB=710，?PAB±^ABC,

.?.C。，AB可得。，面MB；且GC=Jc42—.=a.

...O在CO上；

L5

故有：AO2=OD2+AD2^>R2=(76-?)2+r2^R=-j=；

py50%

???球。的表面積為:4九火2=4x

7r3

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查多面體外接球表面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查思維能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

5、D

【解析】

A.若，〃//%￡///?,則〃?//，或/"<=/?,故A錯(cuò)誤;

B.若。_L民772J_。，則///，或mu/?故B錯(cuò)誤；

C.若mlla,a工/3,則m//，或或加與夕相交;

D.若m則m_L，，正確.

故選D.

6、A

【解析】

根據(jù)|。尸|=1可知丁=4%,再利用拋物線的焦半徑公式以及三角形面積公式求解即可.

【詳解】

由題意可知拋物線方程為丁=4%，設(shè)點(diǎn)M（菁,％）點(diǎn)N（%,%），則由拋物線定義

知,MN|=|MF|+1NF|=玉+%+2,|MN|=8則石+/=6.

由y?=4x得X=4玉，y2—4X2則乂+%=24.

又MN為過焦點(diǎn)的弦，所以為%=-4,則昆一yI==40,所以SOMN=^\OF\-\y2-R=20.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的方程應(yīng)用，同時(shí)也考查了焦半徑公式等.屬于中檔題.

7、B

【解析】

由線面關(guān)系可知相」〃，不能確定〃與平面々的關(guān)系，若"〃1一定可得即可求出答案.

【詳解】

ml.a,ml.n,

不能確定nua還是nua,

:.mLn^nila,

當(dāng)〃〃CKr時(shí)，存在aua,nlla,,

由根_L。根_La,

又nila,可得〃z_L〃，

所以“m±n"是"nila"的必要不充分條件，

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了必要不充分條件，線面垂直，線線垂直的判定，屬于中檔題.

8、D

【解析】

做出滿足條件的可行域，根據(jù)圖形即可求解.

【詳解】

x+y<10

做出滿足x-丁《2的可行域，如下圖陰影部分，

x>4

根據(jù)圖象，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y過點(diǎn)A時(shí)，取得最小值，

x=4fx=4

由解得即44,2），

x-y=2[y=2

所以z=2x+3y的最小值為14.

故選：D.

本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.

9、A

【解析】

先判斷函數(shù)y=/(￡)的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間(0,1)上的函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法可得出正確選項(xiàng).

【詳解】

函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽，/(-X)=(-X)2-[(-X)2-1]-[(-X)2-4=x2\x2-l)(x2-4)=/(%),該函數(shù)為偶

函數(shù)，排除B、D選項(xiàng)；

當(dāng)0<x<l時(shí)，/(X)=X2(^2-1)(X2-4)>0,排除C選項(xiàng).

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式辨別函數(shù)的圖象，一般分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)以及函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合

排除法得出結(jié)果，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

10、A

【解析】

求出二項(xiàng)式的展開式的通式，再令X的次數(shù)為零，可得結(jié)果.

【詳解】

解：二項(xiàng)式[寧—展開式的通式為=c(亍](-x2)r=(-l)rC；2<-02r

512,

5—r

令------+2廠=0,解得廠=1,

2

則常數(shù)項(xiàng)為(—l)y24=—80.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)的求解，關(guān)鍵是熟練應(yīng)用二項(xiàng)展開式的通式，是基礎(chǔ)題.

11,D

【解析】

設(shè)癡=a，BC=b，作為一個(gè)基底，表示向量應(yīng)=:*=:伍—a),DF^DE^(b-a\,

22'，24'/

AF^AD+DF^--a+-(b-a\=--a+-b,然后再用數(shù)量積公式求解.

24V744

【詳解】

設(shè)BA=。，BC=b>

所以。石=—1AC-=—1/仿-一a-)\,DF=-3DE=-3/(-b-a一]\AF=AD+DF■=——1a-+-3[/b—-a—\\=——5a-+-3b-

22、’24、'f24、,449

531

所以A尸-5C=——a-b+~b-b=~.

448

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

12、C

【解析】

由雙曲線的幾何性質(zhì)與函數(shù)的概念可知，此雙曲線的兩條漸近線的夾角為60，所以2=石或走，由離心率公式

a3

I2丫

e=.l+-即可算出結(jié)果.

Vya)

【詳解】

由雙曲線的幾何性質(zhì)與函數(shù)的概念可知，此雙曲線的兩條漸近線的夾角為60,又雙曲線的焦點(diǎn)既可在x軸，又可在y

軸上，所以2=6或走，+⑶2=2或其1

a3V⑺3

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，函數(shù)的概念，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

1

13、一

9

【解析】

根據(jù)定積分的計(jì)算，得到/(。=-上(1-2/)9+±,令『=1,求得/。)=!，即可得到答案.

【詳解】

根據(jù)定積分的計(jì)算，可得

/⑺=J；(1_C2x+C；4/_c；8/+…—c；128%7+c：256/)辦=[(1一2x)8dx=-^-2xf

=-—(l-209+—,

1818

令/=1,貝()/(1)=一5(1—2x1)9+1=^，

即/⑺的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為;.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了定積分的應(yīng)用，以及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)定積分的計(jì)算和二項(xiàng)式定理求得了?)的表示

是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

14、百

【解析】

分析：設(shè)02(a,0),圓6的半徑為r(變量)，OP=t(常數(shù))，利用差角的正切公式，結(jié)合以AB為直徑的圓與圓片+

(y-2)2=1相外切.且NAPB的大小恒為定值，即可求出線段OP的長.

詳解：設(shè)th(a,0),圓6的半徑為r(變量)，OP=t(常數(shù))，貝!J

n—r4+一

tanZOPA=——,tanZOPB=--

2rt2t

tanZAPB=---------

r+2r-3t2-3

-+2

r

VZAPB的大小恒為定值,

."=若，：.\OP\=s/3.

故答案為若

點(diǎn)睛：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查差角的正切公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.

15、①②③

【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，利用已知中的條件作出偶函數(shù)的圖象，利用圖象對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

解：當(dāng)0=4時(shí)/(%)=入'，川L7、又因?yàn)椤癤)為偶函數(shù)

(4一%)(尤—2)xe[2,+ooj7

???可畫出/(九)的圖象，如下所示：

可知當(dāng)加=0時(shí)g(x)=/(x)-加有5個(gè)不同的零點(diǎn)；故①正確;

若\/〃閆0,1],函數(shù)g(x)的零點(diǎn)不超過4個(gè)，

即y=/(x)與y=m的交點(diǎn)不超過4個(gè)，

.?.x22時(shí)/(x)WO恒成立

又當(dāng)xe[2,+co)時(shí)，/(x)=(a-x)(x-2)

.,.a-xWO在xe[2,+co)上恒成立

.”〈X在xw[2,+co)上恒成立

:.a<2

由于偶函數(shù)/（九）的圖象，如下所示:

故答案為：①②③

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.

16、log32

【解析】

通過設(shè)出A點(diǎn)坐標(biāo)，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，通過8C〃x軸，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，于是再利用上A=女雙可得答案?

【詳解】

根據(jù)題意，可設(shè)點(diǎn)A(a,3〃)，則C(a,9〃),由于6C〃x軸，故/=%=9°,代入y=31

可得馬=2。，即5(2〃,9“)，由于A在線段。8上，敢即1二｝,解得

a=log32.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(I)a=2(II)見證明

【解析】

(I)求導(dǎo)得/'(x)=Hn(x+1)—2x,由/⑴是減函數(shù)得,對(duì)任意的xe(―1,+8),都有/(%)=flln(x+l)-2x<0

恒成立，構(gòu)造函數(shù)g(x)=aln(x+l)-2x,通過求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，令其最大值小于等于0,即可求出。；

(II)由/(x)是減函數(shù)，且/(0)=0可得，當(dāng)％>0時(shí)，/(x)<0,貝！J/⑺<0,即2(”+l)ln(l+〃)<〃2+2〃,

—々八2/口ln(n+l)1nn+21nn+2門一

兩邊同除以2(〃+l)得，--------<-------------，即見<77----7----7，從而

n+12n+1n+12n+1n+1

￡23n345幾+2

Tn=aia2a3...an<^-1〃+2__.,_,亞，

~~77-------，兩邊取對(duì)數(shù)

234……n+T234……n+\2"1n+1

(n+2)2

ln[(〃+2)7；]<ln=21n(ra+2)-ln(ra+l)-(ra+l)ln2,然后再證明

77

21n(〃+2)—+—("+1)1112+5—1<0恒成立即可，構(gòu)造函數(shù)

/z(x)=21n(x+2)-ln(x+l)-(x+l)ln2+^-l,xe[l,+co),通過求導(dǎo)證明/z(x)<0即可.

【詳解】

解：(I)〃尤)的定義域?yàn)?―L+8),r(x)=?ln(x+l)-2x.

由/(x)是減函數(shù)得，對(duì)任意的L”)，都有/'(力=疝1(*+1)—2140恒成立.

設(shè)g(x)=aln(x+l)-2x.

由〃>0知---1>—19

g'(x)2

x+1

.,.當(dāng)%€1-1,^|一1］時(shí)，g'(x)>0；當(dāng)xe(_|—l,+co］時(shí),

g'(x)<。，

g⑴在上《-1J上單調(diào)遞增，在件-L+8J上單調(diào)遞減，

.??8(外在兀=￡—1時(shí)取得最大值.

又???g(0)=0,.?.對(duì)任意的xe(—l,y),g(x)Vg(O)恒成立,即g(x)的最大值為g(0).

A--l=0,解得a=2.

2

(II)由“同是減函數(shù)，且/(0)=0可得，當(dāng)尤>0時(shí)，/(%)<0,

:.y(n)<0,BP2(n+l)ln(l+n)<n2+2n.

—…八2/口ln(n+l)1nn+21nn+2

兩邊同除以2(〃+l)得，--------<-------------9即。〃<-------------.

n+12n+1n+12n+1〃+1

￡23n345〃+21n+2

從而看d-y,

234……n+1234……n+1n+1

(n+2)2

所以ln［(〃+2)7；］<ln二21n(〃+2)—ln(〃+l)—(〃+l)ln2①.

2n+1(n+l)

下面證21n(M+2)-ln(zz+l)-(n+l)ln2+--1<0；

記/z(x)=21n(x+2)-ln(x+l)-(x+l)ln2+^-l,xe［l,+oo).

1,c1

21x-----------ln2+一

:.〃(元)=一In2H—=,-ln2+-^2-----------2-

x+2x+12x+3x+22XH----F3

X

2

；y=%+—在［2,+8）上單調(diào)遞增,

JC

???”（%）在［2,+8）上單調(diào)遞減,

而"(X)K〃(2)=L—ln2+，=&2-31n2)=&2—ln8)<0,

6233

,當(dāng)［2,+8）時(shí)，/（X）〈。恒成立,

???力⑺在［2,十與上單調(diào)遞減,

即x￡[2,+co)時(shí)，//(%)<//(2)=21n4-ln3-31n2=ln2-ln3<0,

???當(dāng)心2時(shí)，h(n)<0.

iQf-

???力⑴=21n3-In2-21n2-—=ln--lnVe<0,

28

???當(dāng)”cN*時(shí)，/i(w)<0,即21n(〃+2)-ln("+l)-(“+l)ln2<1-■②.

綜上①②可得，ln[(〃+2)(]<l—

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，考查了函數(shù)的最值，考查了構(gòu)造函數(shù)的能力，考查了邏輯推理能力與計(jì)算求

解能力，屬于難題.，

18、(1)x2=4y(2)證明見解析

【解析】

(1)根據(jù)題意，設(shè)直線方程為y=x+5,聯(lián)立方程，根據(jù)拋物線的定義即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)題意，設(shè)4的方程為y—$=%),聯(lián)立方程得/+%=4左，同理可得/+程=-4左，進(jìn)而得到

XC+XD^-2X0,再利用點(diǎn)差法得直線CD的斜率，利用切線與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系得直線/的斜率，進(jìn)而可得。與夕互補(bǔ).

【詳解】

(1)由題意設(shè)直線A5的方程為'=》+~|,令A(yù)(X],%)、3(々,為)，

V=Y+—2

聯(lián)立｛2,ny1-3py+—=Q

x2=2py4

；?%+%=3。，

根據(jù)拋物線的定義得|蝴=%+%+。=4。，

又|AB|=8,二42=8,2=2

故所求拋物線方程為k=4人

⑵依題意，設(shè)p5]),0(左，爭(zhēng),。(與,亨)

丫2

設(shè)4的方程為y—￡=與爐=4y聯(lián)立消去y得4&+4&o—焉=0,

x0+xc=4k,同理x^+xD=-4左

22

x_vii

?L

二%+/=-2%0，直線CD的斜率左CD=矛——-=-(XC+X￡>)=--X0

4(%—玉)42

切線I的斜率左=V10=；/，

由&+kCD—0,即tz與￡互補(bǔ).

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，直線斜率的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題.

19、(1)p=6；(2)點(diǎn)N在定直線了=3上.

【解析】

(1)設(shè)出直線4的方程為>=無+孑，由直線和圓相切的條件：d=r,解得0；

(2)設(shè)出“(成-3),運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率，求得4為切點(diǎn)的切線方程，再由向量的坐標(biāo)表示，可得N在定直線

上；

【詳解】

解：⑴依題意設(shè)直線4的方程為y=x+f

由已知得：圓C2：(x+iy+y2=2的圓心C2(-l,0),半徑廠=夜，

因?yàn)橹本€4與圓C2相切，

D一-1+P

所以圓心到直線4:y=x+7的距離d=J2|=0，

即|2|_￡,解得尸=6或p=—2(舍去).

也一

所以2=6；

(2)依題意設(shè)”(私-3),由(1)知拋物線G方程為好=12〉，

所以y=工，所以y'=：,設(shè)則以A為切點(diǎn)的切線右的斜率為％=3，

1266

所以切線/，的方程為.

6

令％=0,y=-±玉2+%+%=-%,即，2交y軸于3點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-%),

所以MA=(X]%+3),MB=+3),

MN=MA+MB=(x「2m,6),

：.ON=OM+MN=(%1-m,3).

設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（％y）,則y=3,

所以點(diǎn)N在定直線y=3上.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系的判斷，考查直線方程和圓方程的運(yùn)用,以及切線方程的求法,

考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于綜合題.

20、（1）證明見詳解；（2）m＜1—6或0＜加＜2或加21+6

【解析】

(1)/(%)+|/(x)-2|=|/(x)|+|2-/(x)|>|/(x)+2-/(x)|=2

然后解出不等式|而

（2）首先用基本不等式得到y(tǒng)=忐+〃上2品一加一“21即可

【詳解】

19

(1)因?yàn)?(x)=z(x+l)NO

所以〃x)+|/(x)-2|=|/(到+|2—"x)2|/(x)+2-/(x)|=2

19

(2)當(dāng)xH—1時(shí)/(x)=w(x+l)—>0

所以廠小+/(x)?2j日"(x)=l

1

當(dāng)且僅當(dāng)M“X）即x=i土Ji時(shí)等號(hào)成立

因?yàn)榇嬖趚eR,且xw—1,使得/j+加—1|成立

所以,2-m-1>1

所以m2-m-1?1或m2-m—1<-1

解得："ZW1-6或0＜加＜2或加21+百

【點(diǎn)睛】

L要熟練掌握絕對(duì)值的三角不等式，即||?|-H|<|fl+^|<|?|+W

2.應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)要滿足“一正二定三相等”.

21、(I)C的方程為y2=4x,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)；(II)1

【解析】

(I)根據(jù)拋物線定義求出p,即可求C的方程及焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(II)設(shè)點(diǎn)A(xi,yi),5(xi,yi),由已知得0(-1,-1),由題意直線A3斜率存在且不為0,設(shè)直線A3的方程為產(chǎn)以工+1尸1(原0),

與拋物線聯(lián)立可得Ayi-4y+4A>8=0,利用韋達(dá)定理以及弦長公式，轉(zhuǎn)化求解尸|的值.

【詳解】

所以拋物線C的方程為V2=4%，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)；

(卬設(shè)點(diǎn)由已知得0(-1,-1),

由題意直線AB斜率存在且不為0.

設(shè)直線A3的方程為y/(x+l)T(際0).

y2=4x,

由「