廣東省廣州市2023-2024學(xué)年高三年級下冊零模（3月月考）數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

廣東省廣州市白云中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期零模（3

月月考）數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:.姓名:班級:考號:

一、單選題

1.若角C的終邊過點(diǎn)(3,1),則sin(a+￡7T=()

口3屈「Vw7

D.--------V-?-----

A?嚕1010

言則z；=（）

2.已知i為虛數(shù)單位，若2=

A.V2B.2C.-2iD.2i

3.若集合/={x|nx>l,xeN*},集合2=/-6芯-7<0,則/c5的子集個數(shù)為（）

A.16B.15C.32D.31

logX,X>1

4.已知函數(shù)/（x）=（2：-l）x+4“xWl在R上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

°4,

A.B.

1

C.—,+00D.

66?2

5.已知Z花是夾角為120。的兩個單位向量，若向量"+定在向量￡上的投影向量為力,

則％=()

「2GD.與

A.-2B.2L?-------

3

6.已知某圓臺的上、下底面半徑分別為小馬，且弓=2不若半徑為2的球與圓臺的上、

下底面及側(cè)面均相切，則該圓臺的體積為（）

28兀40兀56兀112兀

A.-----B.-----C.D.------

3333

7.由0,2,4組成可重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，按從小到大的順序排成的數(shù)列記為｛為｝,即

%=0,“2=2,%=4,…，若%=2024,貝!]〃=()

A.34B.33C.32D.30

22

8.已知雙曲線￡1:1-4=1（°>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，匕，過點(diǎn)鳥的直線與

ab

雙曲線E的右支交于45兩點(diǎn)，若同=b月|,且雙曲線E的離心率為血，則

cos/BAF、=()

試卷第1頁，共4頁

]_

B.C.D.

488

二、多選題

9.“體育強(qiáng)則中國強(qiáng)，國運(yùn)興則體育興”.為備戰(zhàn)2024年巴黎奧運(yùn)會，已知運(yùn)動員甲特

訓(xùn)的成績分別為：9,12,8,16,16,18,20,16,12,13,則這組數(shù)據(jù)的（）

A.眾數(shù)為12B.平均數(shù)為14C.中位數(shù)為14.5D.第85百分位數(shù)

為16

10.已知等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)％=2,公差d=8,在｛4｝中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入左個

數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列｛a｝,以下說法正確的是（）

A.%=8〃-6

B.當(dāng)左=3時，bn=2n

C.當(dāng)k=3時，砥不是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)

D.若為是數(shù)列｛。,｝中的項(xiàng)，則上的值可能為7

11.如圖，八面體Q的每一個面都是邊長為4的正三角形，且頂點(diǎn)8C,D,E在同一

個平面內(nèi).若點(diǎn)M在四邊形8cDE內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動，N為4E的中點(diǎn)，則（）

TT

A.當(dāng)〃■為。E的中點(diǎn)時，異面直線與C尸所成角為w

B.當(dāng)兒W//平面/CD時，點(diǎn)M的軌跡長度為28

C.當(dāng)1時，點(diǎn)M到3c的距離可能為百

D.存在一個體積為三兀的圓柱體可整體放入。內(nèi)

三、填空題

12.若函數(shù)〃x）=sin（ox+0）1>O,|d<］的最小正周期為兀，其圖象關(guān)于點(diǎn)（g,0

中心對稱，則夕=.

試卷第2頁，共4頁

13.已知隨機(jī)變量X?N（0,b2）,且尸（XVO）=a,貝的展開式中常數(shù)項(xiàng)

為.

14.已知函數(shù)函a）=。（工一石）（工-%）（4-￡）（。>0），設(shè)曲線了=/（x）在點(diǎn)（巧,/（%））處

切線的斜率為左1=1,2,3）,若玉,乙,%均不相等，且左2=-2,則匕+4%的最小值

為.

四、解答題

15.設(shè)5“為數(shù)列｛七｝的前〃項(xiàng)和，已知電=4,S4=20,且，｝，為等差數(shù)列.

⑴求證：數(shù)列｛g｝為等差數(shù)列；

⑵若數(shù)列出｝滿足4=6,且智=+，設(shè)（為數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和，集合

°nan+2

M=｛r?|T?eN'）,求W（用列舉法表示）.

16.多巴胺是一種神經(jīng)傳導(dǎo)物質(zhì)，能夠傳遞興奮及開心的信息.近期很火的多巴胺穿搭

是指通過服裝搭配來營造愉悅感的著裝風(fēng)格，通過色彩艷麗的時裝調(diào)動正面的情緒，是

一種“積極化的聯(lián)想”.小李同學(xué)緊跟潮流，她選擇搭配的顏色規(guī)則如下：從紅色和藍(lán)色兩

種顏色中選擇，用“抽小球”的方式?jīng)Q定衣物顏色，現(xiàn)有一個箱子，里面裝有質(zhì)地、大小

一樣的4個紅球和2個白球，從中任取4個小球，若取出的紅球比白球多，則當(dāng)天穿紅

色，否則穿藍(lán)色.每種顏色的衣物包括連衣裙和套裝，若小李同學(xué)選擇了紅色，再選連

衣裙的可能性為0.6,而選擇了藍(lán)色后，再選連衣裙的可能性為05

（1）寫出小李同學(xué)抽到紅球個數(shù)的分布列及期望；

（2）求小李同學(xué)當(dāng)天穿連衣裙的概率.

17.如圖，在四棱錐尸-/BCD中，四邊形48CD是菱形，平面48a>/平面P/D,點(diǎn)

M在。P上，且。河=2〃？,40=/尸,/尸40=120°.

（1）求證：5。1平面/CM；

⑵若ZADC=60°，求平面ACM與平面ABP夾角的余弦值.

試卷第3頁，共4頁

18.已知函數(shù)/(x)=a(x-1)產(chǎn)|-Zxlnx-x?(aeR).

⑴當(dāng)a=0時，求函數(shù)〃x)在區(qū)間［r,1］上的最小值；

(2)討論函數(shù)的極值點(diǎn)個數(shù)；

(3)當(dāng)函數(shù)/(x)無極值點(diǎn)時，求證：asin—>^.

2a兀

2

19.已知動點(diǎn)P與定點(diǎn)，(九0)的距離和尸到定直線x=上的距離的比為常數(shù)二.其中

m〃

m>0,?>0,且加記點(diǎn)尸的軌跡為曲線C.

(1)求。的方程，并說明軌跡的形狀；

⑵設(shè)點(diǎn)8(-?0),若曲線。上兩動點(diǎn)均在無軸上方，AM//BN,且/N與血相

交于點(diǎn)。.

L11

①當(dāng)a=2后,〃=4時，求證：面彳+/M的值及A/8。的周長均為定值；

②當(dāng)加>〃時，記A/30的面積為S,其內(nèi)切圓半徑為?試探究是否存在常數(shù)X,使得

S=恒成立？若存在，求2(用見"表示)；若不存在，請說明理由.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.A

【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)定義結(jié)合誘導(dǎo)公式求解即得.

【詳解】角。的終邊過點(diǎn)(3,1),則/=乒丁=而，

福卜1?/兀、33^/10

所以sm(a+—)=cosa=—=-------.

2r10

故選：A

2.B

【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算及共物復(fù)數(shù)的定義即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閦二丁一二L^7T=f=l+i,所以亍=1—i,

l+i(l+i)-(l-i)2

z-z=(l+i)-(l-i)=2.

故選：B.

3.A

【分析】解對數(shù)不等式和一元二次不等式可得集合48,利用交集運(yùn)算計(jì)算進(jìn)而可

得子集個數(shù).

【詳解】對于集合/={引lnx〉l,%￡N*}可得lnx〉l=lne,解得X>e,

所以/={x|x>e,x￡N*},

對于集合5={%|/_6%_7<0}可得/_6%_7<0,解得—1<%<7,

所以8={巾l<x<7},

所以/c3={3,4,5,6},故/c8的子集個數(shù)為24=16.

故選:A.

4.D

【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)列式求解.

0<tz<l

【詳解】由題意可得：2a-l<0,解得:

6a-l>01'

所以實(shí)數(shù)0的取值范圍是

o2J

答案第1頁，共18頁

故選：D.

5.A

【分析】由投影向量計(jì)算公式可得答案.

（a+Xb\a（a+Ab]-a

【詳解】￡+宓在向量Z上的投影向量為‘-==2.

同同

n+?萬二|同之+2|3|-|ft|cosl20°=1一;/l=2n/l=—2.

故選：A

6.C

【分析】根據(jù)圓臺的軸截面圖，結(jié)合圓臺和球的結(jié)構(gòu)特征求解不與，然后代入圓臺體積公式

求解即可.

【詳解】如圖，

設(shè)圓臺上、下底面圓心分別為。1，。2，則圓臺內(nèi)切球的球心。一定在。1。2的中點(diǎn)處，

設(shè)球。與母線切于M點(diǎn)，所以。所以（W=OQ==2,

所以△/O。]與“。憶全等，所以4A1=0，同理所以/3=彳+弓=3勺

過4作垂足為G,則5G=G—4=G，/G=O02=4,

所以4G2=4^2—5G2,所以16=（3q『一片=防2,所以q=也，所以弓=2萬，

所以該圓臺的體積為，2兀+8兀+4兀）x4=等.

故選：C

7.B

【分析】由題意可知一位自然數(shù)有3個，兩位自然數(shù)有6個，三位自然數(shù)有18個，利用列

舉法列出符合題意得自然數(shù)，即可求解.

【詳解】由0,2,4組成可重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，按從小到大的順序排成數(shù)列{%},

答案第2頁，共18頁

則一位自然數(shù)有3個，兩位自然數(shù)有32-3=6個，

三位自然數(shù)有3:9=18個，四位自然數(shù)有3"-27=54個，

又四位自然數(shù)為2000,2002,2004,2020,2022,2024,???

2024為四位自然數(shù)中的第6個，所以“=3+6+18+6=33.

故選：B

8.D

【分析】由雙曲線的定義結(jié)合已知條件求得忸閶=2。，從而再得忸用=4°,由余弦定理求

得cos用耳,由誘導(dǎo)公式得cosUg耳，設(shè)|/閭=加，則以耳|=加+2。，再由余弦定理求

2

得加=§*從而利用余弦定理求解即可.

【詳解】因?yàn)殡p曲線E的離心率為后，所以c=?a，因?yàn)閨/同=|/耳

所以怛閶=|/邳一|2閶=|/耳|一|/閭=2°,由雙曲線的定義可得忸耳|一|陷|=|明卜2a=2°,

所以忸團(tuán)=4a=2忸引,

忸q+閨可-跖「4^+8^-jW__V|

在△明心中,由余弦定理得cosNBg片=

2此IM/I2義2。x26a4

在△/片鳥中，cosZF{F2A=-cosAFXF2B=＞設(shè)M月|=加，則M4|=加+2〃，

由M周2=閨聞2+恒閭2—2閨周恒用cosN耳％4得

62

(2a+m)2=(2V2tz)2+m2-2-141a-m-,解得冽=§Q,所以

64tz264a2i,

------+---------16。2

AF+AB2BF￡

所b以rcosZBAF,=J\―X―\1--------!—\LX:99

八8。8。

2\AF^AB\2x——x——8

33

答案第3頁，共18頁

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用cosN片工/=-cos/片工8,結(jié)合余弦定理與

雙曲線的定義，從而得解.

9.BC

【分析】由眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，第百分位數(shù)的定義求出即可.

【詳解】成績從小到大排列為：8,9,12,12,13,16,16,16,18,20.

A：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)為16,故A錯誤；

B：平均數(shù)=5（8+9+12+12+13+16+16+16+18+20）=14,故B正確；

C：中位數(shù)為：上等=14.5,故C正確；

D：第85百分位數(shù)為第10x0.85=8.5,即第9位，為18,故D錯誤；

故選：BC.

10.ABD

【分析】求出通項(xiàng)判斷A；求出公差、通項(xiàng)判斷BC；探討數(shù)列｛6｝與｛，｝的下標(biāo)關(guān)系判斷

D.

【詳解】對于A,由題意得見=2+8（〃-1）=8〃-6,A正確；

1A

對于B,新數(shù)列的首項(xiàng)為2,公差為又廣=2,故6.=2+2（〃-1）=2〃，B正確；

對于C,由B選項(xiàng)知砥=58,令8"-6=58,則〃=8,即砥是數(shù)列｛0｝的第8項(xiàng)，C錯誤;

對于D,插入方個數(shù)，則%=="+2,。3=33,%=4k+4,…,

則等差數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)在新的等差數(shù)列｛，｝中對應(yīng)的下標(biāo)是以1為首項(xiàng)，發(fā)+1為公差的等差

數(shù)列，

于是g=4+（"-1）伯+1），而4是數(shù)列｛%｝的項(xiàng)，令1+（〃-9優(yōu)+1）=9,當(dāng)左=7時，〃=2,D正

確.

故選：ABD

11.ACD

【分析】對于AC：建立空間直角坐標(biāo)系計(jì)算求解；對于B：過N作面/CD的平行平面，

進(jìn)而可得點(diǎn)”的軌跡；對于D：由于圖形的對稱性，我們可以先分析正四棱錐/-BCDE內(nèi)

接最大圓柱的體積，表示出體積，然后利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可.

答案第4頁，共18頁

【詳解】對于A,因?yàn)锽CDE為正方形，如圖，連接5。與CE,相交于點(diǎn)。，連接04,

則兩兩垂直，故以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則D(2四,0,0)，網(wǎng)-2@,0,0),￡(0,2^0)C。-240)/(),0,240,-2行),

N為NE的中點(diǎn)，則N(0,五碼，

當(dāng)M為DE的中點(diǎn)時，M(V2,V2,0),A^V=(-^0,^\CF=@2&-26)，

設(shè)異面直線龍W與CF所成角為。，

則c°se=1c°s＜疝"故"會故A正確;

對于B,如圖，設(shè)尸為OE的中點(diǎn)，N為4E的中點(diǎn),

則PN//4),/Ou平面/CD,PN仁平面/CD,

則PN//平面/CD,又ACV//平面/CD,又MNcPN=N,設(shè)。eBC,

故平面跖VP〃平面/CD,平面NCDCl平面BCZ)E=CD,平面MVPI平面2cDE=P。，

則尸?！–D,則。為6c的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形8cDE內(nèi)(包含邊界)運(yùn)動，則MeP0,

點(diǎn)"的軌跡是過點(diǎn)。與。平行的線段尸。，長度為4,故B錯誤；

對于C,當(dāng)時，^M{x,0),MA=(-x,-y,272),ME=(-x,272-0),

MA-ME^x2+y(y-242)^0,得/+/_2。=0,即Y+(尸后=2,

答案第5頁，共18頁

即點(diǎn)M的軌跡以O(shè)E中點(diǎn)K為圓心，半徑為亞的圓在四邊BCDE內(nèi)（包含邊界）的一段弧

（如下圖）,

K到BC的距離為3,弧上的點(diǎn)到BC的距離最小值為3-收，

因?yàn)?-收＜6，所以存在點(diǎn)〃■到3c的距離為百，故C正確;

對于D,如圖，由于圖形的對稱性，我們可以先分析正四棱錐/-3CDE內(nèi)接最大圓柱的體

設(shè)圓柱底面半徑為「，IWJ為〃，尸為DE的中點(diǎn)，。為的中點(diǎn)，PQ=4,AO=2血,

根據(jù)△ZGHS^NOP,得空=空,即2=拽二,〃=忘（2--），

OPAO22V2

則圓柱體積/=兀尸2〃=拒兀尸2Q一升），

設(shè)廠（尸）二后兀（》2_尸3）（0＜/＜2）,求導(dǎo)得『（〃）=0兀（4r一3/）,

44

令廣⑺=0得，或尸=0,因?yàn)?〈尸＜2,所以廠=0舍去，即〃=;,

33

44

所以當(dāng)o〈/〈—時，r（r）＞o,當(dāng)—＜2時，r（r）＜o(jì),

33

即當(dāng)r=g時，曦、”《）=等兀，

JD//

則32?_5K_（32＞/2-45）7t_（J2048--025）元〉。

'273-27-27'

所以必叵＞2,

273

故存在一個體積為岸的圓柱體可整體放入。內(nèi)，故D正確.

故選：ACD.

答案第6頁，共18頁

71

12.

3

【分析】由三角函數(shù)的周期公式求出口=2,再由正弦型函數(shù)的對稱中心即可求出。.

27r

【詳解】由7=同=兀（。>°）得，。=2,所以/（x）=sin（2x+0）,

又/（x）=sin（2x+9）的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，

所以+（p=kit,keZ,解得（p=——+kit,keZ,又閘<弓，

IT

所以，k=\,（p=--.

故答案為：-三

c15

13.—

4

【分析】由正態(tài)分布求出參數(shù)后再利用二項(xiàng)式定理計(jì)算即可.

【詳解】由題意得隨機(jī)變量X?N（0,b2）服從正態(tài)分布，且尸（XV0）=a,由〃=0,所以

15

的常數(shù)項(xiàng),由二項(xiàng)式定理得常數(shù)項(xiàng)為C；

4

14.18

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),可得勺（i=1,2,3）的表達(dá)式，由此化簡推出《+；=；,結(jié)合e=-2

說明尢〉0，&>0,繼而利用基本不等式，即可求得答案.

【詳解】由于/（X）=Q（X—項(xiàng)）（工一工2）（%—%3）（?！?。），

故/'（X）=q［（x-4）（x一毛）+（X一毛）（X一%）X1一%）（X—q，

故后1=〃（石一工2）（項(xiàng)一%3）,后2=a（%2—%3乂%2-石）,無3=〃（%3一玉）（%3一馬），

111111

貝I1---------1-~-----------------------------rH—-----------歹------rH：-----y-------------r

、k［k2k34（玉一工2）（再一工3）4％2一工2一X）《％3—勾（工3一過

二（％一迎）+（網(wǎng)_￡）+卜一占）=0

a（X1-x2）（x2-x}）（x3-X］）

111

由左2=-2,得廠+廠=5,

%k32

答案第7頁，共18頁

由左2=-2,即左2=a(%2—X3)(x2-再)＜0，知才2位于再，%3之間，

不妨設(shè)芭＜%2＜%3，貝U左＞0,左3〉。，

左1_4k3

k,k

當(dāng)且僅當(dāng)；]y]即自=6,右=3時等號成立,

—I—=—

左k32

故則占+44的最小值為18,

故答案為：18

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及不等式求最值的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是利

用導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式推出：+：=；,并說明左＞0,質(zhì)＞0,然后利用基本不等式求最值即可.

15.(1)證明見解析

⑵八｛6,8,9,10,11｝

【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列，｝，的公差為d,由題意可得每+34=5、H+2d=4,解得

H=2,d=l,結(jié)合%=S"-S.T求得?！?2〃(”eN*),即可證明；

bnT12._,11/、T*\

⑵由(1)可得^=-根據(jù)累乘法可得〃=不小=12(———x)?eN,結(jié)合裂

項(xiàng)相消求和法計(jì)算即可求解.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列［顯］的公差為力貝!|自=1+3］，即5+3d=5,①

InJ41

因?yàn)橐?%+g=H+4,所以由2=*+4,得1+24=4.②

C

由①、②解得，=2,4=1,所以'=〃+1,即s“=〃e+i),

n

當(dāng)“22時，an=S“_S"_1+=,

當(dāng)”=1時，%=S］=2,上式也成立，所以.”=2"6eN"),

所以數(shù)列｛g｝是等差數(shù)列.

答案第8頁，共18頁

（2）由（1）可知?=2nn

a2〃+4n+2

b“n+2

b.,n—\n-212

當(dāng)“22時，—?bx=-----x-------xx—x6=

b

如?-2bxn+1n3

1211

因?yàn)?=6滿足上式，所以“=而可=12（丁v1M〃eN）

7"=12］［一口+《一口+…+］卜曰卜12*1一1=12-普,

1o

因?yàn)楫?dāng)言eN*時，"=1,2,3,5,11,所以M={6,8,9,10,11}.

O

16.（1）分布列見解析，-

【分析】（1）根據(jù)超幾何分布求出P（X=4）,P（X=3）,P（X=2）的概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)

期望即可；

（2）設(shè)/表示穿紅色衣物，則7表示穿藍(lán)色衣物，2表示穿連衣裙，則石表示穿套裝.求出

尸（4）,尸⑶，尸（同⑷,尸倒力，結(jié)合條件概率和尸（8）=P（5⑷P（/）+P（s印）計(jì)算即可

求解.

【詳解】（1）設(shè)抽到紅球的個數(shù)為X,則X的取值可能為4,3,2,

4C3cl

C18C2C22

P（X=4）=苻網(wǎng)》=3）=h=

1515

所以X的分布列為:

X432

182

P

15155

故￡（X）=4x-'-+3

（2）設(shè)/表示穿紅色衣物，則］表示穿藍(lán)色衣物，2表示穿連衣裙，則》表示穿套裝.

1oq

因?yàn)榇┘t色衣物的概率為尸（4）=尸（》=4）+*>=3）=石+石=丁

則穿藍(lán)色衣物的概率為尸⑸=P（X=2）=|,

穿紅色連衣裙的概率為尸（即）=0.6=|,穿藍(lán)色連衣裙的概率為P（2岡=0.5=；,

答案第9頁，共18頁

則當(dāng)天穿連衣裙的概率為尸（8）=尸（即）尸⑷+尸,岡尸⑷=；x；+；x1=*

JJ。

所以小李同學(xué)當(dāng)天穿連衣裙的概率為K.

17.（1）證明見解析

⑵g

【分析】（1）由余弦定理結(jié)合勾股定理逆定理可得血伍，AD,后結(jié)合平面/BCD工平面PAD,

可得M4lBD,后結(jié)合/C/可得結(jié)論；

（2）由（1）結(jié)合題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面/CM與平面N3尸的

法向量，即可得答案.

【詳解】（1）不妨設(shè)AD=AP=3j;NPAD=l2Qo,DM=2MF,

DP=3?DM=243,PM=百，

由余弦定理得AM=yjAP2+MP2-2AP.MPcos30°=6，

在LADM中，AD2+AM2=DM2MA1AD,

平面ABCD工平面PAD,平面ABCDc平面PAD=AD,MAu平面PAD,

：.MAV^ABCD.

QBDu平面，

???四邊形/BCD是菱形，，/C_L8。，

又?.?/CnM4=A,且/Cu平面/CW,M4u平面/CA/,;.8Z）_L平面/CM.

（2）在平面/BCD內(nèi)，過點(diǎn)3作ND的垂線，垂足為N,

平面ABCD7,平面PAD,平面ABCDc平面PAD=AD,

又；四邊形48cZ）是菱形，ZADC=60°,ZBDA=30°,

△4CD,AABC均為等邊三角形，

以點(diǎn)N為坐標(biāo)原點(diǎn)，/。，/可及過點(diǎn)/平行于NB的直線分別為x,八z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），

則/（0,0,0）,8--（3,0,0）,P-g,3：,0,

由（1）BD/平面ZCM,

答案第10頁，共18頁

—?93j3

BD=為平面/CW的一個法向量,

設(shè)平面ABP的法向量為加=(XJ,Z),

'3373n

AB-m=0,22

則一即

AP-m=0,33A/3N

[22

I373IV5

令尤=百，可得成=(百,1,1),?■?|cos5D,m|

|島國

35

???平面/CM與平面/8P的夾角的余弦值為好.

18.(1)-1

(2)答案見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)對〃x)=-2xhM72求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)后再求導(dǎo)，由二次導(dǎo)數(shù)得到g(x)在［底,1］

上單調(diào)遞減，再由零點(diǎn)存在定理確定/(x)的最小值.

(2)求導(dǎo)后令/'何=0得”=2叫：：+1),再利用換元法設(shè)lnx+x+l=/,得到。=當(dāng)

ee

構(gòu)造函數(shù)/?")=?,利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性和極值，畫出圖像，再由方程〃?)=“根的個數(shù)

e

討論函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù).

(3)先證明當(dāng)時，^手，構(gòu)造函數(shù)"3=手［｛0,；］|,求導(dǎo)后分析單

調(diào)性得到最小值〃(6>"］￡|=乎可證明之；再由(2)知，當(dāng)函數(shù)“X)無極值點(diǎn)時，

答案第11頁，共18頁

貝取最小值取x=1,則有2qsin，>迪，即可證明.

【詳解】(1)當(dāng)。=0時，f(x)=-2xlwc-x2,

則廠(x)=-211.Inx+x?—-2x=-2(inx+x+1),

令g(x)=/'(x),貝1］8。)=-21；+”,

因?yàn)樗詆<x)<0.則g(x)在［e-11］上單調(diào)遞減，

又因?yàn)?'(婷)=2(1--2)>0/(1)=7<0,

所以叫使得/(x0)=0,〃x)在(J,%)上單調(diào)遞增，在伉,1)上單調(diào)遞減.

因此，“X)在［底,1］上的最小值是/(J)與/⑴兩者中的最小者.

因?yàn)?(I?)=4-2_e-4=e-2(4-1?)>0JQ)=-1,

所以函數(shù)/(x)在［e-2,1］上的最小值為

(2)/'(x)=-ex+1+(x-1)ex+1J-2f1-Inx+x?—-2x=axex+1-2(inx+x+1),

由;■'(x)=0,解得，=2(1-：：+D=2(l弋：+l),

易知函數(shù)>=向+、+1在(0,+e)上單調(diào)遞增，且值域?yàn)镽,

令lnx+x+l=z,由/'(x)=0,解得。=工，

e

設(shè)/)=當(dāng)則/⑺=4口，

ee

因?yàn)楫?dāng)f<1時，/7'(。>0,當(dāng)t>l時，〃⑺<0,所以函數(shù)力⑺在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,+℃)

上單調(diào)遞減.

/22

根據(jù)刀⑴=一/—-00時，/?(x)T-co,lim//(f)=lim—=0,

得〃(/)的大致圖像如圖所示.

答案第12頁，共18頁

(i)當(dāng)。＞|時，方程力(/)=。無解，即/'(X)無零點(diǎn)，/(無)沒有極值點(diǎn)；

(ii)當(dāng)&=：時，/'(》)=26映+*-2(&+尤+1),

設(shè)m(x)=e、-x-l(xNO),貝！(尤)=e'l,令e*-lNOnxNO,

則m(x)在［0,+司上時單調(diào)遞增函數(shù)，即x+1,

得/'(x)Z2(ln_Y+x+l)-2(lnx+x+l)=0,此時/(尤)沒有極值點(diǎn)；

(iii)當(dāng)0＜。＜；時，方程有兩個解，即/'(X)有兩個零點(diǎn)，/(無)有兩個極值點(diǎn)；

(iv)當(dāng)aWO時，方程力?)=。有一個解，即尸(x)有一個零點(diǎn)，“X)有一個極值點(diǎn).

綜上，當(dāng)aVO時，/⑺有一個極值點(diǎn)；當(dāng)0＜。＜;時，〃尤)有兩個極值點(diǎn)；當(dāng)。時，“X)

沒有極值點(diǎn).

(3)先證明當(dāng)xe0,十時，吧±＞壬.

14Jx兀

設(shè)〃(力手心“"，則小”回『吧，

記P(x)=xcosx-sinx］x,貝ljp'(x)=1-cosx+%?(

-sinx)-cosx=-xsinx<0,p(x)在

(0卷］上單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(0,1］時，p(x)＜p(0)=0,n'(x)＜0,則在］上單調(diào)遞減，馬廷,

答案第13頁，共18頁

即當(dāng)xe］。：］時，不等式照>迪成立.

I4；X71

由⑵知，當(dāng)函數(shù)/(x)無極值點(diǎn)時，?>-,則

e2。44

在不等式包竺〉迪中，取x=；,則有2asin，>迪，

x7i2a2。兀

即不等式asin-1-〉正成立.

2a71

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

(1)求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值時，通常求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性分析最值，若在給定區(qū)

間上不是單調(diào)的，常用零點(diǎn)存在定理分析其單調(diào)性，再比較區(qū)間的端點(diǎn)值找到最值.

(2)討論函數(shù)的極值點(diǎn)個數(shù)值，通常轉(zhuǎn)化為分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像交點(diǎn)的個數(shù)或兩

函數(shù)相等時方程根的個數(shù)問題用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，求最值，再數(shù)形結(jié)合分析交點(diǎn)個數(shù)或

方程根個數(shù).

(3)證明不等式成立問題時可采用構(gòu)造函數(shù)，找到不等式一邊的最小值大于另一邊，或最

大值小于另一邊，即函數(shù)不等式恒成立問題.

19.(1)答案見解析

(2)①證明見解析；②存在；A=(W+Z?)2

2n

22

【分析】(1)設(shè)尸(尤)),由題意可得「+_J=1，結(jié)合橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可

nn-m

求解；

(2)設(shè)點(diǎn)必),N(》2,%),"(%,力),其中乂>0,%>0且退=-孫%=-%.

(i)由/M//BN可知監(jiān)4”三點(diǎn)共且忸=設(shè)JW'：x=ty+2y/2,聯(lián)立C的方

_11

程，利用韋達(dá)定理表示乂+%,乂%，進(jìn)而表示出+而I，結(jié)合(1)化簡計(jì)算即可；由

\AJV1\D1\

,,(8—MM).忸N|I1(8一|5N|)?bM

橢圓的定義，由/M//TN得忸0JLi，AQ-ILiLI>進(jìn)而表示出

\AQ\+\BQ\,化簡計(jì)算即可；(ii)由⑴可知M4”三點(diǎn)共線，且忸N|=|4W［,設(shè)MM\

尤=57+加，聯(lián)立C的方程，利用韋達(dá)定理表示乂計(jì)算化簡可得

112〃

―2,結(jié)合由內(nèi)切圓性質(zhì)計(jì)算即可求解.

\AM\\BN\m—n

答案第14頁，共18頁

］（%一加）2+/m

【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)尸（尤/）,由題意可知U一—工，

X---

m

BP（x-m）2+y2=x-,

22

經(jīng)化簡，得。的方程為F=l,

nn—m

當(dāng)機(jī)<〃時，曲線C是焦點(diǎn)在X軸上的橢圓；

當(dāng)時，曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.

（2）設(shè)點(diǎn)M（X］，M）,N（X2/2），M'（X3，%）,其中%>0,%>0且x,=-％,%=-%，

22

⑴由（1）可知C的方程為標(biāo)+'=1,/（20,0）,3（-2幾0）,

因?yàn)锳MUBN,所以￡石=匚需==為二匚為’

因此，M,A,M'三點(diǎn)共線,且忸N|=卜+20+/=卜「20+⑶2）匕1,

（法一）設(shè)直線的方程為x=卬+2后，聯(lián)立C的方程，得（/+2）必+46>-8=0,

則乂+%=_/2乂％=--^―>

13t2+23/+2

27216IV2lDAr,.彳“,|“6

D口J利|40|=丁X「募rp2%1?|1"1尸

卜加+卜一豹（

11\AM\+\BN\

AM,網(wǎng)

\\’—“一J

4一也，叫

4“--血,5+%、）21〃+2,

答案第15頁，共18頁

11_11_2+V2cos^2-A/2COS^_

所以|4W|+網(wǎng)一一4+4一

11

所以國+的為定值L

由橢圓定義忸。|+|。徵+1兒創(chuàng)=8,得|。叫=8-忸q-|/叫,

\AM\12M8-幽-［wI

AM/1BN,:.\~

忸M

（8-|/叫）.網(wǎng)(8-忸MblW

解得忸0|=同理可得|/。|=

\AM\+\BN\\AM\+\BN\

(8-忸(8-\AM1)mI8卜/N1)-2.1柳|

所以|40|+BQ|=

\AM\+\BN\\AM|+即I-\i.M\r^N\

=8----j--—j—=8—2=6

----------1---------.

\AM\忸N|

因?yàn)閨/用=4近，所以“80的周長為定值6+4收.

22

（ii）當(dāng)加〉〃時，曲線C的方程為鼻--二^=1，軌跡為雙曲線,

nm—n

根據(jù)⑴的證明，同理可得監(jiān)4”三點(diǎn)共線，且忸=

（法一）設(shè)直線2W的方程為尤=sy+%,聯(lián)立C的方程,