2024年重慶市烏江高考數(shù)學(xué)第一次調(diào)研試卷（附答案解析）

2024年重慶市烏江新高考協(xié)作體高考數(shù)學(xué)第一次調(diào)研試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）（2024?重慶模擬）已知aER,則是“三<2”的（）

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分又不必要條件

2.（5分）（2024?重慶模擬）已知復(fù)數(shù)z滿足：|z|=l,則|z-l+i|的最大值為（）

A.2B.V2+1C.V2-1D.3

3.（5分）（2024?重慶模擬）大多數(shù)居民在住宅區(qū)都會(huì)注意噪音問(wèn)題.記p為實(shí)際聲壓，通

常我們用聲壓級(jí)工（p）（單位：分貝）來(lái)定義聲音的強(qiáng)弱，聲壓級(jí)乙（p）與聲壓"存在

近似函數(shù)關(guān)系：LQ）=出99，其中。為常數(shù)，且常數(shù)po（8>0）為聽(tīng)覺(jué)下限閾值.若

在某棟居民樓內(nèi)，測(cè)得甲穿硬底鞋走路的聲壓P1為穿軟底鞋走路的聲壓02的100倍，且

穿硬底鞋走路的聲壓級(jí)為乙（pi）=60分貝，恰為穿軟底鞋走路的聲壓級(jí)LS的3倍.若

住宅區(qū)夜間聲壓級(jí)超過(guò)50分貝即擾民，該住宅區(qū)夜間不擾民情況下的聲壓為p',則

（）

__-1

7

A.a=20,p/<10VT0p2B.a=20,p<JQPI

__I

/

C.4=10,p<10VT0p2D.〃=10,p/<joPi

4.（5分）（2024?重慶模擬）函數(shù)/（x）=sin（2x—a）-的最小正周期是（）

7171

A.—B.TiC.2irD.-

24

5.（5分）（2024?重慶模擬）過(guò)直線2x-y+l=0上一點(diǎn)尸作圓（x-2）?+y2=4的兩條切線

—>—>

PA,PB,若P2-PB=0,則點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為（）

33715

A.0B.-C.+JD.+爭(zhēng)

6.（5分）（2024?重慶模擬）已知函數(shù)/（x）滿足：Yx,yEZ,f（x+y）=f（x）+fCy）+2xy+l

成立，且/（-2）=1,則/（2幾）=（）（左N*）

A.4n+6B.8?-1C.4n2+2n-1D.8n2+2n-5

XV

7.（5分）（2024?重慶模擬）已知雙曲線=—77=1（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

azbz

Fi,Fi,尸為雙曲線上的一點(diǎn)，/為△「八F2的內(nèi)心，且/A+2/工=2百，則C的離心率

為（）

5「

A.3B.-C.V3D.2

2

8.（5分）（2024?重慶模擬）已知點(diǎn)A（無(wú)o,yo）是雙曲線C：*，=l（a>0,b>0）±

位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，F(xiàn)i,3分別為C的左、右焦點(diǎn)，C的離心率和實(shí)軸長(zhǎng)都為2,

過(guò)點(diǎn)A的直線/交x軸于點(diǎn)M（上，0）,交y軸于點(diǎn)N,過(guò)為作直線AM的垂線，垂足為

xo

H,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.C的方程為1=1

B.點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0,--）

C.OH的長(zhǎng)度為1,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)

D.四邊形面積的最小值為4次

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求的。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得2分。

（多選）9.（5分）（2024?重慶模擬）有款小游戲，規(guī)則如下：一小球從數(shù)軸上的原點(diǎn)。出

發(fā)，通過(guò)扔骰子決定向左或者向右移動(dòng)，扔出骰子，若是奇數(shù)點(diǎn)向上，則向左移動(dòng)一個(gè)

單位，若是偶數(shù)點(diǎn)向上，則向右移動(dòng)一個(gè)單位，則扔出〃次骰子后，下列結(jié)論正確的是

（）

A.第二次扔骰子后，小球位于原點(diǎn)。的概率為］

3

B.第三次扔骰子后，小球所在位置是個(gè)隨機(jī)變量，則這個(gè)隨機(jī)變量的期望是一

2

1

C.第一次扔完骰子小球位于-1且第五次位于1的概率一

4

D.第五次扔完骰子，小球位于1的概率大于小球位于3概率

（多選）10.（5分）（2024?重慶模擬）已知函數(shù)f（x）=1。典當(dāng)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.函數(shù)/（x）值域?yàn)镽

B.函數(shù)/（x）是增函數(shù)

17

C.不等式y(tǒng)（3x-l）+f（3x）<0的解集為（看，（）

D-/（-2^3）+/（-2^22^------1■‘（-》+,（-1）+/（。）+/⑴+渴）+…+

1

^2023^=0

（多選）11.（5分）（2024?重慶模擬）將函數(shù)y=sin2x的圖象上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為

原來(lái)的工，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=/（x）的圖象，

318

貝U（）

A.7（x）的圖象關(guān)于直線久=強(qiáng)對(duì)稱

B.f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（余，0）對(duì)稱

C./（%）的圖象關(guān)于直線x=-與對(duì)稱

JDO

D.f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（一90）對(duì)稱

（多選）12.（5分）（2024?重慶模擬）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體A8CO-AiBiCiDi中，E

為棱的中點(diǎn)，尸為底面A8CD內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說(shuō)法正確的是（）

A.過(guò)點(diǎn)Ai,E,Ci的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為3&+24

B.存在點(diǎn)F,使得。RL平面ALECI

C.若。LF〃平面AiECi,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為遮

D.當(dāng)三棱錐尸-A1EC1的體積最大時(shí)，三棱錐尸-A1E。外接球的表面積為UTT

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）（2024?重慶模擬）設(shè)非空集合AU{1,2,…，9}滿足VQ,10-則這樣的

A的個(gè)數(shù)為.

14.（5分）（2024?重慶模擬）已知函數(shù)f（x）=cos（苧+由（3>0）在區(qū)間耳，印上單調(diào)遞

增，那么實(shí)數(shù)3的取值范圍是.

15.（5分）（2024?重慶模擬）若關(guān)于x的不等式。忘—+匕尤+（:W？（a>0）的解集為{x|-1

WxW3},則3a+b+2c的取值范圍是.

22

xy、1

16.（5分）（2024?重慶模擬）已知橢圓C：—+—=l（a>b>0）的離心率為5，左頂點(diǎn)是

A,左、右焦點(diǎn)分別是Q,F2,M是C在第一象限上的一點(diǎn)，直線與C的另一個(gè)交

27

點(diǎn)為N.若MF?〃AN,且△ANF1的周長(zhǎng)為4~a,則直線MN的斜率

為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（10分）（2024?重慶模擬）某區(qū)域市場(chǎng)中5G智能終端產(chǎn)品的制造全部由甲、乙兩公司

提供技術(shù)支持.據(jù)市場(chǎng)調(diào)研及預(yù)測(cè)，5G商用初期，該區(qū)域市場(chǎng)中采用的甲公司與乙公司

技術(shù)的智能終端產(chǎn)品各占一半，假設(shè)兩家公司的技術(shù)更新周期一致，且隨著技術(shù)優(yōu)勢(shì)的

體現(xiàn)，每次技術(shù)更新后，上一周期采用乙公司技術(shù)的產(chǎn)品中有15%轉(zhuǎn)而采用甲公司技術(shù)，

采用甲公司技術(shù)的產(chǎn)品中有10%轉(zhuǎn)而采用乙公司技術(shù).設(shè)第〃次技術(shù)更新后，該區(qū)域市

場(chǎng)中采用甲公司與乙公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品占比分別為即和b,?不考慮其他因素的影

響.

（1）用斯表示珈+1,并求使數(shù)列｛斯-入｝是等比數(shù)列的實(shí)數(shù)人.

（2）經(jīng)過(guò)若干次技術(shù)更新后，該區(qū)域市場(chǎng)采用甲公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品的占比能否達(dá)

到60%以上？若能，則至少需要經(jīng)過(guò)幾次技術(shù)更新；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.（12分）（2024?重慶模擬）在銳角△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,己

知g（a2+b2—c2）=2bcsinA.

U）求角C;

（2）求sin2A+cos2g的取值范圍.

19.（12分）（2024?重慶模擬）品酒師需要定期接受品酒鑒別能力測(cè)試，測(cè)試方法如下：拿

出“瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓其品嘗，要求按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，

等他等記憶淡忘之后，再讓他品嘗這"瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，這稱為一

輪測(cè)試.

設(shè)在第一次排序時(shí)被排為1,2,3,…，〃的“種酒，在第二次排序時(shí)的序號(hào)為ai,a2,

。3,…，an,并令X=IXi/—⑷，稱X是兩次排序的偏離度.

評(píng)委根據(jù)一輪測(cè)試中的兩次排序的偏離度的高低為其評(píng)分.

（1）當(dāng)〃=3時(shí)，若ai,a2,G等可能地為1,2,3的各種排列，求X的分布列；

（2）當(dāng)”=4時(shí)，

①若42,03,。4等可能地為1,2,3,4的各種排列，計(jì)算XW2的概率：

②假設(shè)某品酒師在連續(xù)三輪測(cè)試中，都有XW2（各輪測(cè)試相互獨(dú)立），你認(rèn)為該品酒師

的鑒別能力如何，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.（12分）（2024?重慶模擬）設(shè)m為實(shí)數(shù)，直線y^mx+1和圓C：/-x+/=0相交于P,

。兩點(diǎn).

（1）若PQ=學(xué)，求機(jī)的值；

（2）點(diǎn)。在以尸。為直徑的圓外（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)），求相的取值范圍.

21.（12分）（2024?重慶模擬）正多面體又稱為柏拉圖立體，是指一個(gè)多面體的所有面都是

全等的正三角形或正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱的條數(shù)都相等，這樣的多面體就叫做正

多面體.可以驗(yàn)證一共只有五種多面體.令a<6<c<d<e（a,b,c,d,e均為正整數(shù)），

我們發(fā)現(xiàn)有時(shí)候某正多面體的所有頂點(diǎn)都可以和另一個(gè)正多面體的一些頂點(diǎn)重合，例如

正a面體的所有頂點(diǎn)可以與正b面體的某些頂點(diǎn)重合，正b面體的所有頂點(diǎn)可以與正d

面體的所有頂點(diǎn)重合，等等.（1）當(dāng)正a面體的所有頂點(diǎn)可以與正6面體的某些頂點(diǎn)重

合時(shí)，求正。面體的棱與正6面體的面所成線面角的最大值；

（2）當(dāng)正c面體在棱長(zhǎng)為1的正6面體內(nèi)，且正c面體的所有頂點(diǎn)均為正6面體各面的

中心時(shí)，求正c面體某一面所在平面截正b面體所得截面面積；

（3）已知正d面體的每個(gè)面均為正五邊形，正e面體的每個(gè)面均為正三角形.考生可在

以下2問(wèn)中選做1問(wèn).

（第一問(wèn)答對(duì)得2分，第二問(wèn)滿分8分，兩題均作答，以第一問(wèn)結(jié)果給分）

第一問(wèn)：求棱長(zhǎng)為1的正e面體的表面積；

第二問(wèn)：求棱長(zhǎng)為1的正1面體的體積.

22.（12分）（2024?重慶模擬）一類項(xiàng)目若投資1元，投資成功的概率為p（0<p<l）.如

果投資成功，會(huì)獲得6元的回報(bào)（6>0）;如果投資失敗，則會(huì)虧掉1元本金.為了規(guī)避

風(fēng)險(xiǎn)，分多次投資該類項(xiàng)目，設(shè)每次投資金額為剩余本金的尤1956年約翰?

拉里?凱利計(jì)算得出，多次投資的平均回報(bào)率函數(shù)為（1-尤）并提出了凱利公式.

（1）證明：當(dāng)p（b+1）>1時(shí)，使得平均回報(bào)率/（%）最高的投資比例尤滿足凱利公式

v_pb一（1—P）

x-b；

1

（2）若/?=1,p=29求函數(shù)X-/（COS%）在（0,n）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

2024年重慶市烏江新高考協(xié)作體高考數(shù)學(xué)第一次調(diào)研試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）（2024?重慶模擬）己知在R,則“a>青是“一<2”的（）

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分又不必要條件

【考點(diǎn)】充分條件與必要條件.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；簡(jiǎn)易邏輯；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】根據(jù)命題的充分必要性直接判斷.

【解答】解：由不等式性質(zhì)，今2a>1今W<2,

11

但一<2不能推出<2>亍，例如a--1,

az

i1

所以“a>亨是“一<2”的充分不必要條件.

za

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分不必要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.（5分）（2024?重慶模擬）已知復(fù)數(shù)z滿足：|z|=l,貝U|z-l+i|的最大值為（）

A.2B.V2+1C.V2-1D.3

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模.

【專題】方程思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上一點(diǎn)到定點(diǎn)（1,-1）的距離，計(jì)算

即可.

【解答】解：設(shè)z=a+bit其中a,b€R,則z-l+i=（a-1）+（6+1）i>

：.a2+b2^l,即點(diǎn)（a,b）的軌跡是以（0,0）為圓心，1為半徑的圓,

?*.|z-1+iI=J(a—1)2+(b+1)2即為圓上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)(1,-1)的距禺，

，|z-l+i|的最大值為J(0—1)2+(0+1)2+1=V2+1.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

3.(5分)(2024?重慶模擬)大多數(shù)居民在住宅區(qū)都會(huì)注意噪音問(wèn)題.記p為實(shí)際聲壓，通

常我們用聲壓級(jí)工(p)(單位：分貝)來(lái)定義聲音的強(qiáng)弱，聲壓級(jí)L(p)與聲壓"存在

近似函數(shù)關(guān)系：〃p)=a/gS，其中。為常數(shù)，且常數(shù)po(po>O)為聽(tīng)覺(jué)下限閾值.若

在某棟居民樓內(nèi)，測(cè)得甲穿硬底鞋走路的聲壓pi為穿軟底鞋走路的聲壓〃的100倍，且

穿硬底鞋走路的聲壓級(jí)為L(zhǎng)(pi)=60分貝，恰為穿軟底鞋走路的聲壓級(jí)L(p2)的3倍.若

住宅區(qū)夜間聲壓級(jí)超過(guò)50分貝即擾民，該住宅區(qū)夜間不擾民情況下的聲壓為p',則

()

__1

7

A.。=20,p/<10VT0p2B.a=20,p<JQPI

__I

z

C.4=10,p<10V10p2D.tz=10,p/<JQPI

【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類型.

【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

【分析】由L(pi)-L(p2)=40結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算可求得a的值，由于L(6)=60,L

(p2)=20可得出￡(p')-L(p2)W30、L(pi)-￡(p')210,結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的

單調(diào)性可出結(jié)論.

【解答】解：由題意L(pi)—L(p2)=alg—=alglOO=2a=60-20=40,

P2

得a=20,

貝h(p)=200號(hào),

Po

因此L(p，)=20仞匹W50,

Po

/)-Lg=20匈耳W50-20=30,

P2

則p/<ioViOp2，

L(Pi)-L(p')=20lg60-50=10,

貝物'w鑼P「

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題.

4.(5分)(2024?重慶模擬)函數(shù)/⑴=sin⑵一部-2倍iiA的最小正周期是()

7171

A.-B.TTC.2TID.—

24

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性；兩角和與差的三角函數(shù).

【專題】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).

【答案】B

【分析】利用兩角和與差的正弦及二倍角的余弦可得/(x)=￥sin2x-孝cos2r-&(1

-cos2尤)，再利用輔助角公式可得無(wú))=sin(2x+J)-<2,于是可求其最小正周期.

【解答】解：V/(x)=sin(2x—5)-2V2sin2x

J4

=^sin2x—^cos2x—V2(1-cos2x)

=芋sin2x+^cos2x—V2

=sin(2x+1)—V2,

其最小正周期T=^=ir,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩角和與差的正弦及二倍角的余弦、輔助角公式的應(yīng)用，考查三角函

數(shù)的周期性及其求法，屬于中檔題.

5.(5分)(2024?重慶模擬)過(guò)直線2x-y+l=0上一點(diǎn)P作圓(%-2)?+/=4的兩條切線

—>—>

PA,PB,若P2-PB=0,則點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為()

33J15

A.0B.-C.+JD.+爭(zhēng)

5-5-5

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算；圓的切線方程；直線與圓的位置關(guān)系.

【專題】方程思想；數(shù)形結(jié)合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】由題意，△BACgZkPBC,得融|=|AC|=2,求出|PC|的長(zhǎng)，設(shè)P(a,2a+l),

由兩點(diǎn)間的距離公式代入解方程即可.

【解答】解：過(guò)直線2x-y+l=0上一點(diǎn)尸作圓(x-2)2+y2=4的兩條切線出，PB,如

圖所示：

則圓心C(2,0),連接AC,CB,則E4_LAC,PB±BC,

可得AB4c02XP3C,日I?而=0,則/APC=/BPC=45°,

所以|B4|=|AC|=2,所以|PC|=,22+22=2VL

因?yàn)辄c(diǎn)尸在直線2x-y+l=0上，

所以設(shè)尸(a,2a+l),C(2,0),

所以|PC|=J(a—2尸+(2a+=2夜,解方程得：。=士^^.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的方程應(yīng)用問(wèn)題，也考查了兩點(diǎn)間的距離公式應(yīng)用問(wèn)題，

是基礎(chǔ)題.

6.(5分)(2024?重慶模擬)已知函數(shù)/(X)滿足：Yx,y￡Z,f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy+l

成立，且y(-2)=i,則y(2〃)=()(WCN*)

A.4〃+6B.8"-1C.4”'+2〃-1D.8/+2〃-5

【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；直觀想象；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】令x=y=0,求出/(0),令x=y=-1,求出/(-1),令尤=1,y=-1,求出

/(1),再令y=l,"CN*,可求出/(力+1),/(〃)的關(guān)系，再利用累加法結(jié)合等

差數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可得解.

【解答】解：令x=y=0,則/(0)=/(0)+f(0)+1,所以f(0)=-1,

令x=y=-1,貝丫(-2)=/(-1)+2+1=4(-1)+3=1,

所以/(-1)=-1,

令x=l,y=-1，貝1J/(0)=/(1)4/(-1)-2+1=/(1)-2=-1,所以/(1)=1,

令x="，y=l,w6N*,則/(〃+1)=f(n)4/(1)+2n+l=f(n)+2n+2,

所以/(〃+l)-f(H)=2〃+2,

則當(dāng)〃22時(shí)，/(")-fCn-1)=2n9

貝！J/(〃)—f(n)-/(n-1)4/(n-l)-/(?-2)+-4/(2)-/(I)4/(1)

2

=2n+(2n—2)-1---1-4+1=(2幾+?(幾1)_|_i=n_|_n_i,

當(dāng)〃=1時(shí)，上式也成立，

所以/(〃)=川+〃-1(nGN*),

所以/(2〃)=4n2+2n-1(一N*).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用賦值法求抽象函數(shù)值，累加法的應(yīng)用，屬于中檔題.

x2y2

7.(5分)(2024?重慶模擬)已知雙曲線"-匕=1(〃>0,/?>0)的左、右焦點(diǎn)分別為

azbz

—>—>―?

Fi,F2,尸為雙曲線上的一點(diǎn)，/為△?四F2的內(nèi)心，且/0+2/4=2P/，則C的離心率

為()

A.3B.-5C.V「3D.2

2

【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì).

【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】延長(zhǎng)IP到A且|ZP|=|R1|,延長(zhǎng)IF2到B且|32|=陽(yáng)8|,結(jié)合向量的線性關(guān)系知I

是△A8F1的重心，根據(jù)重心和內(nèi)心的性質(zhì)，進(jìn)而得到|尸尸1|=|為尸2|=2|PF2|,由雙曲線定

義得到齊次方程，即可求離心率.

【解答】解：如圖示，延長(zhǎng)/尸到A且陽(yáng)=陽(yáng)|,延長(zhǎng)祝到8且歷2|=下2為，

T—>—?—>

所以/0+2/尸2=2尸/,即+/B+L4=0,

故I是△ARF1的重心,即S-/F]=S^BIF]=S&AIB，

又S0/&=2S〉piF\'S"，F(xiàn)i=2s，S^AIB=4sM/F2，

所以SM/F]=SM"F2=2SM/~而/是△尸人尸2的內(nèi)心，貝IJ|PF1|=|尸1尸2|=2|尸/2|，

由|「乃|-|尸/2|=2。，|FIF2|=2C,則|尸尸2|=2。，故2c=4。，即e=￡=2.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

8.（5分）（2024?重慶模擬）已知點(diǎn)A（xo,yo）是雙曲線C：鳥(niǎo)一耳=l（a>0,b>0）±

ab

位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，F(xiàn)I,或分別為C的左、右焦點(diǎn)，C的離心率和實(shí)軸長(zhǎng)都為2,

過(guò)點(diǎn)A的直線/交x軸于點(diǎn)M（°,0）,交y軸于點(diǎn)N,過(guò)為作直線AM的垂線，垂足為

H,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.C的方程為/—1=1

B.點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0,-右

C.OH的長(zhǎng)度為1,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)

D.四邊形ABNF2面積的最小值為4百

【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì).

【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】對(duì)4根據(jù)條件列式計(jì)算可得解；對(duì)8,求出直線AM的方程，令x=0,求得

其與y軸的交點(diǎn)可判斷；對(duì)C,求出直線F1H的方程與直線AM的方程聯(lián)立解得點(diǎn)”的

一1

坐標(biāo)，并求出|0”|可判斷；對(duì)D,四邊形AF1NF2的面積習(xí)尸101（1力1+1力1）=

13

-I^FJCy+—）利用基本不等式求解判斷.

2y。

6=W,所以其方程為久2—1=

【解答】解：對(duì)于A,因?yàn)?,解得a=1,

1,故A正確；

對(duì)于2,七時(shí)=』彳=智=等，所以AM的方程為丫=等（久一；），

龍0^01y0y0X0

所以令x=0得直線/交y軸于點(diǎn)（0,-分故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,直線F1H的方程為丫=急0+2）,與直線AM的方程聯(lián)立解得H（套普，

—y。、

;,

2x0-l

所以（奇普）2+（套I）2=L故C正確；

對(duì)于D,四邊形AFiNW的面積為］+/）=2（%+/）24?,當(dāng)且僅當(dāng)y0=

百時(shí)等號(hào)成立，故。正確.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了雙曲線性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求的。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得2分。

（多選）9.（5分）（2024?重慶模擬）有款小游戲，規(guī)則如下：一小球從數(shù)軸上的原點(diǎn)0出

發(fā)，通過(guò)扔骰子決定向左或者向右移動(dòng)，扔出骰子，若是奇數(shù)點(diǎn)向上，則向左移動(dòng)一個(gè)

單位，若是偶數(shù)點(diǎn)向上，則向右移動(dòng)一個(gè)單位，則扔出“次骰子后，下列結(jié)論正確的是

（）

A.第二次扔骰子后，小球位于原點(diǎn)0的概率為］

3

B.第三次扔骰子后，小球所在位置是個(gè)隨機(jī)變量，則這個(gè)隨機(jī)變量的期望是一

2

1

C.第一次扔完骰子小球位于-1且第五次位于1的概率-

4

D.第五次扔完骰子，小球位于1的概率大于小球位于3概率

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差.

【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】AD

【分析】計(jì)算出小球每次向左向右的概率后，結(jié)合概率公式與期望算法逐個(gè)計(jì)算即可得.

11

【解答】解：扔出骰子，奇數(shù)點(diǎn)向上的概率為二，偶數(shù)點(diǎn)向上的概率亦為不

22

對(duì)于選項(xiàng)A：若兩次運(yùn)動(dòng)后，小球位于原點(diǎn)，小球在兩次運(yùn)動(dòng)之中一定一次向左一次向

右，

故其概率為6(32=熱故A選項(xiàng)正確；

對(duì)于選項(xiàng)8,設(shè)這個(gè)隨機(jī)變量為X,則X的可能取值為-3、-1、1、3,

其中P(X=-3)=P(X=3),P(X=-1)=尸(X=l),

故其期望E(X)=-3XP(X=-3)+3XP(X=3)+(-1)XP(X=-1)+1XP(X

=1)

=3[尸(X=3)-尸(X=-3)]+[P(X=l)-P(X=-1)]=O,故2選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：第一次扔完骰子小球位于-1,即第一次向右移動(dòng)，且第五次位于1,

則后續(xù)中小球向右3次，向左1次，故其概率為=*故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)。:第五次扔完骰子，小球位于1,即兩次向左，三次向右，故其概率Pi=俏&)5=

5

16,

小球位于3,則四次向右，一次向左，故其概率P2==￡，有pi>p2,故。選項(xiàng)

正確.

故選：AD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望，概率的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于

中檔題.

(多選)10.(5分)(2024?重慶模擬)已知函數(shù)十⑺=1。典當(dāng)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)/(%)值域?yàn)镽

B.函數(shù)/G)是增函數(shù)

17

C.不等式y(tǒng)(3x-l)+f(3x)<0的解集為哈，j)

D-/(-2^3-^+2^22)------h/(~1)+/(-1)+'(。)+'⑴+/(1)++

1

f(2023^=0

【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).

【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】ACD

【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷A,8;證明函數(shù)為奇函數(shù)，

求出函數(shù)的定義域，然后化簡(jiǎn)即可判斷C,D.

【解答】解：令U會(huì)=一1+白〉0,解得-2<x<2,所以函數(shù)的定義域?yàn)?-2,2),

此時(shí)f>0,所以函數(shù)/(%)=/。以糞值域?yàn)镽,

且函數(shù)/在(-2,2)上單調(diào)遞減，又〃為減函數(shù)，故函數(shù)/(%)為減函數(shù)，故A

3

正確，8錯(cuò)誤；

因?yàn)?(%)4/(-x)=/。91莖+=/。。11=。，所以函數(shù)為奇函數(shù)，則/(0)

333

=0,

|-2<3x-1<2

則不等式/(3%-1)+/(3x)<0轉(zhuǎn)化為：/(3x-1)</(-3x),貝“一2<3]<2，

(3久—1>—3%

12

解得:<rV：;,故C正確；

63

一11

因?yàn)閒(x)+f(~X)=0,所以/(一orxoo)+于(-)+../(-1)+于(0)+于(1)+...V

乙U乙。乙U乙乙

1

(-------)=0,故。正確.

2023

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，涉及到函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算

求解能力，屬于中檔題.

(多選)11.(5分)(2024?重慶模擬)將函數(shù)y=sin2x的圖象上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為

171

原來(lái)的I縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向右平移K個(gè)單位長(zhǎng)度，得到了=/(無(wú))的圖象，

318

則()

A.f(x)的圖象關(guān)于直線x=(對(duì)稱

B.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(備，0)對(duì)稱

C.f(x)的圖象關(guān)于直線刀=-與對(duì)稱

D.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一/0)對(duì)稱

【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin(a)x+(p)的圖象變換.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；邏輯

推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】BC

【分析】首先利用函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步求出函

數(shù)的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸.

【解答】解：函數(shù)y=sin2x的圖象上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的右縱坐標(biāo)不變，得

TCTT

到函數(shù)y=sin6x的圖象,再將所得圖象向右平移元個(gè)單位長(zhǎng)度，得至U>=A%）=sin（6x-弓）

的圖象，

當(dāng)工=今時(shí)，/（方）=。，故函數(shù)/（X）關(guān)于點(diǎn)（看，0）對(duì)稱，故8正確，A錯(cuò)誤，

當(dāng)x=—套時(shí)，于（―看）=-1，故C正確，。錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)，

主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

（多選）12.（5分）（2024?重慶模擬）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-AiBiCiDi中，E

為棱8C的中點(diǎn)，尸為底面A8C。內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說(shuō)法正確的是（）

A.過(guò)點(diǎn)4,E,G的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為3魚+2代

B.存在點(diǎn)R使得。尸，平面4EC1

C.若。1尸〃平面4EC1,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為遮

D.當(dāng)三棱錐尸-ALECI的體積最大時(shí)，三棱錐尸-4EC1外接球的表面積為UTT

【考點(diǎn)】球的體積和表面積；平面的基本性質(zhì)及推論；棱柱的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】ACD

【分析】取的中點(diǎn)G,然后證明截面為4GEG,求出周長(zhǎng)即可判斷A；假設(shè)存在點(diǎn)

F,根據(jù)DF±AiCi,。凡LQE分別判斷點(diǎn)F位置即可得到矛盾，B錯(cuò)誤;根據(jù)平面D1MN

〃平面ALECI即可確定動(dòng)點(diǎn)F的軌跡，可判斷C；由AC判斷點(diǎn)尸位置，然后建立空間

直角坐標(biāo)系，利用空間兩點(diǎn)距離公式確定球心位置，然后可判斷D

【解答】解：A選項(xiàng)，如圖，取A8的中點(diǎn)G,連接GE,A1G,

因?yàn)镋為8c的中點(diǎn)，所以AiCi〃GE,AiCi=2GE,

所以過(guò)點(diǎn)Ai,E,Ci的平面截正方體所得的截面為梯形A1C1EG,

其周長(zhǎng)為2&+Z+&+遙=3/+2花，故A選項(xiàng)正確；

8選項(xiàng)，假設(shè)存在點(diǎn)R使得。平面4EC1,

則。尸，4C1,得F只能在線段8。上，

再由。fUGE,得尸只能在線段C。上，即F與。重合，不符合題意，故8選項(xiàng)錯(cuò)誤;

C選項(xiàng)，如圖，取的中點(diǎn)M,CD的中點(diǎn)M

連接Affli,MN,ND1,可得MDi〃GE,MN//A1C1,

又ATO1C平面A1EC1,MNU平面AiECi,CiEu平面4EQ,4Ciu平面A1EC1,

所以MOi〃平面A1EC1,MN〃平面A1EC1,

又MD1CMN=M,所以平面DMN〃平面A1EC1,

所以動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為線段MN,其長(zhǎng)度為VL故C選項(xiàng)正確；

D選項(xiàng)，由A,C選項(xiàng)可得，平面4GEC1〃平面D1MN,

所以當(dāng)歹在點(diǎn)。時(shí)，/到平面4EQ的距離最大，此時(shí)△EhCi為等邊三角形，

因?yàn)橥撸?，平面FAiCi,所以三棱錐F-A1EC1的外接球球心01一定在直線BD1上,

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則E（0,1,0）,D（2,2,0）,設(shè)01（x,x,x）,

由OiE=Oi￡>得，（x-2）2+jr,解得x=

O

所以R2=[）2+《—1）2+4）2=芋，

11

所以三棱錐F-A1EG外接球的表面積為4兀/?2=47rx號(hào)=UTT,故。選項(xiàng)正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，屬于難題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）（2024?重慶模擬）設(shè)非空集合（U{L2,…，9}滿足VaCA,10-0,則這樣的

A的個(gè)數(shù)為31.

【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷.

【專題】計(jì)算題；集合思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】31.

【分析】利用非空集合子集的個(gè)數(shù)計(jì)算公式可求滿足條件的A的個(gè)數(shù).

【解答】解：由題設(shè)可得{1,9},{2,8},{3,7},{4,6},⑸,

這5組中的每一組中的元素必定同時(shí)出現(xiàn)在集合A中，

故這樣的非空集合4的個(gè)數(shù)為25-1=31.

故答案為：31.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查元素和集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

14.（5分）（2024?重慶模擬）已知函數(shù)/⑺=cos4+3?（3>0）在區(qū)間序守上單調(diào)遞

增，那么實(shí)數(shù)3的取值范圍是（0,|]U[6,爭(zhēng).

【考點(diǎn)】余弦函數(shù)的圖象.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】（0,|U[6,學(xué).

【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，根據(jù)題中條件可得[等，等]=[2時(shí)-表2時(shí)+舒，依Z,

繼而解得上的值，進(jìn)一步計(jì)算即可.

【解答】解：因?yàn)?（久）=cos（竽+3久）=sinatx,

,「71710）71371

由（JI）>0且一<x<―,知---<（DX<—,

4343

因?yàn)楹瘮?shù)無(wú)）在區(qū)間上生守單調(diào)遞增，

則[等，等]=2/OT+芻，其中在Z,

信建2版一9

所以博W2版+卜其中kez,

解得8k-2<a)<6k+~,其中M,

由8/c—246k+1，6k+訝〉0,

17

得一五<k4五，又依Z,

4-4,

所以k=0或k=l,

因?yàn)閛）>0,所以當(dāng)％=0時(shí)，OVaW會(huì)

1q

當(dāng)％=1時(shí)，6<00<-y,

所以實(shí)數(shù)3的取值范圍是（0,|]U[6,知

故答案為：（0,|]U[6,學(xué)

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦函數(shù)的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

15.（5分）（2024?重慶模擬）若關(guān)于x的不等式0W辦2+fcv+cW2（a>0）的解集為{x|-1

3

WxW3},則3a+b+2c的取值范圍是序4）.

【考點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用.

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】岐，4）.

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集得到對(duì)稱軸，再根據(jù)端點(diǎn)得到兩個(gè)等式和一個(gè)不等

式，求出a的取值范圍，把3a+6+2c都表示成a的形式即可求解.

【解答】解：因?yàn)椴坏仁絆Waf+6尤+cW2（a>0）的解集為{尤|-1WXW3},

所以二次函數(shù)/（無(wú)）—a^+bx+c的對(duì)稱軸為直線尤=1,

f(—1)=2(a—b+c=2

且需滿足"(3)=2,即9a+3b+c=2,=-2a

=-3a+2

y(i)>0la+h+c>0

i1

所以Q+Z?+C=〃-2〃-3〃+220,解得所以〃的取值范圍是（0,-],

3

所以3a+b+2c—3ci—2a—6a+4=4-5ae5，4).

故答案為：碎，4）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題,

求出對(duì)稱軸和端點(diǎn)的值，是中檔題.

X2V21

16.（5分）（2024?重慶模擬）已知橢圓C：—+—=l（a〉b〉0）的離心率為5，左頂點(diǎn)是

A,左、右焦點(diǎn)分別是為，F(xiàn)i,M是C在第一象限上的一點(diǎn)，直線"為與。的另一個(gè)交

27V5

點(diǎn)為N.若MF2〃AN,且△AN—2的周長(zhǎng)為一a,則直線MN的斜率為一.

8~T

【考點(diǎn)】橢圓的性質(zhì).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

V5

【答案】y.

【分析】由平行關(guān)系得出對(duì)應(yīng)線段成比例，結(jié)合橢圓定義，表示出長(zhǎng)度，利用余弦定理

求出cosNA尸1N,得出結(jié)果.