文科十推理與證明

第十三章推理與證明第一節(jié)合情推理與演繹推理題型169歸納推理例題13.1設(shè)函數(shù)f（x）＝，觀察：，根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)＿＿＿．14、例題13.2定義表示所有滿足的集合組成的有序集合對(duì)的個(gè)數(shù)．試探究，并歸納推得=_________.16．．例題13.3如圖，坐標(biāo)紙上的每個(gè)單元格的邊長為1，由下往上的六個(gè)點(diǎn)：1，2，3，4，5，6的橫縱坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)數(shù)列的前12項(xiàng)，如下表所示：按如此規(guī)律下去，則.15．1005例題13.4已知函數(shù),若數(shù)列{am}滿足,且的前項(xiàng)和為,則=.15.8042例題13.5意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一組數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…其中從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于他前而兩個(gè)數(shù)的和．該數(shù)列是一個(gè)非常美麗、和諧的數(shù)列，有很多奇妙的屬性．比如：隨著數(shù)列項(xiàng)數(shù)的增加，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)之比越逼近黃金分割0.6180339887…．人們稱該數(shù)列{an}為“斐波那契數(shù)列”．若把該數(shù)列{an}的每一項(xiàng)除以4所得的余數(shù)按相對(duì)應(yīng)的順序組成新數(shù)列{bn}，在數(shù)列{bn}中第2014項(xiàng)的值是___3_____15、【KS5U答案】3解析：寫出前幾項(xiàng)數(shù)列的數(shù)，可以找出規(guī)律。例題13.6觀察下列等式：；；；；可以猜想出結(jié)論：訓(xùn)練題1[2014·北京卷]學(xué)生的語文、數(shù)學(xué)成績均被評(píng)定為三個(gè)等級(jí)，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”．若學(xué)生甲的語文、數(shù)學(xué)成績都不低于學(xué)生乙，且其中至少有一門成績高于乙，則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績好”．如果一組學(xué)生中沒有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績好，并且不存在語文成績相同、數(shù)學(xué)成績也相同的兩位學(xué)生，那么這組學(xué)生最多有()A．2人B．3人C．4人D．5人B訓(xùn)練題2[2014·福建卷]已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三個(gè)關(guān)系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一個(gè)正確，則100a＋10b＋c等于________．16．201訓(xùn)練題3[2014·陜西卷]已知f(x)＝eq\f(x,1＋x)，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，則f2014(x)的表達(dá)式為________．14.eq\f(x,1＋2014x)訓(xùn)練題4[2014·福建卷]若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四個(gè)關(guān)系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一個(gè)是正確的，則符合條件的有序數(shù)組(a，b，c，d)的個(gè)數(shù)是________．15．6[解析]若①正確，則②③④不正確，可得b≠1不正確，即b＝1，與a＝1矛盾，故①不正確；若②正確，則①③④不正確，由④不正確，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得滿足條件的有序數(shù)組為a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b＝3，c＝1，d＝4.若③正確，則①②④不正確，由④不正確，得d＝4；由②不正確，得b＝1，則滿足條件的有序數(shù)組為a＝3，b＝1，c＝2，d＝4；若④正確，則①②③不正確，由②不正確，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得滿足條件的有序數(shù)組為a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2；綜上所述，滿足條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)為6.訓(xùn)練題5[2014·新課標(biāo)全國卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A，B，C三個(gè)城市時(shí)，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過C城市；丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市．由此可判斷乙去過的城市為________．14．A訓(xùn)練題6[2014·陜西卷]觀察分析下表中的數(shù)據(jù)：多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱569五棱錐6610立方體6812猜想一般凸多面體中F，V，E所滿足的等式是________．14．F＋V－E＝2訓(xùn)練題7向圓內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，此點(diǎn)落在該圓的內(nèi)接正邊形內(nèi)的概率為，下列論斷正確的是A．隨著的增大，增大 B．隨著的增大，減小C．隨著的增大，先增大后減小 D．隨著的增大，先減小后增大 4．A訓(xùn)練題8個(gè)連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排成下表，根據(jù)規(guī)律，2011到2013，箭頭的方向依次為（）A．↓→ B．→↓ C．↑→ D．→↑9.B訓(xùn)練題9答案：題型170類比推理例題13.7觀察下列等式：，，，，………由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論：對(duì)于，．答案解析這是一種需類比推理方法破解的問題，結(jié)論由二項(xiàng)構(gòu)成，第二項(xiàng)前有，二項(xiàng)指數(shù)分別為，因此對(duì)于，例題13.8（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）36的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到:因?yàn)?所以36的所有正約數(shù)之和為參照上述方法,可求得2000的所有正約數(shù)之和為________________________【答案】4836例題13.9將函數(shù)的圖象繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后可得到雙曲線．據(jù)此類推得函數(shù)的圖象的焦距為．15.8例題13.10在平面上有如下命題：“為直線外的一點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上的充要條件是：存在實(shí)數(shù)滿足，且”，我們把它稱為平面中三點(diǎn)共線定理，請(qǐng)嘗試類比此命題，給出空間中四點(diǎn)共面定理，應(yīng)描述為：15．為平面外一點(diǎn)，則點(diǎn)在平面內(nèi)的充要條件是：存在實(shí)數(shù)滿足且例題13.11已知命題：在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)B在橢圓上，則（其中為橢圓的離心率）．試將該命題類比到雙曲線中，給出一個(gè)真命題：在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)B在雙曲線上，則．例題13.12設(shè)S、V分別表示面積和體積，如△ABC面積用S△ABC表示，三棱錐O－ABC的體積用VO－ABC表示．對(duì)于命題：如果O是線段AB上一點(diǎn)，則|eq\o(OB,\s\up6(→))|·eq\o(OA,\s\up6(→))＋|eq\o(OA,\s\up6(→))|·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0.將它類比到平面的情形是：若O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，有S△OBC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△OCA·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△OBA·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.將它類比到空間的情形應(yīng)該是：若O是三棱錐A－BCD內(nèi)一點(diǎn)，則有__________________________．例題13.13在計(jì)算“”時(shí)，某同學(xué)學(xué)到了如下一種方法：先改寫第k項(xiàng)：由此得…相加，得類比上述方法，請(qǐng)你計(jì)算“”，其結(jié)果為．16、例題13.14設(shè)△ABC的三邊長分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝eq\f(2S,a＋b＋c)；類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體S－ABC的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球的半徑為r，四面體S－ABC的體積為V，則r＝.15.eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4)訓(xùn)練題1若成等差數(shù)列，則有等式成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：若成等比數(shù)列，則有等式___成立。訓(xùn)練題2已知中令就可以求出常數(shù)，即.請(qǐng)你研究其中蘊(yùn)含的解題方法研究下列問題若，即，則=15.解：對(duì)兩邊求導(dǎo)：令x=0得：再兩邊求導(dǎo)：令x=0得：再兩邊求導(dǎo)：令x=0得：…猜想：所以，所以訓(xùn)練題3先閱讀下面的材料：“求的值時(shí)，采用了如下方法：令，則有，兩邊同時(shí)平方，得，解得（負(fù)值舍去）．”————根據(jù)以上材料所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，可以求得函數(shù)的零點(diǎn)為________．15．．*15.解析：令，則．若，則，…，；反過來，若滿足，由于在上單調(diào)遞增，由反證法可知，必有．綜上可知，方程與同解，得（負(fù)值舍去）．訓(xùn)練題4已知數(shù)列是正項(xiàng)等差數(shù)列，若，則數(shù)列也為等差數(shù)列.類比上述結(jié)論，已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，若=，則數(shù)列{}也為等比數(shù)列.訓(xùn)練題5我們知道無限循環(huán)小數(shù)，現(xiàn)探究。設(shè)，由可知，即，從而。則類比上述探究過程，用分?jǐn)?shù)形式表示15、訓(xùn)練題6數(shù)學(xué)家科拉茨在1937年提出了一個(gè)著名的猜想：任給一個(gè)正整數(shù)，若它是偶數(shù)，則將它減半（即），若它是奇數(shù)，則將它乘3加1（即），不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到1。如初始正整數(shù)為，按照上述規(guī)則，我們得到一個(gè)數(shù)列：6,3,10,5,16,8,4,2,1。根據(jù)此猜想，如果對(duì)于正整數(shù)（首項(xiàng)），經(jīng)過變換（注：1可以多次出現(xiàn)）后的第8項(xiàng)為1，則的所有可能的值為16、第二節(jié)證明題型171綜合法與分析法證明例題13.14例題13.15題型172反證法證明例題13.16其它訓(xùn)練題訓(xùn)練題1如圖1，在△OAB中，M是AB邊上的點(diǎn)，則eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(MB,AB)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(MA,AB)eq\o(OB,\s\up6(→))，類比到空間向量，如圖2，在四面體OABC中，M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，那么下列結(jié)論正確的是 （D） A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(MB＋MC,MA＋MB＋MC)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(MC＋MA,MA＋MB＋MC)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(MA＋MB,MA＋MB＋MC)eq\o(OC,\s\up6(→)) B.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(BC,△ABC的周長)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(CA,△ABC的周長)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(AB,△ABC的周長)eq\o(OC,\s\up6(→)) C.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(d1,d1＋d2＋d3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(d2,d1＋d2＋d3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(d3,d1＋d2＋d3)eq\o(OC,\s\up6(→))（其中d1、d2、d3分別表示M到BC、CA、AB的距離） D.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(S△MBC,S△ABC)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(S△MCA,S△ABC)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(S△MAB,S△ABC)eq\o(OC,\s\up6(→))訓(xùn)練題2若為的各位數(shù)字之和，如，則記則=5訓(xùn)練題3在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，取出件產(chǎn)品，記表示取出的次品數(shù)，算得如下一組期望值：當(dāng)n=1時(shí)，;當(dāng)n=2時(shí)，;當(dāng)n=3時(shí)，;……觀察以上結(jié)果，可以推測(cè)：若在含有件次品的件產(chǎn)品中，取出件產(chǎn)品，記表示取出的次品數(shù)，則=．訓(xùn)練題4已知a＜b，則在下列的一段推理過程中，錯(cuò)誤的推理步驟有③．（填上所有錯(cuò)誤步驟的序號(hào)）∵a＜b，∴a+a＜b+a，即2a＜b+a，…①∴2a﹣2b＜b+a﹣2b，即2（a﹣b）＜a﹣b，…②∴2（a﹣b）?（a﹣b）＜（a﹣b）?（a﹣b），即2（a﹣b）2＜（a﹣b）2，…③∵（a﹣b）2＞0，∴可證得2＜1．…④訓(xùn)練題5對(duì)一塊邊長為1的正方形進(jìn)行如下操作:第一步,將它分割成3x3方格，接著用中心和四個(gè)角的5個(gè)小正方形，構(gòu)成如圖①所示的幾何圖形，其面積；第二步,將圖①的5個(gè)小正方形中的每個(gè)小正方形都進(jìn)行與第一步相同的操作,得到圖②;依此類推，到第?步,所得圖形的面積.若將以上操作類比推廣到棱長為1的正方體中，則(I)當(dāng)n=1時(shí),所得幾何體的體積V1=______.(II)到第n步時(shí)，所得幾何體的體積Vn=______.訓(xùn)練題6現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：如圖，同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長都是a的正方形，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為．類比到空間，有兩個(gè)棱長均為a的正方體，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為訓(xùn)練題7在行列矩陣中，記位于第行第列的數(shù)為。當(dāng)時(shí)，45。解析：1+3+5+7+9+2+4+6+8=45訓(xùn)練題8設(shè)V是全體平面向量構(gòu)成的集合，若映射滿足：對(duì)任意向量a=（x1，y1）∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意∈R，均有 則稱映射f具有性質(zhì)P。 現(xiàn)給出如下映射： ① ② ③ 其中，具有性質(zhì)P的映射的序號(hào)為________。（寫出所有具有性質(zhì)P的映射的序號(hào)）【答案】①③訓(xùn)練題9觀察下列各式：=3125，=15625，=78125，…，則的末四位數(shù)字為 A．3125 B．5625 C．0625 D．8125【答案】D訓(xùn)練題10設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果有，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的．若T,V是Z的兩個(gè)不相交的非空子集，且有有，則下列結(jié)論恒成立的是 A．中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的 B．中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的 C．中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的 D．中每一個(gè)關(guān)于乘法都是封閉的【答案】A訓(xùn)練題11在平面直角坐標(biāo)系中，如果與都是整數(shù)，就稱點(diǎn)為整點(diǎn)， 下列命題中正確的是_____________（寫出所有正確命題的編號(hào)）.①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)②如果與都是無理數(shù)，則直線不經(jīng)過任何整點(diǎn)③直線經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過兩個(gè)不同的整點(diǎn)④直線經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：與都是有理數(shù)⑤存在恰經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)的直線【答案】①，③，⑤訓(xùn)練題12設(shè)函數(shù),觀察:根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)且時(shí)，.【答案】訓(xùn)練題13觀察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此規(guī)律，第個(gè)等式為?！敬鸢浮坑?xùn)練題14觀察下列各式：則A．28B．76C．123D．199【答案】C【命題立意】本題考查合情推理中的歸納推理以及遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式?！窘馕觥康仁接颐娴臄?shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列1,3,4,7,11，數(shù)列的前兩項(xiàng)相加后面的項(xiàng)，即，所以可推出，選C.訓(xùn)練題15正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊BC上，AE＝BF＝.動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā)沿直線喜愛那個(gè)F運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的方向的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射等于入射角，當(dāng)點(diǎn)P第一次碰到E時(shí)，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為（A）16（B）14（C）12(D)10【答案】B【解析】結(jié)合已知中的點(diǎn)E,F的位置，進(jìn)行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那么利用平行關(guān)系，作圖，可以得到回到EA點(diǎn)時(shí)，需要碰撞14次即可.訓(xùn)練題16我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑.“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積，求其直徑的一個(gè)近似公式.人們還用過一些類似的近似公式.根據(jù)判斷，下列近似公式中最精確的一個(gè)是B．C．D．【答案】D【解析】訓(xùn)練題17觀察下列不等式，……照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為.【答案】.【解析】通過觀察易知第五個(gè)不等式為.訓(xùn)練題18設(shè)N=2n（n∈N*，n≥2），將N個(gè)數(shù)x1,x2,…，xN依次放入編號(hào)為1,2，…，N的N個(gè)位置，得到排列P0=x1x2…xN.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出，并按原順序依次放入對(duì)應(yīng)的前和后個(gè)位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，將此操作稱為C變換，將P1分成兩段，每段個(gè)數(shù)，并對(duì)每段作C變換，得到；當(dāng)2≤i≤n-2時(shí)，將Pi分成2i段，每段個(gè)數(shù)，并對(duì)每段C變換，得到Pi+1，例如，當(dāng)N=8時(shí)，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此時(shí)x7位于P2中的第4個(gè)位置.（1）當(dāng)N=16時(shí)，x7位于P2中的第___個(gè)位置；（2）當(dāng)N=2n（n≥8）時(shí)，x173位于P4中的第___個(gè)位置.【答案】（1）6；（2）【解析】（1）當(dāng)N=16時(shí),,可設(shè)為,,即為,,即,x7位于P2中的第6個(gè)位置,；（2）方法同（1）,歸納推理知x173位于P4中的第個(gè)位置.【點(diǎn)評(píng)】本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識(shí)，考查運(yùn)算能力，考查創(chuàng)造性解決問題的能力.需要在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)自己動(dòng)腦的習(xí)慣，才可順利解決此類問題.訓(xùn)練題19（Ⅰ）（Ⅱ）【答案】90，【解析】（Ⅰ）4位回文數(shù)只用排列前面兩位數(shù)字，后面數(shù)字就可以確定，但是第一位不能為0，有9（1~9）種情況，第二位有10（0~9）種情況，所以4位回文數(shù)有種。答案：90（Ⅱ）法一、由上面多組數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，2n+1位回文數(shù)和2n+2位回文數(shù)的個(gè)數(shù)相同，所以可以算出2n+2位回文數(shù)的個(gè)數(shù)。2n+2位回文數(shù)只用看前n+1位的排列情況，第一位不能為0有9種情況，后面n項(xiàng)每項(xiàng)有10種情況，所以個(gè)數(shù)為.法二、可以看出2位數(shù)有9個(gè)回文數(shù)，3位數(shù)90個(gè)回文數(shù)。計(jì)算四位數(shù)的回文數(shù)是可以看出在2位數(shù)的中間添加成對(duì)的“00,11,22,……99”，因此四位數(shù)的回文數(shù)有90個(gè)按此規(guī)律推導(dǎo),而當(dāng)奇數(shù)位時(shí)，可以看成在偶數(shù)位的最中間添加0~9這十個(gè)數(shù)，因此,則.訓(xùn)練題20某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù).（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°Ⅰ試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)Ⅱ根據(jù)（Ⅰ）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣位三角恒等式，并證明你的結(jié)論.【答案】訓(xùn)練題21若（），則在中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A、16B、72C、86D、100【答案】C【解析】由題意可知，===…==0，共14個(gè)，其余均為正數(shù)，故共有100-14=86個(gè)正數(shù)。訓(xùn)練題22觀察下列事實(shí)|x|+|y|=1的不同整數(shù)解（x,y）的個(gè)數(shù)為4，|x|+|y|=2的不同整數(shù)解（x,y）的個(gè)數(shù)為8，|x|+|y|=3的不同整數(shù)解（x,y）的個(gè)數(shù)為12….則|x|+|y|=20的不同整數(shù)解（x，y）的個(gè)數(shù)為A.76B.80C.86