求極限的方法

求極限的方法求極限的方法與技巧張道強隴東學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅慶陽745000【摘要】極限思想貫穿整個高等數(shù)學得課程之中，極限的求解方法是我們我們學習的難點之一，掌握求極限的思想與方法是學好微積分的前提條件，結(jié)合學習實際，本文對常用求極限的方法進行了歸納和延伸?！娟P鍵詞】極限方法數(shù)列函數(shù)【abstract】limitthoughttohighermathematicscoursethroughouttheentire,limitsofsolvingmethodoflearningisouronedifficultyofmastertheideasandmethodsforlimitthepremiseconditionistodowellincalculus,combiningwithactual,thispaperistostudythemethodusedforlimitsaresummedupandextension.【keywords】limitmethodsequencefunction一：引言極限是數(shù)學重要概念。在數(shù)學中，所謂的極限就是如果某個變化的量無限的逼近一個確定的數(shù)值，那么該定值就叫做變化的量的極限。常用的求極限的方法有以下幾種：1.利用極限的四則運算法則2.利用等價無窮小求極限3.利用夾逼準則求極限4.利用兩個重要極限求極限5.利用函數(shù)的定義求極限6.利用洛比達法則求極限7.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限8.利用導數(shù)的定義求極限9.利用單調(diào)有界求極限10.利用級數(shù)收斂的必要條件求極限本文對其中一些常用方法在具體應用中進行技巧上的完善，以及補充其他求極限的方法如：1.無窮大除分法2.利用逐項消去法求極限3利用遞推數(shù)列的通項求極限.二.預備知識1.利用極限四則運算法則：若假設，及則有對和差積商形式的函數(shù)求極限，自然用四則運算解：這是一個形如的函數(shù)求極限的問題，并且底數(shù)，指數(shù)，應當將這個極限與極限聯(lián)系起來，因為，只需要將底數(shù)改寫為：于是令，則得故===注1：使用它們求極限是最重要的是對所給的函數(shù)或輸了做適當?shù)淖冃危怪哂邢鄳男问健?．利用極限的定義求極限求極限：我們以函數(shù)極限定義為例，定義如下：定義：設為定義在上的函數(shù)，A為定數(shù)，若對任給的，存在正數(shù)M（）得當時有:則稱函數(shù)當時以A為極限，記作：例：證：任給由于等價于而此不等式的左半部分對任何都成立，所以只考慮，其右半部分的變化范圍，為此先限制則有：故對任給的正數(shù)只須取，則當時便有上式成立，則原式得證。注1：利用函數(shù)極限的定義適用于極限的證明，而數(shù)列極限的定義比較適用于求簡單極限，如：當時，無限趨近于2，則6.利用洛比達法則求極限洛必達法則為：假設當自變量x趨近于某一定值（或無窮大）時，函數(shù)和滿足：（1）和的極限都是0或都是無窮大；（2）和都可導，且的導數(shù)不為0；（3）存在（或是無窮大），則極限也一定存在，且等于，即=。論文格式。利用洛必達法則求極限，由于分類明確，規(guī)律性強，且可連續(xù)進行運算，可以簡化一些較復雜的函數(shù)求極限的過程，但運用時需注意條件。例14．求

解：原式＝7.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限由函數(shù)f(x)在x0點連續(xù)定義知，，由于初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)處處連續(xù)，所以求初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)任意點處的極限值，只要求其函數(shù)在該點處的函數(shù)值,因此可直接代入計算。

例6．

解：因為是函數(shù)的一個連續(xù)點，

所以原式=。

8.利用導數(shù)的定義求極限

若函數(shù)f(x)在x0點可導，則，利用這個定義，若所求極限的函數(shù)具有函數(shù)導數(shù)的定義式或可化為導數(shù)的定義式，則可利用導數(shù)的定義求極限。

例1.===9..利用單調(diào)有界求極限單調(diào)有界原理：單調(diào)有界函數(shù)必有極限（在實數(shù)系中）例1: 數(shù)列的極限解：，為單調(diào)遞增數(shù)列有又，則的上界為1則注1：單調(diào)有界準則是證明數(shù)列極限常用的準則。10.利用級數(shù)收斂的必要條件求極限是級數(shù)收斂的必要條件求極限解：考慮級數(shù)，因為===故級數(shù)收斂，從而=0三.主要內(nèi)容1無窮大除分法=注1：此法較適用于多項式的商例1.解：原式=2利用逐項消去法求極限例：解：因為==.=因為==注1：逐項消去法可以用來求（極限）數(shù)列的前項和無窮級數(shù)的和，也可以用來求有限項乘積和無限項乘積，操作時注意觀察，，逐項消去將復雜數(shù)列變?yōu)楹唵蔚臄?shù)列。3.利用遞推數(shù)列的通項求極限利用數(shù)列的數(shù)列的遞推公式求數(shù)列通項公式的方法很多，例如遞推法逐項相消法，代換法等，一旦求出數(shù)列通項，就可求的數(shù)列極限。例1設數(shù)列滿足且求解：由得則令則，故數(shù)列是首項為，得等差數(shù)列，