2024屆湖北十一校高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

2024屆湖北十一校高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題+答案

數(shù)學(xué)試題

詡加：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合〃={%,2+3%—10V。},N=|=>/x-1|,則〃()

A.[0,2)B.[l,2)C.[-5,2)D.(-5,2)

Z已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足|z+2"=園，則)的虛部為()

A.-lB.lC.iD.-i

3.若tan(a—9)=2,貝IIsin2a=()

3344

A.—B.——C.-D.—

5555

4已知向量滿足H=W=3，則q.(a+3)=()

1^21—2]———11一

A..—aB.—dC.—(<24-b)

5.如圖，A是平面a內(nèi)一定點(diǎn)，5是平面a外一定點(diǎn)，且48=4五，直線48與平面a

所成角為45°,設(shè)平面a內(nèi)動(dòng)點(diǎn)〃到點(diǎn)4,3的距離相等，則線段的長(zhǎng)度的最小值為

()

A.4B.2V2

D*

C.2

2

（二+心-1）.（1-切6的展開(kāi)式中/的系數(shù)是-2,則實(shí)數(shù)a的值為（〉

A.OB.3G.-lD.-2

7.平面直角坐標(biāo)系x。中，已知點(diǎn)4（-cr,0）,8（。,0）其中。>0,若圓（x-a+iy+

（^一。一2）2=，上存在點(diǎn)/>滿足用.而=3/,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（〉

1

一,+8D.[l,+a>)

2

8.若對(duì)于任意正數(shù)X》,不等式“。+加工）之4111少一令恒成立,則實(shí)數(shù)￡1的取值范圍是（）

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.若X-N（100,L5?）,則下列說(shuō)法正確的有（）

A.P（^<100）=-B,E（Jf）=1.5

2

C.P[X<101.5）=P[X>98.5）D.P（97<X<101.5）=P（98.5<X<103）

io.如圖所示的數(shù)陣的特點(diǎn)是：每行每列都成等差數(shù)列，該數(shù)列一共有〃行〃列G>100）,

生表示第，行第）列的數(shù)，比如%=7,454=21,則（）

234567???

3$791113???

471Q131619???

5913172125???

6H162]2631

713192$3137???

??????????????????

A.%,=50B.數(shù)字65在這個(gè)數(shù)陣中出現(xiàn)的次數(shù)為8次

D.這個(gè)數(shù)陣中七個(gè)數(shù)的和s=KI”l）2

C.a=zxj+1

(j4

數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)（共6頁(yè)）

11.用平面a截圓柱面，圓柱的軸與平面a所成角記為。，當(dāng)6為銳角時(shí)，圓柱面的截線

是一個(gè)橢圓.著名數(shù)學(xué)家Dandelin創(chuàng)立的雙球?qū)嶒?yàn)證明了上述結(jié)論.如圖所示，將兩個(gè)大小

相同的球嵌入圓柱內(nèi)，使它們分別位于a的上方和下方，并且與圓柱面和a均相切.下列結(jié)

論中正確的有（）

A.橢圓的短軸長(zhǎng)與嵌入圓柱的球的直徑相等

B.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與嵌入圓柱的兩球的球心距QQ相等

C.所得橢圓的離心率e=cos6

D.其中GG2為橢圓長(zhǎng)軸，R為球9半徑，有

0

R=AG1?tan—

（第11題圖）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

x+l,x<0

12.己知函數(shù)f（x）h,則關(guān)于x的不等式的解集為.

ln(x+l),x>0

13.在矩形45CD中，AB=4,BC=6,分別是5G4D的中點(diǎn)，將四邊形4BEF沿

Sy=77,則S1co=

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演

算步驟.

15.（13分）在平面四邊形43CD中，AB=45,AC=3t,BC=2-J1.

⑴求cosN8a的值;

勺求4D的長(zhǎng).

(2)若cos/.BCD=一2'C0S—DC

XJ

Jrt4?J|ya?BT

16.（15分）如圖所示，平面ZCFEJ■平面4BCD,且四邊形ZCFE是矩形，在四邊形4B8

中，ZZDC=120°,2ZB=2/Z>=2CD=5C=6.

（1）若的=2而，求證：/〃//平面ADR.

3.

（2）若直線跳'與平面/BCD所成角為巴，求平面與平面5C"所成銳二面角的余弦

6

值.

（第16題圖）

17.（15分）2023年12月30號(hào)，長(zhǎng)征二號(hào)丙/遠(yuǎn)征一號(hào)S運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)

火起飛，隨后成功將衛(wèi)星互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星送入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿完成，此次

任務(wù)是長(zhǎng)征系列運(yùn)載火箭的第505次飛行，也代表著中國(guó)航天2023年完美收官。某市一調(diào)

研機(jī)構(gòu)為了了解當(dāng)?shù)貙W(xué)生對(duì)我國(guó)航天事業(yè)發(fā)展的關(guān)注度，隨機(jī)的從本市大學(xué)生和高中生中抽

取一個(gè)容量為"的樣本進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：

關(guān)注度

學(xué)生群體■oit

關(guān)注不關(guān)注

17

大學(xué)生-w--n

210

高中生

3

Tn

附:

a0.10.050.0250.010.001

2.7063.8415.0246.63510.828

,其中〃=a+b+c+d.

(a+￡>XC+d)(a+cX&+d)

（1）完成上述列聯(lián)表，依據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為關(guān)注航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生

群體有關(guān)，求樣本容量〃的最小值；

（2）該市為了提高本市學(xué)生對(duì)航天事業(yè)的關(guān)注，舉辦了一次航天知識(shí)闖關(guān)比賽，包含三個(gè)

問(wèn)題，有兩種答題方案選擇：

方案一：回答三個(gè)問(wèn)題，至少答出兩個(gè)可以晉級(jí)；

方案二：在三個(gè)問(wèn)題中，隨機(jī)選擇兩個(gè)問(wèn)題，都答對(duì)可以晉級(jí).

已知小華同學(xué)答出三個(gè)問(wèn)題的概率分別是3,22，小華回答三個(gè)問(wèn)題正確與否相互獨(dú)立,

432

則小華應(yīng)該選擇哪種方案晉級(jí)的可能性更大？（說(shuō)明理由）

f，1

18.（17分）已知橢圓〃：F+4F=l（a>b>°）的離心率為:，4B分別為橢圓的左頂

ab2

點(diǎn)和上頂點(diǎn)，片為左焦點(diǎn)，且&的面積為孝.

（1）求橢圓〃的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）設(shè)橢圓M的右頂點(diǎn)為C.P是橢圓M上不與頂點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn).

3

⑴若點(diǎn)P（l,￡）,點(diǎn)。在橢圓”上且位于x軸下方，直線尸。交x軸于點(diǎn)斤，設(shè)&4EF和

3

△CQ尸的面積分別為S「S2,若S]-S2=：,求點(diǎn)。的坐標(biāo)：

QD若直線4B與直線CP交于點(diǎn)。，直線3尸交x軸于點(diǎn)N,求證：2華川一砧為定值，

并求出此定值（其中柘心設(shè)分別為直線0N和直線。。的斜率）?

數(shù)學(xué)試題第5頁(yè).（共6頁(yè)）

19?我們知道通過(guò)牛頓萊布尼茲公式，可以求曲線梯形(如圖1所示陰影部分)的

j'/(x>&,(/(x)>0)

面積力=?，其中=尸。)一尸(。)，尸'(x)=/(x).如果

平面圖形由兩條曲線圍成(如圖2所示陰賬部分)，曲線G可以表示為y=f(x),曲線。2

可以表示為'=6(x),那么陰影區(qū)域的面積N=J："(x)-工(喇右，.其中

J：(AW-Z(切粒=J：E(工)辦一J：fl(x)成.

(1)如圖3,連續(xù)函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［-3,-2］與［2,3］的圖形分別為直徑為1的上、下

半圓周，在區(qū)間［-2,0］與［0,2］的圖形分別為直徑為2的下、上半圓周，設(shè)萬(wàn)(%)=J；f［t｝dt,

(2)在曲線/(X)=/(X20)上某一個(gè)點(diǎn)處作切線，使之與曲線和X軸所圍成的面積為3,

XA

求切線方程；

(3)正項(xiàng)數(shù)列｛伉｝是以公差為d("為常數(shù)，d>0)的等差數(shù)列，4=1,兩條拋物線

+—y="+2-6GM)記它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為q,兩條拋物線

4，2+1

SsS,4

圍成的封閉圖形的面積為S”，求證：—L+—+,,,+-2-<T-

%a2a?3

教學(xué)誠(chéng)題第6頁(yè)(共6頁(yè))

2024屆高三湖北H■—校第二次聯(lián)考

數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分細(xì)則

命題學(xué)校：鄂南高中命題人：李環(huán)宇易紅艷汪勇謀審題人：鄂南高中雷松柏

黃石二中萬(wàn)蓮艷

題號(hào)1234567891011

答案ABBCADDCACDACABC

l,M=(-5,2),AA=[0,+oo)MPI^=[O,2)

選：A

2.^z=a+bi,(a,beR),由|z+2z[=目，a+(b+2)i|=|a+bi\,

a2+(b+2)-=a2+b-,解得6=-1,.?二的虛部為—b=l

選：B

,(tancr-12tana3

3.由tan|a==2,得tantz--3,..sin2a=

I4)1+tana1+tan2a5

選：B

一一3-2

4.由，=3得向量a1的夾角為60°，a-{a+b)=a-■a?b——\ci\

g(a+B)2=g(a+2a*b+b)=-1a2

選：C

5.由題意得，動(dòng)點(diǎn)河的軌跡是線段48的中垂面與平面答凝

可得線段AM的最小值為4行義也=4

:

6.x2C°+ax?C；(r)+(-l)-C；，所以x2

選：D

7.設(shè)尸(x,y),-：PAPB=3a2,得P得軌跡方程為圓by2=4a2,所以圓C和已

/+2a+520

知圓相交即可，圓心距々一八三|0C]W+4，其中6=。,4=2a,得4

74-2Q-520

得

選：D

1

8.參變分離得砂Nu(ln(-lnx)-x,/.?>—(Inj-lnx)--,/.a>—In-

yyyy

設(shè)/=上，得42皿匚,/￡(0,+00),設(shè)g(x)=@±4,xe(0,+oo),求導(dǎo)討論單調(diào)性，可

XtX

得q2—

e~

選：C

9.X?N(100,1.52)可知期望為100,方差為1S,

c選項(xiàng)尸(X<〃+￡)=尸(X〉〃一b)正確

D選項(xiàng)尸(〃-2cr<X<〃+cr)=P(〃-cr<X<〃+2cr)正確

選：ACD

10.第z?行是以為為首項(xiàng)，以。+1)為公差的等差數(shù)列，

.,.旬=%]+(/—1)?i=(Z，+1)+(7—1)?Z，=Z，?J+1,C正確

可知A正確，對(duì)于B選項(xiàng)

615243342516

at-=i-j+1=65,i-j=64=2°x2=2x2=2x2=2x2=2x2=2x2=2x2°

故共出現(xiàn)7次，B錯(cuò)誤

對(duì)于D選項(xiàng)，令〃=1,2,檢驗(yàn)可知錯(cuò)誤.

選：AC

11.A選項(xiàng)易知正確

B選項(xiàng)，如圖可知

G]片=G/,G]g=GXD,GjA+G〔D=GXFX+G冉=(a—c)+(a+c)=2a

.?.002=/D=2。得證

C選項(xiàng)，AOOiK,O片=c,OOj=a,NO。片=6得證

D選項(xiàng)，可知44。1片=4/2。01=2,40/5中，tan'=4d,所以錯(cuò)誤.

22R

選：ABC

2

12.(-oo,e-l]13.34%14.-3750

12.當(dāng)x<0時(shí)，x+1?1得x<0,，xW0

當(dāng)x>0時(shí)，ln(x+1)<1得一0<x<e-1

綜上：/(》)41的解集為(-叫6-1]

13.由題意，可將三棱錐4-CDE補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，設(shè)長(zhǎng)方體外接球半徑為火，則

(2R，=32+32+42=34,S球=4萬(wàn)火2=34萬(wàn)

14.???｛｝｝為等差數(shù)列，.??數(shù)列｛“〃｝等差數(shù)列

?「Si4=77,「.7(/+/4)=7(%+句)=77

Q]4=ll-qN_Q]11-a-axan-(11-^J

<，…'，貝U4=-----!----L=------------

%=11—Q”a”—%=2%]—11137

/.7。]+13〃u=110va^aneN+,經(jīng)檢驗(yàn)q=12,%i=2

則6/=￡11^=一1,an=l3-n,S=叱”.“二(25-.)?「..%o=_375o

10"22

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演

算步驟.

15.（13分）在平面四邊形/BCD中，25=括,/。=3,5。=2血.

3

⑴求cos/BC4的值;

1)Mi

⑵若cosZBCD=——,cosZADC=--—求的長(zhǎng).

135

解：(1)在A48C中，由余弦定理可得：cosZBCA=—————

2AC-BC

/ncA9+8-5V2

/.cosZ.BCA=----------j==—；................5分

2x3x2逝2

(2)sin/ACD=sin(/BCD-ABCA)=sin/BCDcos/BCA-cos/BCDsinZBCA

5V212V217V2

--------1--------------

13213226

sinZADC=yj1-cos2ZADC=-............................9分

5

ACAD

在A4CD中，由正弦定理可得:

sinZADC~sinCD

3ADf255r-

—=—產(chǎn)^AD=——V2................13分

217、歷52

526

16.(15分)如圖所示，平面/CFEL平面4BC￡>,且四邊形ZCFE是矩形，在四邊形

ABCD中,ZADC=120°,2AB=2AD=2CD=BC=6.

2f

⑴若EN=—求證：幺〃//平面8D尸

3，

:.ZDCA=3O°,AC=3y/3又48=3,BC=6

:.ZCAB^9Q0,ZACB=30°，四邊形幺臺(tái)四是等腰梯形..............3分

4D//BC且/D=]c

:.AO=-AC=-EF=MF二四邊形ZOEM是平行四邊形..............6分

33

???AM11OF又AM6面0尸u面瓦加,AM//平面9................7分

(2)：平面4C巫，平面/8C。，且四邊形4CEE是矩形二平面/8C。

71

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由RF與平面N8CD所成角為7,得CF=26…8分

35y3

???5(0,3,0)C(3AO,O)尸(3。,0,2百)￡(0,0,2V3)

BE=(0,—3,26)無(wú)=(手,1,0)

BC=(36,-3,0)BF=(373,-3,2a9

分

(0,-3,26)?(x,y.z)=-3y+2cz-0

―)

設(shè)平面BED的法向量為〃1=(x,y,z),則＜9369

(虧，一]，0),(％//)=3％一1歹=0

々=(2百,2,拘11分

設(shè)平面BC廠的法向量為〃2=(%//),

(3百,一3,0)-(x,y,z)=3A/3X-3y=0

則|(3A-3,2?(x,y,z)=3技—3y+2任=0

??n2=(1，A/3,0)..............13分

???cos",叱=撞1..............15分

19

I?iIIn2|

17.(15分)2023年12月30號(hào)，長(zhǎng)征二號(hào)丙/遠(yuǎn)征一號(hào)S運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)

火起飛，隨后成功將衛(wèi)星互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星送入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿完成，此次

任務(wù)是長(zhǎng)征系列運(yùn)載火箭的第505次飛行，也代表著中國(guó)航天2023年完美收官。某市一調(diào)

研機(jī)構(gòu)為了了解當(dāng)?shù)貙W(xué)生對(duì)我國(guó)航天事業(yè)發(fā)展的關(guān)注度，隨機(jī)的從本市大學(xué)生和高中生中抽

5

取一個(gè)容量為〃的樣本進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表:

關(guān)注度

學(xué)生群體會(huì)計(jì)

關(guān)注不關(guān)注

17

大學(xué)生

尸10

嘉中生

J

合計(jì)—內(nèi)

s

附:

a0.10.050.0250.010.001

Xa2.7063.8415.0246.63510.828

n(ad-be)2,

Z2---------------------,其中〃=a+6+c+d.

(a+b)(c+1/)(<7+c)(b+d)

(1)完成上述列聯(lián)表，依據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為關(guān)注航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生

群體有關(guān)，求樣本容量〃的最小值？

(2)該市為了提高本市學(xué)生對(duì)航天事業(yè)的關(guān)注，舉辦了一次航天知識(shí)闖關(guān)比賽，包含三個(gè)

問(wèn)題，有兩種答題方案選擇：

方案一：回答三個(gè)問(wèn)題，至少答出兩個(gè)可以晉級(jí)；

方案二：在三個(gè)問(wèn)題中，隨機(jī)選擇兩個(gè)問(wèn)題，都答對(duì)可以晉級(jí).

已知小華同學(xué)答出三個(gè)問(wèn)題的概率分別是3,22，小華回答三個(gè)問(wèn)題正確與否相互獨(dú)立,

432

則小華應(yīng)該選擇哪種方案晉級(jí)的可能性更大？(說(shuō)明理由)

解：⑴

■

學(xué)生!》體生計(jì)

人汁不知

11

大學(xué)至一.一.g

11

G中生

10)10

—ItyM，.

frit5

6

零假設(shè)為“。：關(guān)注航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生群體無(wú)關(guān)

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到/=25510=女

7n3n3n2n63

ToToT'T

因?yàn)橐罁?jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為關(guān)注航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生群體有關(guān)

所以力2=耳>3.8410”>30.25

由題可知，〃是10的倍數(shù)，.1"min=40

321

（2）記小華同學(xué)答出三個(gè)問(wèn)題的事件分別Z,8,C,則尸（幺）=牙尸（5）=§,P（C）=a

記選擇方案一通過(guò)的概率為Px

6=尸（2麻）+尸（疝0+尸（初0+尸（28。）

32131112132117,

——_?—.___?___.__.___?___.—.——?—.__.________]]3

-432432432432—24.........

記選擇方案二通過(guò)的概率為P2

P2=-P(AB)+-P(BC)+-P(AC)

29

72

,/q>￡,.?.小華應(yīng)該選擇方案一15分

xv1

18.（17分）已知橢圓/：+2T=1（。>6〉0）的離心率為一，45分別為橢圓的左頂

ab2

點(diǎn)和上頂點(diǎn)，耳為左焦點(diǎn)，且△兒?々的面積為三.

（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)橢圓/的右頂點(diǎn)為C,。是橢圓〃上不與頂點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)：

3

（i）若點(diǎn)尸（1,2）,點(diǎn)。在橢圓〃上且位于x軸下方，直線尸。交工軸于點(diǎn)尸，設(shè)△4/）」「和

7

3

△CDF的面積分別為￡,邑，若，-S?=Q,求點(diǎn)。的坐標(biāo);

(ii)若直線Z8與直線CP交于點(diǎn)Q,直線AP交x軸于點(diǎn)N,求證：2左3-左支為定值，

并求出此定值.

N

題圖)

c_1

a2

解：(1)由題意得＜1分

i,、卜E

-(a-c)b=——

12、2

解得a=2,c=l2分

22

二?橢圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程為乙+工=14分

43

(2)(i)連接尸C

13o3

「DPC=—x4x——S6分

SS[=S4Ape—S&\DPC

222

33-g

??S.DPC—

22-0AOPC

3

OD//PCk8分

OD2

3

y=——x

3?3

直線如的方程為y=—2%，聯(lián)立'22得覆.-10分

土+J

[43

(其它方法酌情給分)

(ii)設(shè)直線0c的斜率為左,則直線QC的方程為：y=k(x-2)

y=k(x-2)

直線4s的方程為＞=；-(x+2),由＜_V3.。、得

y=^-(x+2)

2(2左+#)4v/

以2k-a11分

8

y=k(x-2)

2

由＜xy2得(3+4左2)%2_16左2%+16左2—12=0

—+—=1

[43

c16P-12....2—6-12k

2xp=...........-13分

「3+4左2.3+4左2'3+4左2

—4百左2一12左一3百

.?直線5尸的方程為：〉=

8左2—6

...我-華⑼15分

2k+A/3

8?+121,M

…kQN=-k+—

2(2左+G)2(2左—G)-16G24

2k-也2k+6

"2kQN-kQc=^為定值

17分

19.（17分）我們知道通過(guò)牛頓萊布尼茲公式，可以求曲線梯形（如圖1所示陰影部分）的

a?7

面積Z=<，其中[/(%[=廠他)一7(。)，7(%)=/(%).如果

-￡/(X)67X,(/(X)<0).

平面圖形由兩條曲線圍成（如圖2所示陰影部分），曲線a可以表示為y=＜（x）,曲線。2

可以表示為＞=人（耳，那么陰影區(qū)域的面積Z=J：（力（x）—工,其中

（1）如圖3,連續(xù)函數(shù)y=/（x）在區(qū)間［-3,-2］與［2,3］的圖形分別為直徑為1的上、下

9

半圓周，在區(qū)間［-2,0］與［0,2］的圖形分別為直徑為2的下、上半圓周，設(shè)尸（x）=J；/（/W，

求1尸（2）—尸（3）的值；

（2）在曲線/（》）=X2（》20）上某一個(gè)點(diǎn)處作切線，使之與曲線和x軸所圍成的面積為

求切線方程；

（3）正項(xiàng)數(shù)列也｝是以公差為d（d為常數(shù)，d〉0）的等差數(shù)列，4=1,兩條拋物線

1

y=bnx+—＞=*4+!（〃6乂）記它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為%,兩條拋物

b,J%

線圍成的封閉圖形的面積為色，求證：縣+邑