2023年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試卷及答案

高考

2023年新課標(biāo)全國(guó)II卷數(shù)學(xué)

一、單選題

1.在復(fù)平面內(nèi)，（l+3i）（3-i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.設(shè)集合/={0,-。},B={l,a-2,2a-2},若/=B,貝!|。=().

2

A.2B.1C.-D.—1

3.某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查,

擬從初中部和IWJ中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生,已知該校初中部和高中部分別有400名和200

名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）.

A.C加C短種B.C%.C品種

c.c：3c菰種D.C%C北種

_l

4.若/(x)=(x+“)lnJ為偶函數(shù)，則。=().

2x+l

A.-1B.0C.yD.1

2

5.已知橢圓C:?+/=l的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,直線＞=X+與C交于A,B兩點(diǎn),

若△KN3面積是△耳面積的2倍，則加=（）.

V2_2

ABc----U.

-t-T-3-3

6.已知函數(shù)〃x）=*-lnx在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞增，則a的最小值為().

A.e2B.eC.JD.e-2

7.己知a為銳角，cosa=匕咨，則sin1=(

).

42

八3—^5B-]+V^《3-石口-1+V5

.88.44

8.記S“為等比數(shù)列｛%｝的前。項(xiàng)和，若其=-5,$6=2電，則醺=（).

A.120B.85C.-85D.-120

二、多選題

試卷1

高考

9.已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為。，AB為底面直徑，44P8=120。，PA=2,點(diǎn)C在

底面圓周上，且二面角P-/C-。為45。，貝|().

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側(cè)面積為46無

C.AC=26D.△P/C的面積為6

10.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線7=-百(x-l)過拋物線C：/=2pxS>0)的焦點(diǎn)，且與C交于

M,N兩點(diǎn)，/為C的準(zhǔn)線，則().

Q

A.p=2B.\MN\=-

C.以MN為直徑的圓與/相切D.為等腰三角形

11.若函數(shù)/(x)=alnx+§+/(aH0)既有極大值也有極小值，則().

A.bc>0B.ab>0C.b1+8ac>0D.ac<0

12.在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為

?(0<?<1),收到0的概率為1-&；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為￡(。<￡<1),收到1的概

率為1-0.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏?單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，

三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí),

收到的信號(hào)即為譯碼三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收

至U1,0,1,則譯碼為1).

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到I,0,1的概率為(1-&)(1

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,。，1的概率為￡(1-￡)2

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為￡(1-⑨?+(1-￡)3

D.當(dāng)0<a<0.5時(shí)，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方

案譯碼為0的概率

三、填空題

13.已知向量心B滿足卜-*5卜+4=悔-可，則問=.

14.底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,高為3

的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為-

15.已知直線/：x-叼+1=0與G>C:(x-l?+/=4交于A,B兩點(diǎn)，寫出滿足""BC面積

試卷2

高考

Q

為］〃的m的一個(gè)值______.

16.己知函數(shù)〃x)=sin?x+0),如圖A,B是直線y=1■與曲線了=/(x)的兩個(gè)交點(diǎn)，若

四、解答題

17.記的內(nèi)角4民。的對(duì)邊分別為a,6,c,已知。8C的面積為由，。為8c中點(diǎn),

且=1.

JT

(1)^Z.ADC=—,求tan5；

⑵若〃+°2=8,求仇c.

18.已知｛?！埃秊榈炔顢?shù)列，"=數(shù)，記叫(分別為數(shù)列｛%｝，也｝的前。項(xiàng)

和，邑=32,4=16.

(1)求｛七｝的通項(xiàng)公式;

(2)證明：當(dāng)〃>5時(shí)，Tn>Sn.

19.某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)

試卷3

高考

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值C,將該指標(biāo)大于C的人判定為陽性，小于

或等于C的人判定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為0(c)；

誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為式C).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生

的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時(shí)，求臨界值c和誤診率4(c)；

(2)設(shè)函數(shù)〃c)=p(c)+q(c),當(dāng)ce[95,105]時(shí)，求/(c)的解析式，并求〃c)在區(qū)間[95,105]

的最小值.

20.如圖，三棱錐/-BCD中，DA=DB=DC,BDVCD,AADB=ZADC=60°,E為BC

的中點(diǎn).

(1)證明：BC^DA-,

(2)點(diǎn)F滿足/=也，求二面角。-43-尸的正弦值.

21.已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為卜2石,0),離心率為右.

(1)求C的方程；

(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為4，4，過點(diǎn)(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點(diǎn)，M在

第二象限，直線"4與私交于點(diǎn)P.證明:點(diǎn)尸在定直線上.

22.(1)證明：當(dāng)0<x<l時(shí)，x-x2<sinx<x;

(2)已知函數(shù)/(x)=cosax-ln(l-/),若％=()是/(%)的極大值點(diǎn)，求。的取值范圍.

試卷4

高考

新高考二卷參考答案

1.(2023?新高考II卷?1?★)在復(fù)平面內(nèi)，(l+3i)(3-i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

答案：A

解析：(l+3i)(3-i)=3-i+9i-3i2=6+8i,所以該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(6,8),位于第一象限.

2.(2023?新高考H卷?2?★)設(shè)集合/={0,-a},3={l,a-2,2a-2},若貝Ua=

()

2

(A)2(B)1(C)-(D)-1

3

答案：B

解析：觀察發(fā)現(xiàn)集合A中有元素0,故只需考慮B中的哪個(gè)元素是0,

因?yàn)镺eN,A三B,所以O(shè)eB,故。一2=0或2a-2=0,解得：a=2或1,

注意0不能保證月￡8,故還需代回集合檢驗(yàn)，

若a=2,則4={0,-2},5={1,0,2},不滿足不合題意；

若a=l,則/={0,-1},5={1,-1,0},滿足故選B.

3.(2023?新高考II卷?3?十)某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分

層隨機(jī)抽樣作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高

中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有()

(A)c：〉cC種(B)種(C)C：jC北種(D)種

答案：D

解析:應(yīng)先找到兩層中各抽多少人，因?yàn)槭潜壤峙涞姆謱映槿?，故各層的抽取率都等于?/p>

體的抽取率，

設(shè)初中部抽取X人，KIJ—=--—,解得尤=40,所以初中部抽40人，高中部抽20

400400+200

人，

故不同的抽樣結(jié)果共有C禽?C北種.

0y—1

4.(2023?新IWJ考H卷?4?★★)若/(x)=(x+a)ln----為偶函數(shù)，則。=()

2x+l

(A)-1(B)0(C)-(D)1

2

答案：B

解法1：偶函數(shù)可抓住定義/(-\)=/(X)來建立方程求參，

-2x-12r-1

因?yàn)?(%)為偶函數(shù)，所以/(f)=/(x)，即(―x+Q)ln，^」=(x+〃)ln三」①，

-2x+12x+l

H1——1[2x+1.,2x—1J[2x—1/A、GZg

而In------=In-----=ln(-----)1=-In-----,代入①得

—2x+12x-12,x+12x+1

2Y-1

(-x+6z)(-ln----)=(x+a)ln——,

2x+l2x+l

化簡(jiǎn)得：x-a=x+a,所以。=0.

解法2:也可在定義域內(nèi)取個(gè)特值快速求出答案，

上二〉00(2x+l)(2x-l)>0,所以x<――或%>—,

2x+122

因?yàn)?(x)為偶函數(shù)，所以/(T)=/⑴，故(-1+Q)ln3=(l+Q)lng①，

而ln§=ln3i=—ln3,代入①得：(―l+a)ln3=—(l+a)ln3,解得：a=0.

試卷5

高考

丫2

5.(2023?新高考H卷?5?★★★)已知橢圓C:§+/=1的左、右焦點(diǎn)分別為月，

直線y=x+m與。交于4B兩點(diǎn)，若M45的面積是轉(zhuǎn)面積的2倍，則加=()

(A)-(B)—(C)(D)--

3333

答案：C

解析：如圖，觀察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形有公共的底邊AB,故只需分析高的關(guān)系，

作片G，N8于點(diǎn)G,工/，N3于點(diǎn)/,設(shè)AB與x軸交于點(diǎn)K,由題意，

曰期MG

=2,

Sj^AB\-\F2I\

Ffi=2,由圖可知坐KGsA/^KZ,所以H=fg=2,故⑶K|=2禺K|,

所以

\FiK\\F2r

又橢圓的半焦距°="1=行，所以上￡|=20=2也，從而|巴耳=中片閭=半,

故|OK|=|。刈-閨K|,所以K([>0),代入y=x+機(jī)可得0=+機(jī)，解得：

V2

m=----.

3

6.(2023?新高考II卷?6?★★★)已知函數(shù)f(x)=aex-Inx在區(qū)間(1,2)單調(diào)遞增，則a

的最小值為()

(A)e2(B)e(C)e-1(D)e-2

答案：C

適析：/(x)的解析式較復(fù)雜，不易直接分析單調(diào)性，故求導(dǎo)，

由題意，f\x)=ae--,因?yàn)?㈤在(1,2)上/,所以r(x)20在(1,2)上恒成立，即

X

aex-->0①，

X

觀察發(fā)現(xiàn)參數(shù)。容易全分離，故將其分離出來再看，不等式①等價(jià)于令

xe

g(x)=xex(1<x<2),

則g'(x)=(x+l)e，>0,所以g(x)在(1,2)上/,又g(l)=e,g(2)=2e?,所以

g(x)e(e,2e2),

故'因?yàn)椤?在(1,2)上恒成立，所以。21=。，故a的最小值為

g(x)xe2eexee

7.(2023?新高考H卷?7?★★)已知a為銳角，cos@'+亞,則sin?=()

42

試卷6

高考

(A)三好(B)士或(C)三好(D)-1+V5

884-4-

答案：D

名力士匚1c-2a1+逐.23-V5

用牛祈：cosa=1—2sm——=--------=>sin—=---------，

2428

此式要開根號(hào)，不妨上下同乘以2,將分母化為4"

而卜1?2a6—2A/5(A/5—I)2rr.aV5—1

所以sin—=----------=-----------,故sm一=±------，

2164224

又a為銳角，所以4w(0,l，故sin4=?1.

2424

8.（2023?新高考H卷?8?★★★）記5“為等比數(shù)列應(yīng)｝的前"項(xiàng)和，若其=-5,

=215,,貝1]$8=()

(A)120(B)85(C)-85(D)-120

答案：c

解法1：觀察發(fā)現(xiàn)顯，\，以的下標(biāo)都是2的整數(shù)倍，故可考慮片段和性質(zhì)，先考慮q

是否為7,

若｛%｝的公比q=-l,則/==0,與題意不符，所以qw-l,

故$2，S.-S2,S6-S4,$8-$6成等比數(shù)列①，條件中有￡=2電，不妨由此設(shè)個(gè)未知

數(shù)，

設(shè)S2=m,貝U$6=21m，所以S4-S2=-5-m,S6-S4=21m+5,由①可得

(s4-s2y=s2(s6-s2),

所以(-5-"。2=加(21"2+5),解得：〃7=-1或*,

4

若m=-l.貝ljS2=-1,S4-S2=-4,S6-S4=-16,所以^-^=-64,故

Ss=S6-64=2bn-64=-85；

到此結(jié)合選項(xiàng)已可確定選C,另一種情況我也算一下，

若m=—,貝!I5,=—->0,而

424

2

$4=a1+%+%+%=%+出+%/+a2q=（%+?）（1+屋）=邑。+/），

所以S”與S2同號(hào)，故S,〉。，與題意不符；

綜上所述，m只能取-1,此時(shí)Sg=-85.

解法2：已知和要求的都只涉及前“項(xiàng)和，故也可直接代公式翻譯，先看公比是否為1,

若｛6｝的公比4=1,貝!J$6=6%w21s2=42%,不合題意，所以qwl,故—?）=—5

i-q

①，

又$6=2電，所以.（l_q6）=21-"?q2）,化簡(jiǎn)得：1一/=21。一/）②，

1-q\-q

又1—夕，=1—（，）3=（］一32）（］+夕2+,4）,代入②可得：（］_/）（］+g2+/）=2］（］_烏2）③,

兩端有公因式可約，但需分析1-92是否可能為0,已經(jīng)有0W1了，只需再看q是否可能等

于-1,

若g=_l,則S4=%"E=0,與題意不符，所以#-1,故式③可化為

1-（-1）

1+=21,

整理得：/+^2_20=0,所以/=4或-5（舍去），故要求的

試卷7

高考

%（1-力=%口-（4）］_255%④

\-q1-q1-

只差」了，該結(jié)構(gòu)式①中也有，可由片=4整體計(jì)算它，

1-夕

將，=4代入①可得爾＞')=一5,所以上代入④得$8=一255*」=-85.

\-q1-q33

9.(2023?新高考II卷?9?★★★)(多選)已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,AB為

底面直徑，/APB=120°,PA=2,點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角0-ZC-O為45°,則

()

(A)該圓錐的體積為萬

(B)該圓錐的側(cè)面積為46萬

(C)AC=2也

(D)AP/C的面積為百

答案:AC

解析：A項(xiàng)，因?yàn)镻/=2,ZAPB=120。,所以44尸。=60°,OP=APcosZAPO=1,

OA=AP-sinN4Po=由,從而圓錐的體積產(chǎn)=；S/z=；x%xxl="，故A項(xiàng)正確；

B項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積S=乃〃=7TX75x2=2百萬，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

C項(xiàng)，要求AC的長(zhǎng)，條件中的二面角P-/C-。還沒用，觀察發(fā)現(xiàn)P/C和都是等

腰三角形，故取底邊中點(diǎn)即可構(gòu)造棱的垂線，作出二面角的平面角，

取AC中點(diǎn)Q,連接PQ,OQ,因?yàn)镺/=OC,PA=PC,所以NC_L。。，AC1PQ,

故/尸0。即為二面角尸-/C-O的平面角，由題意，/2。。=45。，所以。0=。尸=1,

故加=JOT_eg=g,所以"=2/0=2收，故C項(xiàng)正確；

D項(xiàng)，PQ=^OP2+OQ1=V2,所以Svug/C,POngxZ亞x亞=2,故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

10.(2023?新高考II卷?10?★★★)(多選)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線了=-6(尤-1)過拋

物線C:y2=2.(p＞0)的焦點(diǎn)，且與C交于M,N兩點(diǎn)，/為C的準(zhǔn)線，貝|()

(A)p=2(B)|〃M=|(C)以/WN為直徑的圓與/相切(D)A0MV為等腰

三角形

答案：AC

解析：A項(xiàng)，在y=-6(%-1)中令＞=0可得％=1,由題意，拋物線的焦點(diǎn)為尸(1,0),所以

2

從而p=2,故A項(xiàng)正確；

B項(xiàng)，此處可以由直線MN的斜率求得再代角版焦點(diǎn)弦公式求

sina

但觀察發(fā)現(xiàn)后續(xù)選項(xiàng)可能需要用M,N的坐標(biāo)，所以直接聯(lián)立直線與拋物線，用坐標(biāo)版焦點(diǎn)

弦公式來算，

設(shè)”(西,必)，NH，%)，將＞代入丁=4x消去y整理得3x2-10x+3=0,解

試卷8

高考

得：x=1或3,

3

對(duì)應(yīng)的y分別為2：和-2^3,所以圖中A/(3,-2A/3),N(；,2：),從而

|A/A^|二玉+'2+P=g+3+2=,

故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

C項(xiàng)，判斷直線與圓的位置關(guān)系，只需將圓心到直線的距離d和半徑比較，

人=的中點(diǎn)Q到準(zhǔn)線/:x=-l的距離=

233211

從而以MN為直徑的圓與準(zhǔn)線/相切，故C項(xiàng)正確；

D項(xiàng)，M,N的坐標(biāo)都有了，算出|(W|,|CW即可判斷，

10M=打+(-2。。=后,3|=4+(罕)2=浮,

所以UM，I。叫，WM均不相等，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

11.(2023,新高考H卷?11?★★★)(多選)若函數(shù)/(x)=a\nx+-+-^-(<a0)既有極

xx

大值也有極小值，則()

(A)bc>0(B)ab>0(C)b1+Sac>0(D)ac<0

答案：BCD

解析：由題意，/(x)=q-與一與=竺上第3(x>o),

XXXX

函數(shù)/(X)既有極大值，又有極小值，所以/'(x)在(0,+oo)上有2個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，

故方程-far-2c=0在(0,+oo)上有兩個(gè)不相等實(shí)根，

A=(-bp-4a(-2c)>0①(保證有兩根)

所以x=-->0②(保證兩根同號(hào))由①可得/+8ac>0,故C項(xiàng)正確;

Xl2a

x+x=—>0③(保證兩根只能同正)

l2*a

由②可得￡<0,所以Q，c異號(hào)，從而ac<0,故D項(xiàng)正確；

a

由③可得a,b同號(hào)，所以a6>0,故B項(xiàng)正確；

因?yàn)閍,c異號(hào),a,b同號(hào)，所以b,c異號(hào)，從而6c<0,故A項(xiàng)錯(cuò)誤.

12.(2023?新高考II卷?12?★★★★)(多選)在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相

互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為a(0<a<l),收到0的概率為1-夕；發(fā)送1時(shí)，收到0

的概率為￡(0</<1),收到1的概率為1-6.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏?單

次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號(hào)需要譯

碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次

數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1).()

試卷9

高考

(A)采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(l-a)(l-#)2

(B)采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為尸(1-尸尸

(C)采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為夕(l-〃r+(l-03

(D)當(dāng)0<a<0.5時(shí)，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸

方案譯碼為0的概率

答案：ABD

解柝A項(xiàng)，由題意，若采用單次傳輸方案，則發(fā)送1收到1的概率為1-￡,發(fā)送0收到0

的概率為1-a,

所以依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-夕)(1-々)(1-夕)=(1-。)(1-夕)2,

故A項(xiàng)正確；

B項(xiàng)，采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則需獨(dú)立重復(fù)發(fā)送3次1,依次收到1,0,1的概率

為(1-月)夕(1-夕)=力(1-夕)2,故B項(xiàng)正確；

C項(xiàng)，采用三次傳輸方案，由B項(xiàng)的分析過程可知若發(fā)送1,則收到1的個(gè)數(shù)

X?8(3/_4)，

而譯碼為1需收2個(gè)1,或3個(gè)1,

所以譯碼為1的概率為P(X=2)+P{X=3)=C；(1—尸了尸+C；(1-￡)3=3(1了月+(1一月了,

故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

D項(xiàng)，若采用單次傳輸方案，則發(fā)送0譯碼為0的概率為1-1；

若采用三次傳輸方案，則發(fā)送0等同于發(fā)3個(gè)0,收到0的個(gè)數(shù)/?8(3,1-a),

且譯碼為。的概率為尸(y=2)+尸(Y=3)=C；(l-a)2a+C；(l-a)3=3(l-a)%+(l-a)3,

要比較上述兩個(gè)概率的大小，可作差來看，

3(1-a)2a+(1-4-(1-a)=(1-?)[3(1-a)a+(1-a)2-1]=(1-a)(l-2a)a,

因?yàn)?<a<0,5,所以3(l-a)2a+(l-a)，-(1-a)=(1-a)(l-2a)a>0,

從而3(1—a)~(Z+(1—tz)3>1—,故D項(xiàng)正確.

13.(2023?新高考H卷?13?★★)已知向量a,b滿足.=則

網(wǎng)=------

答案：V3

解析：條件涉及兩個(gè)模的等式，想到把它們平方來看，

由題意，\a--a2+b2-2a-b=3①，

又+W=所以+=修"一6『，a1+b2+2a-b=4?2+b2-4ab,整理得：

a2-2a-b=0,

代入①可得"=3,即時(shí)=3,所以同=G.

14.(2023?新高考H卷?14?★★)底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截,

截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為.

答案：28

解析：如圖，四棱錐與相似，它們的體積之比等于邊長(zhǎng)之比的立方，

故只需求四棱錐9-/蜴。A的體積，

=21^^=(1)3=1所以腺*=跖“4,故所求四棱臺(tái)的體積

42/p_ABCD2o

V=7yp產(chǎn)一A苗B4C5r〃)1，

2

由題意，Vpr-勺A勺BC9]DUy=—3X2X3=4,所以憶=7X4=28.

試卷10

高考

【反思】相似圖形的面積之比等于邊長(zhǎng)之比的平方，體積之比等于邊長(zhǎng)之比的立方.

15.（2023,新高考II卷?15?★★★）已知直線x-加歹+1=0與。C:（工一1）2+「=4交于

A,B兩點(diǎn)，寫出滿足“A43C的面積為的m的一個(gè)值____.

5

答案：2（答案不唯一，也可填_2或工或-工）

22

解析：如圖，設(shè)圓心C（l,0）到直線AB的距離為d?>0）,則%BC=：|“斗?，

Q

注意到|4回也可用d表示，故先由5^^二；求d,再將d用m表示，建立關(guān)于m的方程,

又=21尸?—d2=2,4-屋,所以SXBC=義,d=，

Q,---------------Q

由題意，SMBC=三，所以J（4一屋）/結(jié)合d>0解得:

p,11+11272241

又d=?-/,所以~j=---=—j=或—j^=^==,解得：加=±2或土一?

2

V1+冽之41+冽2A/1+mA/5J1+加,V52

16.（2023?新高考II卷?16?★★★★）已知函數(shù)/（x）=sin（0x+?）,如圖，A,B是直線

>4與曲線>=/（x）的兩個(gè)交點(diǎn)，若陷或，則”上—.

蜂案.

1=1■

2

解法1:同=］這個(gè)條件怎么翻譯？可用了=；求A,B橫坐標(biāo)的通解，得到|/8|,從而建

立方程求a）,

1rrSTT

不妨設(shè)?！?,令sin（ox+。）=—可得。x+。=——或2左乃+——,其中左￡Z,

266

試卷11

高考

jr54.24

由圖知力/+0=2左TTH，3XB+（P=2卜兀~----，兩式作差得：/（馬―％）=—，故

663

2萬

XB~XA=~9

3。

iJT'q'TT'TT

又|T45|=X—X=—，所以—=—，解得：。=4,則/(x)=sin(4x+(p),

BA63(o6

再求夕，由圖知三是零點(diǎn)，可代入解析式，注意,三是增區(qū)間上的零點(diǎn)，且了=smx的

增區(qū)間上的零點(diǎn)是2〃乃，故應(yīng)按它來求。的通解，

所以與+（p=eZ）,從而（p=2〃乃-浮,故/（x）=sin（4x+2njr-?。?sin（4x-,

所以/（a）=sin（4?-夸）=sin（一杏）=.2/rV3

-sm——二

32

解法2:若注意橫向伸縮雖會(huì)改變圖象在水平方向上的線段長(zhǎng)度，但不改變長(zhǎng)度比例，則可

先分析=sinx與1，=工交點(diǎn)的情況，再按比例對(duì)應(yīng)到本題的圖中來，

.2

如圖1,直線>=工與函數(shù)y=sinx在y軸右側(cè)的三個(gè)/,J,K的橫坐標(biāo)分別為工，—,

266

13%

~6~1

所以叼=也一工=也，|加卜史-2="，凹：|麻1=12故在圖2中

663663

?期:忸a=i：2，

因?yàn)榘?,所以忸q=(,故用=|四+忸q=],又由圖2可知明=7,所以

71

~2

故。=7=4'接下來同解法1.

【反思】①對(duì)于函數(shù).-sin(3x+e)(0>O),若只能用零點(diǎn)來求解析式，則需盡量確定零點(diǎn)

是在增區(qū)間還是減區(qū)間.“上升零點(diǎn)”用。x+0=2〃萬來求，“下降零點(diǎn)”用

0X+夕=2〃%+7來求；②對(duì)圖象進(jìn)行橫向伸縮時(shí)，水平方向的線段長(zhǎng)度比例關(guān)系不變，當(dāng)

涉及水平線與圖象交點(diǎn)的距離時(shí)，我們常抓住這一特征來求周期.

17.(2023?新高考II卷?17?★★★)記AA8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

已知A4BC的面積為百，。為BC的中點(diǎn)，且ND=1.

-jr

(1)右Z.ADC=—,求tanB；

3

(2)若/+02=8,求b,c.

解：(1)如圖，因?yàn)镹4OC=工，所以NZQ5=也，

33

(要求tan5,可到中來分析，所給面積怎么用？可以用它求出5根如，從而得到B。)

試卷12

高考

因?yàn)?。?c中點(diǎn)，所以心g=25,助，又&BC=VL所以4的=事，

由圖可知=L4D-BD-sinZAD2=Lxlx皮）xsinM=，^皮），所以/BD=",故

223442

BD=2,

（此時(shí)ZUBZ）已知兩邊及夾角，可先用余弦定理求第三邊AB,再用正弦定理求角B）

在AABD中，由余弦定理，

AB2=AD2+BD2-2AD-BD-cosZADB=l2+22-2x\x2x（-^）=l,所以43=近，

由正弦定理，———=皿，所以sin8=4P.sin//￡>2=>-=￡,

sinZADBsin8ABV72V7

由/ADB=可知B為銳角，從而cosB—A/1—sin2B=—9尸，故tanB='汕'=.

32,7cos55

（2）（J有關(guān)于be的一個(gè)方程，若再建立一個(gè)方程，就能求b和c,故把面積和中線都用

b,c表示）

由題意，S^sc=；bcsin/=6，所以besinZ=2退①，

（中線怎樣用b,c表示？可用向量處理）

因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以屈=g（次+%）,

2AD=AB+AC,故4荷=際+就2+2萬?就，

所以，+b2+2cbcosA=4,

將〃+°2=8代入上式化簡(jiǎn)得6ccos/=-2②，

（我們希望找的是b,c的方程，故由①②消去4平方相加即可）

由①②得匹2sid4+6浦cos,4=16,所以be=4③，

由=8可得（6+c）2-2為=8,

所以6+c=j2次'+8=4,結(jié)合式③可得6=c=2.

A

a-6〃為奇數(shù)

18.（2023?新高考H卷?18?★★★★）已知｛%｝為等差數(shù)列，6"="皿，記

[2%,〃為偶數(shù)

S”，7；分別為｛%｝,也｝的前0項(xiàng)和，$4=32,7；=16.

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）證明：當(dāng)〃>5時(shí)，Tn>Sn.

解：（1）（給出了兩個(gè)條件，把它們用%和d翻譯出來，即可建立方程組求解q和d）

由題意，凡=4%+61=32①，

4=4+4+”=（%—6）+2a2+（見—6）=%—6+2（q+d）+%+2d—6=4%+4d—12=16（2）,

由①②解得：％=5,<7=2,所以a“=%+（〃—1）（7=2〃+3.

（2）由（1）可得S="（%+%）="（5+2"+3）=〃2+4〃,

"22

（要證結(jié)論，還需求7；,由于b按奇偶分段，故求7；也應(yīng)分奇偶討論，先考慮”為偶數(shù)的

情形）

當(dāng)〃（">5）為偶數(shù)時(shí)，T,=h+瓦+…+b”

—（Q]-6）+2^2+（%-6）+2%+???+（Q〃一1-6）+2a八

試卷13

高考

—(4]+%+，?，+-6x—+2(%+%+?，，+，

因?yàn)閝M3，…,an-\和。2M4，…”分別也構(gòu)成等差數(shù)列，

n,、

不(%+Q〃T)川(5+2幾+1)_/+3〃

所以%+%---a

n-\~-----------------4―2―

代入③化簡(jiǎn)得：北=日土即一3〃+2乂±±^=￡±^,

222

(要由此證7；〉S〃，可作差比較)

所以7；-S.=”?；7〃_(方++)=>o,故?；>S.；

(對(duì)于"為奇數(shù)的情形，可以重復(fù)上述計(jì)算過程，但更簡(jiǎn)單的做法是補(bǔ)1項(xiàng)湊成偶數(shù)項(xiàng)，再

減掉補(bǔ)的那項(xiàng))

3(n+1)27(n+1)

當(dāng)〃(〃>5)為奇數(shù)時(shí)，T?=Tn+1-bn+1=^-

2%=3("+1)；7(〃+1)_2(2”+5)=3y"-1。,

所以北-S”="+；-10-(?2+4〃)

n2-3?-10(〃+2)(〃-5),m丁仆

=-2—=-^-->0,故(>S,；

綜上所述，當(dāng)〃>5時(shí)，總有[>S,.

19.(2023?新高考II卷?19?★★★)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患

病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該項(xiàng)指標(biāo)的

頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c,將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于

或等于C的人判定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c)；

誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為式C).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布.以事件發(fā)生

的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)當(dāng)漏診率0(c)=0.5%時(shí)，求臨界值c和誤診率4(c)；

(2)設(shè)函數(shù)/(c)=p(c)+4(c).當(dāng)ce[95,105]時(shí),求/(c)的解析式，并求/(c)在區(qū)間

[95,105]的最小值.

解：(1)(給的是漏診率，故先看患病者的圖，漏診率為0.5%即小于或等于c的頻率為

試卷