廣東省四校聯(lián)考2024屆高三年級上冊期末數(shù)學(xué)試題 解析版

廣東省華附深中省實廣雅四校聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

閱卷入

得分

1.已知全集(/=/?,集合45滿足(力CB),則下列關(guān)系一定正確的是()

A.A=BB.BQA

C.An=0D.(CuA)(IB=0

2.已知復(fù)數(shù)Z滿足(1+i)Z=1-i,貝以2。24=()

A.iB.-1C.1D.-i

3.直線%+2y+3=0關(guān)于直線y=-久對稱的直線方程是()

A.x+2y—3=0B.2x+y—3=0C.x—2y—3=0D.2%+3y+3=0

4.已知向量五在石方向上的投影向量的模為魚，向量石在弓方向上的投影向量的模為1,且0+3)1(2/-

3b)，則@b)=()

A.30°B.45°C.60°D.135°

5.若橢圓%：馬+胃=l(a>b>0)的離心率為1則雙曲線小耳—當(dāng)=1的離心率為()

a乙bNba乙

A.浮B.苧C.V3D.V5

6.在平直的鐵軌上停著一輛高鐵列車，列車與鐵軌上表面接觸的車輪半徑為凡且某個車輪上的點P剛好

與鐵軌的上表面接觸，若該列車行駛了距離S,則此時P到鐵軌上表面的距離為()

qqqq

A.R(1+COSR)B.R(l—COSR)C.2Rsin-^D.Rsin^

7.若(l—c)e。=(1—c)仇b=1,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.c<a<bB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c

8.數(shù)列｛a3的前n項和%，且°=8味1+平二+71若%=1,則()

2a

ann-l一

A.a<S2O24<3B.2<S2Q24<2

C'<5*2024<2

D.1<S2O24V2

閱卷人

二、多選題

得分

9.下列結(jié)論正確的是()

A.若a>b,c〉d，貝!Jac2>bd2

B.若。。2>兒2,則a>b

C.是，>1,b>1”成立的充分不必要條件

D.若a>b>1,貝！JZogab<loga+1(b+1)

10.已知圓Ci：x2+y2=1,圓C2：(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),P、Q分別是圓射與圓C2上的點，則

()

A.若圓Ci與圓。2無公共點，貝10<丁<4

B.當(dāng)丁=5時，兩圓公共弦所在直線方程為6%-8y-1=0

C.當(dāng)r=2時，貝IJPQ斜率的最大值為—4

D.當(dāng)r=3時，過P點作圓C2兩條切線，切點分別為力，B,貝吐APB不可能等于當(dāng)

11.已知函數(shù)/(%)=一3%2,滿足/(%)=k%+b有三個不同的實數(shù)根%1，%2，貝U()

A.若左=0,則實數(shù)b的取值范圍是一4<bV0

B.過y軸正半軸上任意一點僅有一條與函數(shù)y=/(x)-1相切的直線

C.%1%2+X2X3+xlx3=k

D.若、i，%2，％3成等差數(shù)列，則左+b=—2

12.已知正四面體0-ABC的棱長為3,下列說法正確的是()

A.若點P滿足而:光力+y赤+z反，且％+y+z=l,貝!J|而|的最小值為連

B.在正四面體。-4BC的內(nèi)部有一個可以任意轉(zhuǎn)動的正四面體，則此四面體體積可能為虛

10

C.若正四面體。-43。的四個頂點分別在四個互相平行的平面內(nèi)，且每相鄰平行平面間的距離均相

等，則此距離為需

D.點Q在所在平面內(nèi)且|Q0|=2|QA|,則Q點軌跡的長度為等5兀

閱卷人

三、填空題

得分

2

13.雙曲線?y21的漸近線方程.

14.已知等差數(shù)列｛a九｝的前71項和為5九(?1EN*),=4,ay=10,則S九的最小值為.

15.已知函數(shù)/(x)=sin2(3久一軟3>0)的最小正周期為2兀，且/'(久)在［0,加上單調(diào)遞減，在［2m,

等]上單調(diào)遞增，則實數(shù)血的取值范圍是.

16.在同一平面直角坐標(biāo)系中，M,N分別是函數(shù)/(久)=一，—源+4x-3和函數(shù)g(%)=Zn(ax)-ture久圖

象上的動點，若對任意a>0,有|MN|2加恒成立，則實數(shù)m的最大值為.

閱卷人

四、解答題

得分_________

17.已知數(shù)列的前n項和%滿足Si+^+-+^=n.2n.

(1)求｛時｝的通項公式；

(2)求數(shù)歹U｛等的前71項和G

18.在9道試題中有4道代數(shù)題和5道幾何題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回.

(1)求在第一次抽到幾何題的條件下第二次抽到代數(shù)題的概率；

(2)若抽4次，抽到X道代數(shù)題，求隨機變量X的分布列和期望.

19.已知函數(shù)/'(x)=axex(a*0),g[x｝——%2.

(1)求/(%)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)久>0時，/(%)與。(久)有公切線，求實數(shù)a的取值范圍.

20.如圖，在棱長為2的正方體2BCD-EFGH中，點M是正方體的中心，將四棱錐M-BCGF繞直線CG逆

時針旋轉(zhuǎn)a(0<a<兀)后，得到四棱錐M-BCGF-

(1)若a=],求證：平面MBF1平面MBR;

(2)是否存在a,使得直線M'F'1平面MBC,若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.

21.在AABC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,4B邊上的高設(shè)為八，且a+b=c+兒

(1)若c=3h,求tcmC的值;

(2)求cosC的取值范圍.

22.已知橢圓C：馬+4=l(a>b>0)的兩焦點分別為Fi，F(xiàn)2,C的離心率為多橢圓上有三點

ab幺

Q、R、S,直線QR、QS分別過Fi，F(xiàn)2,的周長為8.

(1)求C的方程;

（2）設(shè)點Q（%o，y。），求△QRS面積S^QRS的表達(dá)式（用為表不）.

答案解析部分

L【答案】C

【知識點】子集與真子集；集合間關(guān)系的判斷；子集與交集、并集運算的轉(zhuǎn)換

【解析】【解答】解：由集合間的基本關(guān)系可得A￡B,

A、當(dāng)4為B的真子集時，不成立，故A錯誤；

B、當(dāng)/為B的真子集時，也不成立，故B錯誤；

C、Xn(CyB)=0，恒成立，故C正確；

D、當(dāng)A為B的真子集時，不成立，故D錯誤；

故答案為：C.

【分析】根據(jù)已知條件易得ACB,再進(jìn)行選擇即可.

2.【答案】C

【知識點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算；共軌復(fù)數(shù)

2

【解析】【解答】解:1-i_(1-Q

1+i(1+0(1—i)

得Z=3z2024=j2024=,4=i

故答案為：C.

【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出2,再確定復(fù)數(shù)Z=i,根據(jù)產(chǎn)的周期性求結(jié)果.

3.【答案】B

【知識點】與直線關(guān)于點、直線對稱的直線方程

【解析】【解答】解：K+2y+3=0圖象如下圖所示,

由圖可知，點4(-3,0)關(guān)于直線y=-久稱的點為B(0,3),

直線x+2y+3=0與直線y=—x的交點為C(3,—3),

33)

.?.關(guān)于直線y=—%稱的直線方程BC為：y=-~^0%+3,即2%+y-3=0.

故答案為：B.

【分析】作出圖象，找出一個對稱點和直線久+2y+3=0與直線y=-久的交點，即可求出稱直線的方

程.

4.【答案】B

【知識點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角；利用數(shù)量積判斷平面向量的垂直關(guān)系；平面向量的投影向量

【解析】【解答】解：由題可得《網(wǎng)一所以博=魚.

網(wǎng)網(wǎng)

I回

因為④+份1(2a-3b)，所以m+b)■(2a-3b)=0)

一2一

所以—31bl2—\a\\b\cos(a,b)=0，所以2坨—3—圖■cosQ,b)=0,

即cos(肩向=孝,可得自力=45。.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)投影向量的模長公式計算出曷=魚,再由向量垂直關(guān)系列出方程，求出cosM，B)=孝，得

到夾角.

5.【答案】A

【知識點】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的簡單性質(zhì)；雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；雙曲線的簡單性質(zhì)

【解析】【解答】解：在橢圓「高+4=1(。>/?>0)中，離心率」2一j」

abyja22

.*.4b2=3a2,在雙曲線r2：馬一馬=1中，

ba

...雙曲線的離心率62=。2y2=阜

1b23

故答案為：A.

【分析】通過橢圓的離心率得出a,b之間的關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率.

6.【答案】B

【知識點】弧度制、角度制及其之間的換算；扇形的弧長與面積

【解析】【解答】解：當(dāng)列車行駛的距離為S時，則車輪轉(zhuǎn)過的角度所對應(yīng)的扇形弧長為S,

???車輪轉(zhuǎn)過的角度為右P點的初始位置為Po,設(shè)車輪的中心為。，當(dāng)標(biāo)(0夕)

時，作PQlOPo，垂足為Q,如圖,

cccc

則。Q=OP-cos)=Reos*,；.P到鐵軌表面的距離為PoQ=R-R-cos*=R(1-cos引;

當(dāng)標(biāo)(J,7T)時，PMLMP0,作。N1PM,垂足為N,如圖，

貝i」PN=OP-sin(1-1)=-Rcos^,

P到鐵軌表面的距離為PM=MN+PN=R-Reos*=R(1-cos6

同理可得當(dāng)會在其它范圍時，點P到鐵軌上表面的距離均為R(1-cos%.

故答案為：B.

【分析】將實際問題建模轉(zhuǎn)化為圓的弧長與圓心角、半徑之間的關(guān)系，就圓心角的范圍進(jìn)行分類，借助

于直角三角形計算即得.

7.【答案】A

【知識點】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

最大(小)值

【解析】【解答】解：由(1—c)e。=(1—c)仇b=1,

易知e?！?。，所以1一<?>0,故c<l,

所以e。=Inb=2一，

1—c

令f(x)=(1-x)ex(x<1),則f'(K)=-xex>

當(dāng)久<。時，/(x)>0-當(dāng)0<久<1時，f'(x)<0,

所以/(久)在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，

所以H久)<f(0)=1,即e/l-X)<1(%<1),

所以占(久<1)，當(dāng)且僅當(dāng)久=0時取等號，

如圖，作出函數(shù)y=ex,y=lnx,y=的圖象如圖所示:

由圖可知，可知c<a<b.

故答案為：A.

【分析】由題意可得e。=Inb="p構(gòu)造函數(shù)/'(無)=(1-%)ex(x<1),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)/'(久)的最

值，作出函數(shù)、=〃/=仇久,y=告的圖象，結(jié)合圖象即可得解.

8.【答案】D

【知識點】數(shù)列的求和；數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列的通項公式

【解析】【解答】解：由白=4+京+*=(京+2)+匿^(*+2),

1111

可得南2帝+2今鬲一帝22,又由=i,

111111

故府21+(“-1)義2=271-10即*2<(2TI—1)(2TI—3)=2(茄B一聲I)

［乙"Ln)

當(dāng)71>2且71EN*時，

111111313

-++,

?1<=CZ1+?2+-+an<1+2(1-3+35-"2^=3一而H=2-2(2n-l)<2

所以1<52024<*

故答案為：D.

【分析】先把即適度放縮至可以裂項求和的形式，從而求出前n項和的范圍，再進(jìn)行判斷.

9.【答案】B,D

【知識點】利用不等式的性質(zhì)比較大??；指、對數(shù)不等式的解法

【解析】【解答】解：A、若取a=3,b=1,c=1,d=-2,貝ijac?=3,bd2-4,故A項錯誤；

B、因c2N0,又由a。？>加2知c2>0,故由不等式的性質(zhì)易得B項正確；

C、當(dāng)a=4/=凱寸，滿足ab>L但b<L

故推不出a>l,b>1,即“ab>1”不是“a>l,b>1”成立的充分條件，故C項錯誤；

D、由換底公式，logb=罌，。+仲+1)=畸曲因a>b>L先證當(dāng)皿>。時，必有卜普

成立.

即r+rb+m_2_(b+m)a—(a+*b_僧(。一+-rzb/b+m

出a+zna~(a+m)a-(a+m)a>n"寸B：￡<a+m

因a>b>1,有Ina>\nb>O,ln^^>0,

a

,,1blnb+ln^-^)嗎也仇空*ln(b+l},,.

故，。9鵬=成n<lna+ln^=而E<而E=無扁=l°9a+^+】)'故口項正確?

故答案為：BD.

【分析】判斷與不等式有關(guān)結(jié)論的正確與否，一般可考慮以下方法：①取反例說明不成立，②利用不等

式性質(zhì)推理得到命題為真，③通過作差法判斷.

10.【答案】B,C

【知識點】圓與圓的位置關(guān)系及其判定；兩圓的公切線條數(shù)及方程的確定；相交弦所在直線的方程

【解析】【解答】解：A、當(dāng)兩圓內(nèi)含時，r可以無窮大，故A不正確；

B、當(dāng)r=5時兩圓相交，兩圓的方程作差可以得公共弦的直線方程為6久-8y-1=0,故B正確；

C、當(dāng)r=2時如圖所示：

由平面幾何知識可知CD=4,伸==專，

所以可得tm/q4c=l，tan^PAC=1普普7=芋，5=一品否=一右

即PQ斜率的最大值為-務(wù)故C正確；

點P在Pi位置時「心=4<3Vz乙4Ple2>p

點P在P2位置時P2c2=6>3顯/BP2c2<p

所以中間必然有位置使得NBP4=號故D錯誤.

故答案為：BC.

【分析】根據(jù)兩圓位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合逐項分析驗算.

1L【答案】A,B,D

【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

【解析】【解答】解：由/(%)=3%2—6%=3x(%—2)，

故/(乃在(一8,0)和(2,+8)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，且/(0)=0,/(2)=-4.

A、當(dāng)/(%)=b有三個不同的實數(shù)根%時如圖所示：

-4<b<0,故A正確，

B、y=/(%)—1=x3—3x2—1=[(%—1)+I]3—3[(x—1)+I]2—1=(%—l)3—3(%—1)—3關(guān)于點

(1,—3)中心對稱，

且中心對稱點處的切線方程為y=-3%,

結(jié)合圖象可知：當(dāng)且僅當(dāng)、<0時，符合題意，所以B正確，

由于方程/(%)=kx+b有三個根%

所以工3—3x2—kx—b={x—%!)(%—%2)(x—%3)，展開可知%1%2+%2%3+%1%3=一鼠C不正確；

由%3—3%2—kx—b=(X—%1)(%—%2)(x—欠3)展開可知%1+%2+%3=3,

當(dāng)%成等差數(shù)列時％1+%2+%3=3%2,所以％2=1，

2x

在爐—3%—kx—b=(x-%!)(%—x2)(-%3)中，令'=L得1—3—k—b=0,

所以/c+b=—2,D正確.

故答案為：ABD.

【分析】求導(dǎo)得函數(shù)單調(diào)性、極值，得出函數(shù)圖象草圖，數(shù)形結(jié)合判斷曲線與直線相交、相切問題.

12.【答案】A,C,D

【知識點】球內(nèi)接多面體；平面與平面平行的性質(zhì)；共面向量定理；點、線、面間的距離計算

【解析】【解答】解：建系如圖所示：

A、因為點P滿足麗=久力f+y赤+z反且久+y+z=1,

可知點P是平面ABC上的一點.

又因為正四面體。-4BC是棱長為3,

3

則三角形ABC外接圓半徑滿足2R=.nR=百，

Sln3

故點。到平面ABC的距離為J32-R2=V6>

故I赤I的最小值為點。到平面4BC的距離，即為遍，故A正確；

B、將正四面體放入到正方體中，則正方體的棱長為竽，

因為正四面體。-ABC的體積為立方體的體積減去四個小三棱錐的體積：

(|V2)3-4xJx|x(|V2)3=竽，

而正四面體。—ABC四個面的面積都是卓X3?=華，

44

設(shè)正四面體?！狝BC的內(nèi)切球半徑為4x[x￥r=平，解得2r=整，

3442

因為正四面體Q-OEF在正四面體。-4BC的內(nèi)部，且可以任意轉(zhuǎn)動，

所以最大正四面體Q-DEF外接球直徑為孚，

因此最大正四面體Q-DEF外接球也是棱長為孝的正方體的外接球，

所以正四面體Q—DE/七體積最大值為(￥)_以痘，故B不正確.

壁)-4X-g-=12<10

C、在正方體ZQBOi-AiCBi。內(nèi)，過。作平面。。1人2，分別交ZB,AJ于點G,X2,

過C作平面CC/2，分別交AB,BO1于點B2,且平面。。遇2〃平面CQ4,

由正四面體。-ABC的四個頂點分別在四個互相平行的平面內(nèi)，

且每相鄰平行平面間的距離均相等，

其中平面0。1&和平面CC1B2為中間的兩個平面，

易知心為4Q的中點，為為。聲的中點，

因為正方體一是棱長為竽，

所以。3竽㈤2=^，。遇2T（孥）+（*=空，

所以點4到。遇2的距離為峋冊累=需，

所以每相鄰平行平面間的距離為印，故c正確；

D、建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)點Q（%,%z），A（竽,o,o）,。（0,0,竽）,B（0,竽,0）,C（竽，竽,竽），

22

由IQO|=2|QA|可得久2+y2+Q42）=4（%—42）+y2+z2,

L2

化商可得（％-2/）2+y2+（z+半）=4'

可知點Q的軌跡是平面力BC與以叭2金,0,-孝）點為球心，2為半徑的球的截面圓上，

AB=（—挈，挈,0）,前=（0,挈,好），

設(shè)平面4BC法向量為記=（%,y,z）,貝!!

布?記=一竽X+竽y=0,方?萬=等丫+竽z=0，

?。?l,y=1,Z=一1,則記=（1,1,-1）,~AM=（乎,0,^?）

所以點M點到平面ABC的距離為國船=*苧，

截面圓的半徑為卜2—凰=掣所以截面圓周長為字兀,故D正確.

故答案為：ACD.

【分析】根據(jù)空間向量共面的結(jié)論可判斷P是平面ABC上的一點，即可利用勾股定理求解四棱錐的高判斷

A,根據(jù)正四面體與其外接球內(nèi)切球以及所在的正方體的關(guān)系即可求解B,根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可求解

C,根據(jù)球的截面性質(zhì)即可求解D.

13.【答案】y=±^X

【知識點】雙曲線的簡單性質(zhì)

2

【解析】【解答】???雙曲線苧—y2=i的a=2,b=l,焦點在x軸上

而雙曲線與-鳥=1的漸近線方程為y=±-x

cta

雙曲線1_y2=1的漸近線方程為y=±lx

故答案為y=±

【分析】由雙曲線的簡單性質(zhì)代入數(shù)值即可得出答案。

14.【答案】-2

【知識點】等差數(shù)列概念與表示；等差數(shù)列的前n項和；數(shù)列與函數(shù)的綜合

【解析】【解答】解：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,由題意得：嚴(yán):靠,解得：的=-2,d=2,

十Ou—1U

22

貝！Js葭=na1+九(31)d=—2n+n(n—1)=n—3n=(n—1)—5，

因nCN*,故當(dāng)n=1或九=2時，Sn的最小值為一2.

故答案為：-2.

【分析】建立關(guān)于首項和公差的方程組，求解后代入等差數(shù)列的前n項和公式，配方即得.

15.【答案】［1,與］

【知識點】二倍角的余弦公式；誘導(dǎo)公式；函數(shù)y=Acos(3x+<|>)的圖象與性質(zhì)

27Td

【解析】【解答】解：由/⑺=s出2(3%_$=「COS(產(chǎn)一丁)的最小正周期為2兀,得3=1,

則f(x)==c°s(">+1=|c°s(x+羽+甘，

因當(dāng)一狂久W爭寸，OWX+找兀，此時函數(shù)y=cos(x+芻單調(diào)遞減，即/㈤在［_，等上單調(diào)遞

減；

當(dāng)"WKW號時，n<x+^<2n,此時函數(shù)、=cos(無+芻單調(diào)遞增，即/(%)在俘，踏上單調(diào)遞增.

由題知f(x)在［0,加上單調(diào)遞減，在［2犯爭上單調(diào)遞增，故須使<血*飛/解得me專,李,

故答案為:由絢

【分析】由倍角公式將函數(shù)降幕，由題設(shè)求出3的值，再根據(jù)后續(xù)條件，考查所得函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單

調(diào)性，比較區(qū)間的包含關(guān)系計算即得.

16.【答案】等—1

【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；圓的一般方程；圓的切線方程

2

【解析】【解答】解：由y=/(%)=-V-%+4%-3,整理得(X-2)2+V=i(y<

即M在圓心(2,0),半徑為1的半圓上.

xx+lnax

g(x)=ln(ax)—axe=In(ax)—e(),

令以尢)=x-ex,xER,則//(%)=1—e~又h'(0)=1一e0=0，

所以，當(dāng)久e(-8,o)時，八’(久)>o，則八(無)為單調(diào)遞增，

當(dāng)KC(0,+8)時，<o>則%(%)為單調(diào)遞減，

綜上可知，力(久)在久=0處取得極大值，也是最大值，且/i(0)=0-e。=-1,

x+lnaxx

于是久+ln(ax)—e()<—1,即g(x)=In(ax)-axe<-x—1,

當(dāng)且僅當(dāng)久+In(ax)=0時，等號成立，

所以曲線g(久)的一條切線為y=-x-1,

如圖所示：

數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)MN分別為對應(yīng)切點，且MN與兩切線垂直時|MN|取得最小值,

即|MN|的最小值為圓心到直線y=-久-1的距離減去半徑，

一一|2+0+1|._3V2.

即|MN|的最小值為J?y—1一—之L

過圓心(2,0)與y=-x-1垂直的直線方程y=x-2,

(x+ln(ax)=0a=2eJ

所以，當(dāng)且僅當(dāng)y=￡—2即<久=/時取到最小值.

(y=_%_13

(y=-2

綜上所述，|MN|2當(dāng)^一1，而|MN|2m恒成立，

所以加〈挈_1，則血的最大值為攀一1.

故答案為：萼—1.

【分析】由y=—/+4%—3得(%-2)2+y2=l(y<0),g(%)=in(ax)—axex-In(ax)—

xx

ex+\n(ax)9指對同構(gòu)令h(%)=x—e,xeRf利用導(dǎo)數(shù)求得最大值，并得到g(%)=in(ax)—axe<

-x-1,進(jìn)而利用數(shù)形結(jié)合法可知，|MN|的最小值為圓心到直線y=-%-1的距離減去半徑，再求出等

號成立的條件，從而得到實數(shù)m的最大值.

17.【答案】(1)解：由已知:S"學(xué)+…+曾=展2"

當(dāng)n>2時Si+學(xué)+…+=(n-1)-2n-1

n-1

兩式相減可得：Sn=n(n+l)-2,n>2,

又n=1時，Si=%=2滿足上式，

所以Sn=471+1)-2"-1,n>1.

n2

Sn_r=n(n-l)-2~,n>2.

n-2

an=Sn—Sn_i=n(n+3)2,n>2

又71=1時，劭=2滿足上式，

則。?=n(n+3)2n~2

(2)解：由⑴可得:臂=(n+3)?252,

n2

則7n=4?2-1+5?2°+…+(n+3)?2~,

即2〃=4?20+5?21+…+(n+3)?2-1,

1

n-1-1

兩式相減可得：一〃=2+2。+2]+…+2n-2-(n+3)-2=2+異靈——(n+3)2n--

(n+2)-2f

即7n=(n+2)-i-1.

【知識點】數(shù)列的求和；數(shù)列的通項公式；通項與前n項和的關(guān)系

【解析】【分析】(1)根據(jù)已知Sn等式迭代得S-1等式，兩式相減確定Sn，再求斯.

(2)用錯位相減求和法求數(shù)列的前n項和.

18.【答案】(1)解：記4-表示事件“第i次抽到代數(shù)題”，i=1,2,…，9.

方法一：由條件概率公式可得P(&I乙)=%孕

C同

~~2~5x4

所以第一次抽到幾何題的條件下，第二次抽到代數(shù)題的概率為今

41

-=-

方法二：已知第一次抽到幾何題，這時還剩余代數(shù)題和幾何題各四道，因此PQ42I五)82

(2)解：由題意，隨機變量X的可能取值為：0,1,2,3,4;

21

U—C5c4—40一20

P（X=

P（x=°）=芯=,,c9

7212

_八_C5c4_60_10c5c4_20_10

Pp(Xx—2)一尸一這一五，-3)--4--126-63-

「°d1

P(X=4)=5J__J_

vJ4126,

cr9

X的分布列為

X01234

P52010101

126632163126

所以E(X)=0xT|g+lx|j+2x^+3x1|+4xT|g=^

【知識點】離散型隨機變量及其分布列；離散型隨機變量的期望與方差；條件概率

【解析】【分析】(1)利用條件概率的公式求解，或者利用縮小事件空間的方法直接求解;

(2)先確定X的所有取值，由超幾何分布求出各自的概率，寫出分布列，利用期望的公式可得期望.

19.【答案】(1)解：由函數(shù)/'(>)=。久靖(。70),可得/(%)=a(x+1)的

當(dāng)a>0時，可得％e(-8,-1)時，/(%)<0>/'(久)單調(diào)遞減,

X6(-1,+8)時，/(%)>0，/(%)單調(diào)遞增;

當(dāng)aVO時，可得xe(-oo,-1)時，/'(%)>0，/(%)單調(diào)遞增,

%G(-1,+8)時，/(x)<0，/(%)單調(diào)遞減

(2)解：設(shè)公切線與y=f(%)和y=g(%)的切點分別為(%「ateX1>),(/?,—爐)，

X1X1%1

可得k==a(%i+l)e,可得切線方程為y—ate=a(xt+l)e(x—刈),

tX1X1X1X1

即y=a(%i+l)ex1+ate—a(蜉+t)e,即y=a(%i+l)ex—ax^e

由g(%)=一x?,可得g'(%)=一2x,則k=2b,所以切線方程為y=-2bx+b2

所~以｛(—2b三=a二(%i+/l)e%i，可得,…六4x?K->°)，

設(shè)以久)=丁黑；，(/>0),可得八6)==呼丁),

(x+1)ex(x+1)ex

當(dāng)0<%<1時，h'(%)>0，h(%)單調(diào)遞增；

當(dāng)％>1時,//(%)<0，九(%)單調(diào)遞減,

所以，當(dāng)久=1時，函數(shù)/l(x)取得極大值，極大值為八⑴=:,

又由當(dāng)％T。時，h(X)T0；當(dāng)％T+8時，/l(x)T0,

所以0<八(久)］,所以0<—a］時，即實數(shù)a的取值范圍為［一；，0)

【知識點】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

【解析】【分析】（1）/（%）=a（x+1）^,對a分類討論確定導(dǎo)數(shù)在不同區(qū)間正負(fù)號，即可求得函數(shù)的單

調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)公切線與y=/（嗎和了=。（久）的切點分別為（久i，at〃i）,（b,一塊），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方

程，

轉(zhuǎn)化為—。=（久（久1>0），設(shè)八（久）=利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)以嗎的單調(diào)性與極值，得出

函數(shù)八（久）的值域，即可求解.

20.【答案】（1）證明：若a=],則平面DCGH、平面C夕PG為同一個平面.

連接BH、BF',則M是中點，M是中點，

所以平面MBF與平面重合，平面MHF’與平面重合，

由正方體性質(zhì)可知BF，平面EFF'H,

因為HF、FPu平面所以，BF1HF,BF1FF',

ZHFF1為二面角H-BF-F，的平面角，

因為HG=FG,乙HGF=』,則ZHFG=同理可得ZF'FG=%

所以所以，平面MBF_L平面M'B'F'

（2）解：假設(shè)存在a,使得直線M'F’1平面MBC,

以C為原點，分別以方、DC,次的方向分別為％、y、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則C(0,0,0)、BQ,0,0)、M(l,-1,1),故方=(2,0,0)、CM=(1,-1,1),

設(shè)平面MBC的法向量為方=(%,y,z),則工廠y+z=0,

取y=l,得記=(0,1,1)是平面MBC的一個法向量，

取CG的中點P,BF的中點Q,連接PQ、PM,貝IJP(O,0,1),

因為|MG|=|MC|=J/+(-1)2+12=遍,則PMICG,同理可知，PM'1CG,

因為BQ〃CP,BQ=CP,BQ1BC,則四邊形BCPQ為矩形，所以，PQ工CG,

于是NMPM，是二面角M-CG-的平面角，

ZMPQ是二面角M-CG-Q的平面角，

“PM，是二面角Q-CG-”的平面角.于是ZMPM=a,

因為由=(1,—1,0),而=(2,0,0),cosNMPQ==晟=:，

因為0<NMPQ<TT,則NMPQ=%所以"PM'=a—$

因為PM1CG,PM'1CG,PMnPM'=P,PM、PM'u平面MP",

所以，67；1平面”「獷，且|ATP|=|MP|=&,

故M(V^cos(a-務(wù)y/2sin(a-^),1),同理F'(2cosa,2sina,2),

所以MF=(2cosa-V^cos(a—*),2sina—42sin^a—^),1)>

\S^j2cosa—V2cos(a—^)=2cosa—V2cosacos—yj2sinasin=cosa—sina,

2sina—y/2sin(a—J)=2sina—\[2sinacosy+V2cosasin^=cosa+sina,

444

所以MF'=(cosa-sina,cosa+sina,1)，

若直線MF,J"平面MBC,沅是平面MBC的一個法向量，則MR//沅，

?(cosa—sina=0

即存在AeR,使得M'F'=4沅，貝1Jcosa+s譏a=九

1=A

因為0+A2=(cosa-sina)2+(cosa+sina)2=2,可得#=2,

cosa—sina—0

故方程組cosa+sina=4無解，

、1=A

所以不存在ae(0,兀)，使得直線MF'1平面MBC

【知識點】平面與平面之間的位置關(guān)系；直線與平面垂直的判定；平面與平面垂直的判定；二面角的平面角及

求法

【解析】【分析】(1)當(dāng)a=]時，推導(dǎo)出二面角H-BF-尸為直角，結(jié)合面面垂直的定義可證得結(jié)論成

立;

（2）假設(shè)存在a,使得直線MF1平面MBC,建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量記，將MR

的坐標(biāo)用a的表達(dá)式表示，設(shè)沅，可得出關(guān)于2、a的方程組，解之可得出結(jié)論.

2L【答案】（1）解：由題意,

在△力中，由余弦定理和a+b=c+h可得，.

_a2+b2—c2_(a+h)2—c2—2ah_(c+/i)2—c2_+2ch,

COSC=2ab-=2ab=2ab1=>

又由面積公式可知2abs譏。=ich,ab=

乙乙OLI

得

1+cosCh+2c/i.?hrhr_wbAH1+cosC_7

-LF-二I\二1+5-'出C-3二5"一一6

sinC2ch2csinL0

r.喧C亍C

▽sinC2slcos=tan￡,

乂1+cosC=l+2cos2^—1

.C6

??tCLTlq=q

2tan-2x784

?*?tCLTlC~=

2_3613

1—tan21-49

（2）解：由題意及（1）得，

ih1

在△/雨中，1+五=磁.

過3作4B的垂線EB,且使E3=2%，貝!JCE=CB=a,

'-'a+b=c+h>\AE\,即(c+h)2"+4eMA<1,

h4

1<1+五巧

143c

：?1<----不〈萬，,?TT<tClXl<1

tan^34z