2024年高考數(shù)學(xué)二輪考前演練之指數(shù)運算與指數(shù)函數(shù) (解析)

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)二輪專題考前演練

指數(shù)運算與指數(shù)函數(shù)

一、選擇題

1.函數(shù)y=a"+i-1(a>0且aHl)的圖象過定點()

A.(-1,1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(0,0)

【答案】B

【解析】【解答】由指數(shù)函數(shù)y=a尢(a>0且awl)的圖象恒過定點(0,1),

所以在函數(shù)y=a久+i-1中，當(dāng)％=-1時，恒有y=0,

所以y=a%+i—l(a>0且awl)的圖象過定點(—1,0)。

故答案為：B.

【分析】利用已知條件結(jié)合指數(shù)型函數(shù)的圖象過定點的性質(zhì)，進(jìn)而得出函數(shù)y=

ax+!_1(a>。且aw1)的圖象過的定點坐標(biāo)。

2.若函數(shù)y=2%在區(qū)間［2,a］上的最大值比最小值大4,則a=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】【解答】?.)=2%在區(qū)上單調(diào)遞增，.?號=2久在［2,a］上單調(diào)遞增，

.,.當(dāng)x=2時，y=2支取得最小值為4；當(dāng)x=a時，y=2支取得最大值為2a,

.?.2?！?=4,解得:a=3.

故答案為：C.

【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分類討論，求出y=2久的最值，進(jìn)而求得a的

值.

1

3.已知f(%)=a》(a>0,且awl),且/(2)>/(3),則實數(shù)a的取值范圍是

()

A.0<a<lB.a>lC.a<lD.a>0

【答案】A

【解析】【解答】由/(%)=ax(a>0,且aH1)可知，

當(dāng)OVaVI時，/(%)為單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)a>l時，/(%)為單調(diào)遞增函數(shù)，

因為/(2)>/(3),故/(%)為單調(diào)遞減函數(shù)，從而0VaV1.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)指數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合/(2)>/(3),即可求解.

4.函數(shù)y=G尸2一3/2的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(—8,1]B.[1,2]C.[-,+8)D.(―0°,-]

【答案】C

【解析】【解答】內(nèi)層函數(shù)〃=%2—3%+2在區(qū)間(—8,|]單調(diào)遞減，在整，+

8)單調(diào)遞增，

外層函數(shù)y=G)”為減函數(shù)，

所以函數(shù)y=(}--3久+2的單調(diào)遞減區(qū)間是[|,+8),

故答案為：C

【分析】先求函數(shù)的定義域，再求內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由于外層函數(shù)在R上為

減函數(shù)，故內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間就是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.

5.函數(shù)y=3-尢與函數(shù)y=—3%的圖象()

A.關(guān)于x軸對稱B.關(guān)于y軸對稱

2

C.關(guān)于原點對稱D.關(guān)于直線y=%對稱

【答案】C

【解析】【解答】解：在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y=3-與函數(shù)y=—3兀的圖象,

如圖所示：

由圖象知：函數(shù)y=3T與函數(shù)y=-3尢的圖象關(guān)于原點對稱,

故答案為：C

【分析】由題意，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)圖象的對稱性，得出答案.

6.已知/(%)=a-x(a>0,且awl),且/(—2)>/(—3),則a的取值

范圍是()

A.0VaV2且aHlB.1<a<3

C.1<a<2D.0<a<1

【答案】D

【解析】【解答】因為/(—2)=a2,/(—3)=a3,/(—2)>/(—3),

即a2>a3,解得0VaV1。

故答案為：D

【分析】利用已知條件結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出實數(shù)a的取值范圍。

7.若?2a+l>?)4-a,則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(—8,1)B.(1,+8)C.(3,+8)D.(一8,3)

3

【答案】A

【解析】【解答】解：因為y=G尸在定義域上單調(diào)遞減，所以(》2。+1>G)4F等

價于2a+lV4-a,解得aV1,即原不等式的解集為(一8,1)

故答案為：A

【分析】由題意利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解指數(shù)不等式，求得實數(shù)a的取值范

圍.

8.已知函數(shù)+1)=2X+1—2~1-x,則/(%)()

A.是偶函數(shù)，且在R是單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在R是單調(diào)遞增

C.是偶函數(shù)，且在R是單調(diào)遞減D.是奇函數(shù)，且在R是單調(diào)遞減

【答案】B

【解析】【解答】解：由題知/(%+1)=2X+1-2-1-尤，則％eR,

將％-1代替%代入可得：

f(x)=2X-2ToeR),

:./(-%)=2T-2X,

???f(x)+/(-%)=0,

故/(%)為奇函數(shù)，

?."(%)=2%一盤,

y=2久單調(diào)遞增，

y=—螢單調(diào)遞增，

故/(%)在R上單調(diào)遞增.

故答案為：B

4

【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義可判斷出/(%)的奇偶性，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

可判斷出答案.

二、填空題

9ln2

-(|)一2-(Q+log327+e=-

【答案】5

2

【解析】【解答】由題意可得(|)-2_(今|+10g327+eln2=(|)2—+3+

2=(|丫-針+5”

故答案為：5.

【分析】根據(jù)指對、數(shù)運算求解.

10?計算：log3：xk)g49+[(-2)6]5=.

【答案】7

【解析】【解答】原式=—處x吧+26制=—1+8=7,

ln3ln4

故答案為：7.

【分析】利用已知條件結(jié)合換底公式和指數(shù)幕的運算法則，進(jìn)而化簡求值。

1

1

1L3X2--log28+(27)5=-

【答案】|

11□

-1133

【解析】【解答】3X2-log28+(27)3=3x|-log22+(3)i=彳-3+3=

3

-O

2

故答案為：|o

【分析】利用已知條件結(jié)合指數(shù)幕的運算法則和對數(shù)的運算法則，進(jìn)而化簡求

值。

5

12.不等式G尸>1的解集為.

【答案】(-8,0)

【解析】【解答】由G尸可得％vo,故解集為(-8,0).

故答案為：(-8,0).

【分析】由已知條件結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解出X的取值范圍，由此即可

得出不等式的解集。

13.已知函數(shù)/(%)=必一2尤+1,則其值域為.

【答案】［［，+8)

【解析】【解答】/(%)=4X-2X+1=(2支>-2X+1,令2比=t,則t>0,

g(t)=t2—t+l=(t—|)2+1，由于g(t)在teG,+8)單調(diào)遞增，在七e(0,

5)單調(diào)遞減，故g(t)的最小值為g(g)=：,故值域為后，+河，

Z244

故答案為：E，+8)

【分析】令2%=3則t>0,g(t)=「2—t+1,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出答

案.

14.已知(a?+a+2尸>(a2+a+2)1-x,則x的取值范圍

是.

【答案】G，+8)

【解析】【解答】a2+a+2=(a+|)2+^>l,

1

所以x>l-x^x>-.

故答案為：+8)

【分析】確定a?+a+2的范圍，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，推出x>1-x,即可求出x

的取值范圍.

15.若函數(shù)y=2--6x+io的定義域為M，5],則該函數(shù)的值域是.

【答案】[2,32]

【解析】【解答】因為函數(shù)y=2X2~6X+10,設(shè)亡=x2—6x+10,則y=2t

因為定義域為[2,5],t=%2-6%+10=(%-3)2+1

~~~|%—3日寸，t/nizi=L~~1=5日寸，~5

所以又因為y=21單調(diào)遞增，

即得2]<y<25,函數(shù)的值域為[2,32]

故答案為：[2,32]

【分析】設(shè)t=/—6%+10,先求出函數(shù)t在[2,5]上的值域，再利用指數(shù)函數(shù)

的單調(diào)性可求出該函數(shù)的值域.

16.已知函數(shù)/(%)=鼻"則/(%)+/(-%)=；若v%e(0,+8),不

等式/(4-ax)+/(%2)>3恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.

【答案】3；(—8,4]

【解析】【解答】由"")=六=3-熹,財(-%)=3-京=3-券，所

以則/(%)+/(—%)=3,

所以/(4-ax)+/(%2)>3可轉(zhuǎn)化為/(4-ax)>3-/(%2)=f(-x2),

因為y=1+/在R上為增函數(shù)，所以/(%)=熟=3-熹在R上為增函數(shù)，

所以4一a%之一%2對v%e(0,+8)恒成立，即a<%+￡對v%C(0,+8)恒成

立，

因為％>0,所以％+±之4,當(dāng)且僅當(dāng)％=立即％=2時取等號，

XX

7

所以a<4,即實數(shù)a的取值范圍(—8,4].

故答案為：(—8,4].

【分析】根據(jù)指數(shù)的運算即可得第一空答案；先判斷出f(x)在(0,+8)上單調(diào)

遞增，再將原不等式轉(zhuǎn)化為4-ax>-％2對v%e(0,+8)恒成立，結(jié)合雙勾函數(shù)

的性質(zhì)求解出實數(shù)a的取值范圍.

17.函數(shù)/(%)=2T2-2/3+1的單調(diào)遞減區(qū)間為，值域

為.

【答案】(—1,+叼；(1,17]

【解析】【解答】令g(%)=-%2-2%+3,則g(%)開口向下，對稱軸為％=

所以9(%)在(-8,-1)上單調(diào)遞增，在(-1,+8)上單調(diào)遞減，

故9(%)max=9(-1)=-1+2+3=4，即g(%)<4,

又因為久%)=2%+1在R上單調(diào)遞增，故%%)在(-”，4]上單調(diào)遞增，

所以由0V2"<24=16得1<2X+1<17,故1V4(%)<17,

故/(%)=/9(%))在(一8,—1)上單調(diào)遞增，在(―1,+8)上單調(diào)遞減，且IV

/(%)<17,

所以函數(shù)/(%)=2T2-2久+3+1的單調(diào)遞減區(qū)間為(_1,+8),值域為(1,17].

故答案為：(-1,+8)；(1,17].

【分析】令9(%)=-%2一2%+3,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)9(%)的單調(diào)區(qū)

間和最大值，再由函數(shù)力(%)=2%+1單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方

法，即可求解.

8

三、解答題

18.計算下列各式的值：

(1)?尸+1嗚3;

21

⑵273+(V5)2-164+(e-1)°.

【答案】(1)解：原式=?(2一2)923=4x3-2=[.

.21

(2)解：原式=33X3+5-24x4+1=32+5-2+1=13-

【解析】【分析】(1)利用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)和對數(shù)的運算性質(zhì)進(jìn)行計算即

可；

(2)利用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)進(jìn)行計算即可.

19.化簡或求值.

ayjb24ab

(2)(2芋+0.1-2_量f+7ro.

113

【答案】(1)解：原式=仇。3(帥？=塔=al-%號=標(biāo)

a(Z?2(aZj)2)3axb3

(2)解：原式=G放+(七)一2_[(|)3百+1=|+100-|+1=101

【解析】【分析】(1)利用指數(shù)幕的運算性質(zhì)即可得解；

(2)利用指數(shù)幕的運算性質(zhì)即可得解.

20.已知函數(shù)/(%)=a—六.(a為實常數(shù))

2X+1

(1)討論函數(shù)/(%)的奇偶性，并說明理由；

(2)當(dāng)/(%)為奇函數(shù)時，對任意%G[1,6],不等式/(%)>恒成立，求

實數(shù)u的最大值.

【答案】(1)當(dāng)a=|時/(%)+/(—%)=2a—高一備=2a—3=0,

乙