安徽省宣城市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題

宣城市2023——2024學(xué)年度第一學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試高一數(shù)學(xué)試題考生注意事項(xiàng)：1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，考生先將自己的姓名、考號(hào)在答題卷指定位置填寫清楚并將條形碼粘貼在指定區(qū)域.3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卷上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卷上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卷上各題的答題區(qū)城內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4．考試結(jié)束時(shí)，務(wù)必將答題卡交回.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.集合，，則＝（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由補(bǔ)集和并集的定義直接求解.【詳解】集合，，則，.故選：B2.設(shè)，使得不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式結(jié)合充分不必要條件的定義即可求解.【詳解】由題意，對(duì)比選項(xiàng)可知不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是.故選：D.3.若命題“，使”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由存在性問(wèn)題得即可得解.【詳解】由題意命題“，使”是真命題，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，有，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：C.4.已知，且，則下列不等式中正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)特值法可判斷ABC，構(gòu)造函數(shù)可判斷D.【詳解】對(duì)于A：若滿足，則不滿足，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若滿足，則不滿足，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若滿足，則不滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：令，易知函數(shù)在R上增函數(shù)，因?yàn)?，所以，則，故D正確.故選：D.5.已知函數(shù)滿足，且，則（）A.0 B.1 C.5 D.【答案】C【解析】【分析】通過(guò)賦值得，，由此即可得解.【詳解】由題意在中令，則，解得，令，則，則，所以故選：C.6.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合中間量法即可得解.【詳解】，，，所以.故選：A.7.已知，且，，則的最小值是（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合“1”的代換和基本不等式求解即可.【詳解】由得，于是，又，，所以，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故.故選：B.8.已知定義在R上的函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且對(duì)任意的，總有，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)題意利用二次函數(shù)的單調(diào)性求的取值范圍．要使對(duì)任意的，都有，只要成立即可，進(jìn)而列出不等式即可求出結(jié)果．【詳解】二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又已知在上單調(diào)遞減，所以，可得.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，由對(duì)稱性可知，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即最大值，在當(dāng)時(shí)取得最小值，即最小值為，要使對(duì)任意的，都有，只要成立即可，所以，解得，又，所以的取值范圍，即.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.若，則的可能取值是（）A. B.0 C.1 D.2【答案】AC【解析】【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式分別對(duì)和情況進(jìn)行求值.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的值為.故選：AC.10.下列運(yùn)算中正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)換底公式即可判斷A；根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算即可判斷BC；根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.故選：BD.11.對(duì)任意的，函數(shù)的值域是．則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C.的最小值是12 D.的最小值是【答案】ABC【解析】【分析】由題意可得，且，從而可求得的關(guān)系，即可判斷AB；再根據(jù)基本不等式判斷CD即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的值域是，所以，且，即，所以，故AB正確；由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值是12，故C正確；由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的結(jié)論中正確的是（）A.在上單調(diào)遞增函數(shù) B.是奇函數(shù)C.是周期函數(shù) D.的值域是【答案】ACD【解析】【分析】首先使得，從而，進(jìn)一步有，由此可判斷C；結(jié)合周期性可判斷ADB三個(gè)選項(xiàng).【詳解】因?yàn)槭沟?，所以此時(shí)，，所以，所以是周期為1的周期函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，我們只需考慮在上的值域即可，此時(shí)，故D正確；對(duì)于A，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，而是周期為1的周期函數(shù)，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)槭侵芷跒?的周期函數(shù)，所以，即不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是首先得出使得，進(jìn)一步得出是周期為1的周期函數(shù)，由此即可順利得解.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.若冪函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)______．【答案】2【解析】【分析】先根據(jù)冪函數(shù)的定義列方程求的值，再驗(yàn)證是否滿足題意.【詳解】由冪函數(shù)的解析式可得，即，解得或，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，符合題意.綜上可知，.故答案為：2.14.已知角滿足，則__________________.【答案】【解析】【分析】運(yùn)用誘導(dǎo)公式和二倍角余弦公式求解即可．【詳解】由題意得．故答案為．【點(diǎn)睛】解答三角變換中的“給值求值”問(wèn)題時(shí)，要注意將所給的條件作為一個(gè)整體進(jìn)行處理，把所求角根據(jù)“拼湊”的方法用已知角表示，然后進(jìn)行求解，屬于基礎(chǔ)題．15.已知實(shí)數(shù)x滿足不等式，則函數(shù)最大值是______．【答案】##【解析】【分析】先根據(jù)一元二次不等式的解法求出的范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】由，解得，，當(dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：.16.已知函數(shù)，若存在四個(gè)不同的實(shí)數(shù)，，，滿足，且，則__．【答案】【解析】【分析】設(shè)，作出函數(shù)的圖象以及，根據(jù)對(duì)稱性，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為所以，當(dāng)時(shí)，，令，解得，所以時(shí)對(duì)稱軸為，此時(shí)，設(shè)，若存在四個(gè)不同的實(shí)數(shù)，，，滿足，則，由圖可知，關(guān)于直線對(duì)稱，，關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，則．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是作出函數(shù)圖象，方程的根即是函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)當(dāng)時(shí)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，圖象關(guān)于直線關(guān)于直線對(duì)稱，所以四個(gè)交點(diǎn)兩兩關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求集合；（2）若，求實(shí)數(shù)m取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，得出，結(jié)合交集的概念即可得解；（2）對(duì)集合是否是空集分類討論，依次列出不等式（組）即可求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，集合，，故．【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，即，滿足，故滿足題意；當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，，解得，于是得，所以，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是．18.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；（2）解關(guān)于x的不等式．【答案】（1）奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)的定義即可證明；（2）利用對(duì)數(shù)有意義的條件和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.小問(wèn)1詳解】證明：由題意，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)閷?duì)任意都有，，所以是奇函數(shù).【小問(wèn)2詳解】原不等式可化為，又函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，解得或，所以原不等式的解集為．19.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，，求的值．【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)圖象首先得，，，進(jìn)一步結(jié)合，，可得，由此可得函數(shù)表達(dá)式，由整體代入法列不等式組即可得單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由平方關(guān)系結(jié)合角的范圍首先得，進(jìn)一步由兩角差的正弦公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】由圖象得：，，所以，所以，又由，，可得，所以．令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問(wèn)2詳解】由，因?yàn)?，可得，所以，則.20.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為實(shí)施“鄉(xiāng)村振興”戰(zhàn)略，充分利用當(dāng)?shù)刈匀毁Y源，大力發(fā)展特色水果產(chǎn)業(yè)，將該鎮(zhèn)打造成“水果小鎮(zhèn)”．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某種水果樹(shù)的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料x(chóng)（單位：千克）滿足如下函數(shù)關(guān)系：，肥料成本投入為4x元，其它成本投入（如培育、施肥等人工費(fèi)）為6x元，已知該水果的售價(jià)為10元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求，記該水果樹(shù)的單株利潤(rùn)為（單位：元）．（1）求的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該水果樹(shù)的單株利潤(rùn)最大？單株利潤(rùn)最大值是多少元？【答案】（1）（2）當(dāng)施用肥料為3千克時(shí)，該水果樹(shù)的單株利潤(rùn)最大，單株利潤(rùn)最大值是90元【解析】【分析】（1）由利潤(rùn)，代入即可得；（2）利用二次函數(shù)以及基本不等式分別求出分段函數(shù)在上的最大值，比較即可得答案.【小問(wèn)1詳解】；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．由得當(dāng)時(shí)，．所以當(dāng)施用肥料為3千克時(shí)，該水果樹(shù)的單株利潤(rùn)最大，單株利潤(rùn)最大值是90元．21.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱軸方程；（2）若函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）最小正周期為，對(duì)稱軸方程為：，（2）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式和三角恒等變換公式化簡(jiǎn)到同一個(gè)角的同一個(gè)三角函數(shù)，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的周期性和對(duì)稱性即可得到答案；（2）先求函數(shù)的解析式，再由的范圍求得范圍，進(jìn)而把函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題可求的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】.故最小正周期.由，，得函數(shù)對(duì)稱軸方程為，．【小問(wèn)2詳解】，令，得．要使在上有2個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)與函數(shù)圖像在上有2個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)?，所以．作出在的圖像，得或，解得或，即a的取值范圍為.22.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意，存在，使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】