2022年高考物理題型講義（新高考）二、數(shù)學(xué)方法在物理中的應(yīng)用

二、數(shù)學(xué)方法在物理中的應(yīng)用高考物理試題的解答離不開數(shù)學(xué)知識和方法的應(yīng)用，利用數(shù)學(xué)知識解決物理問題是高考物理考查的能力之一．借助數(shù)學(xué)方法，可使一些復(fù)雜的物理問題，顯示出明顯的規(guī)律性，能快速簡捷地解決問題．可以說任何物理試題的求解過程實(shí)際上都是將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，經(jīng)過求解再還原為物理結(jié)論的過程．下面是幾種物理解題過程中常用的數(shù)學(xué)方法．一、三角函數(shù)法1．三角函數(shù)求極值(1)y＝sinα，當(dāng)α＝90°時(shí)，ymax＝1；(2)y＝cosα，當(dāng)α＝0時(shí)，ymax＝1.例1如圖1所示，底邊AB恒定為b，當(dāng)斜面與底邊夾角θ為多大時(shí)，物體沿此光滑固定斜面由靜止從頂端滑到底端所用時(shí)間才最短？圖1答案見解析解析設(shè)斜面長度為L，有：L＝eq\f(b,cosθ)，a＝gsinθ，且有L＝eq\f(1,2)at2，解得：t＝eq\r(\f(2b,gsinθcosθ))＝eq\r(\f(4b,gsin2θ))，故當(dāng)θ＝45°時(shí)，所用時(shí)間最短，最短時(shí)間為tmin＝eq\r(\f(4b,g)).2．輔助角求極值三角函數(shù)：y＝acosθ＋bsinθy＝acosθ＋bsinθ＝eq\r(a2＋b2)sin(θ＋α)，其中tanα＝eq\f(a,b).當(dāng)θ＋α＝90°時(shí)，有極大值ymax＝eq\r(a2＋b2).例2(2020·山西臨汾市模擬)如圖2所示是一旅行箱，它既可以在地面上推著行走，也可以在地面上拉著行走．已知該旅行箱的總質(zhì)量為15kg，一旅客用斜向上的拉力拉著旅行箱在水平地面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，若拉力的最小值為90N，此時(shí)拉力與水平方向間的夾角為θ，重力加速度大小為g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，旅行箱受到地面的阻力與其受到地面的支持力成正比，比值為μ，則()圖2A．μ＝0.5，θ＝37° B．μ＝0.5，θ＝53°C．μ＝0.75，θ＝53° D．μ＝0.75，θ＝37°答案D解析對旅行箱受力分析，如圖所示，根據(jù)平衡條件，水平方向，有：Fcosθ－Ff＝0，豎直方向，有：FN＋Fsinθ－G＝0，其中：Ff＝μFN，故F＝eq\f(μG,cosθ＋μsinθ)，令μ＝tanα，則F＝eq\f(Gsinα,cosα－θ)；當(dāng)α－θ＝0時(shí)，F(xiàn)有最小值，故F＝Gsinα＝90N，則α＝37°，故μ＝tan37°＝0.75，θ＝37°，選D.3．正弦定理在如圖3所示的三角形中，各邊和所對應(yīng)角的正弦之比相等，即：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).圖3例3(2020·山東日照市模擬)如圖4所示，兩個(gè)質(zhì)量分別為eq\r(3)m、m的小圓環(huán)A、B用不可伸長的細(xì)線連著，套在一個(gè)豎直固定的大圓環(huán)上，大圓環(huán)的圓心為O.系統(tǒng)平衡時(shí)，細(xì)線所對的圓心角為90°，大圓環(huán)和小圓環(huán)之間的摩擦力及細(xì)線的質(zhì)量忽略不計(jì)，重力加速度大小用g表示，下列判斷正確的是()圖4A．小圓環(huán)A、B受到大圓環(huán)的支持力之比是eq\r(3)∶1B．小圓環(huán)A受到大圓環(huán)的支持力與豎直方向的夾角為15°C．細(xì)線與水平方向的夾角為30°D．細(xì)線的拉力大小為eq\f(\r(3),2)mg答案A解析對小圓環(huán)A和B進(jìn)行受力分析，根據(jù)平行四邊形定則作出重力和支持力的合力，此合力的大小等于細(xì)線的拉力的大小，設(shè)A、B所受的支持力與豎直方向的夾角分別為α和β，如圖所示：根據(jù)正弦定理可以得到：eq\f(\r(3)mg,sin45°)＝eq\f(FT,sinα)，eq\f(mg,sin45°)＝eq\f(FT′,sinβ)，由于FT＝FT′，α＋β＝90°整理可以得到：α＝30°，β＝60°，F(xiàn)T＝FT′＝eq\f(\r(6),2)mg再次利用正弦定理：eq\f(FNA,sin180°－45°－30°)＝eq\f(\r(3)mg,sin45°)，eq\f(FNB,sin180°－45°－60°)＝eq\f(mg,sin45°)整理可以得到：eq\f(FNA,FNB)＝eq\f(\r(3),1)，故選項(xiàng)A正確，B、D錯(cuò)誤；由圖根據(jù)幾何知識可知，細(xì)線與水平方向的夾角為90°－(45°＋30°)＝15°，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．4．余弦定理在如圖5所示的三角形中，圖5有如下三個(gè)表達(dá)式：a2＝b2＋c2－2bc·cosAb2＝a2＋c2－2ac·cosBc2＝a2＋b2－2ab·cosC例4(多選)已知力F的一個(gè)分力F1跟F成30°角，大小未知，另一個(gè)分力F2的大小為eq\f(\r(3),3)F，方向未知，則F1的大小可能是()A.eq\f(\r(3)F,3)B.eq\f(\r(3)F,2)C.eq\f(2\r(3)F,3)D.eq\r(3)F答案AC解析如圖所示，因?yàn)镕2＝eq\f(\r(3),3)F>Fsin30°，故F1的大小有兩種可能情況，由余弦定理可得：F22＝F2＋F12－2FF1cos30°，化簡可得：F12－eq\r(3)FF1＋eq\f(2,3)F2＝0，解得：F11＝eq\f(\r(3),3)F，F(xiàn)12＝eq\f(2\r(3),3)F，故選項(xiàng)A、C正確．二、均值不等式由均值不等式a＋b≥2eq\r(ab)(a>0，b>0)可知：(1)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，當(dāng)兩數(shù)相等，和最?。?2)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，當(dāng)兩數(shù)相等，積最大．例5如圖6所示，半圓形光滑軌道固定在水平地面上，半圓的直徑與地面垂直．小物塊以速度v從軌道下端滑入軌道，并從軌道上端水平飛出，小物塊落地點(diǎn)到軌道下端的距離與軌道半徑有關(guān)，此距離最大時(shí)對應(yīng)的軌道半徑為多少？(不計(jì)空氣阻力，重力加速度大小為g)圖6答案eq\f(v2,8g)解析設(shè)小物塊到軌道最高點(diǎn)時(shí)速度為v0，對小物塊由動(dòng)能定理得：－2mgr＝eq\f(1,2)mv02－eq\f(1,2)mv2小物塊從軌道上端水平飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，則有2r＝eq\f(1,2)gt2，x＝v0t，可得x＝eq\r(－16r2＋\f(4v2r,g))＝eq\r(4r\f(v2,g)－4r)≤eq\f(v2,2g)故4r＝eq\f(v2,g)－4r，即r＝eq\f(v2,8g)時(shí)，水平位移最大．三、利用二次函數(shù)求極值二次函數(shù)：y＝ax2＋bx＋c(1)當(dāng)x＝－eq\f(b,2a)時(shí)，有極值ym＝eq\f(4ac－b2,4a)(若二次項(xiàng)系數(shù)a>0，y有極小值；若a<0，y有極大值)．(2)利用一元二次方程判別式求極值．用判別式Δ＝b2－4ac≥0有解可求某量的極值．例6(2021·浙江高三開學(xué)考試)如圖7所示，用內(nèi)壁光滑細(xì)圓管彎成的半圓形軌道APB(半圓軌道半徑遠(yuǎn)大于細(xì)圓管的內(nèi)徑)和直軌道BC組成的裝置，把它豎直放置并固定在水平面上，已知半圓軌道半徑R＝1m，質(zhì)量m＝100g小球(視為質(zhì)點(diǎn))壓縮彈簧由靜止釋放，小球從A點(diǎn)彈入圓軌道從C點(diǎn)以v0＝8m/s離開軌道隨即進(jìn)入長L＝2m、μ＝0.1的粗糙水平地面(圖上對應(yīng)為CD)，最后通過光滑軌道DE，從E點(diǎn)水平射出，已知E距離地面的高度為h＝1m，除CD段外其他處摩擦阻力忽略不計(jì)，重力加速度g＝10m/s2.不計(jì)空氣阻力，求：圖7(1)小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對圓管的壓力；(2)彈簧儲(chǔ)存的彈性勢能的大??；(3)若E點(diǎn)的高度h可以調(diào)節(jié)，當(dāng)h多大時(shí)，水平射程x最大，此最大值是多少．答案(1)1N，方向豎直向下(2)1.2J(3)1.5m3m解析(1)小球在BC段做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所受合外力為零，根據(jù)牛頓第二定律，小球處于平衡狀態(tài)，小球所受支持力為FN＝mg＝1N，根據(jù)牛頓第三定律，圓管對小球的支持力和小球?qū)A管的壓力是作用力與反作用力，大小相等，方向相反，則小球?qū)A管的壓力大小為1N，方向豎直向下．(2)小球從靜止到C點(diǎn)根據(jù)功能關(guān)系有eq\f(1,2)mv02＝mg×2R＋Ep，解得Ep＝1.2J(3)小球從C點(diǎn)到E點(diǎn)根據(jù)動(dòng)能定理有－mgh－μmgL＝eq\f(1,2)mvE2－eq\f(1,2)mv02得vE＝eq\r(60－20h)(m/s)過了E點(diǎn)小球做平拋運(yùn)動(dòng)，有h＝eq\f(1,2)gt2，x＝vEt得到x與h的關(guān)系為x＝eq\r(12h－4h2)(m)解得，當(dāng)h＝1.5m時(shí)，x有最大值xmax＝3m.例7(2020·湖南高三一模)在一條平直的公路上，乙車以v1＝10m/s的速度勻速行駛，甲車在乙車的后面做同方向初速度為v2＝15m/s、加速度大小為a＝0.5m/s2的勻減速運(yùn)動(dòng)，若兩車初始距離L＝36m，請通過計(jì)算分析兩車能否相遇？若能相遇則求出兩車相遇的時(shí)間；若不能相遇則求出兩車間的最近距離．答案兩車不能相遇11m解析設(shè)兩車經(jīng)時(shí)間t速度相等，有v1t＋L＝v2t－eq\f(1,2)at2代入數(shù)值得eq\f(1,4)t2－5t＋36＝0Δ＝b2－4ac＝－11<0t無解，即兩車不會(huì)相遇．當(dāng)兩車速度相等時(shí)相距最近，有v1＝v2－at1得t1＝10s則最近距離為Δsmin＝v1t1＋L－(v2t1－eq\f(1,2)ateq\o\al(,12))代入數(shù)值解得Δsmin＝11m.四、數(shù)學(xué)歸納法和數(shù)列法凡涉及數(shù)列求解的物理問題都具有過程多、重復(fù)性強(qiáng)的特點(diǎn)，但每一個(gè)重復(fù)過程均不是原來的完全重復(fù)，而是一種變化了的重復(fù)．隨著物理過程的重復(fù)，某些物理量逐步發(fā)生著前后有聯(lián)系的變化．該類問題求解的基本思路為：(1)逐個(gè)分析開始的幾個(gè)物理過程；(2)利用歸納法從中找出物理量變化的通項(xiàng)公式(這是解題的關(guān)鍵)；(3)最后分析整個(gè)物理過程，應(yīng)用數(shù)列特點(diǎn)和規(guī)律求解．無窮數(shù)列的求和，一般是無窮遞減數(shù)列，有相應(yīng)的公式可用．等差：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d(d為公差)．等比：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)，q≠1,na1，q＝1))(q為公比)．例8如圖8所示，質(zhì)量M＝2kg的平板小車左端放有質(zhì)量m＝3kg的小鐵塊(可視為質(zhì)點(diǎn))，它和小車之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.5.開始時(shí)，小車和鐵塊共同以v0＝3m/s的速度向右在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)，車與豎直墻正碰，碰撞時(shí)間極短且碰撞中不損失機(jī)械能．車身足夠長，使鐵塊不能和墻相撞，且始終不能滑離小車．g取10m/s2.求小車和墻第一次碰后直至其最終恰好靠墻靜止這段時(shí)間內(nèi)，小車運(yùn)動(dòng)的總路程．圖8答案1.25m解析小車第一次碰墻后以原速率反彈，并在小鐵塊的摩擦力作用下向左減速，因mv0>Mv0，故小車先減速為零，后向右加速直至與鐵塊達(dá)到共同速度；之后小車第二次碰墻后反彈，重復(fù)上述過程．設(shè)小車第一次碰墻后向左運(yùn)動(dòng)的最大距離為s1，第二次碰墻后向左運(yùn)動(dòng)的最大距離為s2，第三次碰墻后向左運(yùn)動(dòng)的最大距離為s3…，小車第一次碰墻之后與鐵塊的共同速率為v1，第二次碰墻之后與鐵塊的共同速率為v2，第三次碰墻之后與鐵塊的共同速率為v3…第一次碰墻之后，由動(dòng)能定理得μmgs1＝eq\f(1,2)Mv02解得s1＝eq\f(Mv\o\al(,02),2μmg)＝eq\f(3,5)m由動(dòng)量守恒定律得(m－M)v0＝(m＋M)v1解得v1＝eq\f(m－M,m＋M)v0＝eq\f(1,5)v0第二次碰墻之后，由動(dòng)能定理得μmgs2＝eq\f(1,2)Mveq\o\al(,12)解得s2＝eq\f(Mv\o\al(,12),2μmg)＝eq\f(1,25)s1由動(dòng)量守恒定律得(m－M)v1＝(m＋M)v2解得v2＝eq\f(m－M,m＋M)v1＝eq\f(1,5)v1……故小車第n次碰墻之后向左運(yùn)動(dòng)的最大距離為sn＝eq\f(1,25n－1)s1顯然s1、s2、s3、…、sn為一公比是eq\f(1,25)的等比數(shù)列．小車運(yùn)動(dòng)的總路程為s＝2(s1＋s2＋s3＋…＋sn)＝eq\f(2s1,1－\f(1,25))＝1.25m例9(2020·山東煙臺(tái)市一模)如圖9所示，質(zhì)量為M＝4.5kg的長木板置于光滑水平地面上，質(zhì)量為m＝1.5kg的小物塊放在長木板的右端，在木板右側(cè)的地面上固定著一個(gè)有孔的彈性擋板，孔的尺寸剛好可以讓木板無接觸地穿過．現(xiàn)使木板和物塊以v0＝4m/s的速度一起向右勻速運(yùn)動(dòng)，物塊與擋板碰撞后立即以碰前的速率反向彈回，而木板穿過擋板上的孔繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)，整個(gè)過程中物塊不會(huì)從長木板上滑落．已知物塊與擋板第一次碰撞后，物塊離開擋板的最大距離為x1＝1.6m，重力加速度g取10m/s2.圖9(1)求物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)；(2)若物塊與擋板第n次碰撞后，物塊離開擋板的最大距離為xn＝6.25×10－3m，求n；(3)求長木板的長度至少應(yīng)為多少．答案(1)0.5(2)5(3)6.4m解析(1)物塊與擋板第一次碰撞后，物塊向左減速到速度為0的過程中只有摩擦力做功，由動(dòng)能定理得－μmgx1＝0－eq\f(1,2)mveq\o\al(,