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2024年中考數(shù)學(xué)高頻考點專題復(fù)習(xí)-二次函數(shù)的最值問題

1.如圖,某數(shù)學(xué)興趣小組以樓梯為場景設(shè)計的小球彈射實驗示意圖,樓梯平臺寬為3,前方有六個臺

階4~北(各拐點均為90。),每個臺階的高為2,寬為2,樓梯平臺到x軸距離。4=14,從y軸上的點C處向

右上方彈射出一個小球P(小球視為點),飛行路線為拋物線L:y=-:d+2無+16,當(dāng)點尸落到臺階后立即彈

起,其飛行路線是與乙形狀相同的拋物線.

⑴通過計算判斷小球尸第一次會落在哪個臺階上;

(2)若小球尸第二次的落點在臺階4中點M上,求小球尸第二次飛行路線的解析式;

⑶若小球尸再次從點M處彈起后落入尤軸上一圓柱形小球接收裝置(小球落在圓柱形邊沿也為接收),接收裝

置最大截面為矩形瓦GH,點E橫坐標(biāo)為16,EF=1,EH=1,求出小球第三次飛行路線的頂點到x軸距離

最小值.

2.如圖在4ABe中,ZC=90°,AC=6cm,3c=8cm,點P是邊BC上由2向C運動(不與點8,C重合)

的一動點,尸點的速度是2cm/s,設(shè)點尸的運動時間為3過P點作AC的平行線交45于點N,連接AP.

⑴請用含有t的代數(shù)式表示線段PN的長;

(2)當(dāng)f為何值時,APN的面積等于△ACP面積的四分之一;

⑶在點P的運動過程中,是否存在某一時刻的f的值,使得.APN的面積有最大值,若存在請求出f的值,并

計算最大面積;若不存在,請說明理由.

1

3.某景觀公園內(nèi)人工湖里有一組小型噴泉,水柱從垂直于湖面的水槍噴出,水柱落于湖面的路徑形狀是拋物

線.現(xiàn)測量出如下數(shù)據(jù),在湖面上距水槍水平距離為d米的位置,水柱距離湖面高度為米.

⑴以水槍與湖面交點為原點,原點與水柱落地處所在直線為x軸,水槍所在直線為y軸,在下邊網(wǎng)格中建立平

面直角坐標(biāo)系,根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點,并用平滑的曲線連接.

⑵請結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)或所畫圖象,寫出水柱最高點的坐標(biāo).

⑶湖面上距水槍水平距離為3.5米時,水柱距離湖面的高度根=米.

⑷現(xiàn)公園想通過噴泉設(shè)立新的游玩項目,準(zhǔn)備通過調(diào)節(jié)水槍高度,使得公園湖中的游船能從噴泉下方通過.游

船左右兩邊緣最寬處有一個長方體形狀的遮陽棚,若游船寬(指船的最大寬度)為2米,從水面到棚頂?shù)母叨?/p>

為2.1米,要求是游船從噴泉水柱中間通過時,為避免游船被噴泉淋到,頂棚到水柱的垂直距離均不小于0.5

米.請問公園該如何調(diào)節(jié)水槍高度以符合要求?請通過計算說明理由.

4.如圖,一小球M從斜坡04上的。點處拋出,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,球的拋出路線是拋物線

的一部分,斜坡可以看作直線右:y=:x的一部分.若小球經(jīng)過點(6,6),解答下列問題:

(1)求拋物線4的表達(dá)式,并直接寫出拋物線人的對稱軸;

⑵小球在斜坡上的落點為A,求A點的坐標(biāo);

⑶在斜坡。4上的8點有一棵樹,B點的橫坐標(biāo)為2,樹高為4,小球M能否飛過這棵樹?通過計算說明理由;

⑷直接寫出小球M在飛行的過程中離斜坡04的最大高度.

2

5.草莓是深受大家喜愛的一種水果,某超市每天調(diào)運一批成本價為每千克20元的草莓,以不低于成本價且不

超過每千克30元的價格銷售,每天銷售草莓的數(shù)量y(千克)與每千克的售價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所

示:

“夕(千克)

120--------K

80--------4

II

II

2030

⑴請直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式;

(2)該超市將草莓的每千克售價定為多少元時,每天銷售草莓的利潤可達(dá)到500元;

⑶當(dāng)草莓的每千克售價定為多少元時,該超市每天獲利最大?最大利潤是多少元?

6.祁門紅茶是中國名茶,某茶葉公司經(jīng)銷某品牌祁門紅茶,每千克成本為50元,規(guī)定每千克售價需超過成

本,但不高于90元.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):其日銷售量y(千克)與售價雙元/千克)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示:

⑴求了與X之間的函數(shù)表達(dá)式;

⑵設(shè)日利潤為卬(元),求w與X之間的函數(shù)表達(dá)式,并說明日利潤w隨售價X的變化而變化的情況以及最大

日利潤;

⑶若公司想獲得不低于2000元日利潤,請直接寫出售價范圍.

7.某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶進(jìn)行小龍蝦養(yǎng)殖.已知每千克小龍蝦養(yǎng)殖成本為6元,在整個銷售旺季的80天里,銷售單

^+16(l<Z<40)

價P(元/千克)與時間第t(天)之間的函數(shù)關(guān)系為:尸=4日銷售量了(千克)與時間

-l/+46(41<r<80)

第/(天)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示:

3

⑴求日銷售量y與時間,的函數(shù)關(guān)系式?

⑵哪一天的日銷售利潤最大?最大利潤是多少?

⑶在實際銷售的前40天中,該養(yǎng)殖戶決定每銷售1千克小龍蝦,就捐贈加(根<7)元給村里的特困戶,在這前

40天中,每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間/的增大而增大,求m的取值范圍.

8.容智公司計劃共投入資金50萬元研發(fā)生產(chǎn)甲,乙兩種新型智能產(chǎn)品,該公司市場部根據(jù)調(diào)查后得出:①

甲種新型智能產(chǎn)品所獲年利潤%(單位:萬元)與投入資金相(單位:萬元)的函數(shù)關(guān)系式是②乙

種新型智能產(chǎn)品所獲年利間%(單位:萬元)與投入資金〃(單位,萬元)的函數(shù)關(guān)系式是%=看].

注:記該公司所獲全年總利潤w(單位:萬元)為月與石之和.

⑴設(shè)其中投入乙種新型智能產(chǎn)品資金為X(單位:萬元)(0VXW50),用含x的代數(shù)式表示下列各量:

①投入甲種新型智能產(chǎn)品的資金為萬元;

②投入甲種新型智能產(chǎn)品所獲年利潤為萬元;

③該計劃該公司所獲全年總利潤為萬元.

⑵求公司市場部預(yù)判該公司全年總利潤W(單位:萬元)的范圍;

⑶若該公司從全年總利潤W(單位:萬元)中扣除投入乙種新型智能產(chǎn)品資金的左倍(0〈左<3)用于其他產(chǎn)品

的生產(chǎn)后,得到剩余利潤嗎(單位:萬元),若嗎隨x的增大而減小,請直接寫出發(fā)的取值范圍.

9.某商店出售一款商品,經(jīng)市場調(diào)查,該商品的日銷量y(件)與銷售單價x(元)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系,

關(guān)于該商品的銷售單價,日銷量,日銷售利潤的部分對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表.[注:日銷售利潤=日銷量x(銷售單價

一進(jìn)價)]

銷售單價X(元)757882

日銷量y(件)15012080

日銷售利潤w(元)5250a3360

⑴根據(jù)表信息填空:該商品的進(jìn)價是元/件,表中。的值是,>與x之間的函數(shù)關(guān)系式是

⑵求該商品日銷售利潤的最大值;

4

⑶由于某種原因,該商品進(jìn)價降低了加元/件(加>0),商店規(guī)定,在今后的銷售中,該商品的銷售單價不能低

于68元,日銷量與銷售單價之間仍滿足(1)中的函數(shù)關(guān)系,若日銷售最大利潤為6600元,求機的值.

10.某商場將進(jìn)價為30元的臺燈以40元售出,平均每月能售出600個.調(diào)查發(fā)現(xiàn),售價在40元至70元范

圍內(nèi),這種臺燈的售價每上漲1元,其銷售量就減少10個.為了實現(xiàn)每月獲得最大的銷售利潤,這種臺燈的

售價應(yīng)定為多少?最大利潤為多少元?

11.某商戶在線上投資銷售A,8兩種商品.已知銷售A種商品可獲得的月利潤為(萬元)是該商品投資金額

的40%,銷售B種商品可獲得的月利潤為(萬元)與該商品投資金額尤(萬元)滿足函數(shù)關(guān)系%=-木/+x

(其圖象如圖所示).

⑴求銷售A種商品的月利潤%(萬元)與該商品的投資金額尤(萬元)的函數(shù)關(guān)系式,并在圖中畫出其圖象.

⑵若只選擇其中一種商品投資銷售,根據(jù)函數(shù)圖象求銷售哪種商品獲得的月利潤更高?

⑶若該商戶共投資10萬元同時銷售A,8兩種商品,要獲得月總利潤最大,應(yīng)怎樣分配投資金額?并求出最

大月總利潤.

12.甲、乙兩個種植戶銷售同一種蘋果.甲種植戶,不論一次購買數(shù)量是多少,價格均為6元/依.乙種植戶,

一次購買數(shù)量不超過50依時,價格為7元/必;一次購買數(shù)量超過50依時,其中有50依的價格仍為7/依,

超過50依部分的價格為5元/依.設(shè)小王只在同一個種植戶處一次購買蘋果的數(shù)量為狄g(x>0).

(1)根據(jù)題意填表:

一次購買數(shù)量

3050150

/kg

甲種植戶花費/元300

乙種植戶花費/元350

(2)設(shè)在甲批發(fā)店花費%元,在乙批發(fā)店花費為元,分別求%,為關(guān)于x的函數(shù)解析式;

5

x

(3)若這種蘋果市場統(tǒng)一售價為P元/依,且。=一式+8,請你給小王建議如何進(jìn)貨可獲最大利潤?最大利

潤是多少?

13.如圖,四邊形A5CD為正方形,直線/經(jīng)過點D,分別過點A、C作AE_L/于點E、CF,/于點F.

(2)若EF=8,求正方形A3CD面積的最小值.

3

14.如圖,△ABC是。。的內(nèi)接三角形,AB為。0直徑,tanNBAC=:,BC=3,點D為線段AC上一動點,過

4

點D作AB的垂線交。。于點E,交AB于點F,連結(jié)BD,CF,并延長BD交。。于點H.

(1)求。0的半徑;

(2)當(dāng)DE經(jīng)過圓心。時,求AD的長;

CFBD

⑶求證:

AF-AD

⑷求CF?DH的最大值.

8(點A在點8的左邊),與〉軸交于點C,點。是該拋

物線的頂點.

(1)如圖1,連接C。,求線段CD的長;

(2)如圖2,點P是直線AC上方拋物線上一點,軸于點R尸廠與線段AC交于點£;將線段02沿x

軸左右平移,線段08的對應(yīng)線段是05,當(dāng)P£+gEC的值最大時,求四邊形尸O/B/C周長的最小值,并求

出對應(yīng)的點。/的坐標(biāo);

(3)如圖3,點X是線段A3的中點,連接CH,將△08C沿直線C8翻折至△02&C的位置,再將△

6

繞點&旋轉(zhuǎn)一周在旋轉(zhuǎn)過程中,點。2,C的對應(yīng)點分別是點C1,直線分別與直線AC,X軸交于點

M,N.那么,在△02&C的整個旋轉(zhuǎn)過程中,是否存在恰當(dāng)?shù)奈恢茫笰AMN是以為腰的等腰三角形?

若存在,請直接寫出所有符合條件的線段02M的長;若不存在,請說明理由.

16.已知二次函數(shù)y=-_2依-3的圖象經(jīng)過點4-1,0).

(1)求。的值;

(2)-3<x<2,求y的最大值與最小值的差;

閉若一次函數(shù)'=(左+1卜+左+1的圖象與二次函數(shù)》=以2-2依-3的圖象的交點坐標(biāo)是(%,%),(々,力)且

玉<。<%時,求函數(shù)卬=“+%的最小值.

17.在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+for+c的圖象經(jīng)過點A(0,6)和3(-2,-2).

(1)求。的值,并用含。的代數(shù)式表示心

3

(2)當(dāng)。=7時,

①求此函數(shù)的表達(dá)式,并寫出當(dāng)TVXV2時,y的最大值和最小值.

②如圖:拋物線y=a/+6x+c與x軸的左側(cè)交點為C,作直線AC,。為直線AC下方拋物線上一動點,過

點。作DELOC于點E,與AC交于點尸,作DM1AC于點V.是否存在點。使的周長最大?若存在,

請求出。點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

7

(3)若線段8的端點C、。的坐標(biāo)分別為(-5,10)、(1,10),此二次函數(shù)的圖象與線段CO只有一個公共點,

求出。的取值范圍.

18.已知拋物線C:y=x2-(m+l)x+l的頂點在坐標(biāo)軸上.

(1)求m的值;

(2)m>0時,拋物線C向下平移n(n>0)個單位后與拋物線Ci:y=ax2+bx+c關(guān)于y軸對稱,且Ci過點(n,3),求

Ci的函數(shù)關(guān)系式;

(3)-3<m<0時,拋物線C的頂點為M,且過點P(l,yo).問在直線x=-l上是否存在一點Q使得AQPM的周

長最小,如果存在,求出點Q的坐標(biāo),如果不存在,請說明理由.

參考答案:

L⑴心臺階上.

17

(2)y=尤2+8X—20

,153

(3)

32

3

2.(l)PN=-t

⑵當(dāng),為2s時,APN的面積等于△ACP面積的四分之一

⑶存在;t=2時,APN的面積最大,最大值為3

3.(1)11

(2)(2,2.5)

(3)1.6

⑷水槍高度至少向上平移0.5米

1,

4.(1)y=——x+4.x;x=4

⑶小球M能飛過這棵

,、49

4—

8

8

5.(l)y=-4%+200

(2)25

⑶30;800

6.(l)y=-2x+240

(2)w與尤之間的函數(shù)表達(dá)式為.=-2/+340元-12000,售價為85元時獲得最大利潤,最大利潤是2450元

⑶售價x(元/千克)的范圍為75WXV100

7.(l)y=-27+200(lW/W80)

⑵第30天利潤最大,最大利潤為2450元

(3)5<m<7

8.⑴①(50-力

(2)該公司市場部預(yù)判該公司全年總利潤的范圍是22.5WWV62.5

(3)2<k<3

9.(1)40,4560,v=-10^+900

(2)該商品日銷售利潤的最大值為6250

(3)m=2

10.這種臺燈的售價應(yīng)定為65元時,最大利潤為12250元.

11.(l)y=0.4x

(2)當(dāng)0

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