2024年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的最值問(wèn)題(含答案)

2024年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)專題復(fù)習(xí)-二次函數(shù)的最值問(wèn)題

1.如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組以樓梯為場(chǎng)景設(shè)計(jì)的小球彈射實(shí)驗(yàn)示意圖，樓梯平臺(tái)寬為3,前方有六個(gè)臺(tái)

階4~北（各拐點(diǎn)均為90。），每個(gè)臺(tái)階的高為2,寬為2,樓梯平臺(tái)到x軸距離。4=14,從y軸上的點(diǎn)C處向

右上方彈射出一個(gè)小球P（小球視為點(diǎn)），飛行路線為拋物線L：y=-：d+2無(wú)+16,當(dāng)點(diǎn)尸落到臺(tái)階后立即彈

起，其飛行路線是與乙形狀相同的拋物線.

⑴通過(guò)計(jì)算判斷小球尸第一次會(huì)落在哪個(gè)臺(tái)階上；

（2）若小球尸第二次的落點(diǎn)在臺(tái)階4中點(diǎn)M上，求小球尸第二次飛行路線的解析式；

⑶若小球尸再次從點(diǎn)M處彈起后落入尤軸上一圓柱形小球接收裝置（小球落在圓柱形邊沿也為接收），接收裝

置最大截面為矩形瓦GH,點(diǎn)E橫坐標(biāo)為16,EF=1,EH=1,求出小球第三次飛行路線的頂點(diǎn)到x軸距離

最小值.

2.如圖在4ABe中，ZC=90°,AC=6cm,3c=8cm,點(diǎn)P是邊BC上由2向C運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)8,C重合）

的一動(dòng)點(diǎn)，尸點(diǎn)的速度是2cm/s,設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3過(guò)P點(diǎn)作AC的平行線交45于點(diǎn)N,連接AP.

⑴請(qǐng)用含有t的代數(shù)式表示線段PN的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)f為何值時(shí)，APN的面積等于△ACP面積的四分之一；

⑶在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻的f的值，使得.APN的面積有最大值，若存在請(qǐng)求出f的值，并

計(jì)算最大面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

1

3.某景觀公園內(nèi)人工湖里有一組小型噴泉，水柱從垂直于湖面的水槍噴出，水柱落于湖面的路徑形狀是拋物

線.現(xiàn)測(cè)量出如下數(shù)據(jù)，在湖面上距水槍水平距離為d米的位置，水柱距離湖面高度為米.

⑴以水槍與湖面交點(diǎn)為原點(diǎn)，原點(diǎn)與水柱落地處所在直線為x軸，水槍所在直線為y軸，在下邊網(wǎng)格中建立平

面直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點(diǎn)，并用平滑的曲線連接.

⑵請(qǐng)結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)或所畫(huà)圖象，寫(xiě)出水柱最高點(diǎn)的坐標(biāo).

⑶湖面上距水槍水平距離為3.5米時(shí)，水柱距離湖面的高度根=米.

⑷現(xiàn)公園想通過(guò)噴泉設(shè)立新的游玩項(xiàng)目，準(zhǔn)備通過(guò)調(diào)節(jié)水槍高度，使得公園湖中的游船能從噴泉下方通過(guò).游

船左右兩邊緣最寬處有一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的遮陽(yáng)棚，若游船寬（指船的最大寬度）為2米，從水面到棚頂?shù)母叨?/p>

為2.1米，要求是游船從噴泉水柱中間通過(guò)時(shí)，為避免游船被噴泉淋到，頂棚到水柱的垂直距離均不小于0.5

米.請(qǐng)問(wèn)公園該如何調(diào)節(jié)水槍高度以符合要求？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.

4.如圖，一小球M從斜坡04上的。點(diǎn)處拋出，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，球的拋出路線是拋物線

的一部分，斜坡可以看作直線右：y=：x的一部分.若小球經(jīng)過(guò)點(diǎn)（6,6）,解答下列問(wèn)題：

（1）求拋物線4的表達(dá)式，并直接寫(xiě)出拋物線人的對(duì)稱軸；

⑵小球在斜坡上的落點(diǎn)為A,求A點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑶在斜坡。4上的8點(diǎn)有一棵樹(shù)，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,樹(shù)高為4,小球M能否飛過(guò)這棵樹(shù)？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由;

⑷直接寫(xiě)出小球M在飛行的過(guò)程中離斜坡04的最大高度.

2

5.草莓是深受大家喜愛(ài)的一種水果，某超市每天調(diào)運(yùn)一批成本價(jià)為每千克20元的草莓，以不低于成本價(jià)且不

超過(guò)每千克30元的價(jià)格銷售，每天銷售草莓的數(shù)量y（千克）與每千克的售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所

示：

“夕（千克）

120--------K

80--------4

II

II

2030

⑴請(qǐng)直接寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）該超市將草莓的每千克售價(jià)定為多少元時(shí)，每天銷售草莓的利潤(rùn)可達(dá)到500元；

⑶當(dāng)草莓的每千克售價(jià)定為多少元時(shí)，該超市每天獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？

6.祁門(mén)紅茶是中國(guó)名茶，某茶葉公司經(jīng)銷某品牌祁門(mén)紅茶，每千克成本為50元，規(guī)定每千克售價(jià)需超過(guò)成

本，但不高于90元.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：其日銷售量y（千克）與售價(jià)雙元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：

⑴求了與X之間的函數(shù)表達(dá)式；

⑵設(shè)日利潤(rùn)為卬（元），求w與X之間的函數(shù)表達(dá)式，并說(shuō)明日利潤(rùn)w隨售價(jià)X的變化而變化的情況以及最大

日利潤(rùn)；

⑶若公司想獲得不低于2000元日利潤(rùn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出售價(jià)范圍.

7.某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶進(jìn)行小龍蝦養(yǎng)殖.已知每千克小龍蝦養(yǎng)殖成本為6元，在整個(gè)銷售旺季的80天里，銷售單

^+16（l<Z<40）

價(jià)P（元/千克）與時(shí)間第t（天）之間的函數(shù)關(guān)系為:尸=4日銷售量了（千克）與時(shí)間

-l/+46（41<r<80）

第/（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示:

3

⑴求日銷售量y與時(shí)間，的函數(shù)關(guān)系式？

⑵哪一天的日銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

⑶在實(shí)際銷售的前40天中，該養(yǎng)殖戶決定每銷售1千克小龍蝦，就捐贈(zèng)加（根＜7）元給村里的特困戶，在這前

40天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)隨時(shí)間/的增大而增大，求m的取值范圍.

8.容智公司計(jì)劃共投入資金50萬(wàn)元研發(fā)生產(chǎn)甲，乙兩種新型智能產(chǎn)品，該公司市場(chǎng)部根據(jù)調(diào)查后得出：①

甲種新型智能產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)%（單位：萬(wàn)元）與投入資金相（單位：萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系式是②乙

種新型智能產(chǎn)品所獲年利間%（單位:萬(wàn)元）與投入資金〃（單位，萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系式是%=看］.

注：記該公司所獲全年總利潤(rùn)w（單位：萬(wàn)元）為月與石之和.

⑴設(shè)其中投入乙種新型智能產(chǎn)品資金為X（單位：萬(wàn)元）（0VXW50）,用含x的代數(shù)式表示下列各量：

①投入甲種新型智能產(chǎn)品的資金為萬(wàn)元；

②投入甲種新型智能產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)為萬(wàn)元；

③該計(jì)劃該公司所獲全年總利潤(rùn)為萬(wàn)元.

⑵求公司市場(chǎng)部預(yù)判該公司全年總利潤(rùn)W（單位：萬(wàn)元）的范圍；

⑶若該公司從全年總利潤(rùn)W（單位：萬(wàn)元）中扣除投入乙種新型智能產(chǎn)品資金的左倍（0〈左＜3）用于其他產(chǎn)品

的生產(chǎn)后，得到剩余利潤(rùn)嗎（單位：萬(wàn)元），若嗎隨x的增大而減小，請(qǐng)直接寫(xiě)出發(fā)的取值范圍.

9.某商店出售一款商品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，該商品的日銷量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，

關(guān)于該商品的銷售單價(jià)，日銷量，日銷售利潤(rùn)的部分對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表.［注：日銷售利潤(rùn)=日銷量x（銷售單價(jià)

一進(jìn)價(jià)）］

銷售單價(jià)X（元）757882

日銷量y（件）15012080

日銷售利潤(rùn)w（元）5250a3360

⑴根據(jù)表信息填空：該商品的進(jìn)價(jià)是元/件，表中。的值是，＞與x之間的函數(shù)關(guān)系式是

⑵求該商品日銷售利潤(rùn)的最大值；

4

⑶由于某種原因，該商品進(jìn)價(jià)降低了加元/件（加>0）,商店規(guī)定，在今后的銷售中，該商品的銷售單價(jià)不能低

于68元，日銷量與銷售單價(jià)之間仍滿足（1）中的函數(shù)關(guān)系，若日銷售最大利潤(rùn)為6600元，求機(jī)的值.

10.某商場(chǎng)將進(jìn)價(jià)為30元的臺(tái)燈以40元售出，平均每月能售出600個(gè).調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價(jià)在40元至70元范

圍內(nèi)，這種臺(tái)燈的售價(jià)每上漲1元，其銷售量就減少10個(gè).為了實(shí)現(xiàn)每月獲得最大的銷售利潤(rùn)，這種臺(tái)燈的

售價(jià)應(yīng)定為多少？最大利潤(rùn)為多少元？

11.某商戶在線上投資銷售A,8兩種商品.已知銷售A種商品可獲得的月利潤(rùn)為（萬(wàn)元）是該商品投資金額

的40%,銷售B種商品可獲得的月利潤(rùn)為（萬(wàn)元）與該商品投資金額尤（萬(wàn)元）滿足函數(shù)關(guān)系%=-木/+x

（其圖象如圖所示）.

⑴求銷售A種商品的月利潤(rùn)%（萬(wàn)元）與該商品的投資金額尤（萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系式，并在圖中畫(huà)出其圖象.

⑵若只選擇其中一種商品投資銷售，根據(jù)函數(shù)圖象求銷售哪種商品獲得的月利潤(rùn)更高？

⑶若該商戶共投資10萬(wàn)元同時(shí)銷售A，8兩種商品，要獲得月總利潤(rùn)最大，應(yīng)怎樣分配投資金額？并求出最

大月總利潤(rùn).

12.甲、乙兩個(gè)種植戶銷售同一種蘋(píng)果.甲種植戶，不論一次購(gòu)買(mǎi)數(shù)量是多少，價(jià)格均為6元/依.乙種植戶,

一次購(gòu)買(mǎi)數(shù)量不超過(guò)50依時(shí)，價(jià)格為7元/必；一次購(gòu)買(mǎi)數(shù)量超過(guò)50依時(shí)，其中有50依的價(jià)格仍為7/依，

超過(guò)50依部分的價(jià)格為5元/依.設(shè)小王只在同一個(gè)種植戶處一次購(gòu)買(mǎi)蘋(píng)果的數(shù)量為狄g（x>0）.

（1）根據(jù)題意填表：

一次購(gòu)買(mǎi)數(shù)量

3050150

/kg

甲種植戶花費(fèi)/元300

乙種植戶花費(fèi)/元350

（2）設(shè)在甲批發(fā)店花費(fèi)％元，在乙批發(fā)店花費(fèi)為元，分別求％,為關(guān)于x的函數(shù)解析式;

5

x

（3）若這種蘋(píng)果市場(chǎng)統(tǒng)一售價(jià)為P元/依，且。=一式+8,請(qǐng)你給小王建議如何進(jìn)貨可獲最大利潤(rùn)？最大利

潤(rùn)是多少？

13.如圖，四邊形A5CD為正方形，直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,分別過(guò)點(diǎn)A、C作AE_L/于點(diǎn)E、CF，/于點(diǎn)F.

（2）若EF=8,求正方形A3CD面積的最小值.

3

14.如圖，△ABC是。。的內(nèi)接三角形，AB為。0直徑，tanNBAC=：,BC=3,點(diǎn)D為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)

4

點(diǎn)D作AB的垂線交。。于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,連結(jié)BD,CF,并延長(zhǎng)BD交。。于點(diǎn)H.

（1）求。0的半徑;

（2）當(dāng)DE經(jīng)過(guò)圓心。時(shí)，求AD的長(zhǎng);

CFBD

⑶求證:

AF-AD

⑷求CF?DH的最大值.

8（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左邊），與〉軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。是該拋

物線的頂點(diǎn).

（1）如圖1,連接C。，求線段CD的長(zhǎng);

（2）如圖2,點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上一點(diǎn)，軸于點(diǎn)R尸廠與線段AC交于點(diǎn)￡；將線段02沿x

軸左右平移，線段08的對(duì)應(yīng)線段是05,當(dāng)P￡+gEC的值最大時(shí)，求四邊形尸O/B/C周長(zhǎng)的最小值，并求

出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。/的坐標(biāo)；

（3）如圖3,點(diǎn)X是線段A3的中點(diǎn)，連接CH,將△08C沿直線C8翻折至△02&C的位置，再將△

6

繞點(diǎn)&旋轉(zhuǎn)一周在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)。2,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)C1,直線分別與直線AC,X軸交于點(diǎn)

M,N.那么，在△02&C的整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在恰當(dāng)?shù)奈恢?，使AAMN是以為腰的等腰三角形？

若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的線段02M的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

16.已知二次函數(shù)y=-_2依-3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4-1,0）.

（1）求。的值;

（2）-3<x<2,求y的最大值與最小值的差；

閉若一次函數(shù)'=（左+1卜+左+1的圖象與二次函數(shù)》=以2-2依-3的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是（%,%）,（々,力）且

玉<。<%時(shí)，求函數(shù)卬=“+%的最小值.

17.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+for+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0,6）和3（-2,-2）.

（1）求。的值，并用含。的代數(shù)式表示心

3

（2）當(dāng)。=7時(shí)，

①求此函數(shù)的表達(dá)式，并寫(xiě)出當(dāng)TVXV2時(shí)，y的最大值和最小值.

②如圖：拋物線y=a/+6x+c與x軸的左側(cè)交點(diǎn)為C,作直線AC,。為直線AC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)

點(diǎn)。作DELOC于點(diǎn)E,與AC交于點(diǎn)尸，作DM1AC于點(diǎn)V.是否存在點(diǎn)。使的周長(zhǎng)最大？若存在,

請(qǐng)求出。點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

7

(3)若線段8的端點(diǎn)C、。的坐標(biāo)分別為(-5,10)、(1,10),此二次函數(shù)的圖象與線段CO只有一個(gè)公共點(diǎn)，

求出。的取值范圍.

18.已知拋物線C：y=x2-(m+l)x+l的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.

(1)求m的值；

(2)m>0時(shí)，拋物線C向下平移n(n>0)個(gè)單位后與拋物線Ci：y=ax2+bx+c關(guān)于y軸對(duì)稱，且Ci過(guò)點(diǎn)(n,3),求

Ci的函數(shù)關(guān)系式；

(3)-3<m<0時(shí)，拋物線C的頂點(diǎn)為M,且過(guò)點(diǎn)P(l,yo).問(wèn)在直線x=-l上是否存在一點(diǎn)Q使得AQPM的周

長(zhǎng)最小，如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案:

L⑴心臺(tái)階上.

17

(2)y=尤2+8X—20

,153

(3)

32

3

2.(l)PN=-t

⑵當(dāng)，為2s時(shí)，APN的面積等于△ACP面積的四分之一

⑶存在；t=2時(shí)，APN的面積最大，最大值為3

3.(1)11

(2)(2,2.5)

(3)1.6

⑷水槍高度至少向上平移0.5米

1,

4.(1)y=——x+4.x；x=4

⑶小球M能飛過(guò)這棵

,、49

4—

8

8

5.(l)y=-4%+200

(2)25

⑶30；800

6.(l)y=-2x+240

(2)w與尤之間的函數(shù)表達(dá)式為.=-2/+340元-12000,售價(jià)為85元時(shí)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是2450元

⑶售價(jià)x(元/千克)的范圍為75WXV100

7.(l)y=-27+200(lW/W80)

⑵第30天利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為2450元

(3)5<m<7

8.⑴①(50-力

(2)該公司市場(chǎng)部預(yù)判該公司全年總利潤(rùn)的范圍是22.5WWV62.5

(3)2<k<3

9.(1)40,4560,v=-10^+900

(2)該商品日銷售利潤(rùn)的最大值為6250

(3)m=2

10.這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為65元時(shí)，最大利潤(rùn)為12250元.

11.(l)y=0.4x

(2)當(dāng)0