2024年中考數(shù)學高頻考點復習：二次函數(shù)的最值問題(含答案)

2024年中考數(shù)學高頻考點專題復習-二次函數(shù)的最值問題

1.如圖，某數(shù)學興趣小組以樓梯為場景設計的小球彈射實驗示意圖，樓梯平臺寬為3,前方有六個臺

階4~北（各拐點均為90。），每個臺階的高為2,寬為2,樓梯平臺到x軸距離。4=14,從y軸上的點C處向

右上方彈射出一個小球P（小球視為點），飛行路線為拋物線L：y=-：d+2無+16,當點尸落到臺階后立即彈

起，其飛行路線是與乙形狀相同的拋物線.

⑴通過計算判斷小球尸第一次會落在哪個臺階上；

（2）若小球尸第二次的落點在臺階4中點M上，求小球尸第二次飛行路線的解析式；

⑶若小球尸再次從點M處彈起后落入尤軸上一圓柱形小球接收裝置（小球落在圓柱形邊沿也為接收），接收裝

置最大截面為矩形瓦GH,點E橫坐標為16,EF=1,EH=1,求出小球第三次飛行路線的頂點到x軸距離

最小值.

2.如圖在4ABe中，ZC=90°,AC=6cm,3c=8cm,點P是邊BC上由2向C運動（不與點8,C重合）

的一動點，尸點的速度是2cm/s,設點尸的運動時間為3過P點作AC的平行線交45于點N,連接AP.

⑴請用含有t的代數(shù)式表示線段PN的長；

（2）當f為何值時，APN的面積等于△ACP面積的四分之一；

⑶在點P的運動過程中，是否存在某一時刻的f的值，使得.APN的面積有最大值，若存在請求出f的值，并

計算最大面積；若不存在，請說明理由.

1

3.某景觀公園內(nèi)人工湖里有一組小型噴泉，水柱從垂直于湖面的水槍噴出，水柱落于湖面的路徑形狀是拋物

線.現(xiàn)測量出如下數(shù)據(jù)，在湖面上距水槍水平距離為d米的位置，水柱距離湖面高度為米.

⑴以水槍與湖面交點為原點，原點與水柱落地處所在直線為x軸，水槍所在直線為y軸，在下邊網(wǎng)格中建立平

面直角坐標系，根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點，并用平滑的曲線連接.

⑵請結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)或所畫圖象，寫出水柱最高點的坐標.

⑶湖面上距水槍水平距離為3.5米時，水柱距離湖面的高度根=米.

⑷現(xiàn)公園想通過噴泉設立新的游玩項目，準備通過調(diào)節(jié)水槍高度，使得公園湖中的游船能從噴泉下方通過.游

船左右兩邊緣最寬處有一個長方體形狀的遮陽棚，若游船寬（指船的最大寬度）為2米，從水面到棚頂?shù)母叨?/p>

為2.1米，要求是游船從噴泉水柱中間通過時，為避免游船被噴泉淋到，頂棚到水柱的垂直距離均不小于0.5

米.請問公園該如何調(diào)節(jié)水槍高度以符合要求？請通過計算說明理由.

4.如圖，一小球M從斜坡04上的。點處拋出，建立如圖所示的平面直角坐標系，球的拋出路線是拋物線

的一部分，斜坡可以看作直線右：y=：x的一部分.若小球經(jīng)過點（6,6）,解答下列問題：

（1）求拋物線4的表達式，并直接寫出拋物線人的對稱軸；

⑵小球在斜坡上的落點為A,求A點的坐標；

⑶在斜坡。4上的8點有一棵樹，B點的橫坐標為2,樹高為4,小球M能否飛過這棵樹？通過計算說明理由;

⑷直接寫出小球M在飛行的過程中離斜坡04的最大高度.

2

5.草莓是深受大家喜愛的一種水果，某超市每天調(diào)運一批成本價為每千克20元的草莓，以不低于成本價且不

超過每千克30元的價格銷售，每天銷售草莓的數(shù)量y（千克）與每千克的售價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所

示：

“夕（千克）

120--------K

80--------4

II

II

2030

⑴請直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）該超市將草莓的每千克售價定為多少元時，每天銷售草莓的利潤可達到500元；

⑶當草莓的每千克售價定為多少元時，該超市每天獲利最大？最大利潤是多少元？

6.祁門紅茶是中國名茶，某茶葉公司經(jīng)銷某品牌祁門紅茶，每千克成本為50元，規(guī)定每千克售價需超過成

本，但不高于90元.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：其日銷售量y（千克）與售價雙元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：

⑴求了與X之間的函數(shù)表達式；

⑵設日利潤為卬（元），求w與X之間的函數(shù)表達式，并說明日利潤w隨售價X的變化而變化的情況以及最大

日利潤；

⑶若公司想獲得不低于2000元日利潤，請直接寫出售價范圍.

7.某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶進行小龍蝦養(yǎng)殖.已知每千克小龍蝦養(yǎng)殖成本為6元，在整個銷售旺季的80天里，銷售單

^+16（l<Z<40）

價P（元/千克）與時間第t（天）之間的函數(shù)關(guān)系為:尸=4日銷售量了（千克）與時間

-l/+46（41<r<80）

第/（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示:

3

⑴求日銷售量y與時間，的函數(shù)關(guān)系式？

⑵哪一天的日銷售利潤最大？最大利潤是多少？

⑶在實際銷售的前40天中，該養(yǎng)殖戶決定每銷售1千克小龍蝦，就捐贈加（根＜7）元給村里的特困戶，在這前

40天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間/的增大而增大，求m的取值范圍.

8.容智公司計劃共投入資金50萬元研發(fā)生產(chǎn)甲，乙兩種新型智能產(chǎn)品，該公司市場部根據(jù)調(diào)查后得出：①

甲種新型智能產(chǎn)品所獲年利潤%（單位：萬元）與投入資金相（單位：萬元）的函數(shù)關(guān)系式是②乙

種新型智能產(chǎn)品所獲年利間%（單位:萬元）與投入資金〃（單位，萬元）的函數(shù)關(guān)系式是%=看］.

注：記該公司所獲全年總利潤w（單位：萬元）為月與石之和.

⑴設其中投入乙種新型智能產(chǎn)品資金為X（單位：萬元）（0VXW50）,用含x的代數(shù)式表示下列各量：

①投入甲種新型智能產(chǎn)品的資金為萬元；

②投入甲種新型智能產(chǎn)品所獲年利潤為萬元；

③該計劃該公司所獲全年總利潤為萬元.

⑵求公司市場部預判該公司全年總利潤W（單位：萬元）的范圍；

⑶若該公司從全年總利潤W（單位：萬元）中扣除投入乙種新型智能產(chǎn)品資金的左倍（0〈左＜3）用于其他產(chǎn)品

的生產(chǎn)后，得到剩余利潤嗎（單位：萬元），若嗎隨x的增大而減小，請直接寫出發(fā)的取值范圍.

9.某商店出售一款商品，經(jīng)市場調(diào)查，該商品的日銷量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，

關(guān)于該商品的銷售單價，日銷量，日銷售利潤的部分對應數(shù)據(jù)如下表.［注：日銷售利潤=日銷量x（銷售單價

一進價）］

銷售單價X（元）757882

日銷量y（件）15012080

日銷售利潤w（元）5250a3360

⑴根據(jù)表信息填空：該商品的進價是元/件，表中。的值是，＞與x之間的函數(shù)關(guān)系式是

⑵求該商品日銷售利潤的最大值；

4

⑶由于某種原因，該商品進價降低了加元/件（加>0）,商店規(guī)定，在今后的銷售中，該商品的銷售單價不能低

于68元，日銷量與銷售單價之間仍滿足（1）中的函數(shù)關(guān)系，若日銷售最大利潤為6600元，求機的值.

10.某商場將進價為30元的臺燈以40元售出，平均每月能售出600個.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價在40元至70元范

圍內(nèi)，這種臺燈的售價每上漲1元，其銷售量就減少10個.為了實現(xiàn)每月獲得最大的銷售利潤，這種臺燈的

售價應定為多少？最大利潤為多少元？

11.某商戶在線上投資銷售A,8兩種商品.已知銷售A種商品可獲得的月利潤為（萬元）是該商品投資金額

的40%,銷售B種商品可獲得的月利潤為（萬元）與該商品投資金額尤（萬元）滿足函數(shù)關(guān)系%=-木/+x

（其圖象如圖所示）.

⑴求銷售A種商品的月利潤%（萬元）與該商品的投資金額尤（萬元）的函數(shù)關(guān)系式，并在圖中畫出其圖象.

⑵若只選擇其中一種商品投資銷售，根據(jù)函數(shù)圖象求銷售哪種商品獲得的月利潤更高？

⑶若該商戶共投資10萬元同時銷售A，8兩種商品，要獲得月總利潤最大，應怎樣分配投資金額？并求出最

大月總利潤.

12.甲、乙兩個種植戶銷售同一種蘋果.甲種植戶，不論一次購買數(shù)量是多少，價格均為6元/依.乙種植戶,

一次購買數(shù)量不超過50依時，價格為7元/必；一次購買數(shù)量超過50依時，其中有50依的價格仍為7/依，

超過50依部分的價格為5元/依.設小王只在同一個種植戶處一次購買蘋果的數(shù)量為狄g（x>0）.

（1）根據(jù)題意填表：

一次購買數(shù)量

3050150

/kg

甲種植戶花費/元300

乙種植戶花費/元350

（2）設在甲批發(fā)店花費％元，在乙批發(fā)店花費為元，分別求％,為關(guān)于x的函數(shù)解析式;

5

x

（3）若這種蘋果市場統(tǒng)一售價為P元/依，且。=一式+8,請你給小王建議如何進貨可獲最大利潤？最大利

潤是多少？

13.如圖，四邊形A5CD為正方形，直線/經(jīng)過點D,分別過點A、C作AE_L/于點E、CF，/于點F.

（2）若EF=8,求正方形A3CD面積的最小值.

3

14.如圖，△ABC是。。的內(nèi)接三角形，AB為。0直徑，tanNBAC=：,BC=3,點D為線段AC上一動點，過

4

點D作AB的垂線交。。于點E,交AB于點F,連結(jié)BD,CF,并延長BD交。。于點H.

（1）求。0的半徑;

（2）當DE經(jīng)過圓心。時，求AD的長;

CFBD

⑶求證:

AF-AD

⑷求CF?DH的最大值.

8（點A在點8的左邊），與〉軸交于點C,點。是該拋

物線的頂點.

（1）如圖1,連接C。，求線段CD的長;

（2）如圖2,點P是直線AC上方拋物線上一點，軸于點R尸廠與線段AC交于點￡；將線段02沿x

軸左右平移，線段08的對應線段是05,當P￡+gEC的值最大時，求四邊形尸O/B/C周長的最小值，并求

出對應的點。/的坐標；

（3）如圖3,點X是線段A3的中點，連接CH,將△08C沿直線C8翻折至△02&C的位置，再將△

6

繞點&旋轉(zhuǎn)一周在旋轉(zhuǎn)過程中，點。2,C的對應點分別是點C1,直線分別與直線AC,X軸交于點

M,N.那么，在△02&C的整個旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在恰當?shù)奈恢?，使AAMN是以為腰的等腰三角形？

若存在，請直接寫出所有符合條件的線段02M的長；若不存在，請說明理由.

16.已知二次函數(shù)y=-_2依-3的圖象經(jīng)過點4-1,0）.

（1）求。的值;

（2）-3<x<2,求y的最大值與最小值的差；

閉若一次函數(shù)'=（左+1卜+左+1的圖象與二次函數(shù)》=以2-2依-3的圖象的交點坐標是（%,%）,（々,力）且

玉<。<%時，求函數(shù)卬=“+%的最小值.

17.在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+for+c的圖象經(jīng)過點A（0,6）和3（-2,-2）.

（1）求。的值，并用含。的代數(shù)式表示心

3

（2）當。=7時，

①求此函數(shù)的表達式，并寫出當TVXV2時，y的最大值和最小值.

②如圖：拋物線y=a/+6x+c與x軸的左側(cè)交點為C,作直線AC,。為直線AC下方拋物線上一動點，過

點。作DELOC于點E,與AC交于點尸，作DM1AC于點V.是否存在點。使的周長最大？若存在,

請求出。點的坐標；若不存在，請說明理由.

7

(3)若線段8的端點C、。的坐標分別為(-5,10)、(1,10),此二次函數(shù)的圖象與線段CO只有一個公共點，

求出。的取值范圍.

18.已知拋物線C：y=x2-(m+l)x+l的頂點在坐標軸上.

(1)求m的值；

(2)m>0時，拋物線C向下平移n(n>0)個單位后與拋物線Ci：y=ax2+bx+c關(guān)于y軸對稱，且Ci過點(n,3),求

Ci的函數(shù)關(guān)系式；

(3)-3<m<0時，拋物線C的頂點為M,且過點P(l,yo).問在直線x=-l上是否存在一點Q使得AQPM的周

長最小，如果存在，求出點Q的坐標，如果不存在，請說明理由.

參考答案:

L⑴心臺階上.

17

(2)y=尤2+8X—20

,153

(3)

32

3

2.(l)PN=-t

⑵當，為2s時，APN的面積等于△ACP面積的四分之一

⑶存在；t=2時，APN的面積最大，最大值為3

3.(1)11

(2)(2,2.5)

(3)1.6

⑷水槍高度至少向上平移0.5米

1,

4.(1)y=——x+4.x；x=4

⑶小球M能飛過這棵

,、49

4—

8

8

5.(l)y=-4%+200

(2)25

⑶30；800

6.(l)y=-2x+240

(2)w與尤之間的函數(shù)表達式為.=-2/+340元-12000,售價為85元時獲得最大利潤，最大利潤是2450元

⑶售價x(元/千克)的范圍為75WXV100

7.(l)y=-27+200(lW/W80)

⑵第30天利潤最大，最大利潤為2450元

(3)5<m<7

8.⑴①(50-力

(2)該公司市場部預判該公司全年總利潤的范圍是22.5WWV62.5

(3)2<k<3

9.(1)40,4560,v=-10^+900

(2)該商品日銷售利潤的最大值為6250

(3)m=2

10.這種臺燈的售價應定為65元時，最大利潤為12250元.

11.(l)y=0.4x

(2)當0