2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）一次方程（組）及其應(yīng)用（練習(xí)）（解析版）

題型過關(guān)練N

題型01利用等式的變形判斷式子正誤

L（2023?浙江衢州?三模）已知a=b,下列等式不一定成立的是（）

A.5Q=5bB.a+4=b+4C,b-2^a-2D.-

cc

【答案】D

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，逐項分析判斷即可求解.

【詳解】A.=b,，5a=仍，故該選項正確，不符合題意；

B.ra=b,+4=b+4,故該選項正確，不符合題意；

C.a=b,：.b—2=a-2,故該選項正確，不符合題意；

D.-,a=b,且c次0,r.％=也，故該選項不正確，符合題意；

CC

故選：D.

【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個

數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等；等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)（或式子），結(jié)果

仍相等.

2.（2023?內(nèi)蒙古包頭?二模）設(shè)X、y、c是實數(shù)，正確的是（）

A.若*=y,則x+c=c-yB,若x=y,則c-x=c-y

C.若乂=y,則D.若搟=著,則2x=3y

【答案】B

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，即可一一判定.

【詳解】解：A.若x=y,則x+c=y+c,故該選項錯誤，不符合題意；

8.若乂=9，則c-x=c-y,故該選項正確，符合題意；

C.若x=y且c*0,則搟彳,故該選項錯誤，不符合題意；

D.若玄=（則3x=2y,故該選項錯誤，不符合題意；

故選：B.

資料整理

【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握和運用等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

3.（2023?浙江杭州?統(tǒng)考二模）設(shè)a,6,加均為實數(shù)，（）

A,若a>b,則—mB,若a=b,則ma=mb

C,若a+m>b—m,則a>bD,若ma=mb,則a=b

【答案】B

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)可直接進行排除選項.

【詳解】解：A、若a>b,則a不一定大于b-m,故錯誤；

B、若&=b,則ma=mb,故正確；

C、若貝ija不一定大于b,故錯誤；

D、若ma=mb,m*0,則。=①若ma=mb,m=0,貝］。/^或<7=>故錯誤；

故選：B.

【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)和不等式的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是掌握等式的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，注意等

式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式.

題型02利用等式的性質(zhì)求解

L（2023河北保定??？家荒＃┮阎猘-b=a+3則下列表示6的式子是（）

A.B.3tC.3+gD.--4-3

【答案】A

【分析】運用等式的基本性質(zhì)解題即可.

【詳解】解：=a

，兩邊同時減去。得：—b=+3-乙

二兩邊同時乘以-7得：b—3+g

故選A.

【點睛】本題考查等式的基本性質(zhì)，掌握等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?廣東江門?統(tǒng)考三模）若一2a=7,貝！|a的值是（）

A.TB.」C.2D,-2

【答案】A

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【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)解方程即可求解.

【詳解】解：-2a=1

系數(shù)化為1,兩邊同時除以一2得，a=-%

故選：A.

【點睛】本題主要考查等式的性質(zhì)，掌握等式的性質(zhì)解方程的運算是解題的關(guān)鍵.

3.(2022?安徽合肥?合肥38中校考三模)已知存6,且a+?=6+(則下列結(jié)論正確的是()

A.a+b=0B,ab=1

C,若Q+6=0,貝［Jq-b=2D,若a-b=2,貝!Jq+6=0

【答案】D

【分析】利用等式的性質(zhì)將代數(shù)式的變形計算即可

【詳解】?.■a+\=b+，，

.?."b+—=0,

,(a-b)+黑=0,

(a-b)(7+1)=0,

:a*b,

；.a-b*0,

1=0,即ab=-7,

ab

選項A、B錯誤；

當a+6=0時，與ab=-7聯(lián)立，解得｛;或｛:,

b=1b=-1

可得a-b=-2或a-6=2,

故選項C錯誤；

Z7-7

當。一6=2時，與ab=-7聯(lián)立，解得｛,一，

b—1

可得a+6=0,

故選項D正確；

故選D

【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)、代數(shù)式的化簡問題，根據(jù)已知條件逐項求解即可.

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題型03判斷一元一次方程.

L(2022?江蘇鹽城?校聯(lián)考三模)在下列方程中：①x+2尸3,②3x=9,③子=鼾x=0,是

一元一次方程的有(只填序號).

【答案】③④

【詳解】試題分析：一元一次方程指只含有一個未知數(shù)、未知數(shù)的最高次數(shù)為1且兩邊都為整式的等式.根

據(jù)定義可知：①含有兩個未知數(shù)，不是一元一次方程；②含有分式，不是一元一次方程；③和④是一元一

次方程.

2.(2019-內(nèi)蒙古呼和浩特?統(tǒng)考中考真題)關(guān)于x的方程mx.>(m-1)x-2=0如果是一元一次方程,

則其解為.

【答案】乂=2或*=-2或x=-3.

【分析】利用一元一次方程的定義判斷即可.

【詳解】解：???關(guān)于x的方程mx2m一+仲-〃x-2=0如果是一元一次方程，

(1)當2m-7=7,即m=7,

即x-2=0

解得：x=2,

(2)當m=0時，-x-2=0,

解得：乂=-2

(3)當2m?1=0,即m=^時，

方程為三一三X-2=0

解得：x=-3,

故答案為x=2或x=-2或x=-3.

【點睛】此題考查了一元一次方程的定義，熟練掌握一元一次方程的定義是解本題的關(guān)鍵.

題型04解一元一次方程

L(2023?浙江?統(tǒng)考一模)解方程：個一7=個

36

【答案】x=7.5

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【分析】按照去分母，去括號，移項，合并同類項，化系數(shù)為1的步驟，進行解答即可.

【詳解】解：去分母，得：6x-4-6=5-4x,

移項，得：6x+4x=5+4+6,

合并同類項，得：10X=75,

系數(shù)化為1,得：x-1.5.

【點睛】本題主要考查了解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是在掌握解一元一次方程的方法和步驟.

2.(2023?浙江溫州?統(tǒng)考一模)解方程當+專=7,以下去分母正確的是()

A.4(x+2)+3(2x-7)=72B,4(x+2)+3(2x-7)=7

C,x+2+2x-1=12D,5(x+2)+4(2x-T)=12

【答案】A

【分析】各項同時乘以72運算即可.

【詳解】解：*1,

去分母得，4(x+2)+3(2x-7)=72,

故選：A.

【點睛】本題考查了解一元一次方程一去分母.解題的關(guān)鍵在于正確的運算.

3.(2023常州市二模)對任意四個有理數(shù)a,b,c,d定義新運算：器/=ad-be,已知彳*一9=78,則

x=()

A.-1B.2C,3D,4

【答案】C

【分析】根據(jù)新運算公式，得：2x+4X=78,解得x=3

【詳解】解?：優(yōu)/=ad-be,

???2x+4x=18,

解得x=3,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了解一元一次方程，解題關(guān)鍵是把數(shù)式代入到對應(yīng)的字母中，進行運算求解，易錯

點是數(shù)式與字母不能準確對應(yīng).

4.(2023?陜西西安?校考模擬預(yù)測)解一元一次方程：1一勺=審一x

4O

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【答案】X*

【分析】按照去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1的步驟解一元一次方程，即可求解.

【詳解】解：1-號=片一乂

4o

去分母，72-3(4-3x)=2(5x+3)-12x

去括號，12-72+9x=70x+6-12x

移項，9x-10x+12x=6-12+12

合并同類項，7僅=6

化系數(shù)為1,x=總

【點睛】本題考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵.

題型05錯看或錯解一元一次方程

1.(2022?河北邯鄲?統(tǒng)考三模)嘉淇在解關(guān)于x的一元一次方程亭+□=3時，發(fā)現(xiàn)正整數(shù)□被

污染了；

(1)嘉淇猜□是2,請解一元一次方程呼=3

(2)若老師告訴嘉淇這個方程的解是正整數(shù)，則被污染的正整數(shù)是多少？

【答案】(l)x=7

⑵2

【分析】(1)由題意得方程當尸+2=3,按解一元一次方程的一般步驟求解即可；

(2)設(shè)被污染的正整數(shù)為見得方程苛+m=3,求解得x=亨，再根據(jù)解是正整數(shù)求解即可.

【詳解】(D解：符+2=3,

去分母，得3x-1+4=6；

移項，合并同類項，得3x=3

系數(shù)化為1,得x=7.

(2)解：設(shè)被污染的正整數(shù)為加，

則有1+m=3,

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解之得，x=V

亨是正整數(shù)，且加為正整數(shù),

m=2.

【點睛】本題考查解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?山西太原?一模）（1）下面是小明同學(xué)解方程第一個=7的過程，請認真閱讀，并完成相應(yīng)的

26

任務(wù).

解：去分母，得3（x+3）-（5x-3）=1.第

一步

去括號，得3x+9-5x+3=1.第二步

移項，得3x-5x=-9-3+7,第三步

合并同類項.得一2X=-77.第四步

系數(shù)化為1,得x=《.第五步

任務(wù)一：①解答過程中，第步開始出現(xiàn)了錯誤，產(chǎn)生錯誤的原因是:

②第三步變形的依據(jù)是.

任務(wù)二：①該一元一次方程的解是;

②寫出一條解一元一次方程時應(yīng)注意的事項.

【答案】

任務(wù)一：①一，等式右邊的1漏乘以6（或去分母時漏乘了6）；②移項法則（或等式的基本性質(zhì)一）；任務(wù)

二：①x=3；②去括號時，括號前面是時各項都要變號

【詳解】

任務(wù)一：①一；等式右邊的1漏乘以6（或去分母時漏乘了6）,

②移項法則（或等式的基本性質(zhì)一），

任務(wù)二：①^一平=7,

Zo

去分母，得3（x+3）-（5x-3）=6,

去括號，得3x+9-5x+3=6,

移項,得3x-5x=6-9-3,

合并同類項，得-2x=-6,

資料整理

系數(shù)化為，得X=3,

故答案為：x=3；

②答案不唯一如：

I.去分母時，注意不要漏乘(或正確運用等式的基本性質(zhì)).

n.移項時，注意變號(或正確運用等式的基本性質(zhì)).

m.去括號時，括號前面是時各項都要變號.

【點睛】此題考查了解一元一次方程，實數(shù)的運算，熟練掌握實數(shù)的運算法則和解一元一次方程是解本題

的關(guān)鍵.

3.(2022?河北保定?統(tǒng)考一模)已知整式(a2—2ab)—(-ab-4b2),其中“■”處的系數(shù)被墨水污染了.當

a=-2,b=7時，該整式的值為16.

(1)則■所表示的數(shù)字是多少？

(2)小紅說該代數(shù)式的值是非負數(shù)，你認為小紅的說法對嗎？說明理由.

【答案】(1)■所表示的數(shù)字是2；

(2)小紅的說法是正確的，理由見解析.

【分析】(1)直接把a=—Zb=7代入代數(shù)式其值等于16,解關(guān)于■方程即可；

(2)把(1)求得的■的結(jié)果代入代數(shù)式整理即可求解.

【詳解】(1)(1)將a=-2b=7代入(a?-2ab)-(?ab—4b2),

可得4+4-(Ux(-2)-4)=76,解得?=2；

(2)(2)由(1)求得的結(jié)果可得該整式為，

(.a2-2ab)-(2ab-4b2)=a2-4ab+4b2=(a-2b)2>0,

故小紅的說法是正確的.

【點睛】本題考查了代數(shù)式的化簡求值及解一元一次方程、完全平方公式等，求得■的值是解題的關(guān)鍵.

題型06二元一次方程(組)的概念

1.下列方程組中，二元一次方程組的個數(shù)有()

x+3y=5?x+xy=3?x+y=55x-2y=3x=0

0{②{“±6③④{(+V=3

x+y=5

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

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【分析】利用二元一次方程組的定義：由兩個一次方程組成，并含有兩個未知數(shù)的方程組叫二元一次方程

組可得.

x+3y=5

【詳解】解：①｛X符合二元一次方程組的定義，是二元一次方程組；

a+y=i

②「+”曠=3方程組含有二次項孫，因此不符合二元一次方程組的定義，不是二元一次方程組；

x-y=6

③方程組含有三個未知數(shù)，因此不符合二元一次方程組的定義，不是二元一次方程組；

y-z=6

5x-2y=3i

Q方程組含有二是分式，因此不符合二元一次方程組的定義，不是二元一次方程組；

1=3x

XA

⑤（符合二元一次方程組的定義，是二元一次方程組；

x+y=5

綜上，①⑤是二元一次方程組，共2個，

故選：B.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的定義，掌握二元一次方程組滿足三個條件：①方程組中的兩個方程

都是整式方程.②方程組中共含有兩個未知數(shù).③每個方程都是一次方程.

2.（2023?貴州六盤水?統(tǒng)考二模）下面4組數(shù)值中，哪組是二元一次方程x=5的解（）

A.LB.7C.LD.｛X=一

y=7V=2y=2V=-2

【答案】B

【分析】二元一次方程x=5的解有無數(shù)個，所以此題應(yīng)該用排除法確定答案，分別代入方程組，使

方程左右相等的解才是方程組的解.

【詳解】解：A.把「代人方程，左邊=7+2*右邊,所以不是方程的解；

y=7

Y—7

B.把｛一代入方程，左邊=右邊=5,所以是方程的解；

y=2

V—9

C.把｛代入方程，左邊=6#右邊，所以不是方程的解；

y=2

D.把｛'=-7代入方程，左邊=一5次右邊，所以不是方程的解.

y=-2

故選：B.

【點睛】本題考查了二元一次方程的解的定義.要求理解什么是二元一次方程的解，并會把x,y的值代人

原方程驗證二元一次方程的解是本題的關(guān)鍵.

資料整理

y=-7

3.（2023?河北張家口?統(tǒng)考一模）｛不是下列哪個方程的解（）

y=7..

A.x+y=0B.x—y—2C.2x-y--7D.x+2y-1

【答案】C

y——7

【分析】將｛代入各個方程，即可判斷.

y=1

y——7

【詳解】經(jīng)代入計算，可知｛■能使方程X+y=O、x—V=—2、x=7成立,

y=7

v——7

｛不能使2x-y=-3成立，

y=7

y=—7

???｛不是2x—y=-7的解.

y=1

故選：c.

【點睛】本題考查了二元次一方程的解的定義，正確代入計算，是解答本題的關(guān)鍵.

V—7

4.（2022?浙江紹興?校聯(lián)考二模）已知｛是方程4x-町=7的一個解，那么。的值是

V=-3

【答案】1

V—7

【分析】先將｛代入方程4x-即=7,得到4x7-ax（一刃=乙求解即可.

V=-3

y—7

【詳解】?；｛是方程4x-ay=7的一個解，

y=-3

4xJ—ax（―3）=7,

解得a=7,

故答案為：L

【點睛】本題考查了二元一次方程的解，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

題型07解二元一次方程組

L（2022?遼寧沈陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測）二元一次方程組-,NV=5的解是_____.

V=2x

【答案】｛,=7/J=2

y=2x=7

【分析】利用代入消元法進行求解方程組的解即可.

【詳解】解：｛X+2y=廿

y=2x②

把②代人①得：5x=5,解得：x=7,

把x=7代入②得：y=2；

資料整理

y—7

二原方程組的解為｛;

y=2

故答案為｛X=1.

y=2

【點睛】本題主要考查二元一次方程組的解法，熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?江蘇無錫?統(tǒng)考二模）已知方程組｛-2丫=6,貝”十'的值為_____.

2x+y=21

【答案】9

【分析】解方程組，求得以y的值，進而求得答案.

【詳解】解：由方程組｛*+為=°,解得｛X=12

2x+y=21y=—3

...x/v=9

故答案為：9.

【點睛】本題考查求方程組的解，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

xy-7=7m

3.（2023?陜西西安??？级＃┙夥匠探M：｛23_2

4x-y-8.②

x=四

【答案】｛8

V=片

【分析】方程組整理后，利用加減消元法求出解即可.

【詳解】解：方程組整理得：伊―2'=卻，

4x-y=8?

②x2-①得：5x=12,

解得：x=三

D

把x=5代人②得：?—y=8,

OO

解得：y

x=-

則方程組的解為｛:.

【點睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代人消元法與加減消元法.

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題型08錯看或錯解二元一次方程組問題

1.（2023?廣東惠州?統(tǒng)考二模）小麗和小明同時解一道關(guān)于x、y的方程組「X其中久b為常數(shù).在

x-by=5

Y—_7Y-7

解方程組的過程中，小麗看錯常數(shù)“a"，解得｛；小明看錯常數(shù)“b"，解得｛X—。

V=3y=1

（1）求a、b的值；

（2）求出原方程組正確的解.

【答案】（l）a=1,b=-2

⑵/

y——7

【分析】（D根據(jù)題意，在解方程組的過程中，小麗看錯常數(shù)“a”，解得｛,即-7-3b=5是正確

y=3

y—9

的，解得b=-2小明看錯常數(shù)“b”，解得「一，即2a17=3正確，解得a=7；

V=1

（2）由（1）知關(guān)于x、y的方程組｛0x=3可化為｛X'V=3,根據(jù)二元一次方程組的解法求解即

x-by=5x+2y=5

可得到答案.

【詳解】（1）解：???在解方程組的過程中，小麗看錯常數(shù)“a"，解得廣=一1

V=3

■■—1—3b—5,解得b——2；

v

???在解方程組的過程中，小明看錯常數(shù)“b"，解得｛X—、O

y=1

???2a+1—3,解得a—7；

：?a=7；b=—2；

x+v=5?

（2）解：由（1）知｛

x+2y=5(2)

由①一②得一v=-2解得y=2,

將y=2代入①得X=1,

y—7

???原方程組的解為｛一.

y=2

【點睛】本題考查二元一次方程組解的定義及解二元一次方程組，讀懂題意，準確得到相應(yīng)方程是解決問

題的關(guān)鍵.

2.（2021?廣東汕頭?統(tǒng)考一模）甲、乙兩人同解方程組｛°、［勾=75Q,由于甲看錯了方程①中的0,

4x-by=-10②

Y—_q,v-5

得到方程組的解為｛乙看錯了方程②中的6,得到方程組的解為｛

V=7V=-4

資料整理

(1)求a,6的值;

(2)若關(guān)于x的一元二次方程ax?—bx=。兩實數(shù)根為X：,x2,且滿足Zx?一必＜2=乙求實數(shù)加

的值.

n=7

【答案】⑴｛:；(2)m=-5

b=-2

【分析】(1)將0=-3代入方程②求出b的值，將｛*=5代入方程①求得°的值，即可得出答案，

V=7y=-4

(2)再將a,6的值代人ax?-bx=。中，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到方程組，解出兩個根，即可得

出m的值.

【詳解】解：⑴根據(jù)題意得｛50：外7=75解:=7

4x(-3)-b=-10b=-2

n=7一

(2)當｛時，一元二次方程ax2-bx=0化為lx?+2x=0,

b=-2

由根與系數(shù)關(guān)系得x7+X2=-MX7XX2=-j

聯(lián)成方程組得｛X7+X2,解得｛X7=,

義一義

7122=7x2=-7

???m=—5

【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的解，二元一次方程的解和解二元一次方程組，一元二次方程以

及根與系數(shù)的關(guān)系，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

3.(2022許昌市二模)下面是小穎同學(xué)解二元一次方程組的過程，請認真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

2x-y-4①

解方程組：｛

8x—3y=20@

解：①x4,得8x—4y=7儂，...........第一步,

②一③，得一V=4........................第二步,

V—一4.第三步,

將y=-4代入①，得x=。.......第四步，

Y。

所以，原方程組的解為｛一.........第五步.

y=-4

填空：

(1)這種求解二元一次方程組的方法叫做.

A、代入消元法

B、加減消元法

資料整理

(2)第步開始出現(xiàn)錯誤，具體錯誤是;

⑶直接寫出該方程組的正確解：.

【答案】(DB

(2)二；一3y-(-應(yīng)該等于y

x=4

⑶｛，

V=4

【分析】(1)②-③消去了x,得到了關(guān)于y的一元一次方程，所以這是加減消元法；

(2)第二步開始出現(xiàn)錯誤，具體錯誤是-3廠(-旬)應(yīng)該等于產(chǎn)

(3)解方程組即可.

【詳解】(D解：②一③消去了X,得到了關(guān)于y的一元一次方程，

故答案為：B；

(2)解：第二步開始出現(xiàn)錯誤，具體錯誤是-3y-應(yīng)該等于y,

故答案為：二；-3y-(-應(yīng)該等于y；

(3)解:②-③得y=4

將y=4代入①，得：x=4,

x=4

原方程組的解為｛.

y=4

x=4

故答案為：｛.

y=4

【點睛】本題考查了二元一次方程組的解法，解二元一次方程組的基本思路是消元，把二元方程轉(zhuǎn)化為一

元方程是解題的關(guān)鍵.

4.(2021?浙江嘉興?統(tǒng)考二模)解方程組：｛3X—2V，小海同學(xué)的解題過程如下：

.................................................x+y=5②

解：由②得y=5+x,③.........(1)

把③代人①得3x-2x+5=6,.................(2)

x=-7.........(3)

把x=-7代入③得y=7,.........(4)

y——7

，此方程組的解為｛...........(5)

y=1

判斷小海同學(xué)的解題過程是否正確，若不正確，請指出錯誤的步驟序號，并給出正確的解題過程.

【答案】不正確，(1),(2),(3),(4),過程見解析

【分析】第(D步，移項沒有變號，第(2)步?jīng)]有用乘法分配律，去括號也錯誤了，第(3)步移項沒有

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變號，寫出正確的解答過程即可.

【詳解】解：錯誤的是(1),⑵，⑶，(4),

正確的解答過程：

由②得：尸5-x③

把③代人①得：3x-10+2x=6,

解得：x嶺,

把工與代入③得：用

X=上

5

，此方程組的解為｛g.

y-

【點睛】本題考查了二元一次方程組的解法，解二元一次方程組的基本思路是消元，把二元方程轉(zhuǎn)化為一

元方程是解題的關(guān)鍵.

題型09構(gòu)造二元一次方程組求解

1.(2021?青海?統(tǒng)考中考真題)已知a,b是等腰三角形的兩邊長，且a,b滿足V五二與73+(2a+3b-

73y=0,則此等腰三角形的周長為().

A.8B.6或8C,7D.7或8

【答案】D

【分析】先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出。、6的值，再分。的值是腰長與底邊兩種情況討論求解.

【詳解】解：---72a一3b+5+(2a+3b-13)2=0,

2a-3b+5=0

(

2a+3b-13=0

①2是腰長時，三角形的三邊分別為2、2、3,能組成三角形，周長=2+2+3=7；

②2是底邊時，三角形的三邊分別為2、3、3,能組成三角形，周長=2+3+3=8,

所以該等腰三角形的周長為7或8.

故選：D.

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【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，絕對值與算術(shù)平方根的非負性，根據(jù)幾個非負數(shù)的和等于0,則每

一個算式都等于0求出6的值是解題的關(guān)鍵，難點在于要分情況討論并且利用三角形的三邊關(guān)系進行判

斷.

2.(2023?江蘇淮安??？级?反比例函數(shù)y=：的圖象經(jīng)過A(3m)、B(m-出兩點，貝歐的值為()

A.4B.6C,9D.12

【答案】B

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的特征列出方程組，解方程組即可得到答案.

【詳解】解：?.?反比例函數(shù)V=:的圖象經(jīng)過A(3m)、B(m-㈤兩點，

k=3m

k=6(m-7)，

解得｛A=T

m=2

故選：B.

【點睛】此題考查了反比例函數(shù)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.(2023?廣東深圳?深圳市南山外國語學(xué)校校聯(lián)考二模)若(4x+y-4)2^\2x-y+7|互為相反數(shù)，則xy

的值是.

【答案】^0.25

【分析】利用互為相反數(shù)兩數(shù)之和為0列出等式，再利用非負數(shù)的性質(zhì)列出方程組，求出方程組的解即可

得到x與y的值.

【詳解】解：r(4x+y-+\2x-y+7|=0,

4x+y—4=0

,,‘2x-y+7=0,

y/——j

解得：｛-2,

y=2

.?2=(y,

故答案為：-4.

【點睛】此題考查了解二元一次方程組，以及非負數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

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題型10利用一元一次方程解決實際問題

1.(2022?陜西寶雞?統(tǒng)考一模)某醫(yī)療器械企業(yè)計劃購進20臺機器生產(chǎn)口罩，已知生產(chǎn)口罩面的機器每臺

每天的產(chǎn)量為12000個，生產(chǎn)耳掛繩的機器每臺每天的產(chǎn)量為96000個，口罩是一個口罩面和兩個耳掛繩

構(gòu)成，為使每天生產(chǎn)的口罩面和耳掛繩剛好配套，該企業(yè)應(yīng)分別購進生產(chǎn)口罩面和生產(chǎn)耳掛繩的機器各多

少臺？

【答案】16；4

【分析】設(shè)該企業(yè)購進生產(chǎn)口罩面的機器x臺，則生產(chǎn)耳掛繩的機器為(20-X)臺，利用耳掛繩是口罩面的

2倍列出方程即可求解.

【詳解】解：設(shè)該企業(yè)購進生產(chǎn)口罩面的機器x臺，則生產(chǎn)耳掛繩的機器為(20-X)臺，

依題意得，96000(20-x)=2x12000X

解得x=16

20-x=20-16=4,

.?.該企業(yè)購進生產(chǎn)口罩面的機器76臺，生產(chǎn)耳掛繩的機器為4臺.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，讀懂題意，找出題目的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2.(2022?山西運城?統(tǒng)考一模)在落實國家“精準扶貧”政策的過程中，政府為某村修建一條長為400米的公

路，由甲、乙兩個工程隊負責(zé)施工.甲工程隊獨立施工2天后乙工程隊加入，兩工程隊聯(lián)合施工4天后，

還剩70米的工程.已知甲工程隊每天比乙工程隊多施工5米，求甲、乙工程隊每天各施工多少米？

【答案】甲工程隊每天施工35米，乙工程隊每天施工30米

【分析】設(shè)甲工程隊每天施工x米，則乙工程隊每天施工(x-5)米，根據(jù)題意可列出關(guān)于x的一元一次方程，

解出x,即可求出答案.

【詳解】設(shè)甲工程隊每天施工x米，則乙工程隊每天施工(x-5)米，

根據(jù)題意可得：2x+4x+4(x-5)=400—70,

解得：x-35,

x—5=35—5=30,

答：甲工程隊每天施工35米，乙工程隊每天施工30米.

【點睛】本題考查一元一次方程的實際應(yīng)用,根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出等式是解題關(guān)鍵.

3.(2022?安徽馬鞍山?安徽省馬鞍山市第七中學(xué)校聯(lián)考二模)某奶茶店的一款主打奶茶分為線上和線下兩種

銷售模式，消費者從線上下單，每次可使用“滿30減28”消費券一張(線下下單沒有該消費券)，同規(guī)格的

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一杯奶茶，線上價格比線下高20%,外賣配送費為4元/次，訂單顯示用券后線上一次性購買6杯實際支付

金額和線下購買6杯支付金額一樣多，求該款奶茶線下銷售價格.

【答案】該款奶茶線下銷售價格為20元

【分析】找到等量關(guān)系式：線上6杯奶茶的價格+配送費-28=線下6杯奶茶的價格，設(shè)該款奶茶線下銷售

價格為x元，根據(jù)等量關(guān)系式列方程，解方程即可.

【詳解】解：設(shè)該款奶茶線下銷售價格為X元

6義（1+20%）x+4-28=6x

7.2x+4-28=6x

1.2x=24

x=20

答：該款奶茶線下銷售價格為20元.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找準等量關(guān)系式.

4.（2023?陜西西安?陜西師大附中?？寄M預(yù)測）為有效落實雙減工作，切實做到減負提質(zhì)，很多學(xué)校高度

重視學(xué)生的體育鍛煉，不定期舉行體育比賽.已知在一次足球比賽中，勝一場得4分，平一場得2分，負

一場得。分，某隊在已賽的73場比賽中保持連續(xù)不敗的戰(zhàn)績，共得4。分，求該隊獲勝的場數(shù).

【答案】7場

【分析】設(shè)該隊獲勝x場，則平43-X）場，根據(jù)題意，建立一元一次方程，解方程即可求解.

【詳解】設(shè)該隊獲勝x場，則平“3-X）場，依題意

得:4x+2（13-x）=40,

解得：x=7

答：該隊獲勝7場.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意建立方程是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?河北滄州?統(tǒng)考三模）嘉嘉和淇淇玩游戲，下面是兩人的對話.

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常心里隨便想一個數(shù)，然后按N

圖中的步驟正確操作，我就能立

刻說出你想的那個數(shù)。

嘉嘉y

really?這么神奇!

淇淇

想一?個數(shù)■>X3+-6-?4-3—+7f結(jié)果告訴嘉嘉

(1)如果淇淇想的數(shù)是一6,求他告訴嘉嘉的結(jié)果；

(2)設(shè)淇淇心里想的數(shù)是x,求淇淇告訴嘉嘉的結(jié)果；若淇淇告訴嘉嘉的結(jié)果是66,求淇淇想的那個數(shù)是幾.

【答案】(1)-7

⑵61

【分析】(1)根據(jù)題意列式計算即可；

(2)根據(jù)題意建立方程求解即可.

【詳解】(1)解：(-6x3-6)+3+7

=(-18-6)^3+7

=-24?3+7

=-8+7

――7；

(2)解：由題意得，(3x-6)+3+7=66,

解得X=61,

...淇淇想的那個數(shù)是61.

【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的四則混合計算的實際應(yīng)用，一元一次方程的實際應(yīng)用，正確理解題意列

出式子和方程是解題的關(guān)鍵.

6.(2023?陜西西安?交大附中分校校考三模)如圖，某小區(qū)矩形綠地的長寬分別為35m,15m.現(xiàn)計劃對其

進行擴充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個新的矩形綠地.若擴充后的矩形綠地的長是寬的2

倍，求新的矩形綠地的長與寬；

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15m

35m

【答案】40m,20m

【分析】設(shè)綠地的長、寬增加的長度為xm,然后根據(jù)擴充后的矩形綠地的長是寬的2倍，列出方程求解即

可.

【詳解】解：設(shè)綠地的長、寬增加的長度為xm,

由題意得，35+x=2115+x),

解得x=5,

：,35+x=40,15+X=20,

.?.新的矩形綠地的長與寬分別為40m,20m.

【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系建立方程是解題的關(guān)鍵.

7.(2023?陜西西安?陜西師大附中校考模擬預(yù)測)以井測繩.若將繩三折測之，繩多五尺；若將繩四折測之,

繩多半尺.則井深幾何？題目大意：古人用繩子測量水井的深度.如果將繩子折成三等份測量，繩子比井

深多五尺；如果將紳子折成四等份測量，則繩子比井深多半尺.求此水井的深度.

【答案】13尺

【分析】設(shè)井深為x尺，則繩子的長度為3(x+5)尺，然后根據(jù)將紳子折成四等份測量，則繩子比井深多

半尺列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)井深為x尺，則繩子的長度為3(x+5)尺，

由題意得，x+0.5=^-,

解得x-13,

答：水井的深度為13尺.

【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵.

8.(2023?陜西西安?西北大學(xué)附中?？寄M預(yù)測)《算法統(tǒng)宗》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中記載：我

問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.其大意為：今有若干人住店，若每

間住7人，則余下7人無房可??；若每間住9人，則余下一間無人住，求店中共有多少間房？

【答案】店中共有8間房

【分析】由等量關(guān)系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程求得.

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【詳解】解：設(shè)店中共有X間房

依題意得：7x+7=9（x—7）,

解得：x=8,

答：店中共有8間房.

【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，理清題中的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

9.（2022?安徽合肥?合肥市第四十五中學(xué)?？家荒＃毒耪滤阈g(shù)》中有一道題，原文是：“今有善行者行一百

步，不善行者行六十步.今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”題目意思是：同樣時間

段內(nèi)，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，且兩人的步長相等，若走路慢的人先走100步，

求走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？（注釋：“步”是古代的一種計量單位）

【答案】250步

【分析】設(shè)走路快的人追上走路慢的人所用時間為。根據(jù)二者的速度差x時間=路程，即可求出/值，再將

其代入路程=速度X時間，即可求出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)走路快的人追上走路慢的人所用時間為4

根據(jù)題意得：（100-60）Z=100,

解得：Z=2.5,

100;=100x2.5=250.

答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵.

題型11利用二元一次方程解決實際問題

L（2023?福建泉州?福建省泉州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）元旦期間，七（1）班明明等同學(xué)隨家長一同到某

景區(qū)游玩，該景區(qū)門票價格規(guī)定如圖：

票價

成人:每張55元

學(xué)生:按成人票半價優(yōu)惠

團體票（16人以上，含16人）；

按成人票6折優(yōu)惠

（1）明明他們一共72人，分別按成人和學(xué)生購票，共需550元，求他們一共去了幾個成人，幾個學(xué)生？

（2）購?fù)昶焙?，明明發(fā)現(xiàn)，如果購團體票更省錢，正在此時，七（2）班濤濤等8名同學(xué)和他們的72名家長

共2。人也來購票，請你為七（2）班設(shè)計出最省錢的購票方案，并求出此時的購票費用.

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【答案】（1）8個成人，4個學(xué)生

（2）方案見解析，638元

【分析】（1）先設(shè)出兩個未知數(shù)，再依據(jù)題意列出二元一次方程組，解出方程組即可；

（2）因為學(xué)生票最便宜，團體票次之，成人票最貴，所以應(yīng)盡可能不買成人票，盡量多買學(xué)生票.先湊夠

16人買團體票，再讓剩余學(xué)生買學(xué)生票是費用最省.

【詳解】（1）解：設(shè)他們一共去了x個成人，y個學(xué)生.

x+y=12

由題意得：｛

55x+卷y=550'

解得：OK

y=4

答：他們一共去了8個成人，4個學(xué)生.

（2）學(xué)生票最便宜，團體票次之，成人票最貴

.?.應(yīng)盡可能不買成人票，盡量多買學(xué)生票

，當七（2）班4名同學(xué)和他們的72名家長，一起購買團體票，剩余4名同學(xué)買學(xué)生票時最省錢.止匕時,

購票費用為：

55x76x0.6+會4=638元

【點睛】本題考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用和購票方案的選擇，細心審題，列出方程組和找出最省錢

方案是解題關(guān)鍵.

2.（2023?廣東東莞?模擬預(yù)測）A、3兩地相距4千米，甲從/地出發(fā)步行到2地，乙從3地出發(fā)騎自行車

到/地，兩人同時出發(fā)，30分鐘后兩人相遇，又經(jīng)過10分鐘，甲剩余路程為乙剩余路程的3倍.

（1）求甲、乙每小時各行多少千米？

（2）在他們出發(fā)后多長時間兩人相距1千米？

【答案】（1）甲每小時行3千米，乙每小時行5千米

（2）出發(fā)后《小時或《小時兩人相距1千米

OO

【分析】（1）這是行程問題中的相遇問題，三個基本量：路程、速度、時間.關(guān)系式為：路程=速度X時間.題

中的兩個等量關(guān)系是：30分鐘X甲的速度+30分鐘X乙的速度=4千米，4千米-40分鐘X甲的速度=（4千米-40

分鐘X乙的速度）x3,依此列出方程求解即可，注意單位換算；

（2）先求出兩人一共行駛的路程，再除以速度和即可求解.

【詳解】（1）解：設(shè)甲每小時行x千米，乙每小時行y千米.

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30,30.

—x-A—y=4

依題意：｛6：60

4--x=3（4-絲y）

60'60」,

Y=Q

解方程組得｛—

y=5

答：甲每小時行3千米，乙每小時行5千米.

（2）相遇前：（4-7）+（3+5）=彳（小時），

相遇后：（4+7）+（3+5）=:（小時）.

故在他們出發(fā)后外時或4小時兩人相距1千米.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，本題是行程問題中的相遇問題，解題關(guān)鍵是如何建立二元一

次方程組的模型.

3.（2021?江蘇泰州?統(tǒng)考中考真題）甲、乙兩工程隊共同修建150km的公路，原計劃30個月完工.實際施

工時，甲隊通過技術(shù)創(chuàng)新，施工效率提高了50%,乙隊施工效率不變，結(jié)果提前5個月完工.甲、乙兩工

程隊原計劃平均每月分別修建多長？

【答案】甲工程隊原計劃每月修建2千米，乙甲工程隊原計劃每月修建3千米

【分析】設(shè)甲工程隊原計劃每月修建x千米，乙甲工程隊原計劃每月修建y千米,根據(jù)原計劃每月修建喘km

和甲提高效率后每月修建淄km列出二元一次方程組求解即可.

【詳解】解：設(shè)甲工程隊原計劃每月修建X千米，乙甲工程隊原計劃每月修建y千米，根據(jù)題意得，

,150

X+V=—

｛J30

（1+50%"+廠果

解得，｛'=2

y=3

答：甲工程隊原計劃每月修建2千米，乙甲工程隊原計劃每月修建3千米

【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是弄清題意，找到合適的等量關(guān)系，列出方程.

4.（2017?安徽?中考真題）《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問題，原文如下：

今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四.問人數(shù)，物價各幾何？

譯文為：

現(xiàn)有一些人共同買一個物品，每人出8元，還盈余3元；每人出7元，則還差4元，問共有多少人？這個

物品的價格是多少？

請解答上述問題.

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【答案】共有7人，這個物品的價格是53元

【分析】根據(jù)題意，找出等量關(guān)系，列出一元一次方程.

【詳解】解：設(shè)共有x人，這個物品的價格是y元，

伊一3"，解得｛乂"

7x+4=y,y=53,

答：共有7人，這個物品的價格是53元.