2023年廣東省江門市中考二模數(shù)學試卷及答案解析

廣東省初中學業(yè)水平考試

數(shù)學模擬試卷（二）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的．

1.下面四個數(shù)中，比0小的數(shù)是（）

A.-2B.1C.3D.π

a

2.若2=5，2b=3，則2a+b=（）

A.8B.2C.15D.1

3.由5個大小相同的小正方體搭成的幾何體如圖所示，它的主視圖是（）

A.B.C.D.

4.下列圖形中，不是．．軸對稱圖形的是（）

A.圓B.等腰三角形C.矩形D.平行四邊形

5.把點A(?2,1)向上平移2個單位，再向左平移3個單位后得到B，點B的坐標是（）

A.(?5,3)B.(1,3)C.(1,?3)D.(?5,?1)

6.如圖，△ABC中，點M，N分別是AB，AC的中點，若MN＝5.6，則BC＝（）

A.5.6B.10C.11.2D.15

7.在一次視力檢查中，某班7名學生右眼視力的檢查結果為：4.2、4.3、4.5、4.6、4.8、4.8、5.0，這組數(shù)

據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）

A.5.0，4.6B.4.6，5.0C.4.8，4.6D.4.6，4.8

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8.已知關于x的方程x2+mx+3=0的一個根為x=1，則實數(shù)m的值為（）

A.4B.?4C.3D.?3

22

9.已知點M(x1,y1),N(x2,y2)在拋物線y=mx?2mx+n(m≠0)上，當x1+x2>4且x1<x2時，都

有y1<y2，則m的取值范圍為（）

A.0<m≤2B.?2≤m<0C.m>2D.m<?2

10.如圖，在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，動點E在AB邊上（與點A、B均不重合），點F

在對角線AC上，CE與BF相交于點G，連接AG,DF，若AF=BE，則下列結論錯誤的是（）

22

A.DF=CEB.∠BGC=120°C.AF=2EG?ECD.AG的最小值為

3

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．

11.分解因式：x2+2x+1=_______

12.一個正數(shù)的兩個平方根分別是a?1和a+3，則這個數(shù)為_____________．

13.若2a?3b=5，則?2+4a?6b=______．

14.數(shù)學課上，老師將如圖邊長為1的正方形鐵絲框變形成以A為圓心，AB為半徑的扇形（鐵絲的粗細

忽略不計），則所得扇形DAB的面積是_____________．

15.如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=8，線段DE的兩個端點D，E分別在邊AC，BC上滑

動，且DE=6，若點M，N分別是DE，AB的中點，則MN的最小值為_________．

三、解答題（一）：本大題共3小題，毎小題8分，共24分．

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?2

01

16.計算：(3?1)++|3?2|+tan60°；

3

ab12b

17.

先化簡，再求值：÷+22，其中=a5+1，=b5?1．

a?ba+ba?b

18.已知：如圖，點A、D、C、F在同一直線上，AB∥DE，∠B=∠E，BC=EF．

求證：AD=CF．

四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．

19.在“世界讀書日”前夕，某校開展了“共享閱讀，向上人生”的讀書活動．活動中，為了解學生對書

籍種類（A：藝術類，B：科技類，C：文學類，D：體育類）的喜歡情況，在全校范圍內隨機抽取若干名

學生，進行問卷調查（每個被調查的學生必須選擇而且只能在這四種類型中選擇一項）將數(shù)據(jù)進行整理并

繪制成下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

（1）這次調查中，一共調查了多少名學生？

（2）求出扇形統(tǒng)計圖中“D”所在扇形的圓心角的度數(shù)，并補全條形統(tǒng)計圖；

（3）若全校有1200名學生，請估計喜歡B（科技類）的學生有多少名？

k

20.如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A，B在函數(shù)y=(x>0)的圖象上（點B的橫坐標

x

大于點A的橫坐標），點A的坐示為(2,4)，過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BC⊥x軸于點C，連

接OA，AB．

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（1）求k的值．

（2）若D為OC中點，求四邊形OABC的面積．

21.某中學要為體育社團購買一些籃球和排球，若購買3個籃球和2個排球，共需560元；若購買2個籃

球和4個排球，共需640元．

（1）求每個籃球和每個排球的價格分別是多少元；

（2）該中學決定購買籃球和排球共10個，總費用不超過1100元，那么最多可以購買多少個籃球？

五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分．

22.如圖，PM，PN是O的切線，切點分別是點A，B，過點O的直線CE∥PN，交O于點C，

D，交PM于點E，AD的延長線交PN于點F，BC∥PM．

（1）求證：∠P=45°；

（2）若CD=6，求PF的長．

23.如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點C（0，2）．

（1）求這條拋物線所對應的函數(shù)的表達式；

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（2）若點D為該拋物線上的一個動點，且在直線AC上方，求點D到直線AC的距離的最大值及此時點D

的坐標；

（3）點P為拋物線上一點，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為1：5兩部分，求點P的坐標．

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廣東省初中學業(yè)水平考試

數(shù)學模擬試卷（二）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的．

1.下面四個數(shù)中，比0小的數(shù)是（）

A.-2B.1C.3D.π

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)負數(shù)比0小即可求解．

【詳解】解：?2<0<1<3<π，

故選：A．

【點睛】本題考查了實數(shù)的大小比較，掌握負數(shù)小于0是解題的關鍵．

a

2.若2=5，2b=3，則2a+b=（）

A.8B.2C.15D.1

【答案】C

【解析】

【分析】利用同底數(shù)冪的乘法的法則對式子進行整理，再代入相應的值運算即可．

a

【詳解】解：當2=5，2b=3時，

2a+b=2a×2b=5×3=15，

故選：C．

【點睛】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法，解答的關鍵是熟記同底數(shù)冪的乘法的法則：底數(shù)不變，指數(shù)相

加．

3.由5個大小相同的小正方體搭成的幾何體如圖所示，它的主視圖是（）

A.B.C.D.

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【答案】B

【解析】

【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都應表現(xiàn)在主視圖中，看得見

的用實線，看不見的用虛線，虛實重合用實線．

【詳解】解：從正面看，底層是三個小正方形，上層的左邊是一個小正方形，

故選：B．

【點睛】本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．

4.下列圖形中，不是．．軸對稱圖形的是（）

A.圓B.等腰三角形C.矩形D.平行四邊形

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這

條直線叫做對稱軸進行分析即可．

【詳解】解：選項A、B、C的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能

夠互相重合，所以是軸對稱圖形；

選項D的平行四邊形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，

所以不是軸對稱圖形；

故選：D．

【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．

5.把點A(?2,1)向上平移2個單位，再向左平移3個單位后得到B，點B的坐標是（）

A.(?5,3)B.(1,3)C.(1,?3)D.(?5,?1)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)平移的基本性質，向上平移a，縱坐標加a，向右平移a，橫坐標加a.

【詳解】解：A(?2,1)向上平移2個單位，再向左平移3個單位后得到B，

∴1+2=3，?2?3=?5；

即點B的坐標是(?5,3)，故A正確．

故選：A．

【點睛】本題主要考查了平移的性質，解題的關鍵是熟練掌握平移的性質，①向右平移a個單位，坐標

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P(x,y)?P(x+a,y)，②向左平移a個單位，坐標P(x,y)?P(x?a,y)，③向上平移b個單位，坐標

P(x,y)?P(x,y+b)，④向下平移b個單位，坐標P(x,y)?P(x,y?b)．

6.如圖，△ABC中，點M，N分別是AB，AC的中點，若MN＝5.6，則BC＝（）

A.5.6B.10C.11.2D.15

【答案】C

【解析】

【分析】先說明MN是三角形ABC的中位線，然后根據(jù)三角形中位線的性質即可解答．

【詳解】解：∵△ABC中，點M、N分別是AB、AC的中點

∴MN是△ABC的中位線，即BC=2MN

∵MN＝5.6

∴BC=2MN=11.2．

故選C．

【點睛】本題主要考查了三角形中位線的判定與性質，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關

鍵．

7.在一次視力檢查中，某班7名學生右眼視力的檢查結果為：4.2、4.3、4.5、4.6、4.8、4.8、5.0，這組數(shù)

據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）

A.5.0，4.6B.4.6，5.0C.4.8，4.6D.4.6，4.8

【答案】D

【解析】

【分析】利用中位數(shù)和眾數(shù)的定義求出中位數(shù)和眾數(shù)即可．

【詳解】解：一共有7名同學，從小到大排列，中位數(shù)是4.6；在這7個數(shù)據(jù)中4.8出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以

眾數(shù)是4.8．

故選∶D

【點睛】本題考查了中位數(shù)以及眾數(shù)的定義，熟練掌握定義是解題的關鍵．

8.已知關于x的方程x2+mx+3=0的一個根為x=1，則實數(shù)m的值為（）

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A.4B.?4C.3D.?3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)方程根的定義，將x=1代入方程，解出m的值即可．

【詳解】解：關于x的方程x2+mx+3=0的一個根為x=1，

所以1+m+3=0，

解得m=?4．

故選：B．

【點睛】本題考查了一元二次方程的解，解題的關鍵是掌握由方程的根求待定系數(shù)的方法是將根代入方程

求解．

22

9.已知點M(x1,y1),N(x2,y2)在拋物線y=mx?2mx+n(m≠0)上，當x1+x2>4且x1<x2時，都

有y1<y2，則m的取值范圍為（）

A.0<m≤2B.?2≤m<0C.m>2D.m<?2

【答案】A

【解析】

?2m2

【分析】根據(jù)題意可得，拋物線的對稱軸為x=?=m，然后分四種情況進行討論分析，最后進行

2m

綜合即可得出結果．

?2m2

【詳解】解：根據(jù)題意可得，拋物線的對稱軸為x=?=m，

2m

①當0<m<x1<x2時，y1<y2恒成立；

②當x1<x2<m<0時，y1<y2恒不成立；

③當0<x1<m<x2時，使x1+x2>4，y1<y2恒成立，

x+x

∴m<12，

2

∴m≤2，

0<m≤2，

④當x1<m<x2<0時，y1<y2恒不成立；

綜上可得：0<m≤2，

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故選：A．

【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的基本性質，理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質是解題的關鍵．

10.如圖，在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，動點E在AB邊上（與點A、B均不重合），點F

在對角線AC上，CE與BF相交于點G，連接AG,DF，若AF=BE，則下列結論錯誤的是（）

22

A.DF=CEB.∠BGC=120°C.AF=2EG?ECD.AG的最小值為

3

【答案】D

【解析】

【分析】先證明△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等邊三角形，得DF=CE，判斷A項答案正確，由

BECE

∠GCB+∠GBC=60゜，得∠BGC=120゜，判斷B項答案正確，證△BEG∽△CEB得=，即可判

GEBE

斷C項答案正確，由∠BGC=120°，BC=1，得點G在以線段BC為弦的弧BC上，易得當點G在等邊

3

△ABC的內心處時，AG取最小值，由勾股定理求得AG=，即可判斷D項錯誤．

3

【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

11

∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=∠BAD=×(180°?∠ABC)=ABC，

2260°=∠

∴△BAF≌△DAF≌△CBE，△ABC是等邊三角形，

∴DF=CE，故A項答案正確，

∠ABF=∠BCE，

∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60゜，

∴∠GCB+∠GBC=60゜，

∴∠BGC=180゜-（∠GCB+∠GBC）=120゜，故B項答案正確，

∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，

∴△BEG∽△CEB，

BECE

∴=，

GEBE

∴BE2=GECE，

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∵AF=BE，

∴AF2=GECE，故C項答案正確，

∵∠BGC=120°，BC=1，點G在以線段BC為弦的弧BC上，

∴當點G在等邊△ABC的內心處時，AG取最小值，如下圖，

∵△ABC是等邊三角形，BC=1，

11

∴BFAC，AF=AC=，∠GAF=30゜，

⊥22

∴AG=2GF，AG2=GF2+AF2，

22

211AG3

=∴AGAG+，解得=，故D項錯誤，

223

故應選：D

【點睛】本題主要考查了菱形的基本性質、等邊三角形的判定及性質、圓周角定理，熟練掌握菱形的性質

是解題的關鍵．

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．

11.分解因式：x2+2x+1=_______

22

【答案】(x+1)##(1+x)

【解析】

【分析】本題中沒有公因式，總共三項，其中有兩項能化為兩個數(shù)的平方和，第三項正好為這兩個數(shù)的積

的2倍，直接運用完全平方和公式進行因式分解．

【詳解】解：x2+2x+1=（x+1）2，

故答案為：（x+1）2．

【點睛】本題考查了公式法分解因式，熟記完全平方公式的結構是解題的關鍵．（1）三項式；（2）其中兩

項能化為兩個數(shù)（整式）平方和的形式；（3）另一項為這兩個數(shù)（整式）的積的2倍（或積的2倍的相反

數(shù)）．

12.一個正數(shù)的兩個平方根分別是a?1和a+3，則這個數(shù)為_____________．

【答案】4

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【解析】

【分析】根據(jù)平方根的性質即可得到結果；

【詳解】解：根據(jù)題意得，a-1+a+3=0，

解得，a=-1，

∴原數(shù)為22=4，

故答案為：4．

【點睛】本題考查平方根的性質，熟練掌握平方根的性質是解題的關鍵．

13.若2a?3b=5，則?2+4a?6b=______．

【答案】8

【解析】

【分析】根據(jù)2a?3b=5，可得4a?6b=10，再代入，即可求解．

【詳解】解：∵2a?3b=5，

∴2(2a?3b)=4a?6b=10，

∴?2+4a?6b=?2+10=8．

故答案為：8

【點睛】本題主要考查了求代數(shù)式的值，利用整體代入思想解答是解題的關鍵．

14.數(shù)學課上，老師將如圖邊長為1的正方形鐵絲框變形成以A為圓心，AB為半徑的扇形（鐵絲的粗細

忽略不計），則所得扇形DAB的面積是_____________．

【答案】1

【解析】

ABADlCDCB2

【分析】根據(jù)題意結合圖象得出==1，BD=+=，利用扇形面積與弧長的關系式進行求解

即可．

【詳解】解：根據(jù)圖象可得：AB=AD=1，

lCDCB

=+=2，

BD

11

Slr

∴扇形ABD=×=×2×1=1，

2BD2

故答案為：1．

【點睛】題目主要考查正方形的性質，弧長及扇形面積公式，熟練掌握弧長及面積公式是解題關鍵．

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15.如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=8，線段DE的兩個端點D，E分別在邊AC，BC上滑

動，且DE=6，若點M，N分別是DE，AB的中點，則MN的最小值為_________．

【答案】41?3

【解析】

11

【分析】根據(jù)三角形斜邊中線的性質求得=CN=AB41，=CM=DE3，由當C、M、N在同一直線

22

上時，MN取最小值，即可求得MN的最小值．

【詳解】解：如圖，連接CM、CN，

?ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=8，

∴AB=AC2+BC2=241．

∵DE=6，點M，N分別是DE，AB的中點，

11

∴=CN=AB41，=CM=DE3．

22

當C，M，N三點在同一條直線上時，MN取最小值，

∴MN的最小值為41?3

故答案為：41?3

【點睛】本題考查了三角形三邊關系，直角三角形斜邊中線的性質，勾股定理的應用等，明確C、M、N

在同一直線上時，MN取最小值是解題的關鍵．

三、解答題（一）：本大題共3小題，毎小題8分，共24分．

?2

01

16.計算：(3?1)++|3?2|+tan60°；

3

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【答案】12

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式的性質，零次冪，負整數(shù)指數(shù)冪，化簡絕對值，特殊角的三角函數(shù)值，進行計算即可

求解．

?2

01

【詳解】解：(3?1)++|3?2|+tan60°

3

=1+9+2?3+3

=12．

【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，掌握二次根式的性質，化簡絕對值，零次冪，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角

的三角函數(shù)值是解題的關鍵．

ab12b

17.

先化簡，再求值：÷+22，其中=a5+1，=b5?1．

a?ba+ba?b

【答案】ab，4

【解析】

22

【分析】把分母分解為a?b=(a+b)(a?b)，利用通分進行括號里分式的計算，再用分式的除法法則

進行計算，最后代入求值；

aba+bab(a+b)(a?b)

【詳解】解：原式=÷=?=ab．

a?b(a+b)(a?b)a?ba+b

當=a5+1，=b5?1時，原式=(5+1)(5?1)=4．

【點睛】本題考查分式的化簡求值，解題關鍵用平方差公式進行因式分解，按照運算法則進行計算．

18.已知：如圖，點A、D、C、F在同一直線上，AB∥DE，∠B=∠E，BC=EF．

求證：AD=CF．

【答案】見解析

【解析】

【分析】根據(jù)AB∥DE，可得∠A=∠EDF，根據(jù)AAS證明△ABC≌△DEF，進而可得

AC=DF，根據(jù)線段的和差關系即可求解．

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【詳解】證明：∵AB∥DE，

∴∠A=∠EDF，

在ABC與DEF中，

∠A=∠EDF

∠B=∠E，

BC=EF

∴△ABC≌△DEF(AAS)，

∴AC=DF，

∴AC?DC=DF?DC，

∴AD=CF．

【點睛】本題考查了平行線的性質，全等三角形的判定與性質，掌握全等三角形的性質與判定是解題的關

鍵．

四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．

19.在“世界讀書日”前夕，某校開展了“共享閱讀，向上人生”的讀書活動．活動中，為了解學生對書

籍種類（A：藝術類，B：科技類，C：文學類，D：體育類）的喜歡情況，在全校范圍內隨機抽取若干名

學生，進行問卷調查（每個被調查的學生必須選擇而且只能在這四種類型中選擇一項）將數(shù)據(jù)進行整理并

繪制成下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

（1）這次調查中，一共調查了多少名學生？

（2）求出扇形統(tǒng)計圖中“D”所在扇形的圓心角的度數(shù)，并補全條形統(tǒng)計圖；

（3）若全校有1200名學生，請估計喜歡B（科技類）的學生有多少名？

【答案】（1）這次調查中，一共調查了200名學生

（2）“D”所在扇形的圓心角的度數(shù)是54°，補全條形統(tǒng)計圖見解析

（3）估計該校喜歡B（科技類）的學生為420人

【解析】

【分析】（1）根據(jù)A類的人數(shù)和所占的百分比，即可求出總人數(shù)；

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（2）用整體1減去A、C、D類所占的百分比，即可求出扇形統(tǒng)計圖中“D”所在扇形的圓心角的度數(shù)以

及B所占的百分比；用總人數(shù)乘以所占的百分比，求出C的人數(shù)，從而補全圖形；

（3）總人數(shù)乘以樣本中B所占百分比即可得．

【小問1詳解】

解：這次調查的總學生人數(shù)是

40÷20%=200

答：這次調查中，一共調查了200名學生

【小問2詳解】

30

D所占百分比為×100%=15%，

200

扇形統(tǒng)計圖中“D”所在扇形的圓心角的度數(shù)為：360°×15%=54°；

B所占的百分比是1-15%-20%-30%=35%，

C的人數(shù)是：200×30%=60（名），

補圖如下：

【小問3詳解】

估計全校喜歡B（科技類）的學生是

70

1200××100%=420

200

答：估計該校喜歡B（科技類）的學生為420人．

【點睛】本題主要考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的應用，利用樣本估計總體，正確利用條形統(tǒng)計圖得出

正確信息是解題關鍵．

k

20.如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A，B在函數(shù)y=(x>0)的圖象上（點B的橫坐標

x

大于點A的橫坐標），點A的坐示為(2,4)，過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BC⊥x軸于點C，連

接OA，AB．

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（1）求k的值．

（2）若D為OC中點，求四邊形OABC的面積．

【答案】（1）8；（2）10．

【解析】

k

【分析】（1）將點A的坐標為(2,4)代入=y(x>0)，可得結果；

x

（2）利用反比例函數(shù)的解析式可得點B的坐標，利用三角形的面積公式和梯形的面積公式可得結果．

k

【詳解】解：（1）將點A的坐標為(2,4)代入=y(x>0)，

x

可得k=xy=2×4=8，

∴k的值為8；

（2）k的值為8，

k8

∴函數(shù)y=的解析式為y=，

xx

D為OC中點，OD=2，

∴OC=4，

8

∴點B的橫坐標為4，將x=4代入y=，

x

可得y=2，

∴點B的坐標為(4,2)，

11

∴S=S+S=×2×4+(2+4)×2=10．

四邊形OABC?AOD四邊形ABCD22

【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義，運用數(shù)形結合思想是解答此題的關鍵．

21.某中學要為體育社團購買一些籃球和排球，若購買3個籃球和2個排球，共需560元；若購買2個籃

球和4個排球，共需640元．

（1）求每個籃球和每個排球的價格分別是多少元；

（2）該中學決定購買籃球和排球共10個，總費用不超過1100元，那么最多可以購買多少個籃球？

【答案】（1）每個籃球的價格是120元，每個排球的價格是100元

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（2）5

【解析】

【分析】（1）設每個籃球的價格是x元，每個排球的價格是y元，根據(jù)“購買3個籃球和2個排球，共需

560元；若購買2個籃球和4個排球，共需640元．”列出方程組，即可求解；

（2）設購買m個籃球，則購買排球（10-m）根據(jù)“總費用不超過1100元，”列出不等式，即可求解．

【小問1詳解】

解：設每個籃球的價格是x元，每個排球的價格是y元，根據(jù)題意得：

3x+2y=560x=120

，解得：，

2x+4y=640y=100

答：每個籃球的價格是120元，每個排球的價格是100元；

【小問2詳解】

解：設購買m個籃球，則購買排球（10-m）根據(jù)題意得：

120m+100（10-m）≤1100，

解得m≤5，

答：最多可以購買5個籃球．

【點睛】本題考查二元一次方程組和一元一次不等式的應用，解題的關鍵是讀憧題意，列出方程組和不等

式．

五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分．

22.如圖，PM，PN是O的切線，切點分別是點A，B，過點O的直線CE∥PN，交O于點C，

D，交PM于點E，AD的延長線交PN于點F，BC∥PM．

（1）求證：∠P=45°；

（2）若CD=6，求PF的長．

【答案】（1）見解析（2）PF=3

【解析】

【分析】（1）如圖，連接OB．證明OA⊥PM，OB⊥PN．OB⊥CE．再證明∠C=45°．四邊形PBCE

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是平行四邊形．從而可得結論；

（2）證明AE=OA=3，可得OE32+3232BC，PE=BC=32，

ED=OE?OD=32?3．AP=AE+PE=+332．證明△AED∽△APF，再利用相似三角形的性

質可得答案．

【小問1詳解】

證明：如圖，連接OB．

PM，PN與O相切于點A，B，

∴OA⊥PM，OB⊥PN．

CE∥PN，

∴OB⊥CE．

OB=OC，

∴∠C=45°．

BC∥PM，

∴四邊形PBCE是平行四邊形．

∴∠P=∠C=45°．

【小問2詳解】

CD=6，

∴OB=OA=OD=3．

由（1）得∠AEC=∠P=45°，

∴AE=OA=3，

∴OEOA2+AE232+3232BC．

∴PE=BC=32，ED=OE?OD=32?3．

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∴AP=AE+PE=+332．

ED∥PF，

∴△AED∽△APF．

AEED332?3

∴=，即=．

APPF3+32PF

∴PF=3．經(jīng)檢驗符合題意．

【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定，相似三角形的判定與性質，切線的性質的應用，勾股定理的應用，

掌握以上知識并靈活應用是解本題的關鍵．

23.如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點C（0，2）．

（1）求這條拋物線所對應的函數(shù)的表達式；

（2）若點D為該拋物線上的一個動點，且在直線AC上方，求點D到直線AC的距離的最大值及此時點D

的坐標；

（3）點P為拋物線上一點，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為1：5兩部分，求點P的坐標．

11

【答案】（1）y=?x2?x+2

42

25

（2），點D的坐標為（﹣2，2）；

5

1410

（3）點P的坐標為（6，﹣10）或（﹣，﹣）．

39

【解析】

【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可解決問題；

（2）過點D作DH⊥AB于H，交直線AC于點G，過點D作DE⊥AC于E，可用待定系數(shù)法求出直線AC

的解析式，設點D的橫坐標為m，則點G的橫坐標也為m，從而可以用m的代數(shù)式表示出DG，然后利用

25

cos∠EDG=cos∠CAO得到DE=DG，可得出關于m的二次函數(shù)，運用二次函數(shù)的最值即可解

5

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決問題；

11

（3）根據(jù)S△PCB：S△PCA=EB×(y?y):AE×(y?y)=BE:AE,即可求解．

2CP2CP

【小問1詳解】

∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點C（0，2）．

16a?4b+c=0

∴4a+2b+c=0，

c=2

1

a=?

4

1

解得：b=?，

2

c=2

11

∴拋物線的解析式為y=?x2?x+2；

42

【小問2詳解】

（2）過點D作DH⊥AB于H，交直線AC于點G，過點D作DE⊥AC于E，如圖．

設直線AC的解析式為y＝kx+t，

?4k+t=0

則，

t=2