2024年中考數(shù)學復習探究性試題-圖形的旋轉（含解析）

第第頁2024年中考數(shù)學復習探究性試題圖形的旋轉一．解答題（共15小題）1．已知△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D為平面內(nèi)一點．（1）如圖1，當D點在AB的中點時，連接CD，將CD繞點D逆時針旋轉90°，得到ED，若AB＝4，求△ADE的周長；（2）如圖2，當D點在△ABC外部時，E、F分別是AB、BC的中點，連接EF、DE、DF，將DE繞E點逆時針旋轉90°得到EG，連接CG、DG、FG，若∠FDG＝∠FGE，請?zhí)骄縁D、FG、CG之間的數(shù)量關系并給出證明；（3）如圖3，當D在△ABC內(nèi)部時，連接AD，將AD繞點D逆時針旋轉90°，得到ED，若ED經(jīng)過BC中點F，連接AE、CE，G為CE的中點，連接GF并延長交AB于點H，當AG最大時，請直接寫出S△2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，BC＝10cm，AD＝8cm，點P從點B出發(fā)，在線段BC上以每秒3cm的速度向點C勻速運動，與此同時，垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB、AC、AD于E、F、H，當點P到達點C，點P與直線m同時停止運動，設運動時間為t秒（t＞0）．（1）AH＝，EF＝（用含t的式子表示）．（2）在整個運動過程中，所形成的△PEF的面積存在最大值，當△PEF的面積最大時，求線段BP的長；（3）是否存在某一時刻t，使△PEF為直角三角形？若存在，請求出此時刻t的值；若不存在，請說明理由．3．問題情境】在一次數(shù)學興趣小組活動中，小昕同學將一大一小兩個三角板按照如圖1所示的方式擺放．其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠B＝30°，BE＝AC＝6．【問題探究】小昕同學將三角板DEB繞點B按順時針方向旋轉．（1）如圖2，當點E落在邊AB上時，延長DE交BC于點F，求BF的長．（2）若點C、E、D在同一條直線上，求點D到直線BC的距離．（3）連接DC，取DC的中點G，三角板DEB由初始位置（圖1），旋轉到點C、B、D首次在同一條直線上（如圖3），求點G所經(jīng)過的路徑長．（4）如圖4，G為DC的中點，則在旋轉過程中，點G到直線AB的距離的最大值是．4．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝AC，D為邊BC上任意一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉60°，得到線段AE，F(xiàn)為邊AC的中點，連接BF，CE，DE．（1）如圖1，BF交AD于點G，若∠BAD＝15°，AG=6，求線段（2）如圖2，M為DE的中點，連接CM，F(xiàn)M，求證：CM＝FM；（3）如圖3，連接EF，點N為直線BC上一動點（不與點B，C重合），連接FN，將△BFN沿FN翻折至△ABC所在平面內(nèi)，得到△B′FN，連接B′E，在（2）的條件下，若AB＝4，當EF取得最小值時，直接寫出線段B′E的長度的最小值．5．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，點F為BE中點，連接DF，CF．【特例感知】（1）如圖1，當點D在AB上，點E在AC上，猜想此時線段DF，CF的數(shù)量關系為，位置關系為；【深入探究】（2）如圖2，在（1）的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉45°時，請你判斷此時（1）中的結論是否仍然成立，并證明你的判斷；【變式拓展】（3）如圖3，在（1）的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉90°時，若AD＝1，AC=22，直接寫出線段6．在中點復習課中，劉老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，點D為AB的中點，連接CD，若AC＝6，BC＝4，求CD的取值范圍．【初步分析】小明經(jīng)過分析，決定延長CD到E，使CD＝DE，連接AE，可得到△BCD≌△AED，進而在△AEC中得到CE的取值范圍，于是可求得CD的取值范圍．（1）請回答：①如圖1，連接BE，由已知和作圖能得到△ADC≌△BDE的理由是．A．SSSB．SASC．AASD．HL②求得CD的取值范圍是．A．4＜CD＜6B．4?CD?6C．1＜CD＜5D．1?CD?5【感悟探究】小明經(jīng)過反思發(fā)現(xiàn)，解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中．于是小明嘗試用這種方法證明“中位線定理”如圖2，D，E分別是△ABC的邊AC，BC的中點，求證：DE∥AB，且DE=小明延長DE至F，使EF＝DE，連接BF．（2）請幫助小明完成證明．【感悟拓展】小明經(jīng)過再次反思發(fā)現(xiàn)，解題時，條件中若出現(xiàn)多個“中點”字樣，還可以考慮用中位線來研究中位線和三角形底邊的數(shù)量關系和位置關系．請解決以下問題：（3）如圖3，在等邊三角形ABC中，點P為射線BC位于點C右側的一個動點，將線段PC繞點P逆時針旋轉120°得到線段PD，點C的對應點為點D，連接BD，點Q為BD的中點，連接CQ．若AB＝3，當CQ=127．【問題提出】（1）如圖①，將△ABC繞點A逆時針旋轉90°得△ADE，連接CE，DB，根據(jù)條件填空：①∠ACE的度數(shù)為；②若CE＝2，則CA的值為；【問題探究】（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠B＝90°，沿邊AC翻折得到△ADC，點B的對應點為點D，點E，F(xiàn)分別在DC，BC邊上，且∠EAF=12∠DAB，試猜想線段BF，EF，【問題解決】（3）如圖③是公園人工湖的平面示意圖，現(xiàn)要在人工湖對角線BD上架一座人行景觀橋，但由于年代久遠，人工湖規(guī)劃書上只留下以下數(shù)據(jù)，CD＝CB，AD＝30m，AB＝40m，∠BAD+∠BCD＝120°，且AC=32CD，求對角線8．如圖1，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，點D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點F，G，H分別為BC，DE，DC的中點．（1）觀察猜想圖1中，線段GH與FH的數(shù)量關系是，∠GHF的度數(shù)為；（2）探究證明把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接GF，BD，CE，判斷△GHF的形狀，并說明理；（3）拓展延伸把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉，若AD＝2，AB＝6，請直接寫出△GHF面積的最大值．9．【問題初探】（1）李老師在數(shù)學課上提出了一個問題：如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（m，4），點B的坐標為（4，n），其中m≥0，n≥0，連接OA，OB，AB，過點A作AC⊥y軸于點C，過點B作BD⊥x軸于點D，當∠AOB＝45°時，試用含m，n的代數(shù)式表示AB的長度．“乘風破浪”小組的思路是：如圖2，利用旋轉變換構造45°特殊角的思路，延長BD至E，使DE＝CA，連接OE，相當于將△OAC繞點O順時針方向旋轉90°至△OED的位置，可得△OAC≌△OED，從而得到∠EOB＝45°，把問題轉化成探索線段AB與BE的數(shù)量關系，請寫出完整的解題過程；【類比分析】（2）李老師總結了“乘風破浪”小組的解法是運用了轉化的數(shù)學思想，將分離的普通角拼成了我們熟悉的特殊角，為了讓學生進一步體會這一思想方法，李老師又提出了一個問題，請你解答：如圖3，在等邊△ABC中，AC＝6，點D是BC的中點，E是AB邊上一動點，連接DE，作∠EDF＝120°，交邊AC于點F，當BE＝2時，求CF的長；【拓展應用】（3）最后，李老師留了一道作業(yè)題，編制一道利用此種數(shù)學思想方法解決問題的題目，“披荊斬棘”小組編制的題目如下，請你解答：如圖4，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標是（0，3），B是x軸上的一動點，將AB繞點A逆時針方向旋轉150°并延長至二倍得到線段AC，當OB=3210．△ABC是等邊三角形，點D為線段BC上任意一點，連接AD，E為直線AB上一點．（1）如圖1，當點D為BC中點時，點E在AB邊上，連接DE，若AE＝1，BE＝3，求DE的長．（2）如圖2，若點E為AB延長線上一點，且BE＝CD，點F為CB延長線一點，且∠FAD＝60°，猜想線段AF，EF，AD之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想；（3）如圖3，在（1）的條件下，M為線段AD上一點，連接ME，將線段ME繞點E順時針旋轉60°，得到線段EN，連接MN，當BN+DN的值最小時，直接寫出△AEM的面積．11．在△ABC中，AB⊥BC，∠C＝45°，點E是BC邊上的一點（不含端點），F(xiàn)是AC上一點，將線段AB繞點B順時針旋轉α度得到線段BD，連接CD．（1）如圖1，連接DE、EF，若D、E、F三點共線，DF⊥BC，垂足為E，且CF＝22，S△ABF=352，求（2）如圖2，將△ABC沿著AC翻折得△MAC，若E、N分別是BC、MC的中點，連接AN，ME交AN、AC分別為P點和F點，連接CP，若∠BCD＝∠BAP，求證：2CP+2PM＝2CD．（3）如圖3，已知α＝150°，AB＝2，連接DC、DE，G為射線DE上一點，連接GC、GB，將線段BC沿著CG翻折得到CB′，若點B′落在DE的延長線上，當DG取最大值時，連接GA，P是△ABG內(nèi)部一動點，請直接寫出(PG12．“啟智”數(shù)學興趣小組對圖形的旋轉展開進一步探究，總結了一些方法和規(guī)律，請你完成相關問題．（畫圖工具不限，不寫畫法）（1）動中有定：如圖1，△ABC是邊長為2的等邊三角形．①將點A繞點C順時針旋轉一周，點A的對應點為點A′，請在圖1中畫出點A′的運動路徑，當點A′不與A、B重合時，可得∠AA′B＝°或°；②將邊AB繞點C順時針旋轉一周，請在圖1中畫出線段AB掃過的區(qū)域（用陰影表示，畫出必要的輔助線），并求出該區(qū)域的面積．（2）以靜制動：如圖2，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，將△ABC繞點C旋轉得△A'B'C，點P是線段A′B′上一個動點，點M是AC的中點．①線段PM的最小值是，最大值是；②點P到直線BC的距離為h，當PB＝PC時，求h的取值范圍．13．如圖，△ABC中，在平面內(nèi)將線段AC繞點A逆時針旋轉90°得到線段AD，過點D作DE⊥BC，分別交BC、AC于點E、F，連接AE．（1）如圖1，若∠EAD＝120°，AD=63，AE=2（2）如圖2，若∠ABC+∠EAC＝45°，求證：BC=2（3）如圖3，在（2）問的條件下，若∠BAC＝150°，點P在射線BC上運動，當AP+32BP取得最小值為4+23時，在平面內(nèi)將△APE繞點B逆時針旋轉α（0＜α＜180）度得到△A'P'E'，當點P'恰好在線段AB14．綜合與實踐問題情境：數(shù)學活動課上，老師發(fā)給每位同學一個直角三角形紙片ABC，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．問題發(fā)現(xiàn)奮進小組將三角形紙片ABC進行以下操作：第一步：折疊三角形紙片ABC使點C與點A重合，然后展開鋪平，得到折痕DE；第二步：然后將△DEC繞點D順時針方向旋轉得到△DFG．點E，C的對應點分別是點F，G，直線GF與邊AC交于點M（點M不與點A重合），與邊AB交于點N．如圖1小明發(fā)現(xiàn)，折痕DE的長很容易求出，并且MF和ME的數(shù)量關系也能證明．如圖2小紅發(fā)現(xiàn)，在△DEC繞點D旋轉的過程中，當直線GF經(jīng)過點B時或直線GF∥BC時，AM的長都可求……．問題提出與解決奮進小組根據(jù)小明和小紅的發(fā)現(xiàn)，討論后提出問題1和問題2，請你解答．問題1：如圖1，按照如上操作（1）折痕DE的長為；（2）在△DEC繞點D旋轉的過程中，試判斷MF與ME的數(shù)量關系；并證明你的結論；問題2：在△DEC繞點D旋轉的過程中，探究下列問題：①如圖2，當直線GF經(jīng)過點B時，AM的長為；②如圖3，當直線GF∥BC時，求AM的長；拓展延伸：小剛受到探究過程的啟發(fā)，在△DEC繞點D旋轉的過程中，嘗試畫圖，并提出問題3，請你解答．問題3：在△DEC繞點D旋轉的過程中，連接AF，當AF取最小值時，請直接寫出△AMD的面積．15．問題提出已知△ABC是等邊三角形，將等邊三角形ADE（A，D，E三點按逆時針排列）繞頂點A旋轉，且平移線段AD使點A與頂點C重合，得到線段CF，連接BE，EF，BF．觀察發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，當點E在線段AB上，猜想△BEF的形狀；探究遷移（2）如圖2，當點E不在線段AB上，（1）中猜想的結論是否依然成立，請說明理由；拓展應用（3）若AB＝2，AD=432，在△ADE繞著點A旋轉的過程中，當EF⊥AC

2024年中考數(shù)學復習探究性試題圖形的旋轉參考答案與試題解析一．解答題（共15小題）1．已知△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D為平面內(nèi)一點．（1）如圖1，當D點在AB的中點時，連接CD，將CD繞點D逆時針旋轉90°，得到ED，若AB＝4，求△ADE的周長；（2）如圖2，當D點在△ABC外部時，E、F分別是AB、BC的中點，連接EF、DE、DF，將DE繞E點逆時針旋轉90°得到EG，連接CG、DG、FG，若∠FDG＝∠FGE，請?zhí)骄縁D、FG、CG之間的數(shù)量關系并給出證明；（3）如圖3，當D在△ABC內(nèi)部時，連接AD，將AD繞點D逆時針旋轉90°，得到ED，若ED經(jīng)過BC中點F，連接AE、CE，G為CE的中點，連接GF并延長交AB于點H，當AG最大時，請直接寫出S△【考點】幾何變換綜合題．【專題】幾何綜合題；壓軸題；圖形的全等；平移、旋轉與對稱；圖形的相似；推理能力．【答案】（1）△ADE的周長為2+25+22（2）FD＝CG+2FG（3）S△ACGS【分析】（1）過點E作EH⊥AB交BA的延長線于H，利用AAS證明△DEH≌△CDA，可得EH＝AD＝2，DH＝AC＝4，AH＝DH﹣AD＝4﹣2＝2，運用勾股定理可得AE＝22，即可得出答案；（2）連接AF、AG，過點F作FH⊥FG交AG于H，利用SAS證明△EAG≌△EFD，可得AG＝FD，∠AGE＝∠FDE，再利用SAS證明△AFH≌△CFG，可得AH＝CG，即可得出答案；（3）設AE、GH交于點M，作AB中點P，連接PC、PE、BE、AF，作PC中點Q，連接AQ、QG，設AB＝AC＝4a，則QG＝a，PA＝2a，運用勾股定理可得PC＝25a，進而可得AQ=12PC=5a，當A、Q、G三點共線時，AG＝AQ+QG=5a+a＝（5+1）a，取得最大值，利用ASA證得△AHM≌△AGM，可得HM＝GM，AH＝AG＝（5+【解答】解：（1）過點E作EH⊥AB交BA的延長線于H，如圖1，∵點D是AB的中點，且AB＝4，∴AD＝BD=12AB＝在Rt△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝AB＝4，∴tan∠ACD=ADAC=24=由旋轉得：DE＝CD＝25，∠CDE＝90°，即∠ADC+∠ADE＝90°，∵∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠ADE＝∠ACD，在△DEH和△CDA中，∠DHE∴△DEH≌△CDA（AAS），∴EH＝AD＝2，DH＝AC＝4，∴AH＝DH﹣AD＝4﹣2＝2，在Rt△AEH中，AE=AH2∴△ADE的周長＝AD+DE+AE＝2+25+22（2）猜想：FD＝CG+2FG如圖2，連接AF、AG，過點F作FH⊥FG交AG于H，∵△ABC是等腰直角三角形，E、F分別是AB、BC的中點，∴AE＝EF，AE⊥EF，AF＝CF，∴∠AEG+∠FEG＝90°，由旋轉得ED＝EG，∠DEG＝90°，∴∠FED+∠FEG＝90°，∠EDG＝∠EGD＝45°，∴∠AEG＝∠FED，在△EAG和△EFD中，AE=∴△EAG≌△EFD（SAS），∴AG＝FD，∠AGE＝∠FDE，∵∠FDG＝∠FGE，∴∠AGE+∠FGE＝∠FDE+∠FDG＝∠EDG＝45°，即∠AGF＝45°，∵∠GFH＝90°，∴∠FHG＝45°＝∠FGH，∴△FGH是等腰直角三角形，∴FH＝FG，HG=2FG∵∠AFH+∠CFH＝∠CFG+∠CFH＝90°，∴∠AFH＝∠CFG，在△AFH和△CFG中，AF=∴△AFH≌△CFG（SAS），∴AH＝CG，∵AG＝AH+HG，∴FD＝CG+2FG（3）設AE、GH交于點M，作AB中點P，連接PC、PE、BE、AF，作PC中點Q，連接AQ、QG，如圖，∵將AD繞點D逆時針旋轉90°，得到ED，∴△AED是等腰直角三角形，∴AEAD=21，∠∵△ABF是等腰直角三角形，∴ABAF=21，∠∴ABAF∵∠BAF﹣∠EAF＝∠EAD﹣∠EAF，即∠BAE＝∠FAD，∴△BAE∽△FAD，∴∠BEA＝∠FAD＝90°，∵點P是AB的中點，∴PE=12∵Q是PC的中點，G是EC的中點，∴QG是△CPE的中位線，∴QG=12PE=14AB，設AB＝AC＝4a，則QG＝a，PA＝2a，在Rt△PAC中，PC=PA2+AQ=12PC=12×2當A、Q、G三點共線時，AG＝AQ+QG=5a+a＝（5+1）又∵QG∥PE，∴AG∥PE，∴∠PEA＝∠GAE，∵PE＝PA，∴∠PAE＝∠PEA＝∠EAG，∵F是BC的中點，G是EC的中點，∴FG是△BEC的中位線，∴FG∥BE，∴AE⊥HG，∴△AHM≌△AGM（ASA），∴HM＝GM，AH＝AG＝（5+1）a∴AEAM=∴S△∴S△ACGS【點評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉變換的性質，三角形中位線定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，三角形面積等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形或全等三角形解決問題，學會利用參數(shù)構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，BC＝10cm，AD＝8cm，點P從點B出發(fā)，在線段BC上以每秒3cm的速度向點C勻速運動，與此同時，垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB、AC、AD于E、F、H，當點P到達點C，點P與直線m同時停止運動，設運動時間為t秒（t＞0）．（1）AH＝（8﹣2t）cm，EF＝（10-52t）cm（用含（2）在整個運動過程中，所形成的△PEF的面積存在最大值，當△PEF的面積最大時，求線段BP的長；（3）是否存在某一時刻t，使△PEF為直角三角形？若存在，請求出此時刻t的值；若不存在，請說明理由．【考點】幾何變換綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】（1）（8﹣2t）cm；（10-52t）cm；（2）BP＝6（3）存在某一時刻t，使△PEF為直角三角形；當t=4017秒或t=280【分析】（1）首先用t表示出DH的長度，進而得到AH；然后依據(jù)△AEF∽△ABC，得到EFBC=AHAD，即EF10=8-2t8（2）如答圖2所示，首先求出△PEF的面積的表達式，然后利用二次函數(shù)的性質求解；（3）如答圖3所示，分三種情形，利用平行線分線段成比例定理得出比例式和勾股定理求解即可得出結論．【解答】解：（1）∵DH＝2tcm，∴AH＝（8﹣2t）cm；∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC=AH解得：EF＝（10-52t）故答案為：（8﹣2t）cm；（10-52t）（2）∵EF＝（10-52t）∴S△PEF=12EF=12（10-52=-52t2=-52（t﹣2）2+10（0＜t∴當t＝2秒時，S△PEF存在最大值，最大值為10cm2，此時BP＝3t＝6cm．（3）存在某一時刻t，使△PEF為直角三角形．理由如下：①若點E為直角頂點，如圖3.1所示，此時PE∥AD，PE＝DH＝2tcm，BP＝3tcm．∵PE∥AD，∴PEAD=BP②若點F為直角頂點，如答圖3.2所示，此時PF∥AD，PF＝DH＝2tcm，BP＝3tcm，CP＝（10﹣3t）cm．∵PF∥AD，∴PFAD=CP解得t=40③若點P為直角頂點，如答圖3.3所示．過點E作EM⊥BC于點M，過點F作FN⊥BC于點N，則EM＝FN＝DH＝2tcm，EM∥FN∥AD．∵EM∥AD，∴EMAD=BM解得BM=54t∴PM＝BP﹣BM＝3t-54t=74在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2＝EM2+PM2＝（2t）2+（74t）2=11316∵FN∥AD，∴FNAD=CN解得CN=54t∴PN＝BC﹣BP﹣CN＝10﹣3t-54t＝10-174在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2＝FN2+PN2＝（2t）2+（10-174t）2=35316t2﹣在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2＝PE2+PF2，即：（10-52t）2＝（11316t2）+（35316t2﹣化簡得：1838t2﹣35t＝0解得：t=280183或t＝∴t=280綜上所述，當t=4017秒或t=280【點評】本題是運動型綜合題，涉及動點與動線兩種運動類型．第（1）問考查了菱形的定義；第（2）問考查了相似三角形、圖形面積及二次函數(shù)的極值；第（3）問考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知識點，重點考查了分類討論的數(shù)學思想．3．問題情境】在一次數(shù)學興趣小組活動中，小昕同學將一大一小兩個三角板按照如圖1所示的方式擺放．其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠B＝30°，BE＝AC＝6．【問題探究】小昕同學將三角板DEB繞點B按順時針方向旋轉．（1）如圖2，當點E落在邊AB上時，延長DE交BC于點F，求BF的長．（2）若點C、E、D在同一條直線上，求點D到直線BC的距離．（3）連接DC，取DC的中點G，三角板DEB由初始位置（圖1），旋轉到點C、B、D首次在同一條直線上（如圖3），求點G所經(jīng)過的路徑長．（4）如圖4，G為DC的中點，則在旋轉過程中，點G到直線AB的距離的最大值是732【考點】幾何變換綜合題．【專題】面積法；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉與對稱；與圓有關的計算；運算能力；推理能力．【答案】（1）BF的長為43；（2）點D到直線BC的距離為26+2或26-（3）點G所經(jīng)過的路徑長為533（4）73【分析】（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)求解，即可求出答案；（2）分兩種情況：①當點E在BC上方時，如圖1過點D作DH⊥BC于H，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BC＝63，DE＝23，最后利用面積求解即可；②當點E在BC下方時，同①的方法，即可求出答案；（3）先求出∠BOG＝150°，再判斷出點G是以點O為圓心，23為半徑的圓上，最后用弧長公式求解，即可求出答案；（4）過點O作OK⊥AB于K，求出OK=3【解答】解：（1）由題意得，∠BEF＝∠BED＝90°，在Rt△BEF中，∠ABC＝30°，BE＝6，∴BF=BEcos∠（2）①當點E在BC上方時，如圖1，過點D作DH⊥BC于H，在Rt△ABC中，AC＝6，tan∠ABC=AC∴BC=633在Rt△BED中，∠EBD＝∠ABC＝30°，BE＝6，∴DE＝BE?tan∠DBE＝6×33=在Rt△BCE中，BE＝6，BC＝63，根據(jù)勾股定理得，CE=BC2∴CD＝CE+DE＝62+23∵S△BCD=12CD?BE=12∴DH=CD?BEBC②當點E在BC下方時，如圖2，過點D作DM⊥BC于M，同理可得CE＝62，DE＝23，∴CD＝62-23∵S△BDC=12BC?DM=12∴DM=CD?BEBC∴點D到直線BC的距離為26+2或26-（3）如圖3﹣1，連接CD，取CD的中點G，取BC的中點O，連接GO，則OG∥AB，∴∠COG＝∠B＝30°，∴∠BOG＝150°，∵點G為CD的中點，點O為BC的中點，∴GO=12BD＝2∴點G在以點O為圓心，23為半徑的圓上，如圖3﹣2，∴三角板DEB由初始位置（圖1），旋轉到點C、B、D首次在同一條直線上時，點G所經(jīng)過的軌跡為150°所對的圓弧，∴點G所經(jīng)過的路徑長為150×π×2（4）如圖4，過點O作OK⊥AB于K，∵點O為BC的中點，BC＝63，∴OB＝33，∴OK＝OB?sin30°=3由（3）知，點G是以點O為圓心，23為半徑的圓上，∴點G到直線AB的距離的最大值是23+故答案為：73【點評】本題是幾何變換綜合題，主要考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，弧長公式，三角形的中位線定理，三角形的面積，畫出圖形是解本題的關鍵．4．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝AC，D為邊BC上任意一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉60°，得到線段AE，F(xiàn)為邊AC的中點，連接BF，CE，DE．（1）如圖1，BF交AD于點G，若∠BAD＝15°，AG=6，求線段（2）如圖2，M為DE的中點，連接CM，F(xiàn)M，求證：CM＝FM；（3）如圖3，連接EF，點N為直線BC上一動點（不與點B，C重合），連接FN，將△BFN沿FN翻折至△ABC所在平面內(nèi)，得到△B′FN，連接B′E，在（2）的條件下，若AB＝4，當EF取得最小值時，直接寫出線段B′E的長度的最小值．【考點】幾何變換綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】（1）3-3（2）證明見解析過程；（3）3．【分析】（1）先證明△ABC是等邊三角形，得到∠BAC＝60°，推導出∠GAF＝45°，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義計算可得AF，F(xiàn)G，BF的長，由此即得答案；（2）過點D作DP∥CE，交BE于點P，連結MP，EP，先證明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE，∠ACE＝60°，再證明四邊形PDCE是平行四邊形，可進一步推得得CM＝MP，最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得結論；（3）由（2）知∠ACE＝60°，由此當EF⊥CE時，EF取最小值，求出這個最小值為3；由軸對稱的性質可知，點B′在以點F為圓心，BF的長為半徑的弧上運動，所以當B′，E，F(xiàn)三點共線時，線段B′E的長度取得最小值，求出這個最小值，即得答案．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC，∵∠BAD＝15°，∴∠GAF＝60°﹣15°＝45°，∵F為邊AC的中點，∴BF⊥AC，∴∠AGF＝∠GAF＝45°，∴AF=GF=∴BG=3-（2）證明：過點D作DP∥CE，交BE于點P，連結MP，EP，如圖2，∵將線段AD繞點A逆時針旋轉60°，得到線段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝60°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝60°+60°＝120°，∵DP∥CE，∴∠PDC＝180°﹣∠BCE＝60°，∵AB＝AC，F(xiàn)為邊AC的中點，∴∠DBP=12∠∴∠DBP＝∠DPB＝30°，∴BD＝DP，∴DP＝CE，∴四邊形PDCE是平行四邊形，∵M為DE的中點，∴DM＝EM，∴C，M，P三點共線，且CM=∵BF⊥FC，∴FM=∴CM＝FM；（3）解：由（2）知，∠ACE＝60°，∴射線CE與AC的夾角為定值，即射線CE的方向固定，∴當EF⊥CE時，EF取最小值，∵AB＝4，∴AC＝4，∴CF=在Rt△FEC中，EF=∵△BFN沿FN翻折至△ABC所在平面內(nèi)，得到△B′FN，∴點B′在以點F為圓心，BF的長為半徑的弧上運動，∴當B′，E，F(xiàn)三點共線時，線段B′E的長度取得最小值，如圖4，在Rt△ABF中，BF=∴線段B′E的長度的最小值為23【點評】本題主要考查了圖形的旋轉與翻折，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，解直角三角形，平行四邊形的判定與性質及直角三角形的性質等知識，作輔助線構造平行四邊形及求線段最小值的分析思路是解題的關鍵．5．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，點F為BE中點，連接DF，CF．【特例感知】（1）如圖1，當點D在AB上，點E在AC上，猜想此時線段DF，CF的數(shù)量關系為CF＝DF，位置關系為CF⊥DF；【深入探究】（2）如圖2，在（1）的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉45°時，請你判斷此時（1）中的結論是否仍然成立，并證明你的判斷；【變式拓展】（3）如圖3，在（1）的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉90°時，若AD＝1，AC=22，直接寫出線段【考點】幾何變換綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】（1）CF＝DF，CF⊥DF；（2）此時（1）中的結論仍然成立，理由見解析過程；（3）102【分析】（1）根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知DF＝BF，根據(jù)∠DFE＝2∠DCF，∠BFE＝2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB＝2∠DCB＝90°，DF⊥BF．（2）延長DF交BC于點G，先證明△DEF≌△GCF，得到DE＝CG，DF＝FG，根據(jù)AD＝DE，AB＝BC，得到BD＝BG又因為∠ABC＝90°，所以DF＝CF且DF⊥BF．（3）延長DF交BA于點H，先證明△DEF≌△HBF，得到DE＝BH，DF＝FH，根據(jù)旋轉條件可以△ADH為直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC=22，可以求出AB的值，進而可以根據(jù)勾股定理可以求出DH，再求出DF，由DF＝BF，求出得【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠BCE＝∠BDE＝90°，∠ABC＝45°，∵點F為BE中點，∴DF=∴DF＝CF，∠FBD＝∠FDB，∠FCB＝∠FBC，∵∠ABC＝∠FBD+∠FBC＝45°，∴∠CFD＝2∠FBD+2∠FBC＝90°，即CF⊥DF，故答案為：CF＝DF，CF⊥DF；（2）此時（1）中的結論是否仍然成立，證明如下：延長DF交BC于點G，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴∠FBG＝∠FED，∠FGB＝∠FDE，∵點F為BE中點，∴BF＝EF，∵∠FBG＝∠FED，∠FGB＝∠FDE，BF＝EF，∴△FGB≌△FDE（AAS），∴DE＝BG，DF＝GF，∴CF=∵AD＝DE，∴AD＝BG，∵AC＝BC，∴AC﹣AD＝BC﹣BG，即CD＝CG，∴CF⊥DF；（3）延長DF交AB于點H，連接CD，CH，如圖3，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC＝BC，AD＝DE，∠AED＝∠ABC＝45°，由旋轉的性質得出∠CAE＝∠BAD＝90°，∴AE∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠AEB﹣∠AED＝∠ABC﹣∠CBE，∠DEF＝∠HBF，∵點F為BE中點，∴BF＝EF，∵∠DEF＝∠HBF，BF＝EF，∠BFH＝∠EFD，∴△DEF≌HBH，∴DE＝HB，DF＝HF，∵AC=22，AD＝∴AB=∴AH＝AB﹣BH＝3，在Rt△ADH中，根據(jù)勾股定理可得：DH=∴DF=∵∠CAE＝90°，∠DAE＝45°，∴∠CAD＝45°，∵AD＝DE，DE＝HB，∴AD＝HB，∵AD＝HB，∠CAD＝∠CBH，AC＝BC，∴△ACD≌△CBH（SAS），∴CH＝CD，∠BCH＝∠DCA，∵∠BCH+∠ACH＝90°，∴∠DCH＝∠ACD+∠ACH＝90°，∴CF=【點評】本題主要考查了旋轉的性質，等腰三角形和全等三角形的判定，及勾股定理的運用．要掌握等腰三角形和全等三角形的性質及其判定定理并會靈活應用是解題的關鍵．6．在中點復習課中，劉老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，點D為AB的中點，連接CD，若AC＝6，BC＝4，求CD的取值范圍．【初步分析】小明經(jīng)過分析，決定延長CD到E，使CD＝DE，連接AE，可得到△BCD≌△AED，進而在△AEC中得到CE的取值范圍，于是可求得CD的取值范圍．（1）請回答：①如圖1，連接BE，由已知和作圖能得到△ADC≌△BDE的理由是B．A．SSSB．SASC．AASD．HL②求得CD的取值范圍是C．A．4＜CD＜6B．4?CD?6C．1＜CD＜5D．1?CD?5【感悟探究】小明經(jīng)過反思發(fā)現(xiàn)，解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中．于是小明嘗試用這種方法證明“中位線定理”如圖2，D，E分別是△ABC的邊AC，BC的中點，求證：DE∥AB，且DE=小明延長DE至F，使EF＝DE，連接BF．（2）請幫助小明完成證明．【感悟拓展】小明經(jīng)過再次反思發(fā)現(xiàn)，解題時，條件中若出現(xiàn)多個“中點”字樣，還可以考慮用中位線來研究中位線和三角形底邊的數(shù)量關系和位置關系．請解決以下問題：（3）如圖3，在等邊三角形ABC中，點P為射線BC位于點C右側的一個動點，將線段PC繞點P逆時針旋轉120°得到線段PD，點C的對應點為點D，連接BD，點Q為BD的中點，連接CQ．若AB＝3，當CQ=12【考點】幾何變換綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；運算能力；推理能力．【答案】（1）①B；②C；（2）證明見解答過程；（3）BP的長度為6或92【分析】（1）①根據(jù)CD＝DE，∠ADC＝∠BDE，AD＝BD推出△ADC和△BDE全等即可；②根據(jù)全等得出AE＝BC＝4，CE＝2CD，由三角形三邊關系定理得出6﹣4＜2CD＜6+4，求出即可；（2）如圖所示，延長DE到F，使得DE＝EF，證明△CDE≌△BFE，進而得到CD＝BF，∠CDE＝∠F，推導出AD∥BF；由CD＝AD，推導出AD＝BF，進而得到四邊形ABFD是平行四邊形，推導出DE∥（3）分兩種情況：當CQ為△BDP的中位線時，當CQ不是△BDP的中位線時，分別解答即可．【解答】解：（1）①∵在△ADC和△BDE中，CD=∴△ADC≌△BDE（SAS），故選：B；②∵由（1）知：△ADC≌△BDE，∴AE＝BC＝4，CE＝2CD，在△ACE中，AB＝6，由三角形三邊關系定理得：6﹣4＜2CD＜6+4，∴1＜CD＜5，故選：C；（2）證明：∵E是BC的中點，∴CE＝BE．在△CDE和△BFE中，CE=∴△CDE≌△BFE（SAS），∴CD＝BF，∠CDE＝∠F，∴AD∥BF，∵CD＝AD，∴AD＝BF，∴四邊形ABFD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），∴DF∥AB，DF＝AB，∴DE∥（3）BP的長度為6或92當CQ為△BDP的中位線時，如圖3.1，CQ=∵點Q是BD的中點，∴點C為BP的中點，∴CP＝BC＝3，∴BP＝6．當CQ不是△BDP的中位線時，連接CD，取BC的中點E，連接QE，過點P作PF⊥CD于點F，過點F作FN⊥CP于點N，過點Q作QM⊥BC于點M．如圖3.2，∵△CDP為等腰三角形，∠CPD＝120°，∴∠DCP＝30°，∴PF=∵CQ=∴PF＝CQ．∵E為BC的中點，Q為BD的中點，∴EQ是△BCD的中位線，∴EQ∥∴∠CEQ＝∠DCP＝30°，∴MQ=∴MQ＝FN，EM＝CN．∵QC＝FP，∴Rt△QCM≌Rt△FPN（HL），∴CM＝PN，∴EM+CM＝CN+PN，即EC＝CP，∴CP=EC=綜上所述，BP的長度為6或92【點評】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，中位線定理，三角形的三邊關系，借助輔助線進行解答是解答本題的關鍵．7．【問題提出】（1）如圖①，將△ABC繞點A逆時針旋轉90°得△ADE，連接CE，DB，根據(jù)條件填空：①∠ACE的度數(shù)為45°；②若CE＝2，則CA的值為2；【問題探究】（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠B＝90°，沿邊AC翻折得到△ADC，點B的對應點為點D，點E，F(xiàn)分別在DC，BC邊上，且∠EAF=12∠DAB，試猜想線段BF，EF，【問題解決】（3）如圖③是公園人工湖的平面示意圖，現(xiàn)要在人工湖對角線BD上架一座人行景觀橋，但由于年代久遠，人工湖規(guī)劃書上只留下以下數(shù)據(jù)，CD＝CB，AD＝30m，AB＝40m，∠BAD+∠BCD＝120°，且AC=32CD，求對角線【考點】幾何變換綜合題．【專題】圖形的全等；平移、旋轉與對稱；圖形的相似；推理能力；應用意識．【答案】（1）①45°；②2；（2）EF＝BF+DE，理由見解答過程；（3）對角線BD的長為20373【分析】（1）①將△ABC繞點A逆時針旋轉90°得△ADE，可得∠EAC＝90°，AE＝AC，△ACE是等腰直角三角形，故∠ACE＝45°；②由△ACE是等腰直角三角形，可得CA=CE（2）延長CD到K，使DK＝BF，證明△ADK≌△ABF（SAS），可得AK＝AF，∠DAK＝∠BAF，而∠EAF=12∠DAB，即可得△EAK≌△EAF（SAS），EF＝EK，從而EK＝DK+DE，有EF＝BF+（3）將△ADC繞C逆時針旋轉至△CBE，連接AE，過點E作EM⊥AB，交AB的延長線于點M，證明△DCB∽△ACE，可得BDAE=CDAC=23，BD=23AE，由∠BAD+∠BCD＝120°，可證∠ABC+∠EBC＝240°，即可得∠EBM＝60°，根據(jù)AB＝40m，BE＝AD＝30m，知BM＝15m，EM=3BM＝153m，由勾股定理得AE【解答】解：（1）①∵將△ABC繞點A逆時針旋轉90°得△ADE，∴∠EAC＝90°，AE＝AC，∴△ACE是等腰直角三角形，∴∠ACE＝45°；故答案為：45°；②∵△ACE是等腰直角三角形，∴CA=CE故答案為：2；（2）EF＝BF+DE，理由如下：延長CD到K，使DK＝BF，如圖：∵∠B＝90°，沿邊AC翻折得到△ADC，點B的對應點為點D，∴∠ADC＝∠B＝90°，AB＝AD，∴∠ADK＝90°＝∠B，∵DK＝BF，∴△ADK≌△ABF（SAS），∴AK＝AF，∠DAK＝∠BAF，∵∠EAF=12∠∴∠DAE+∠BAF＝∠EAF，∴∠DAE+∠DAK＝∠EAF，即∠EAK＝∠EAF，∵AE＝AE，∴△EAK≌△EAF（SAS），∴EF＝EK，∵EK＝DK+DE，∴EF＝BF+DE；（3）將△ADC繞C逆時針旋轉至△CBE，連接AE，過點E作EM⊥AB，交AB的延長線于點M，如圖：∴AD＝BE，CA＝CE，∠ACD＝∠ECB，∠ADC＝∠EBC，∴∠ACD+∠ACB＝∠ECB+∠ACB，即∠BCD＝∠ACE，∵CDCA∴△DCB∽△ACE，∵AC=32∴BDAE∴BD=23∵∠BAD+∠BCD＝120°，∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣∠BAD﹣∠BCD＝360°﹣120°＝240°，∵∠ADC＝∠EBC，∴∠ABC+∠EBC＝240°，∴∠ABE＝120°，∴∠EBM＝60°，∵AB＝40m，BE＝AD＝30m，∴BM＝15m，EM=3BM＝153m∴AM＝AB+BM＝40+15＝55（m），∴AE=AM2∴BD=23AE=20∴對角線BD的長為20373【點評】此題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，旋轉變換的性質等知識，根據(jù)題意作出輔助線，利用三角形全等是解決問題的關鍵．8．如圖1，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，點D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點F，G，H分別為BC，DE，DC的中點．（1）觀察猜想圖1中，線段GH與FH的數(shù)量關系是GH＝FH，∠GHF的度數(shù)為60°；（2）探究證明把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接GF，BD，CE，判斷△GHF的形狀，并說明理；（3）拓展延伸把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉，若AD＝2，AB＝6，請直接寫出△GHF面積的最大值．【考點】幾何變換綜合題．【專題】幾何綜合題；線段、角、相交線與平行線；三角形；圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉與對稱；運算能力；推理能力．【答案】（1）GH＝FH，60°；（2）△GHF的形狀是等邊三角形，理由見解析；（3）43．【分析】（1）易證FH是△CBD的中位線，GH是△CDE的中位線，得出FH∥BD，F(xiàn)H=12BD，GH∥CE，GH=12CE，再求出BD＝CE，得出GH＝FH，然后由平行線的性質得出∠DHF＝∠ADC，∠（2）由旋轉的性質得∠BAD＝∠CAE，先證△ABD≌△ACE（SAS），得出∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，同（1）得FH是△CBD的中位線，GH是△CDE的中位線，推出FH＝GH，∠DHG＝∠DCE，∠HFC＝∠DBC，則△GHF是等腰三角形，再證∠GHF＝60°，則△GHF是等邊三角形；（3）由（2）知△GHF是等邊三角形，F(xiàn)H＝GH=12BD，得出GH最大時，△GHF面積最大，推出點D在BA的延長線上，BD最大，此時△GHF的面積最大，求出BD最大時的長，得出【解答】解：（1）∵點F、G是BC、DC的中點，∴FH是△CBD的中位線，∴FH∥BD，F(xiàn)H=12∵點H、G是DC、DE的中點，∴GH是△CDE的中位線，∴GH∥CE，GH=12∵AB＝AC，AD＝AE，∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即BD＝CE，∴GH＝FH，∵FH∥BD，∴∠DHF＝∠ADC，∵GH∥CE，∴∠DHG＝∠DCA，∵∠ADC+∠ACD＝180°﹣∠BAC＝180°﹣120°＝60°，∴∠GHF＝∠DHF+∠DHG＝∠ADC+∠ACD＝60°，故答案為：GH＝FH，60°；（2）△GHF的形狀是等邊三角形，理由如下：由旋轉的性質得：∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，同（1）得：FH是△CBD的中位線，GH是△CDE的中位線，∴FH=12BD，GH=12CE，F(xiàn)H∥BD，∴FH＝GH，∠DHG＝∠DCE，∠HFC＝∠DBC，∴△GHF是等腰三角形，∵∠DHF＝∠HFC+∠DCB＝∠DBC+∠DCB，∴∠GHF＝∠DHG+∠DHF＝∠DCE+∠DBC+∠DCB＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，∵∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠BAC＝180°﹣120°＝60°，∴∠GHF＝60°，∴△GHF是等邊三角形；（3）由（2）知，△GHF是等邊三角形，F(xiàn)H＝GH=12∴GH最大時，△GHF面積最大，∴點D在BA的延長線上，BD最大，此時△GHF的面積最大，此時，BD＝AB+AD＝6+2＝8，∴GH=12BD=12∴S△GHF最大=34GH2=34×4【點評】本題是幾何變換綜合題，考查了三角形中位線定理、三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質、等腰三角形的判定、等邊三角形的判定與性質、旋轉的性質、全等三角形的判定由性質等知識，綜合性強，熟練掌握三角形中位線定理和等邊三角形的判定與性質是解題的關鍵．9．【問題初探】（1）李老師在數(shù)學課上提出了一個問題：如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（m，4），點B的坐標為（4，n），其中m≥0，n≥0，連接OA，OB，AB，過點A作AC⊥y軸于點C，過點B作BD⊥x軸于點D，當∠AOB＝45°時，試用含m，n的代數(shù)式表示AB的長度．“乘風破浪”小組的思路是：如圖2，利用旋轉變換構造45°特殊角的思路，延長BD至E，使DE＝CA，連接OE，相當于將△OAC繞點O順時針方向旋轉90°至△OED的位置，可得△OAC≌△OED，從而得到∠EOB＝45°，把問題轉化成探索線段AB與BE的數(shù)量關系，請寫出完整的解題過程；【類比分析】（2）李老師總結了“乘風破浪”小組的解法是運用了轉化的數(shù)學思想，將分離的普通角拼成了我們熟悉的特殊角，為了讓學生進一步體會這一思想方法，李老師又提出了一個問題，請你解答：如圖3，在等邊△ABC中，AC＝6，點D是BC的中點，E是AB邊上一動點，連接DE，作∠EDF＝120°，交邊AC于點F，當BE＝2時，求CF的長；【拓展應用】（3）最后，李老師留了一道作業(yè)題，編制一道利用此種數(shù)學思想方法解決問題的題目，“披荊斬棘”小組編制的題目如下，請你解答：如圖4，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標是（0，3），B是x軸上的一動點，將AB繞點A逆時針方向旋轉150°并延長至二倍得到線段AC，當OB=32【考點】幾何變換綜合題．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉與對稱；圖形的相似；運算能力；推理能力．【答案】（1）AB的長為m+n；（2）CF的長為1；（3）點C的橫坐標為32或9【分析】（1）由點A的坐標為（m，4），點B的坐標為（4，n），得AC＝m，BD＝n，OC＝OD＝4，證明△OCA≌△ODE（SAS），可得∠AOC＝∠DOE，OA＝OE，即可證△AOB≌△EOB（SAS），得AB＝BE，從而可得AB的長為m+n；（2）過D作DG⊥AB于G，過D作DH⊥AC于H，證明△BDG≌△CDH（AAS），可得BG＝CH=32，DG＝DH，再證△GDE≌△HDF（ASA），可得GE＝HF=12，故CF＝CH﹣（3）延長CA交x軸于K，過B作BT⊥CK于T，過C作CQ⊥y軸于Q，當B在原點右邊時，求出AB=392，證明△BKT∽△AKO，可得KTOK=BKAK=BTOA，即可得KTOK=32+OK3134+KT=3943，可解得KT【解答】解：（1）∵點A的坐標為（m，4），點B的坐標為（4，n），∴AC＝m，BD＝n，OC＝OD＝4，∵AC⊥y軸，過點B作BD⊥x軸，∴∠ACO＝90°＝∠BDO＝∠ODE，∵AC＝DE，∴△OCA≌△ODE（SAS），∴∠AOC＝∠DOE，OA＝OE，∵∠AOC+∠AOD＝90°，∴∠DOE+∠AOD＝90°，即∠AOE＝90°，∵∠AOB＝45°，∴∠BOE＝45°，∴∠AOB＝∠BOE，∵OB＝OB，∴△AOB≌△EOB（SAS），∴AB＝BE，∴AB＝DE+BD＝AC+BD＝m+n；∴AB的長為m+n；（2）過D作DG⊥AB于G，過D作DH⊥AC于H，如圖：∵D為BC中點，∴BD＝CD=12BC＝∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，在Rt△BDG中，BG=12BD∵BE＝2，∴GE＝BE﹣BG＝2-3∵∠BGD＝90°＝∠CHD，∴△BDG≌△CDH（AAS），∴BG＝CH=32，DG＝∵∠GDH＝360°﹣∠AGD﹣∠A﹣∠AHD＝360°﹣90°﹣60°﹣90°＝120°，∴∠GDE+∠EDH＝120°，∵∠EDF＝∠EDH+∠HDF＝120°，∴∠GDE＝∠HDF，∵∠EGD＝90°＝∠FHD，∴△GDE≌△HDF（ASA），∴GE＝HF=1∴CF＝CH﹣HF=32∴CF的長為1；（3）延長CA交x軸于K，過B作BT⊥CK于T，過C作CQ⊥y軸于Q，當B在原點右方時，如圖：∵A（0，3），OB=3∴AB=3∵∠CAB＝150°，∴∠TAB＝30°，∴BT=12AB=394，AT∵∠BKT＝∠AKO，∠BTK＝90°＝∠AOK，∴△BKT∽△AKO，∴KTOK∴KTOK解得KT=31328，∴AK＝AT+KT=3∵CQ∥OK，∴△ACQ∽△AKO，∴CQOK∵AC＝2AB=39∴CQ3∴CQ=3∴點C的橫坐標為32當B在原點左方時，如圖：同理可得點C的橫坐標為92綜上所述，點C的橫坐標為32或9【點評】本題考查幾何變換綜合應用，涉及全等三角形判定與性質，相似三角形判定與性質，含30°角的直角三角形三邊關系等，解題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形或相似三角形解決問題．10．△ABC是等邊三角形，點D為線段BC上任意一點，連接AD，E為直線AB上一點．（1）如圖1，當點D為BC中點時，點E在AB邊上，連接DE，若AE＝1，BE＝3，求DE的長．（2）如圖2，若點E為AB延長線上一點，且BE＝CD，點F為CB延長線一點，且∠FAD＝60°，猜想線段AF，EF，AD之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想；（3）如圖3，在（1）的條件下，M為線段AD上一點，連接ME，將線段ME繞點E順時針旋轉60°，得到線段EN，連接MN，當BN+DN的值最小時，直接寫出△AEM的面積．【考點】幾何變換綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】（1）DE=7（2）AF＝AD+EF，理由見解答過程；（3）S△AEM=5【分析】（1）作EF⊥AD于F，可得出EF∥BC，從而△AEF∽△ABD，從而AFAD=EFBD=（2）在AF上截取AG＝AD，連接BG，可推出△AGB≌△ADC，從而∠ABG＝∠C＝60°，BG＝CD，進而可證明△FBE≌△FBG，從而得出EF＝FG，進一步得出結論；（3）在AC上截取AW＝AE＝1，連接WN，可證得△AEM≌△WEN，從而∠EWN＝∠BAD＝30°，從而得出∠AWN＝90°，從而得出點N在過W且于AW垂直的直線上l運動，作點B關于l的對稱點B′，連接DB′交l于點N，直線l交AB于I，B′D交AB于X，可推出△BDI是等邊三角形，從而XI＝BX＝1，進而得出IN得值，可求得GI得值，進而求得GN，從而求得AM，進一步得出結果．【解答】解：（1）如圖1，作EF⊥AD于F，∵△ABC是等邊三角形，點D是BC的中點，∴BC＝AB＝AE+BE＝4，AD⊥BC，BD＝CD=12BC＝2，AD=32AB∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABD，∴AFAD∴AF=14AD=32∴DF＝AD﹣AF=3∴DE=D（2）AF＝AD+EF，理由如下：如圖2，AF＝AD+EF，理由如下：在AF上截取AG＝AD，連接BG，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，∴∠FAD＝∠BAC＝60°，∴∠FAB＝∠CAD，∴△AGB≌△ADC（SAS），∴∠ABG＝∠C＝60°，BG＝CD，∴∠FBG＝180°﹣∠ABG﹣∠ABC＝60°，∵BE＝CD，∴BG＝BE，∵∠FBE＝∠ABC＝60°，∴∠FBE＝∠FBG，∵BF＝BF，∴△FBE≌△FBG（SAS），∴EF＝FG，∴AF＝AG+FG＝AD+EF；（3）如圖3，在AC上截取AW＝AE＝1，連接WN，∵∠ABC＝60°，∴△AEW是等邊三角形，∴∠AEW＝60°，AE＝EW＝1，∵點D為BC中點，∴AD為∠BAC在平分線，∴AD⊥EW，∴EO=1∵線段ME繞點E順時針旋轉60°得到線段EN，∴∠MEN＝60°，EM＝EN，∴∠MEN＝∠AEW，∴∠AEM＝∠WEN，∴△AEM≌△WEN（SAS），∴∠EWN＝∠BAD＝30°，∴∠AWN＝90°，∴點N在過W且于AW垂直的直線上l運動，如圖4，作點B關于l的對稱點B′，連接DB′交l于點N，直線l交AB于I，B′D交AB于X，此時BN+DN最小，即為B′D，∵∠AGN＝90°，AG＝1，∠BAC＝60°，∴AI＝2AG＝2，∴BI＝BD＝2，∵∠ABC＝60°，∴△BDI是等邊三角形，∴XI＝BX＝1，∵∠NIX＝∠AIG＝30°，∠IXN＝90°，∴IN=IX∵GI＝AG?tan60°=3AG=∴GN＝GI+IN=5∴AM＝GN=5∴S△AEM=12AM?EO【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，軸對稱的性質，等腰三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解決問題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形．11．在△ABC中，AB⊥BC，∠C＝45°，點E是BC邊上的一點（不含端點），F(xiàn)是AC上一點，將線段AB繞點B順時針旋轉α度得到線段BD，連接CD．（1）如圖1，連接DE、EF，若D、E、F三點共線，DF⊥BC，垂足為E，且CF＝22，S△ABF=352，求（2）如圖2，將△ABC沿著AC翻折得△MAC，若E、N分別是BC、MC的中點，連接AN，ME交AN、AC分別為P點和F點，連接CP，若∠BCD＝∠BAP，求證：2CP+2PM＝2CD．（3）如圖3，已知α＝150°，AB＝2，連接DC、DE，G為射線DE上一點，連接GC、GB，將線段BC沿著CG翻折得到CB′，若點B′落在DE的延長線上，當DG取最大值時，連接GA，P是△ABG內(nèi)部一動點，請直接寫出(PG【考點】幾何變換綜合題．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；圓的有關概念及性質；圖形的相似；解直角三角形及其應用；運算能力；推理能力．【答案】（1）27；（2）證明過程詳見解答；（3）75-123【分析】（1）設BE＝a，則AB＝BC＝a+2，根據(jù)12AB?BE=（2）作CG⊥EM于G，作DH⊥BC于H，可證得ABCM是正方形，可證得△AMN≌△MCE，從而得出∠CME＝∠MAN，進而得出MG＝2CG，∠APM＝90°，可證得△APM≌△AGC，從而PM＝CG，進而證得CG＝PG，從而∠CPG＝∠PCG＝45°，進而得出PM+22CP＝PM+PG＝MG＝2CG，可證得△MCG≌△BCH，從而CH＝（3）可證得△BCD是等邊三角形，從而∠BCD＝60°，CD＝BC，進而得出∠CBD＝∠CDG，從而得出點B、D、C、G共圓，從而得出∠BGD＝∠BCD＝60°，從而點G在△BCD的外接圓上運動，當DG是△BD外接圓的直徑時，DG最大，此時∠DBG＝90°，進而求得DG的長；作AW⊥AP，并使AW=12PA，作AV⊥AB，并使AV=12AB，連接WV，可證得△VAW∽△BAP，從而得出WVPB=AWPA=12，進而得出PG+12PB+52PA＝PG+WP+WV，從而得出當G、P、W、V共線時，PG+12PB+52PA最小，作GR⊥AV，交【解答】（1）解：設BE＝a，則AB＝BC＝a+2，∵DF⊥BC，AB⊥BC，∴12∴12∴a1＝7，a2＝﹣5（舍去），∴BD＝AB＝BC＝7，BE＝5，∴DE2＝BD2﹣BE2＝72﹣52＝24，∴CD=D（2）證明：如圖1，作CG⊥EM于G，作DH⊥BC于H，∵將△ABC沿著AC翻折得△MAC，AB＝BC，∠ABC＝90°，∴AM＝AB＝BC＝CM，∴四邊形ABCM是菱形，∴菱形ABCM是正方形，∴∠AMN＝∠BCM＝90°，CM∥AB，∴∠BAP＝∠ANM，∵∠BCD＝∠BAP，∴∠BCD＝∠ANM，∵線段AB繞點B順時針旋轉α度得到線段BD，∴BD＝AB＝BC，∴CD＝CH，∵N是CM的中點，E是BC的中點，∴MN=12CM=12AM∴tan∠MAN=MNAM=12∴△AMN≌△MCE（SAS），∴∠CME＝∠MAN，∴tan∠CME=CGMG=12，∠MAN+∠AME＝∠CME+∠AME∴MG＝2CG，∠APM＝90°，∴∠APM＝∠MGC＝90°，∴△APM≌△AGC（AAS），∴PM＝CG，∴MG＝2PM＝2CG，∴PG＝PM，∴CG＝PG，∴∠CPG＝∠PCG＝45°，∴PG=2∴PM+22CP＝PM+PG＝MG＝2∵∠AMN＝∠BHC＝90°，∠ANM＝∠BCD，∴∠MAN＝∠CBH，∴∠CBH＝∠CME，∵∠MGC＝∠BHC＝90°，CM＝BC，∴△MCG≌△BCH（AAS），∴CH＝CG，∴MG＝2CG，∴CD＝MG，∴CD＝PM+22∴2PM+2（3）如圖2，∵∠ABD＝α＝150°，∠ABC＝90°，∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝60°，∵BC＝BD，∴△BCD是等邊三角形，∴∠BCD＝60°，CD＝BC，∵線段BC沿著CG翻折得到CB′，∴∠B′＝∠CBG，CB′＝CB，∴CB′＝CD，∴∠CDG＝∠B′，∴∠CBD＝∠CDG，∴點B、D、C、G共圓，∴∠BGD＝∠BCD＝60°，∴點G在△BCD的外接圓上運動，當DG是△BD外接圓的直徑時，DG最大，此時∠DBG＝90°，∴∠ABG＝∠ABD﹣∠DBG＝150°﹣90°＝60°，DG=BD作AW⊥AP，并使AW=12PA，作AV⊥AB，并使AV=12∴∠PAW＝∠BAV＝90°，AVAB=AWPA=∴∠BAP＝∠WAV，∴△VAW∽△BAP，∴WVPB∴WV=1∴PG+12PB+52PA＝PG+∴當G、P、W、V共線時，PG+1作GR⊥AV，交AV的延長線于R，作GX⊥AB于X，∴∠R＝∠GXA＝∠RAX＝90°，∴四邊形AXGR是矩形，∴AR＝GX＝BG?sin∠ABG＝BG?sin60°=233×32=1，BX＝BG?cos∠ABG∴RV＝AR+AV＝1+12AB＝2，GR＝AX＝AB﹣BX＝2∴GV2＝RV2+GR2＝22+（6-33）2∴(PG+1【點評】本題考查了正方形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，確定圓的條件，圓的有關性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解決問題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形．12．“啟智”數(shù)學興趣小組對圖形的旋轉展開進一步探究，總結了一些方法和規(guī)律，請你完成相關問題．（畫圖工具不限，不寫畫法）（1）動中有定：如圖1，△ABC是邊長為2的等邊三角形．①將點A繞點C順時針旋轉一周，點A的對應點為點A′，請在圖1中畫出點A′的運動路徑，當點A′不與A、B重合時，可得∠AA′B＝30°或150°；②將邊AB繞點C順時針旋轉一周，請在圖1中畫出線段AB掃過的區(qū)域（用陰影表示，畫出必要的輔助線），并求出該區(qū)域的面積．（2）以靜制動：如圖2，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，將△ABC繞點C旋轉得△A'B'C，點P是線段A′B′上一個動點，點M是AC的中點．①線段PM的最小值是2310，最大值是8.5②點P到直線BC的距離為h，當PB＝PC時，求h的取值范圍．【考點】幾何變換綜合題．【專題】圓的有關概念及性質；解直角三角形及其應用；運算能力；推理能力．【答案】（1）①30，150；②π；（2）①2310，8.5②339【分析】（1）①當A′在優(yōu)弧AmB上時，∠AA′B=12∠ACB=30°，當點A′在劣弧AB上時，∠AA′B＝180②線段AB掃過的區(qū)域的面積等于半徑2圓的面積減去半徑為3的圓的面積；（2）①線段AB運動區(qū)域是圓環(huán)，其中大圓的半徑是6，小圓的半徑可用面積法求得，作CD⊥AB于D，作AE⊥BC于E，從而CD=BC②作AF⊥BE于E，交大圓于W，可得出點P在BC的垂直平分線AF上設大圓的直徑為BE，連接WB，WE，可根據(jù)tanE＝tan∠FWB得出BFWF=WFEF，從而求得WF＝3【解答】解：（1）①，如圖1，∵A′C＝AC，∴點A′在以C為圓心，2為半徑的圓，當A′在優(yōu)弧AmB上時，∠AA′B=1當點A′在劣弧AB上時，∠AA′B＝180°﹣30°＝150°，故答案為：30會后150；②如圖2，作CD⊥AB于D，∵AC＝2，∴S大圓＝π?22＝4π，∵△ABC是等邊三角形，∴CD=32AB∴S小圓＝π?（3）2＝3π，∴S陰影＝π；（2）如圖3，①作CD⊥AB于D，作AE⊥BC于E，線段AB運動區(qū)域是圓環(huán)：大圓是以C為圓心，BC為半徑，小圓半徑是CD的長，設AC交小圓于P1，∵AB＝AC，BC＝6，∴BE＝3，AE＝4，由面積法得：CD=BC∴MP1＝CP1﹣CM=24延長AC交大圓于P2，則MP2＝CM+CP2＝CM+CB＝2.5+6＝8.5，∴PM的最小值為2310，最大值為8.5故答案為：2310，8.5②如圖3，作AF⊥BE于E，交大圓于W，∵PB＝PC，∴點P在BC的垂直平分線AF上設大圓的直徑為BE，連接WB，WE，∴∠BPE＝90°，BE＝BC＝6，EF＝BE﹣BF＝9，∵∠FWB+∠WBE＝∠E+∠WBE＝90°，∴∠E＝∠FWB，∴tanE＝tan∠FWB，∴BFWF∴WF2＝BF?EF＝27，∴WF＝33，設BE交小圓于G，H，AF交小圓于V，連接VG，VH，∵CG＝CH=245，CF＝∴FG＝CG﹣CF=95，F(xiàn)H＝CF+CG同理可得：FV2＝FG?FH=9∴339【點評】本題考查了圓的定義，圓周角定理和圓的內(nèi)接四邊形的性質，銳角三角函數(shù)的定義等知識，解決問題的關鍵是要有較強計算能力．13．如圖，△ABC中，在平面內(nèi)將線段AC繞點A逆時針旋轉90°得到線段AD，過點D作DE⊥BC，分別交BC、AC于點E、F，連接AE．（1）如圖1，若∠EAD＝120°，AD=63，AE=2（2）如圖2，若∠ABC+∠EAC＝45°，求證：BC=2（3）如圖3，在（2）問的條件下，若∠BAC＝150°，點P在射線BC上運動，當AP+32BP取得最小值為4+23時，在平面內(nèi)將△APE繞點B逆時針旋轉α（0＜α＜180）度得到△A'P'E'，當點P'恰好在線段AB【考點】幾何變換綜合題．【專題】三角形；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】（1）239；（2）見解析；（3）42+26【分析】（1）過點D作DG⊥AE交延長線于點G，則∠DAG＝60°，在Rt△DEG中，DE=GD2（2）在DE上截取DM＝EC，過點A作AN⊥AC交BC于點N，證明△ADM≌△ACE（SAS），可知△AEM是等腰直角三角形，再證明△ABN≌△ACE（ASA），解得BN＝EC，則BC＝2CE+2AE（3）將BC繞點B旋轉60°，過點A作AQ⊥BQ交BC于點P，則AP+32BP＝AQ，此時AP+32BP取得最小值，即AQ＝4+23，根據(jù)題意可求旋轉角α＝15°，再由AP+PQ＝BP+PQ＝BP+32BP＝4+23，求出BP＝AP＝4，根據(jù)直角三角形的性質分別求出PE＝23+2，A'M=6+2，即可求△A′PE的面積=1【解答】（1）解：如圖1，過點D作DG⊥AE交延長線于點G，∵∠DAE＝120°，∴∠DAG＝60°，∵AD＝63，∴AG=12AD＝3∴DG=AD∵AE＝23，∴GE＝53，在Rt△DEG中，DE=GD2（2）證明：如圖2，在DE上截取DM＝EC，過點A作AN⊥AC交BC于點N，由旋轉可知，AD＝AC，∠DAC＝90°，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∴∠D＝∠C，∴△ADM≌△ACE（SAS），∴AM＝AE，∠DAM＝∠EAC，∵∠DAM+∠MAC＝90°，∴∠EAC+∠CAM＝90°，∴△AEM是等腰直角三角形，∴∠AEM＝45°，∴∠AEC＝45°，∵∠NAE＝90°，∴∠ANE＝45°，∴AN＝AE，∠ANB＝∠AEC，∵∠ABC+∠EAC＝45°，∠ABN+∠BAN＝45°，∴∠BAN＝∠CAE，∴△ABN≌△ACE（ASA），∴BN＝EC，∴BC＝2CE+2AE（3）解：如圖3，將BC繞點B旋轉60°，過點A作AQ⊥BQ交BC于點P，∵∠PBQ＝60°，∠BQP＝90°，∴PQ＝BP?sin60°=32∴AP+32BP＝AQ，此時AP+32BP取得最小值，即AQ∵∠BAC＝150°，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝15°，∵點P'恰好在線段AB，∴旋轉角α＝15°，∵∠APC＝∠BPQ＝30°，∴AP＝BP，∴AP+PQ＝BP+PQ＝BP+32BP＝4+2∴BP＝AP＝4，∵∠APE＝30°，∴AN＝2，∴PN＝23，∵∠AEP＝45°，∴NE＝AN＝2，∴PE＝23+2∵NB＝4+23，AN＝2，∴AB=AN2+B∵AB＝A'B，∴A'B＝26+22∵∠A'BM＝30°，∴A'M=6∴△A′PE的面積=12×（2+23）×（6+2）＝【點評】本題考查幾何變換的綜合應用，熟練掌握三角形全等的判定及性質，等腰三角形的性質，胡不歸求最短距離的方法是解題的關鍵．14．綜合與實踐問題情境：數(shù)學活動課上，老師發(fā)給每位同學一個直角三角形紙片ABC，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．問題發(fā)現(xiàn)奮進小組將三角形紙片ABC進行以下操作：第一步：折疊三角形紙片ABC使點C與點A重合，然后展開鋪平，得到折痕DE；第二步：然后將△DEC繞點D順時針方向旋轉得到△DFG．點E，C的對應點分別是點F，G，直線GF與邊AC交于點M（點M不與點A重合），與邊AB交于點N．如圖1小明發(fā)現(xiàn)，折痕DE的長很容易求出，并且MF和ME的數(shù)量關系也能證明．如圖2小紅發(fā)現(xiàn)，在△DEC繞點D旋轉的過程中，當直線GF經(jīng)過點B時或直線GF∥BC時，AM的長都可求……．問題提出與解決奮進小組根據(jù)小明和小紅的發(fā)現(xiàn)，討論后提出問題1和問題2，請你解答．問題1：如圖1，按照如上操作（1）折