2024年江西省高考數(shù)學(xué)考前信息必研卷5（新高考新題型專用）（解析版）

絕密★啟用前

2024年高考考前信息必刷卷05

數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

全國陸續(xù)有多個省份官宣布在2024年的高考數(shù)學(xué)中將采用新題型模式。

新的試題模式與原模式相比變化較大，考試題型為8（單+3（多選題）+3（填空題）+5（解答題），

其中單選題的題量不變，多選題、填空題、解答題各減少1題，多選題由原來的。分、2分、5分三種得分

變?yōu)椤安糠诌x對得部分分，滿分為6分”，填空題每題仍為5分，總分15分，解答題變?yōu)?題，分值依次為

13分、15分、15分、17分、17分。函數(shù)和導(dǎo)數(shù)不再是壓軸類型，甚至有可能是第一道大題，增加的新定

義的壓軸題，以新舊知識材料為主來考察考生的數(shù)學(xué)思維能力，難度較大

????

從2024屆九省聯(lián)考新模式出題方向可以看出，除了8+3+3+5的模式外，核心的變化在于改變以往的死

記硬背的備考策略，改變了以前套公式的學(xué)習(xí)套路，現(xiàn)在主要是考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的靈活，對三角函數(shù)

喝數(shù)列的考察更加注重技巧的應(yīng)用，統(tǒng)計(jì)概率結(jié)合生活情景來考查考生數(shù)學(xué)在生活中的實(shí)際應(yīng)用，特別是

最后一道大題，題目給出定義，讓考生推導(dǎo)性質(zhì)，考查考生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)探索能力，這就要求考

生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要注重定理、公式的推導(dǎo)證明，才能培養(yǎng)數(shù)學(xué)解決這類問題的思維素養(yǎng)。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.已知全集0=11,集合4=卜|y=尤2],8={y|y=2*+i,xeR},則“尤e（必4）口3”是“xe{x|xw。}”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】由4=卜1y=「2x—可得2尤—無2不0,解得04x42,

所以A={x|OV尤W2},3={y|y>O},.'.^A={x|x<0或尤>2},(e4)口3=國x^O},故選:C.

2.甲箱中有2個白球和4個黑球，乙箱中有4個白球和2個黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，以

A，4分別表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以8表示從乙箱中取出的是白

球，則下列結(jié)論錯誤的是（）

511Q

A.4，4互斥B.F（B|4）=-C.P（AB）=-D.P（B）=-

【答案】c

【解析】因?yàn)槊看沃蝗∫磺颍?，&是互斥的事件，故A正確；

由題意得尸（A）=g,尸（4）=jP（B|4）=p.

1S9413

P（B）=JP（4B）+P（4B）=-x-+-x-=-I故B,D均正確；

74Q

因?yàn)槭蔆錯誤.

故選：C.

3.某中學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)競賽選拔考試，A,B,C,D,E共5名同學(xué)參加比賽，決出第1名到第5名的名次.

A和B去向教練詢問比賽結(jié)果，教練對A說：“你和8都沒有得到冠軍.”對B說：“你不是最后一名.”從這兩

個回答分析，5人的名次排列方式共有（）

A.54種B.72種C.96種D.120種

【答案】A

【解析】根據(jù)題意可知A和8都沒有得到冠軍，且8不是最后一名，分兩種情況：

①A是最后一名，則B可以為第二、三、四名，即B有3種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，

有A；=6種情況，此時(shí)有3x6=18種名次排列情況；

②A不是最后一名，A,B需要排在第二、三、四名，有A；=6種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，

有A：=6種情況，此時(shí)有6*6=36種名次排列情況，則5人的名次排列方式共有18+36=54種.

故選A.

4.古希臘的數(shù)學(xué)家海倫在他的著作《測地術(shù)》中最早記錄了“海倫公式"：S=Mp-G（p-b）（p-c）,其

中。=￡±|1￡,a,b,c分別為一ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊，該公式具有輪換對稱的特點(diǎn).已知

在_ABC中，sinA:sinB:sinC=8:7:3,且一ABC的面積為12—,則BC邊上的中線長度為（）

A.372B.4C.774D.5/26

【答案】D

【解析】設(shè)。是5c的中點(diǎn)，連接AD.

依題意，在_ABC中,sinA:sinB:sinC=a:b:c=8:l:3,

49+9-641

設(shè)a=8左,匕=7左,。=3左，左>0,由余弦定理得cosA=---------=——

2x7x37

所以A為鈍角，所以sinA=5/1-cos2A=士叵,

7

所以SAABC=gx3%x7左X孚=12道,公=2,

A￡>=1(AB+AC),兩邊平方得AD?=；(加+3+2AHAC)

=1|9+49-2x3x7x-|^2=13A:2=26,

41V

所以|叫=同

故選：D

5.如圖1,兒童玩具紙風(fēng)車的做法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，取一張正方形紙折出“十”字折痕，然后把四個角

向中心點(diǎn)翻折，再展開，把正方形紙兩條對邊分別向中線對折，把長方形短的一邊沿折痕向外側(cè)翻折，然

后把立起來的部分向下翻折壓平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，這樣,

紙風(fēng)車的主體部分就完成了，如圖2,是一個紙風(fēng)車示意圖，則（）

A.OC=OEOAOB>0

C.OA+OD=2OED.OA+OC+OD=Q

【答案】C

【解析】不妨設(shè)|OB|=|OC|=|OE|=1,則血|=|加=應(yīng),

對于A項(xiàng)，顯然0C與?！攴较虿灰恢?，所以O(shè)CwOE，故A項(xiàng)錯誤；

對于B項(xiàng)，由圖知/493是鈍角，則。4-O3=|OA|-|OB|cosNAOB<0,故B項(xiàng)錯誤；

對于C項(xiàng)，由題意知點(diǎn)E是線段AO的中點(diǎn)，則易得：OE=g(OA+O。),即得：OA+OD=2OE，故C項(xiàng)

正確；

對于D項(xiàng)，由。4+OC+OD=(OA+OD)+OC=2OE+OC,而0E與0C顯然不共線，故OA+OC+ODwO.即

D項(xiàng)錯誤.

故選：C.

22

6.已知耳，B分別是雙曲線「：工一2T=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，過片的直線分別交雙曲線左、右兩

ab

支于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，CB=3F2A,B八平分/々BC,則雙曲線「的離心率為()

A.V7B.75C.6D.V2

【答案】A

因?yàn)镃B=3&A,所以「,與人居S/VJBC,

設(shè)|明=2c,則向Cj=4c,設(shè)防=/,則忸耳|=3t,|AB1=2"

因?yàn)榧雌椒?耳BC,由角平分線定理可知，號=盟=!1=；

所以忸4=2|明|=6八所以|4q=3忸。=2/,

由雙曲線定義知|A閭A1=2a,即2r-r=2o,t=2a,①

又由吃卜吃|=2a得忸閭=3好2a=2乙

所以忸段=|/山|=|伍|=2f,即△42乙是等邊三角形，

所以/心8。=ZABF2=60°.

忸周2+忸耳「一|片以

在?耳聰中,由余弦定理知cos/耳3乙

2?阿卜怛閭

14r+%2-4。2

即Rn_=------------化簡得7產(chǎn)=土2,

22?27?3/

把①代入上式得e=￡=S\所以離心率為近.

a

故選：A.

7.已知AB,C,。四點(diǎn)均在半徑為R（R為常數(shù)）的球。的球面上運(yùn)動，且ABMACABLACADLBC,

4

若四面體A8CD的體積的最大值為則球。的表面積為（）

9兀

A.2兀B.3兀C.—D.971

4

【答案】D

【解析】因48=4(7,45_14(7,取8(7中點(diǎn)為？/,則AN_L3C,又ADLBC,AN,ADu平面⑷V。,

ANAD=A,

則BC,平面4VD,3Cu面ABC,則平面ABC，平面AM）,要使四面體ABCD的體積最大，則有DNL

平面ABC,且球心。在rw上.

設(shè)球體半徑為凡則OA=OD=R,則％_A8c=；SA8c-DN=；(g8CAN)(R+0N),

又注意到BC=24V,AN2=OA^-ON2=R2-ON2,貝U

111?

2

VD_ABC=-SABC-DN=-ANiR+ON)=-(R+ON)-(R-ON).

注意到:(R+ON)?(R-ON)=g(R+ON)(E+ON)(2R-2ON)<g■產(chǎn)+2。~;27?—2。=)=g(事

4

當(dāng)且僅當(dāng)2A-2ON=R+ON,即R=3ON時(shí)取等號.又四面體ABC。的體積的最大值為§,貝U

1MT??4?3

6I3J32

則球的表面積為4兀尺2=9兀.

故選：D.

D

8.若a=Q001+sin0.001,人=山1.001,c=e0001-l,貝I()

A.b>c>aB.c>a>bC.ob>aD.a>ob

【答案】D

【解析】令〃x)=x+sinx,g(x)=ln(x+l),7i(x)=ex-l,

p^x)=h^x)-=-1-X-SAWC,^(x)=/z(x)—g(x)=ex-l-ln(x+l),

貝!Jpf(x)=ex—1-cosx,qf(x)=ex---,

令根(x)=p'(x),加(x)=e"+sinx,當(dāng)xw0,；1時(shí)，m(x)>0,所以p'(x)在0,；)時(shí)單調(diào)遞增,

所以當(dāng)xe。，￡|時(shí),

p'(%)vp'Ve-1—cos—<Ve-1-cos—=yfe-1—<0,

262

所以"(x)在無eo,j時(shí)單調(diào)遞減，所以p(0.001)<p(0)=0,所以c<a；

當(dāng)xe0,1時(shí),q[x)=e，一令〃(x)=d(x),則〃(x)=e'+(/])2>0,

所以〃(x)=4'(x)在0,9上單調(diào)遞增，所以q'(x)2q'(O)=O,

所以鼠”在0,￡|上單調(diào)遞增，

所以4(0.001)>4(0)=0,所以c>b,

綜上，a>c>b.

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.如圖所示，已知角的始邊為x軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為AB,M為

線段A3的中點(diǎn)，射線加與單位圓交于點(diǎn)C,則()

B.\OM\=COS―—―

11212

C.點(diǎn)C的坐標(biāo)為[cos2芋,sin2了J

--，一，/

a+0cosB-asi.na+Bs.mB-a

D.點(diǎn)M的坐標(biāo)為|cos22，92

【答案】ABC

TT

【解析】對于A：因?yàn)?AOx=a,/3Qx=〃，0<a<^<p所以NAO8=￡—。，正確;

對于B：依題意M為線段AB的中點(diǎn)，則則

又|。4|=1,所以|OM|=|OA|cosZAOM=cos與區(qū)，正確；

對于C：M為線段AB的中點(diǎn)，射線。加與單位圓交于點(diǎn)C,則C為A8的中點(diǎn)，

所以NCOx=a+"^="^,

22

又|OC|=1,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為卜。正確；

對于D：67+亭+0等一冶］

1a-\-Ba-B.a+/3.a-Ba+3a-B.a+B.a-B

—cos-------cos----------sin--------sin---------bcos-------cos---------bsin-------sin--------

222222222

=」2cos空2cosa-(3a+Ba-B

cos.......-cos.......-

22222

sin[等+]]+sin-D]

yM=；(%+%)=g(sina+sin/7)=g

1.a+Ba-Ba+6.a-B.a+Ba-Ba+B.a-B

—sin-------cos---------Fcos-------sm---------Fsin-------cos----------cos--------sin--------

222222222

1..cc/3cc—B.a+￡cc—B

二-?2sin-------cos--------=sin--------cos--------

22222

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（cos色gcos2y4,sin*cos

錯誤.故選：ABC.

2

10.英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn).己知二次函數(shù)了⑺有兩個不相等的實(shí)根瓦C,其中

C>b.在函數(shù)〃尤）圖象上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)處作曲線y=/（尤）的切線，切線與無軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為巧；用巧代

替毛，重復(fù)以上的過程得到斗；一直下去，得到數(shù)列｛%｝.記4=lnZ且，且q=l,X?>c,下列說法正

Xn-C

確的是（）

A.（其中l(wèi)ne=l）B.數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列

e-1

C.%=白D.數(shù)歹的前”項(xiàng)和S"=2"-2~+l

32I

【答案】AD

【解析】對于A選項(xiàng)，由％=ln?=l得土心=e,所以工產(chǎn)至?，故A正確.

xx-cxx-ce-1

.?二次函數(shù)“X）有兩個不等式實(shí)根b,C,

不妨設(shè)/（X）=6Z（x-Z?）（x-c）,

因?yàn)?''（%）=a（2x-b-c）,

所以尸（x”）=a（2x“-〃-c）,

，在橫坐標(biāo)為七,的點(diǎn)處的切線方程為：y-f（xn）=a（2xn-b-c）（x-xn）,

人。,一f（2X"-b-c）-f（x,）一說—abc_x；-be

n+i

Vtz（2xn-b-c）6z（2xn-b-c）2xn-b-c"

因?yàn)?￡-bc-b（2X"-b-c）=*-2如，+/=（無“-6產(chǎn)

2

xn+i-cx；-bc-c（2x“-b-c）無：_2cx“+c2（x?-c）

所以ln%±T=21n當(dāng)心，即：an+i=2an

XC

n+l-X"-c

所以｛?！埃秊楣仁?,首項(xiàng)為1的等比數(shù)列.

所以a“=2"T故BC錯.

由為+；=21+（!尸，得S“=片+T=2"T+24=2"+l-故D正確.

對于選項(xiàng),

D1

an乙1—Z?_ZZ

2

故選：AD

11.定義在R上的函數(shù)〃尤）同時(shí)滿足①〃龍+1）-/（尤）=2尤+2,xeR；②當(dāng)xe[O,l]時(shí)，|〃刈41,則（）

A./(O)=-l

B.，(尤)為偶函數(shù)

C.存在“eN*,使得“9>2023〃

D.對任意尤€叫/(到<尤2+國+3

【答案】ACD

【解析]對于A,Q/(x+l)-/(x)=2x+2,令x=0,則/'(l)_/(O)=2,即/(1)=/(0)+2,又xe[0,l],

-1<f(o)<lf-l<ffo)<l

可知即]一11八。；；241，得TW〃0)VT即〃0)=-1，故A正確；

對于B,由選項(xiàng)A可得了⑴=〃0)+2=1,又令m—1得”0)-/(-1)=0,解得/(-!)=-1,二〃-1)2/(1),

所以函數(shù)/(X)不是偶函數(shù)，故B錯誤；

對于C,因?yàn)?(%+1)—/(%)=2%+2,當(dāng)"22,幾wN*時(shí)，

/(n)=[/(n)-/(n-l)]+[/(n-l)-/(n-2)]+L+[/(2)-/(l)]+/(l)

=2〃+2〃—2+L+2x2+1=2(〃+幾—1+L+2)+1

=2x("f+2)+i=/+〃T,又〃1)=1滿足上式，

:.f(n)=rr+n-l,〃eN*,令"=2023,貝l|/(2023)=2023?+2022>2023x2023,

所以存在〃cN*,使得/(〃)>2023〃，故C正確；

對于D,令g(x)=/(x)-x2—x,

貝！Jg(尤+l)-g(x)=/(x+l)-(x+l)2-(x+l)-/(x)+%2+x

=〃x+l)—〃x)-2x—2=0,即g(x+l)=g(x),即g(尤)是以1為周期的周期函數(shù),因?yàn)楫?dāng)xe[0,l],/⑻<1,

則卜(到=|/。)-q-?4，。)|+卜2+為歸3,

當(dāng)且僅當(dāng)尤=1且/■⑴與2異號時(shí)等號成立，但/(1)=1，故〃1)與2同號，

故等號不成立,故|g(x)|<3

結(jié)合周期性可知對任意xeR,均有|g（刈<3,

所以|〃刈=卜（%）+二+*目8（到+f+閔<彳2+禺+3,故D正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

202320222023

12.已知（1+2x）+（2-A：）*=4+0++…+a2022x+a2023x,若存在左e{0,1,2,…,2023}使得

ak<0,則上的最大值為.

【答案】1011

【解析】二項(xiàng)式（1+2無產(chǎn)3的通項(xiàng)為Tr+l=G023（2X），=C；023?2,?尤’,r=0,1,2,…,2023,

二項(xiàng)式（2-尤）2期的通項(xiàng)為（用=C嬴22023f（f）”=，23?22°23-，".（_1廣工”,“=0,1,2,L,2023,

所以以=C如?2*+C黑3?.（_1/=?023"+2畋3”?（-1）*],k&{0,1,2,L,2023},

若做<0,則有：

22023T<,

當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),此時(shí)ak=C如（2"-2聲）,即2J0

2023

貝日上<2023—左，可得％<^^=1011.5,

2

又因?yàn)樽鬄槠鏀?shù)，所以上的最大值為1011；

當(dāng)上為偶數(shù)時(shí)，此時(shí)4=《期（2*+220234）>0,不合題意；

綜上所述：上的最大值為1011.

故答案為：ion.

2

V-22

13.已知P是雙曲線C:1-亍v=彳（2>0）上任意一點(diǎn)，若尸到C的兩條漸近線的距離之積為:，則C上的

點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為.

【答案】V3-V2

尤2v2L

【解析】所求的雙曲線方程為亍-3=〃4>0）,則漸近線方程為x±3y=0,

22

設(shè)點(diǎn)尸（X。，兒），貝=4nx；—2y；=82,

84

點(diǎn)P到C的兩條浙近線的距離之積為「：十&」-=）―2%1=0=2,

333

"+（夜）2"+（同

1/

解得：X=故雙曲線C方程為：—-/=1,

42'

故。=忘,0=若，故雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為c-a=6-亞?

故答案為：^-72.

14.某同學(xué)在學(xué)習(xí)和探索三角形相關(guān)知識時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個有趣的性質(zhì)：將銳角三角形三條邊所對的外接圓

的三條圓?。踊。┭刂切蔚倪呥M(jìn)行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部一點(diǎn)，且此交點(diǎn)為該三角形

的垂心（即三角形三條高線的交點(diǎn)）.如圖，已知銳角ABC外接圓的半徑為2,且三條圓弧沿三邊翻

折后交于點(diǎn)尸.若AB=3,則sin/PAC=；若AC:AB:BC=6:5:4,則B4+P3+PC的值

為.

【答案】立35.75

44

【解析】設(shè)外接圓半徑為R,則R=2,

AB3

由正弦定理，可知-------=2R=4,

sinZACBsinZACB

即sin/AC8=3，由于NACB是銳角，故cos/ACB=也,

44

TT

又由題意可知P為三角形ABC的垂心，即AP，BCM-PAC=--^ACB,

所以sinZPAC=cosZACB=—；

4

設(shè)NCAB=a/CBA=a.ZACB=/3,

JITTJT

則/尸4。=2-/7,/234=5-8/尸45=5-1,

由于AC:AB:BC=6:5:4,不妨假設(shè)AC=6,AB=5,BC=4,

222222222

A+5-434+5_A14+6-5Q

由余弦定理知COS。：。>4=3,cosa=)6=±COS夕=6'

2x6x542x4x582x4x616

jrjr

設(shè)ADCEBF為三角形的三條高，由于/ECB+N￡BC=5，/PCD+NCPO=5,

故NEBC=NCPD,

c

貝ij得ZAPC=7T-ZCPD=7t-/EBC=71-ZABC,

所以sin〉sin/APCsin/ABC

=2H=4

同理可得sinsin^APBsin^ACB

23

所以PA+PB+PC=4(cos8+cosa+cos尸)=4

T

故答案為：立；學(xué).

44

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)已知函數(shù)/(x)=(x-2)e*+a.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若/(X)20恒成立，求。的取值范圍.

【解析1(1)f(x)=(x-2)ex+a,

A/V)=(x-l)e\

令尸(x)=0,解得：x=l,

所以xe(T?,l)，r(x)<0,函數(shù)"尤)在(-8,1)上單調(diào)遞減，jre(l,+oo),/,(x)>0,函數(shù)〃尤)在上單

調(diào)遞增，

即函數(shù)f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(f,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,y)；

(2)由題可知/。濡》0,

由(1)可知，當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)“X)有最小值/(l)=-e+〃，

-e+a>0,BPa>e,

故a的取值范圍為［e,+8).

16.(15分)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，PA_L平面ABCQ,AD1CD,AD//BC,BC=4,PA=AD=CD=2,

點(diǎn)E為尸C的中點(diǎn).

P

⑴證明：DE〃平面上記；

(2)求點(diǎn)B到直線ED的距離；

(3)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.

【解析】(1)證明：取PB的中點(diǎn)/，連接EEAF,因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以斯〃3C,

又因?yàn)?C//A。且AO=g3C,所以EF//A。且EF=A￡>,

所以四邊形ADEF為平行四邊形，所以DE//A尸，

因?yàn)镈EU平面Q4B,AFu平面A4B,所以DE〃平面

(2)解：取BC的中點(diǎn)G,連接AG,因?yàn)锳ZJ//BC且AO=g8C,

所以AD//CG且AD=GC,所以四邊形ADCG為平行四邊形，所以CD〃AG,

因?yàn)锳D_LCD,所以AD_LAG,

又因?yàn)镻AL平面ABCD,ARAGu平面ABC。，所以PA,AD,PA_LAG,

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AG,AD,AP所在的直線分別為x，%z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示，可得B(2,-2,0),Q(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),則

所以加=(2,-4,0),。￡=(1,-1,1),則|。@=(2,-4,0)=26

可得cosDB,DE=;>展,所以sinOB,r>E=也，

\DB\\DE\VI5、后

則點(diǎn)B到直線中的距離為|DfilsinDB,DE=2也義雉=2也..

11V15

(3)解：由(2)中的空間直角坐標(biāo)系，可得尸(0,0,2),

所以PB=(2,-2,-2),DP=(0,-2,2),DC=(2,0,0),

n?DP=-2y+2z=0

設(shè)平面PCD的法向量為”=(x,y,z),則

n-DC=2x=0

取y=i，可得x=o,z=i,所以〃=(o],i),

設(shè)直線P8與平面PCD所成角為0,

??\n-PB\1-2-21

貝sin9=cosn,PB\=-~,----[=-j=-----

11\n\\PB\0x2石

所以直線P8與平面PCD所成角的正弦值為逅.

3

17.(15分)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)尸(0,1),尸為動點(diǎn)以尸尸為直徑的圓與x軸相切，記尸的軌跡

為「

⑴求「的方程；

⑵設(shè)M為直線y=T上的動點(diǎn)，過河的直線與:r相切于點(diǎn)A,過A作直線M4的垂線交r于點(diǎn)B,求々V幺B

面積的最小值.

【解析】⑴設(shè)p(x,y),則線段儀的中點(diǎn)坐標(biāo)為，詈【

因?yàn)橐允a(chǎn)為直徑的圓與X軸相切，

所以9=3研=：次+(k1)2,

化簡得V=4y,所以「的方程為犬=4%

(2)設(shè)人[尤。,[[(毛片0),由y=W,y，=2,則點(diǎn)A處的切線斜率為+，

I4J422

所以直線M4方程為>-亨告…0),整理為>=乎-￥，

令y=-l,貝”=?一工，所以加國一~-,-1,

2%(2%J

2x129r2

易知直線AB斜率為一一，所以直線A3：y-^=-一(x-x0),整理為y=-二龍+號+2,

X。4%04

與x2=4y聯(lián)立可得)一￥=_2(XF。)，有-)=6%y+/),

??'o'o'

88

解得工=-----不，即5的橫坐標(biāo)為-----飛,

%

_12（焉+4）擊:+4（%；+4）Jx；+4（考+4『

所以面積為1?1訓(xùn)4圖

=-x------------x-----：—；----

2無。4|%0|4閡

又闖+,2卜0|x==4,當(dāng)且僅當(dāng)七=±2時(shí)，等號成立,

1,

所以的面積最小值為：X43=16.

4

18.（17分）為落實(shí)《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時(shí)代學(xué)校體育工作的意見》，完善學(xué)校體育“健康知識+基本

運(yùn)動技能+專項(xiàng)運(yùn)動技能”教學(xué)模式，建立“校內(nèi)競賽一校級聯(lián)賽一選拔性競賽一國際交流比賽”為一體的競

賽體系，構(gòu)建校、縣（區(qū)）、地（市）、省、國家五級學(xué)校體育競賽制度.某校開展“陽光體育節(jié)”活動，其

中傳統(tǒng)項(xiàng)目“定點(diǎn)踢足球”深受同學(xué)們喜愛.其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行足球定點(diǎn)踢球比賽（每人各踢一次為一

輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人命中，命中者

得1分，未命中者得一1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設(shè)甲每次踢球命中的概率為乙每

次踢球命中的概率為:，且各次踢球互不影響.

（1）經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為X,求X的數(shù)學(xué)期望；

（2）若經(jīng)過〃輪踢球，用P,表示經(jīng)過第i輪踢球累計(jì)得分后甲得分高于乙得分的概率.

①求Pl，Pl,。3；

②規(guī)定Po=O,且有P,=APm+W?請根據(jù)①中A，P1,R的值求出A、B,并求出數(shù)列｛p“｝的通項(xiàng)公式.

【解析】（1）記一輪踢球，甲命中為事件A,乙命中為事件B,A,B相互獨(dú)立.

17

由題意P（A）=5，P（B）=g，甲的得分X的可能取值為-1,0,1.

尸（X=-l）=尸（初）=P（入）尸==

P（X=O）=P（AB）+P（AB）=P（A）P（B）+P（A）P（B）=lx|+^l-l^l-|^=1.

P（X=1）=P（AB）=F（A）XP（B）=|XG-|V,

02=P(X=0>P(X=1)+P(X=D(P(X=o)+尸(X=1))

經(jīng)過三輪踢球，甲累計(jì)得分高于乙有四種情況：甲3輪各得1分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得0分;

甲3輪中有1輪得1分，2輪各得0分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得-1分.

143

p3x-+C*X—=---------

233216

②：規(guī)定Po=0,且有Pi=ApM+Bp-,

6

A=-

Pi=Apz+Bp()；代入得：=|AI+|A-I-

=>>A+

p=Ap+Bp

23lB=-

l7

PMF...數(shù)列｛%—P“T｝是等比數(shù)列,

o

公比為首項(xiàng)為P|-Po=!，:?P,

6o

-P?=(P?-Pn-X)+(P?-l-Pn-2)++(P「Po)=[￡|+J+--'+?=?J.

19.(17分)給定整數(shù)心3,由〃元實(shí)數(shù)集合S定義其相伴數(shù)集7={|。-卸a.beS,a^b},如果min(T)=l,

則稱集合S為一個n元規(guī)范數(shù)集，并定義S的范數(shù)f為其中所有元素絕對值之和.

⑴判斷A={-01,-M,2,2.5}、8={-1.5,-0.5,0.5,1.5}哪個是規(guī)范數(shù)集，并說明理由；

(2)任取一個〃元規(guī)范數(shù)集S,記加、M分別為其中最小數(shù)與最大數(shù)，求證：|min(S)|+|max(S)|N〃-l；

⑶當(dāng)S={%,%,L,%)23}遍歷所有2023元規(guī)范數(shù)集時(shí)，求范數(shù)/的最小值.

注：min(X)、max(X)分別表示數(shù)集X中的最小數(shù)與最大數(shù).

【解析】(1)對于集合4因?yàn)閨2.5-2|=0.5<1,所以集合A不是規(guī)范數(shù)集；

對于集合8：因?yàn)?={—1.5,-0.5,0.5,1.5},

又卜1.5—(45)=1,|-1.5-0.5|=2,|-1.5-1.5|=3,|-0.5-0.5|=1,|-0.5-1.5|=2,|0.5-1.5|=1,

所以8相伴數(shù)集7={1,2,3},即min(T)=l,故集合B是規(guī)范數(shù)集.

(2)不妨設(shè)集合S中的元素為占<%<■■<xn>即向11(5)=孑,01￡區(qū)(5)=%“，

因?yàn)镾為規(guī)范數(shù)集，則一1,則%「占21,M3z0eN\l<z0<M-l,使得%+「%=1,

當(dāng)占20時(shí),

貝ij|min(S)|+|max(S)|=|x,|+|xn|=+xn=(x2-x；)+(x3-x,)+L-xn_l')+2xl>n-1+'2.xl>n-1,

當(dāng)且僅當(dāng)％+1-士=1且玉=。時(shí)，等號成立；

當(dāng)/VO時(shí)，

則|min⑸+|max⑸=聞+聞=一不一%=(無2-無2)+L+(%一%)—2x”N〃-l-2x“國,

當(dāng)且僅當(dāng)無用-％=1且無“=。時(shí)，等號成立；

當(dāng)當(dāng)<0,x?>0時(shí)，

則|min(S)|+|max(S)|=|^|+|xn|=-Xj+=(x2-^)+L+(x/1-xn_x)>n-1,

當(dāng)且僅當(dāng)租「%=1時(shí)，等號成立；

綜上所述：|min(S，+|max(S)，“-L

(3)法一：

不妨設(shè)<。2<L<。2023，

因?yàn)镾為規(guī)范數(shù)集，則Wi￡N*,lWi<2022,則％+1—%之1,H3zoeN*,l<zo<2O22,使得%/一”=1,

當(dāng)4N。時(shí)，

則當(dāng)2W孔42023時(shí)，可得見=(q一)+(%_]—4.2)+L+(%_q)+q>(n—1)+^,

當(dāng)且僅當(dāng)q+i—q=l,i￡N*,lWiW〃—W^等號成立，

則范數(shù)7=141+1%|+L+1%0231=4+%+L+%o23—+1+4+L+2022+q,

當(dāng)且僅當(dāng)^.+1-^.=l,zeN*,l<z<2022時(shí)，等號成立，

又q+1+4+L+2022+q=2。22*(；+2022)+2[}23^=1011x2023+2023^>101lx2023,

當(dāng)且僅當(dāng)弓=0時(shí)，等號成立，

故/>1011x2023,即范數(shù)/的最小值1011x2023；

當(dāng)?2023V。時(shí)，

則當(dāng)1V〃42022時(shí)，可得%=—[(%023—%022)+(%022—%021)+L+(4+1一%)]+%023——(2023—")+『制，

當(dāng)且僅當(dāng)4+1-4=1,，€2,〃4叱2022時(shí)，等號成立，貝卜氏22023-〃一出023，

貝！Jf=1+l/l+L+|%0231=_"1_“2_L—々2023~2022-&023+2021—Q2023+L+1_%023+(_a2023)，

當(dāng)且僅當(dāng)%+1—%=l,zeN*,n<i<2022時(shí),等號成立，

(、2022x(1+2022)

乂2022—“2023+2°21—“2023+L+1—%023+(—02023)=22023^2023

=1011x2023—2023.23>1011x2023,

當(dāng)且僅當(dāng)%023=。時(shí)，等號成立，

故/2ionX2023,即范數(shù)/的最小值1011X2023；

當(dāng)4^42022