2024年高考數(shù)學(xué)真題重組卷2（新高考新題型專用）（新七省專用）

沖刺2024年高考數(shù)學(xué)真題重組卷

真題重組卷02

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.（2023全國甲卷數(shù)學(xué)（理））若復(fù)數(shù)（a+i）（l—ai）=2,aeR,則。=（）

A.-1B.0C.1D.2

2.（2023新課標(biāo)全國II卷）設(shè)集合A={0,-a},B={l,a-2,2a-2},若貝吐=（）.

2

A.2B.1C.-D.-1

3.（2023新課標(biāo)全國I卷）已知向量〃=（1,1）力=（1,一1）,若（〃+4。）_1（〃+45）,則（）

A.2+〃=1B.4+〃=—1

C.2〃=1D.2〃=-1

4.（2023新課標(biāo)全國II卷）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽

樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，

則不同的抽樣結(jié)果共有（）.

A.c：3c短種B.CMC；。種

c.C：QC黑種D.C%c機(jī)種

5.（2023?新高考H）若/（尤）=（尤+。）歷之二!■為偶函數(shù)，貝1］。=（）

2x+l

A.-1B.0C.-D.1

2

6.（2023新課標(biāo)全國I卷）已知sin（a—/?）=Lcososin/?=，，則cos（2a+2/7）=（）.

36

A.-B.-C.--D.--

9999

7.（2021?新高考I）若過點(diǎn)（a,6）可以作曲線y="的兩條切線，貝U（）

A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea

8.（2023全國乙卷數(shù)學(xué)（文）（理））設(shè)A,2為雙曲線犬-§=1上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)

的是（）

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A.（1,1）B.（-1,2）C.（1,3）D.（TT）

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分。

9.（2022新課標(biāo)全國II卷）我國新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推進(jìn)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，下面是某地連續(xù)11

天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖，下列說法正確的是

A.這11天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均逐日增加；

B.這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量；

C.第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過80%;

D.第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量；

10.（2023新課標(biāo)全國II卷）若函數(shù)〃x）=alnx+g+城（力0）既有極大值也有極小值，則（）.

A.bc>0B.ab>0C.b1+Sac>0D.ac<0

11.（2023新課標(biāo)全國I卷）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚

度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為L8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（2023?北京卷）已知函數(shù)/■（x）=4*+log2x,則.

13.（2023全國乙卷數(shù)學(xué)（文））已知｛%｝為等比數(shù)列，。2a4a5=%/，%%0=-8,則%=.

14.（2023新課標(biāo)全國I卷）在正四棱臺(tái)ABC。-A耳G0中，AB=2,AlBl=l,AAi=y/2,則該棱臺(tái)的體積為

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四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

15.（本小題滿分13分）（新題型）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A3分別在x軸，y軸上運(yùn)動(dòng)，且|.|=2加,

動(dòng)點(diǎn)尸滿足&=+

（1）求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡C的方程；

⑵設(shè)直線/：y=T+"i與曲線C交于N兩點(diǎn)，且|跖V|=30,求實(shí)數(shù)加的值.

16.（本小題滿分15分）（2023新課標(biāo)全國II卷）如圖，三棱錐A-BCD中，DA=DB=DC,BDLCD,

ZADB=ZADC=6Q,E為BC的中點(diǎn)、.

（1）證明：BCYDA；

（2）點(diǎn)尸滿足￡F=D4，求二面角的正弦值.

17.（本小題滿分15分）（2021?新高考I）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A,3兩類問題.每位參

加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若

回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中

的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；3類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分.

已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答3類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率

與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

18.（本小題滿分17分）（2023?甲卷（理））已知〃幻=6-'=，彳€（0,工）.

cosx2

（1）若。=8,討論/（%）的單調(diào)性；

（2）若/'（x）＜sin2x恒成立，求a的取值范圍.

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19.(本小題滿分17分)(新題型)若存在x°e。使得對(duì)任意xe。恒成立，則稱與為函數(shù)，(力

在。上的最大值點(diǎn)，記函數(shù)f(x)在。上的所有最大值點(diǎn)所構(gòu)成的集合為加

2

d)?f/(x)=-x+2x+l,D=R,求集合V；

⑵若〃x)=J^,O=R，求集合M;

(3)設(shè)。為大于1的常數(shù)，若/(x)=;c+asinx,O=[0,6],證明，若集合加中有且僅有兩個(gè)元素，則所有滿足

條件的6從小到大排列構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列.

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沖刺2024年高考數(shù)學(xué)真題重組卷

真題重組卷02（參考答案）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

91011

CDBCDABD

第n卷（非選擇題）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

12.113.-214.捶

6

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

17.（13分）

【解析】【解】⑴設(shè)P（x,y）,A5,0）,3（0,%）,

.\AB\=242,/.Xg+yo=8,

s/2OP=y/3OA+OB,即及（羽y）=G（%o,O）+（O,%）,

42x=9^2y=%,

22

動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡c的方程土+匕=1.

124

（2）設(shè)N（%2，%）

y=—x+m

聯(lián)立<爐y2，可得：4x2-6mx+3m2-12=0,

—+—=1

1124

由A>0得36那一4x4（3病一12）>0,化簡得球<16,

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又因?yàn)橛?%=手，項(xiàng).々=3"丁2,1睦v|=30,

2

所以=Jl+4|xj-x2|=V2|x]-x2|=應(yīng)“"+%)—-49尤2=3A/2,

3m2-12.

----------------------=Jf

4

化簡得病=4,滿足A>0,

所以m=+2.

16.(15分)

【解析】(1)連接AE,DE,因?yàn)镋為5c中點(diǎn)，DB=DC,所以。EL3c①，

因?yàn)閆M=DB=OC,ZADB=ZADC=60,所以一ACD與均為等邊三角形,

AC^AB,從而AE_L8c②，由①②，AE「DE=E,AE,OEu平面ADE,

所以，平面ADE,而ADu平面ADE,所以BC_LD4.

(2)不妨設(shè)7M=D3=r>C=2,BD±CD,:.BC=2&,DE=AE=母.

.?.AE2+OE2=4=仞?，又AE±BC,DE3c=E,OE,8Cu平面BCD,AE_L平面BCD.

以點(diǎn)E為原點(diǎn)，ED,E8,￡A所在直線分別為x,%z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)D(>/2,0,0),A(0,0,5,B(0,y/2,0),E(0,0,0),

設(shè)平面ZMB與平面AB尸的一個(gè)法向量分別為勺=(xl,yl,zl'),n2=(x2,y2,z2),

二面角Z>-AB-尸平面角為。，而48=僅,0,-夜),

因?yàn)镋尸=94=卜虛,0,夜)，所以網(wǎng)一0,0,忘)，即有4尸=卜加,0,0),

「+及z、=0

母。,取玉=1,所以勺=(1,1,1)；

_\/2Z2=0

_0一，?。?1，所以％=(0,1,1)，

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所以‘上網(wǎng)=十二高當(dāng)，從而sin*5f=f

所以二面角。-加-尸的正弦值為1.

3

17.(15分)

【解析】(D由已知可得，X的所有可能取值為0,20,100,

則尸(X=0)=l—0.8=02,

P(X=20)=0.8x(1—0.6)=0.32

P(X=100)=0.8x0.6=0.48,

所以X的分布列為：

X020100

P0.20.320.48

(2)由(1)可知小明先回答A類問題累計(jì)得分的期望為E(X)=0xQ2+20x0.32+100x0.48=54.4,

若小明先回答3類問題，記y為小明的累計(jì)得分,

則Y的所有可能取值為0,80,100,

p(y=0)=1-0.6=0.4,

P(Y=80)=0.6x(1-0.8)=0.12,

P(Y=100)=0.6x0.8=0.48,

貝！Iy的期望為E(y)=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6,

因?yàn)镋(X)>E(X),

所以為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答3類問題

18.(17分)

【解析】(1)已知/。)=依-半，函數(shù)定義域?yàn)?0,二)，

cosx2

若1=8,此時(shí)/(%)=8%_‘in：,

cosx

—r”口、八cosx-cos3x+sinx-3cos2x-sinx

可得/(%)=8--------------------------------------------

COSX

_(4cos2x+3)(2cos2x-1)

-49

COSX

因?yàn)?cos2尤+3>0,cos4x>0,

所以當(dāng)cosx>也，即0<x<生時(shí)，f\x)>0,/(%)單調(diào)遞增;

24

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當(dāng)COS%〈孝，即時(shí)，/,(X)<0,/(X)單調(diào)遞減；

(2)不妨設(shè)g(x)=依—卑—sin2i,函數(shù)定義域?yàn)?03)，

cosx2

，/、3-2cos2x3》3-2cos2x?八八八

g(x)=a-------------2cos2x=a-------------2(2cos2x—l),

cosxcosx

令cos2x=tfOv，vl,

?3

此時(shí)/⑺=〃+2-41+——

tt

23

不妨令左Q)=a+2—41+——

tt

262(51)(2/+2/+3)八

可得k\t)=-4-—+—=---__-------->0,

rrr

所以左⑺單調(diào)遞增，

此時(shí)女。)〈女(1)=?-3,

①當(dāng)3時(shí)，g\x)=k⑦<?-3?0,

所以g(x)在(o,g上單調(diào)遞減，

此時(shí)g(x)vg(0)=0,

則當(dāng)%3時(shí)，/(X)<sin2x恒成立，符合題意；

②當(dāng)々>3時(shí)，

92111

當(dāng)—0時(shí)，----=-3(——)2+——>—00

ttr2t339

所以k(f)—>—co,

又k(1)=a-3>0,

所以在區(qū)間(0,1)上存在一點(diǎn)%，使得左4)=0,

即存在不€(0,今，使得夕(無o)=o,

當(dāng)/0ct<1時(shí)，k(t)>0,

所以當(dāng)0cx<不時(shí)，g\x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

可得當(dāng)0<尤<不時(shí)，g(x)>g(0)=0,不符合題意，

綜上，。的取值范圍為(-co,3].

19.（17分）

第8頁共24頁

【解】(1)f(x)=—x2+2x+l=—(x—+2,

當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，/(x)=-d+2x+l在R上取得最大值，故”={1};

（2）〃x）=（2：：）x定義域?yàn)镽,

4「

(2x-2x)(l-xln2)

"4''

令9(X)=2，-2JV,貝！)/(%)=2*1112-2,

2

令d(x)=O得X=log2合，

?2

log—

1-8」叫尋2m2回卷+4

/(%)-0+

鼠尤）極小值JI

其中l(wèi)n2e（ln忘lne）=（；,l],故三e（2,4）,log2/e（1,2）,

可以看出q（l）=0應(yīng)（2）=0,

故q（x）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，分別為1和2,

令尸（x）=0得x=」e（l,2）或1或2,

1

(fl)12(2,+oo)

In2GM

尸（無）+0-0+0-

“X)/極大值、極小值a極大值、

其中〃1）=〃2）=：，

故當(dāng)x=l或2時(shí)，/（X）取得最大值，故"={1,2}；

第9頁共24頁

(3)/(x)=x+tzsinx,D=[0,Z?],々>1,

r

y(x)=l+tzcosx,D=[0,Z?],a>l9

令/'(x)=0得入=2E±arccos[—=2kn±^71-arccos—,左eZ,

當(dāng)0<%<兀一arccos^時(shí)，>0,單調(diào)遞增，

^|7i-arccos—<x<7i+arccos—0^*,/r(x)<0,/(%)單調(diào)遞減，

aa

^7i+arccos—<x<3TI-arccos—0^,了,%)>0,/(%)單調(diào)遞增，

當(dāng)3兀一arccos—<X<3TI+arccos工時(shí)，/r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

aa

3TI+arccos—<x<5K-arccos—,/，光)>0,/(%)單調(diào)遞增，

由于/'(x+2兀)=l+acos(x+2兀)=l+acos%=7'(x),

故所有的單調(diào)遞增區(qū)間經(jīng)過適當(dāng)平移可重合，同理，所有的單調(diào)遞減區(qū)間經(jīng)過適當(dāng)平移可重合,

要想集合M中有且僅有兩個(gè)元素，

則需要/(偽)=/1%-arccos：J或/(4)=無一arccos：j,

或/(&)=/卜兀-arccos'............”")=/(2版-兀一arccos,

其中/(x+27i)=x+27t+asin(x+27i)=x+27i+osinx,

/(x+27t)-/(x)=x+27i+asinx-x-osinx=2TI,

又/(%+I)-/(4)=/12kit+2?t-IT-arccos—|1-?r-arccos—|=2兀,

所有的外均處在單調(diào)遞增區(qū)間上,

所以砧「優(yōu)為定值，

故所有滿足條件的b從小到大排列構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列.

第10頁共24頁

沖刺2024年高考數(shù)學(xué)真題重組卷

真題重組卷02

(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分)

第I卷(選擇題)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.(2023全國甲卷數(shù)學(xué)(理))若復(fù)數(shù)(a+i)(l—ai)=2,aeR,則。=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【詳解】因?yàn)?。+。(1-。。=。一“勺+1+。=2。+(1-/)=2,

[2a=2

所以，2＞解得：a=l.故選：C.

[l-a=0n

2.(2023新課標(biāo)全國H卷)設(shè)集合A={0,-。},B^{l,a-2,2a-2},若A=貝"。.

A.2B.1C.|D.-1

【答案】B

【詳解】因?yàn)锳=則有：

若0一2=0,解得a=2,此時(shí)A={0,-2},3={1,0,2},不符合題意；

若2a-2=0,解得“=1,此時(shí)A={0,-l},B={1-1,0},符合題意；

綜上所述：。=1.故選：B.

3.(2023新課標(biāo)全國I卷)已知向量4=(11)力=(1,一1),若(a+/lb)_L(a+〃》)，則()

A.2+4=1B.X+4=-1

C.即=1D.加=一1

【答案】D

【詳解】因?yàn)閍=(1,1),。=(1,—1),所以a+%Z?=(l+41—%),a+jub=(1+//,1—,

由(a+_L(〃+可得，(Q+〃?).("+=0,

即(1+可(1+〃)+(1_4)(1_〃)=0,整理得:沏=-L故選：D.

4.(2023新課標(biāo)全國H卷)某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽

第11頁共24頁

樣調(diào)查,擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生,

則不同的抽樣結(jié)果共有().

A.C：3c短種B.C；〉C乳種

c.C；QC黑種D.C%C品種

【答案】D

【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60x饕=40人，高中部共抽取60x熬=20,

600600

根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有C：QC2種.故選：D.

Oy_1

5.(2023?新高考H)若/(%)=(%+〃)友旦」為偶函數(shù)，則a=()

2x+l

]_

A.-1B.0C.D.1

2

【答案】B

【解析】由^l＞0,得x＞工或無＜_工，

2x+l22

由/(%)是偶函數(shù)，二./(一%)=/(x)，

得(-%+a)ln-^--=(x+a)In——-,

—2x+12x+1

日門2x+1,2x—11,2x—l2x—1

即(-x+a)Ln-------=(-x+a)ln(--------)=(1—a)ln--------=(x+a)ln--------

2x—12x+l2x+l2x+l

:.x-a=x+a,得一。=a,得a=0.故選：B.

6.(2023新課標(biāo)全國I卷)已知sin(a—/?)=Lcosasin/?=L則cos(2a+20=().

36

17

ABC.——D.——

-?-I99

【答案】B

【詳解】因?yàn)?1!1(。一/)=5111185/一以)5。5111/=,，而cosasiny0=’,因止匕sinacos/7=，,

362

2

貝ljsin(cif+尸)=sinacos/3+cosasin/3=—,

2i

所以cos(2a+2￡)=cos2(a+/)=1-2sir?(a+尸)=1—2x(-)2=故選：B

7.(2021?新高考I)若過點(diǎn)(a,6)可以作曲線y="的兩條切線，貝|()

A.eb<aB.e。<bC.0<a<ebD.0<b<ea

【答案】D

第12頁共24頁

【解析】法一：函數(shù)y=e，是增函數(shù)，y=e，>0恒成立，

函數(shù)的圖象如圖，y>0,即切點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上方，

如果33在無軸下方，連線的斜率小于0,不成立.

點(diǎn)（4,6）在X軸或下方時(shí)，只有一條切線.

如果33在曲線上，只有一條切線；

m,6）在曲線上側(cè)，沒有切線；

由圖象可知33在圖象的下方，并且在X軸上方時(shí)，有兩條切線，可知0<6<e".故選：D.

法二：設(shè)過點(diǎn)33的切線橫坐標(biāo)為3

則切線方程為y=e'（x-t）+e',可得6=/（。+1-0，

設(shè)了⑺=(。+1-D，可得/'?)=+'(4一)?ts(-co,d),f'(t)>0,/⑺是增函數(shù),

fe(a,+oo),/'?)<(),/⑺是減函數(shù),

因此當(dāng)且僅當(dāng)0<6<e"時(shí)，上述關(guān)于f的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，對(duì)應(yīng)兩條切線.故選：D.

2

8.（2023全國乙卷數(shù)學(xué)（文）（理））設(shè)A,8為雙曲線/-5=1上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)

的是（）

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(TT)

【答案】D

【詳解】設(shè)AU，%）,*%，%），則的中點(diǎn)”（七三,月&

X+%

可得=2

%+x

2xi+x2

2

9

因?yàn)锳,3在雙曲線上，貝IJ兩式相減得（X；-*-=0,

心

9

所以可鉆.左=罵~^-=9.

%-x2

對(duì)于選項(xiàng)A：可得左=1,勉=9,貝|AB:y=9x-8,

第13頁共24頁

y=9x-8

聯(lián)立方程,2丁_,消去y得72——2x72尤+73=0,

I9

止匕時(shí)A=（—2x72）2—4x72x73=—288<0,

所以直線A5與雙曲線沒有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

995

對(duì)于選項(xiàng)B：可得左二—2,怎§=—5,則A5:y=—

95

y二——x——

22

聯(lián)立方程〈2，消去>得45d+2*45x+61=0，

9

此時(shí)A=（2x45）2-4x45x61=-4x45xl6<0,

所以直線A8與雙曲線沒有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：可得左=3,左旗=3,則=

由雙曲線方程可得。=1力=3,則A5：y=3x為雙曲線的漸近線,

所以直線48與雙曲線沒有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤;

.997

對(duì)于選項(xiàng)D：k-4,kAB貝ljAB:y;^無一］，

97

y=-x——

44

聯(lián)立方程2消去y得63x2+126x-193=0,

x」=l

19

此時(shí)△=1262+4X63X193>0,故直線A8與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確;

故選：D.

二'多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.（2022新課標(biāo)全國II卷）我國新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推進(jìn)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，下面是某地連續(xù)11

天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖，下列說法正確的是

第14頁共24頁

A.這11天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均逐日增加；

B.這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量；

C.第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過80%;

D.第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量；

【答案】CD

【解析】由圖可知，第1天到第2天復(fù)工指數(shù)減少，第7天到第8天復(fù)工指數(shù)減少，第10天到第11復(fù)工

指數(shù)減少，第8天到第9天復(fù)產(chǎn)指數(shù)減少，故A錯(cuò)誤；

由圖可知，第一天的復(fù)產(chǎn)指標(biāo)與復(fù)工指標(biāo)的差大于第11天的復(fù)產(chǎn)指標(biāo)與復(fù)工指標(biāo)的差，所以這11天期間，

復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量小于復(fù)工指數(shù)的增量，故B錯(cuò)誤；

由圖可知，第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過80%,故C正確；

由圖可知，第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量，故D正確；

10.（2023新課標(biāo)全國II卷）若函數(shù)〃彳）=。111彳+2+今（“W0）既有極大值也有極小值，則（）.

XX

A.bc>0B.ab>QC.b1+Sac>0D.ac<0

【答案】BCD

【解析】函數(shù)/（無）=alnx+2+二的定義域?yàn)椋?,+孫求導(dǎo)得/（x），_之一當(dāng)=絲上"二生，

XXXXXX

因?yàn)楹瘮?shù)/（X）既有極大值也有極小值，則函數(shù)/'（X）在（0,+8）上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而。片0,

因此方程依2一方無一2c=0有兩個(gè)不等的正根為,三,

A=b2+8ac>0

b

于是《玉+尤2=—>。，即有〃2+8QC>0,ab>0,ac<0,顯然儲(chǔ)歷<。，即從?<0,A錯(cuò)誤，BCD正確.

a

2c八

石%2=----->0

a

故選：BCD

11.（2023新課標(biāo)全國I卷）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚

度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為L8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

【答案】ABD

第15頁共24頁

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?.99m<lm,即球體的直徑小于正方體的棱長，

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)檎襟w的面對(duì)角線長為&m，且近>1.4，

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線長為6m,且百<1.8,

所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C不正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)長2m>lm,可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，

如圖，過AG的中點(diǎn)。作OELAG，設(shè)OEIAC=E,

可知AC=V2,CC,=1,AC,=5/3,OA=——,貝!JtanZCAQ='=———,

2ACAO

1_OE廠/廠、2

即頁=耳，解得。石=生，且9=-=—>—=0.62,即包>0.6,

W4（41824254

故以AC】為軸可能對(duì)稱放置底面直徑為1.2m圓柱,

若底面直徑為L2m的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心與正方體的下底面的切點(diǎn)為

M,

可知：AC11O,M,O1M=0.6,則tanNC4G=%=甥，

/iCz/iCz.

10.6_L

即"77=177，AOi=0.6y12,

7ZA。］

根據(jù)對(duì)稱性可知圓柱的高為百一2x0.6后々L732-1.2xl.414=0.0352>0.01,

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；

故選：ABD.

第II卷（非選擇題）

三'填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（2023?北京卷）已知函數(shù)/（x）=4'+log2X,貝

【答案】1

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【解析】函數(shù)/（尤）=4*+1082巧所以/（；）=43+log2；=2-l=l.

13.（2023全國乙卷數(shù)學(xué)（文））已知｛4｝為等比數(shù)列，%陽=-8,則%=.

【答案】-2

【詳解】設(shè)｛q,｝的公比為4（4彳0）,則出%生=4%="應(yīng),%"，顯然。，產(chǎn)。，

則知=夕2,即々“:才，貝|］qq=i,因?yàn)椋?=_8,貝|］巧展.％/=_&,

貝1=（"）3=—8=（-2）3,貝1」/=-2,則為=。由爐==-2,

14.（2023新課標(biāo)全國I卷）在正四棱臺(tái)ABCD-ABCQ］中，AB=2,^=1^=^2,則該棱臺(tái)的體積為

【答案】還

6

【詳解】如圖，過A作AMLAC,垂足為/,易知AM為四棱臺(tái)ABC。-4464的高,

因?yàn)锳B=2，A4=1,相=逝,

11B

則AQ=-AG=]X應(yīng)A與=事,AO=-AC=-xy/2AB=y/2,

22

故AM=；（AC-4G）=*2

則AtM=^A^-AM

四'解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明'證明過程及驗(yàn)算步驟。

15.（13分）（新題型）在平面直角坐標(biāo)系x0y中，點(diǎn)A2分別在x軸，y軸上運(yùn)動(dòng)，且|AB卜20,動(dòng)點(diǎn)

P滿足y/2OP=y/3OA+OB.

（1）求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡c的方程；

⑵設(shè)直線/：y=-x+機(jī)與曲線C交于"，N兩點(diǎn)，且|肱V|=3&,求實(shí)數(shù)小的值.

第17頁共24頁

【解】（1）設(shè)P（x,y）,A（/,0）,5（0,%）,

\AB\=2^2,.?.x：+y：=8,

叵OP=6OA+OB,即血（尤,y）=g（%,o）+（o,%）,

42x=6x。，=%，

22

動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡c的方程上+匕=1.

124

（2）設(shè)M（玉,yj,N（x2,y2）

y=-x+m

聯(lián)立<爐y2，可得：4x2—6mx+3m2—12=0,

—+—=1

1124

由A>0得36m2-4x4（W-12）>0,化簡得病<16,

3m212

又因?yàn)榫W(wǎng)+%=/，xt-x2=~,\MN\=3y/2,

2

所以=yjl+k—x2\=C|x[-x2|=血，（再+%）——4再％=30,

3m2-12、

-------=3，

4

化簡得力2=4,滿足A>0,

所以機(jī)=±2.

16.（15分）（2023新課標(biāo)全國H卷）如圖，三棱錐A—BCD中，DA=DB=DC,BDVCD,

ZADB=ZADC=60，E為BC的中點(diǎn)、.

⑴證明：BCYDA；

（2）點(diǎn)/滿足EF=D4，求二面角AB-萬的正弦值.

【解析】（1）連接AE,OE,因?yàn)镋為8C中點(diǎn)，DB=DC,所以DELBC①，

因?yàn)閆M=DB=Z）C,ZADB=ZADC=60，所以ACD與△9/）均為等邊三角形,

AC=AB,從而AE_LBC②，由①②，AEDE=E,AE,DEu平面ADE,

第18頁共24頁

所以，8cl平面而A￡>u平面ADE,所以3C_LD4.

(2)不妨設(shè)ZM=D3=OC=2,BDLCD,:.BC=2垃,DE=AE=啦.

.?.AE2+OE2=4=仞2,...我工小，又AELBC,DEBC=E,DE,8Cu平面BCD,AE_L平面BCD.

以點(diǎn)E為原點(diǎn)，瓦>,班,胡所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)D陋,0,0),A(0,0,&),8(0,也0),￡(0,0,0),

設(shè)平面DAB與平面ABF的一個(gè)法向量分別為4=（占,％,馬）,%=色，％，z?），

二面角。-AB-F平面角為。，而48=（。,應(yīng),-0卜

因?yàn)轷?94=卜忘,0,女），所以尸卜友,0,0）,即有4P=卜立,0,0卜

「+及z、=0

應(yīng)_0，取%=1，所以4=（U,1）；

_\/2Z2=0

_q,取%=1，所以%=(0,1,1),

T\-n,

所以‘卜°網(wǎng)=鼠=用%2,從而sin6=Jl-'|

所以二面角鉆一廠的正弦值為

3

17.（15分）（2021?新高考I）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A,3兩類問題.每位參加比賽的同

學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則

從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題

回答正確得20分，否則得0分；3類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分.

己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答3類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率

與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列;

第19頁共24頁

(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

【解析】(1)由已知可得，X的所有可能取值為0,20,100,

貝！］P(X=O)=1—0.8=02,

P(X=20)=0.8x(1-0.6)=0.32

P(X=100)=0.8x0.6=0.48，

所以X的分布列為：

X020100

P0.20.320.48

(2)由(1)可知小明先回答A類問題累計(jì)得分的期望為E(X)=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4,

若小明先回答3類問題，記/為小明的累計(jì)得分，

則y的所有可能取值為o,so,wo,

p(y=0)=1-0.6=0.4,

=80)=0.6x(1-0.8)=0.12,

P(y=100)=0.6x0.8=0.48,

貝！1y的期望為E(y)=0X0.4+80X0.12+100X0.48=57.6,

因?yàn)镋(y)>E(X),

所以為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答3類問題

18.(17分)(2023?甲卷(理))已知了(盼=辦一號(hào)?，xe(0,-).

cosx2

(1)若a=8,討論了(%)的單調(diào)性；

(2)若/(x)<sin2、恒成立，求〃的取值范圍.

【解析】(1)已知/5)=亦-號(hào)=，函數(shù)定義域?yàn)?0,二)，

cosx2

若a=8,止匕時(shí)/(%)=8x-,

cosX

—r-、ccosx-cos3x+sin-3cos2x?sin

可得r(*)=8--------------------------------------------

COSX

_(4cos2x+3)(2cos2x-1)

9

-COS4X

因?yàn)?cos2x+3>0，cos4x>0，

所以當(dāng)cosx>1，即0<x<5時(shí)，f(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)COSX<華,即5cx時(shí)，f\x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

第20頁共24頁

(2)不妨設(shè)g(x)=<2x-'i