2024屆新高考卷重慶市適應(yīng)卷（三）數(shù)學(xué)試題及答案 (二)

新高考2024屆全國II卷適應(yīng)卷(三)二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

數(shù)學(xué)試題

9.如圖1所示，圓臺的母線與下底面的夾角為60°,上底面與下底面的直徑之比為1:2,ZP為一條母線，且

注意事項：

1.本試題滿分150分，考試時間1如分鐘；AP=2,。為下底面圓周上的一點，ZABD=30°,則()

2.考生答題前請在規(guī)定位置填寫姓名、班級、考號等相關(guān)信息，在答題卡上正確填涂準考證號(或粘貼A.三棱錐尸的體積為2B.圓臺的表面積為lbr

條形碼)并仔細核對自己的信息；

D.直線/尸與50夾角的余弦值為立

3.選擇題請用2B鉛筆在答題卡對應(yīng)的位置準確填涂，非選擇題請用0.5mm黑色字跡簽字筆在答題卡的C.AP8D的面積為36

4

非選擇題區(qū)域作答；在本試卷及草稿紙上作答，答案無效；圖1

10.設(shè)正實數(shù)％>0,y>0,且滿足％+y+3=孫，貝!1()

4.考試結(jié)束后，本試題、答題卡、草稿紙一并收回，請勿帶出考場。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

A.4x+^>13B.xy<9C.x2+y2<18D.

1.設(shè)，為虛數(shù)單位，貝!|(匕=()xy3

1+z

11.已知圓月：(%+l)2+/=1,圓g：(%-+/=9,動圓尸與圓耳外切于點M,與圓月內(nèi)切于點N.

A.-1B.1C.iD.-i

圓心P的軌跡記為曲線C,則(

2.已知集合4={%|%2一3%—4<。},B={x\x2-ax=0},若/Cl5中有且僅有兩個元素，則實數(shù)。的范圍

A.。的方程為工+或=1

為()B.NMPN的最小值為120°

43

A.(-1,4)B.(-1,0)C.(0,4)D.(-l,0)U(0,4)

C.NfPPF+NPPF\<^

3.某生產(chǎn)線正常生產(chǎn)狀態(tài)下生產(chǎn)的產(chǎn)品4的一項質(zhì)量指標X近似服從正態(tài)分布,若xD.曲線C在點尸處的切線與線段垂直

P(X<a)=P(X>l-2a),則實數(shù)。的值為()三、填空題：本題共3小題，每小題5分,共15分.

A.-10B.-19C.10D.1912.為弘揚志愿者精神，某校舉行“樂于助人”服務(wù)活動，現(xiàn)安排甲，乙等4人到三個不同地方參加活動，每

4.設(shè)。為雙曲線的中心，以雙曲線的實軸為直徑的圓與雙曲線的兩條漸近線交于4,B兩點,若\AOB為等個地方至少1人，若甲和乙不能去同一個地方，則不同的安排方式有一

邊三角形，則雙曲線的離心率為()

13.已知(l-2x+x2)5=?x10+ax9+—F旬，則￡%=

2G-44c109

A.---B.---2C.—D.一2左=i

njr

14.已知/(x)=sin(s+§)的圖象關(guān)于直線x=1■對稱，且/(x)在(0,兀)上恰有兩條對稱軸.在\ABC中,

5.已知平面向量a,1滿足“石=|〃|=|B|=2,^c=a+tb(/￡&),貝I?的最小值為()

A.B.3C.1D.2角4,B,。所對的邊分別為Q,b,c,且。=6，/(|力)=0,則A48c面積的最大值為.

6.已知三棱錐尸一43。中，PA=PB=PC=2AB=2BC=4,ZABC=120°,則三棱錐尸一/5。外接球

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

的表面積為()

15.(本小題滿分13分)

q

設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,，｛j｝為等比數(shù)列，且%=1,%,a2,%—3成等差數(shù)列.

7T3n

7.設(shè)a,，w(0,5),tana=mtanfi,sin(a-/7)=-,若滿足條件的a與，存在且唯一，則

(I)求數(shù)列缶〃｝的通項公式;

tanatan/=()

(H)設(shè)”二2，數(shù)歹U｛-----b------｝的前〃項和為北，證明：Tn<~.

"〃+1包+1)(g+1)"〃3

A.-B.1C.2D.4

2

8.已知函數(shù)/(%)=1/+1g(x)=x+6,點尸與0分另U在函數(shù)y=/(x)與^=g(%)

的圖象上，若|尸的最小值為血，則b=()

A.-1B.3C.一1或3D.1或3

數(shù)學(xué)試題【第1頁】(共4頁)數(shù)學(xué)試題【第2頁】(共4頁)

16.(本小題滿分15分)(II)為了進一步加強垃圾分類工作的宣傳力度，學(xué)校特舉辦垃圾分類知識問答比賽活動.每局比賽由二人

參加，主持人才和5輪流提問，先贏3局者獲得第一名并結(jié)束比賽。甲，乙兩人參加比賽，已知主

如圖2所示，在長方體—4與。/>1中，AAi=AD=41AB,M在棱44上，且4C_L5M.

21

(I)若4B=2,求平面瓦次截長方體所得截面的面積；持人/提問甲贏的概率為一，主持人5提問甲贏的概率為一，每局比賽互相獨立，且每局都分輸贏.

32

(H)若點N滿足函=鶯，求平面54M與所成夾角的余弦值.抽簽決定第一局由主持人A提問.

(1)求比賽只進行3局就結(jié)束的概率；

(2)設(shè)X為結(jié)束比賽時甲贏的局數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

圖2

18.(本小題滿分17分)

17.(本小題滿分15分)已知實數(shù)awR,函數(shù)/(x)=21nx-ax2有兩個不同的零點再，馬.

垃圾分類是普惠民生的一項重要國策.垃圾分類不僅能夠減少有害垃圾對環(huán)境的破壞，減少污染，同時

(I)求實數(shù)。的取值范圍；

也能夠提高資源循環(huán)利用的效率.垃圾分類共分四類，即有害垃圾，廚余垃圾，可回收垃圾與其他垃圾.某

(II)設(shè)與是方程ln%+ax—2=0的實根，證明：xQ<x}x2<—.

校為了解學(xué)生對垃圾分類的了解程度，按照了解程度分為4等級和3等級，隨機抽取了100名學(xué)生作為樣a

2

本進行調(diào)查.已知樣本中4等級的男生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的一，兩個等級的女生人數(shù)一樣多，在樣本中隨機抽

5

取1名學(xué)生，該生是5等級男生的概率為工.

5

(I)根據(jù)題意，完成下面的二維列聯(lián)表.并根據(jù)小概率值a=0.05獨立性檢驗，判斷學(xué)生對垃圾垃圾分類

的了解程度是否與性別有關(guān)？

男生女生19.(本小題滿分17分)

A等級

已知直線>=b+1(左。0)與拋物線G：%2=4>交于N兩點.7是線段MTV的中點，點4在直

B等級

附:線y=—1上，且4T垂直于％軸.

a0.050.0250.010.005(I)求證：ZT的中點在G上；

。3.8415.0246.6357.879

X(II)設(shè)點8在拋物線。2：>=一，一1上，BP,50是0的兩條切線，尸，0是切點.若N5//MN,

n(ad-bc)2

其中n=a+b+c+d.且位于軸兩側(cè)，求證：

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)4,8y|7M||7N|=|7P||TQ|.

數(shù)學(xué)試題【第3頁】(共4頁)數(shù)學(xué)試題【第4頁】(共4頁)

高中

新高考2024屆全國n卷適應(yīng)卷(三)

數(shù)學(xué)答案

單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項符合題目的要求.

1.選B

4

【解析】(匕)4=[^^1]=(a)4=r=1.

l+z22

2.選D

【解析】N=(_1,4),因為2口5中有且僅有兩個元素，貝|]3={0,研，則

ae(-l,0)U(0,4).

3.選B

【解析】由正態(tài)分布的概率分布曲線的對稱性知，-^=10,貝iJa=T9.

2

4.選B

【解析】由題可以知道2=3或2=6,則由e=/+昌2解得e=拽或2.

a3a\a3

5.選4

一一1

【解析】由條件得cos<a/〉=5,貝！J

|c|=+t2b2+2ta-b=,4+4/+由=2^+1)2+|>G

6.選5

【解析】在A4BC中，由余弦定理得4。2=/32+4。2—2/B?/CCOS//BC=12,則

AC=243.由正弦定理可得A48c的外接圓半徑為r==6—=2.設(shè)AABC的外接

2sin1200

圓的圓心為。1，過已作平面45c的垂線/,由外接球的性質(zhì)知外接球的球心。在直線/上,

由于尸2=必=尸C,則點尸在/上.計算得PO*PA2T2=26,則有

戶+(2道—R￥=片,解得氏==5,則三棱錐尸—4BC的外接球表面積

高中1

高中

S=4萬g=%.

3

7.選B

jr34

【解析】方法1：由條件得a—/el。,,)，由sin(a—/?)=不得cos(a—/)=1，則

/八、tana-tan03「0,八

tan(a一。)=------------=—,整理得3mtanB-4(m-1)tan尸+3=0.因為《唯一

1+tantanp4

存在，則有A=16(加一I)之一36加=0,解得加=4或加=；,又因為。＞/?,則加=4,

則tan/?=g,tana=2,則tanatan￡=1.

JT

方法2：因為滿足題意的。與尸唯一存在，所以a與萬的終邊關(guān)于角一的終邊對稱，且

4

JI

a+p=—,則tanatan/=1.

8.選/

【解析】注意到，7(0)=1,因為/'(x)=ae“—(a—1),且/'(0)=1,所以函數(shù)v=/(x)

在點(0」)處的切線方程為J=x+1.當?！?時，由/Nx+1可知，

f(x)=aex-(a-l)x+l-a>a(x+l)-(a-l)x+I-a=x+I,所以|尸的最小值為直

線y=x+l與直線y=g(x)=x+b的距離，由點到直線的距離公式知1^-11=6,解得

b=—1或6=3(舍去)，所以6=-1.

多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多

個選項要求，部分選對的得部分分，有選錯的不得分.

9.選ABD

【解析】由條件知圓臺的高為G，48=4,40=2,BD=243＞貝I

vP_ABD=1X(1X2X2V3)XV3=2,所以選項Z正確.設(shè)圓臺的上下底面圓的半徑分別為

八，由條件可得外=1,2=2,則圓臺的表面積

S=兀弋+兀%+乃(7[+々＞4?=11萬所以選項5正確.如圖，過點P作48的

垂線交48于T,過點T作RD的垂線交AD于0,連接尸0,則易證

高中2

高中

PQLBD,T0=；,PT=6,則00=叵，則

22

SNRn=LBD.PQ=上義2拒義叵=亙，所以選項C錯誤.過Z作AD的平行線交底

^BD2222

面圓周于點連接W,則NPZM即為直線4P與所成角(或補角)，在APZM

中，AM=BD=2C，AP=2,PM=V10，由余弦定理得

cosZPAM=e+AAr-PM-=也，則直線/尸與8。夾角的余弦值為W,選項。

2AP-AM44

正確.選項。妙解，由三余弦定理得cosZPAM=cos-cos-=—.

634

10.選40

x+3

【解析】由條件、+天+3=盯得);=----(x>1),則

x-1

Y+344/—

4x+y=4xH-------=4x+1H-------=4(x-1)H--------1-5>2V16+5=13

x—1x—1x—1

,當且僅當x=2/=5是取等號，選項4正確.由x+y+3=町22］皿+3,即

(向+1)(歷—3)20,解得929,當且僅當x=y=3時取等號，選項5錯誤.

由X?+y2=(x+v)2-2xy=(xy-3)2-2xy得x2+y~=(xy)2-8xy+9,從而

x2+/>18,當且僅當》=了=3時取等號，選項。錯誤.由x+y+3=犯得

11,3八112、

—+—=1——，因為孫上9,所以一+—2彳，當且僅當x=y=3時取等號，選項。正

xyxyxy3

確.

11.選BCD

【解析】設(shè)動圓尸的半徑為人由條件得|「大|=外+1，\PF2\=3-r,則

|,且尸，不重合，故點尸的軌跡為以大，月為焦點的

||+|PF2|=4>|FXF2M,N

22

橢圓(去掉與尸，M,N重合的三點)，則曲線C的方程為\+1-=l(xw-2),選項幺

錯誤.易知NMPN與NRPFz互補，而公產(chǎn)2的最大值為60。，則NMPN的最小值為

高中3

高中

120°，選項5正確.

〃1

-------------------+1—F2

MP-PF{+NP-PF2=-r(r+1)+r(3-r)=2r(l-r)<2x(---)=萬，選項C正確.由

橢圓的光學(xué)性質(zhì)知D選項正確.

三.填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

12.答案為30

【解析】先將4人任意分成3組，共有=6種分法，而甲，乙在一組的分法有1種,

4

因此滿足題意的分組方法共有5種，再將分好的3組分配到三個不同的地方，有川=6種方

法，根據(jù)分步計數(shù)原理，滿足題意的安排方法共有5x6=30種.

13.答案為-10

249

【解析】對條件兩邊求導(dǎo)得5(1-2x+x)(2%-2)=1Oo10x+9a9必+…+%,再令x=l

9

得為+2a2+,??+9a9+lOq。—0,而—1,則〉:k=q+2a?+,?,+9a9——10.

左=i

14.答案為

7/7/7/7/

【解析】因為/(X)的圖象關(guān)于直線X=—對稱，則一0+—=—+版■，左eZ,即

3332

a>=^+3k,keZ.因為/(x)在(0,")上恰有兩條對稱軸，當。〉0時，

3乃乃，5?E-7,13,,.八?5兀，7i-3TT

--<(071~\<,斛付一〈刃《,此時無解.當。<0時，-----V071H<------，

23266232

解得—“<。<一〃，此時0=—*,故實數(shù)0的值為—*.則/(x)=sin(—*x+工)，因

662223

為f(―A)=sin(—4+—)=0,且/￡(0,n),則—4+—€(——,—),則/=§.在AABC

中，由余弦定理得3=〃+/—兒2次，則bcV3,當且僅當b=c=省時取等號，則

AABC的面積SMBC=；bcsinZ=手6°4等，故MBC面積的最大值為孚.

四.解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟.

15.(I)%=(〃+1)義2?2(H)證明略.

【解析】(I)因為q,a2,4一3成等差數(shù)列，所以2a2=%+%一3，即29=a3-2,

高中4

高中

又｛曳｝為等比數(shù)列，則1，邑，邑也成等比數(shù)列，則(1±")2=(1+%聯(lián)立解

n2323

得的=3，/=8，則數(shù)歹iJ｛2｝的公比為2,則8=2"T,即S,=〃X2"T.當〃22時,

nn

XX

an=S〃—S,i=(〃+1)2-2,q=1也適合%=(〃+1)2"-2,則數(shù)列｛%｝的通項公式為

%=(〃+1)X2/2.

(II)由(I)知，4=(〃+1)X2"-2,則〃=人=2"-2,貝U

77+1

^^______記c.2心

(4+1)0用+1)(2"-2+1)(2—+1)，"(2'"+1)m+1)，'

11W

C

n-2?-2+12,+]，川

++…+^二一，，因為

"2-1+12°+12°+121+12"-2+*12"-,+132,,-1+1

2"-,+1>°，所以北=§―2"-1+]<§,

1,d”叵

211

【解析】（I）解法1：如圖，因為48CD—451GA為長方體，所以AS1，平面4BCD,

又因為/Cu平面43cD,則ZCLBAf,又4C工BM,=B,

,則ZC,平面5片M\設(shè)平面8月/與棱40交于點

Q,連接M0,BQ,則ZCJ.50.因為40=收48,不妨設(shè)48=。，

AQ=MD,設(shè)/。口5。=0，易知A50C?A0CM,則（=黑=彳，又

AC=6a,BQ=VIF+la,貝U有0B=-^—BQ,0C=-*i—AC,則

X+14+1

42九2+la2

(------------)+二/4,解得所以0為40中點.由面面平行性質(zhì)知

2+1

5

MQIIBBX,則/為42的中點.設(shè)平面8。河交棱4用于點尸，連接M,BP,則四

邊形APMD即為所作截面.由面面平行性質(zhì)知則尸為的中點，則四邊形

APM）為梯形.因為45=2,則40=2后，則RD=2G，MP=43,又BP=3,

高中5

高中

___________怎

“0=麗.設(shè)梯形8P必)的高為力，則有「9—"+Jio一〃2=G，解得〃=’,則

V3

四邊形APMD的面積S=工x(G+26)x摯=空3.

2V32

解法2：以Z為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.則2(0,0,0),5(2,0,0),

C(2,2A/2,0),M(0,y,26),貝IAC=(2,2^2,0),BM=(-2,y,242).因為

ZC,氏區(qū)，貝U就J,麗7,即—4+2j^y=0,解得y=亞，又因為40=2行，所以M

為44的中點.以下同解法1.

(2)由(I)知河為42的中點，因為函=近，則N為CG的中點.不妨設(shè)

28=2,則2(0,0,0),C(2,2A/2,0),MQ,02回,D(0,272,0),N(2,2行,血),

則AC=(2,272,0),MD=(0,血,—20),ND=(-2,0,-72).由(I)知平面BB{M

的一個法向量為4=(2,2/,0),設(shè)平面的一個法向量為何=(x,y,z),則

MDm=0即，2z—0,取x=],則2=—正，y=2y[2,則

ND-m=0[J2x+z=0

m=(1,-2-行).所以cos<k,浣〉=-理,則平面BB[M與NMD所成夾角的余

什/吉V33

弦值----.

11

17.(I)根據(jù)小概率值a=0.05獨立性檢驗，學(xué)生對垃圾垃圾分類的了解程度與性別無關(guān)

(I)—(II)E(X)=—

54108

【解析】(I)根據(jù)題意，樣本中Z等級的男生有40人，8等級的男生有20人，兩個

等級的女生都為20人，列聯(lián)表如下：

男生女生合計

4等級402060

8等級202040

合計6040100

零假設(shè)：學(xué)生對垃圾垃圾分類的了解程度與性別無關(guān).

高中6

高中

100(40x20-20x20?25

則Z2=------------=-X2.78<3.841,所以沒有充分的理由說明/不

60x40x40x609

成立，即學(xué)生對垃圾垃圾分類的了解程度與性別無關(guān).

(11)(1)根據(jù)題意，比賽只進行3局就結(jié)束，則有甲連勝3局或者乙連勝3局兩種情況.

設(shè)比賽只進行3局就結(jié)束為事件A.

2122

第一種情況，甲連勝3局.此時，4—X—X—=—.

3239

1111

第二種情況，乙連勝3局.此時，P,=—X—X—=—

32318

則尸(z)=4+2=A,即比賽進行3局結(jié)束的概率為5.

(2)由題意X取值為0,1,2,3.則

…八，211111112、15

p(X=0)=-x-x-=—,P(X=1)=(—x—x—+—x—x—+—x—x—)x—=——，

32318323323323236

P(X=2)=(|xlxlxl|1212111112111111121、113

+X—x_x__|__X—X—x__|__x—X—x__|--x—X—x__|--x-X—X—)x—=---

23232323232323232323108

37

則P{X=3)=1—P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=—.則分布列如下:

X0123

151337

P

183610854

E…、c1,5c13c37263

貝UE(X)=Ox---i-lx---i-2x----F3X—=-----

183610854108

18.(I)ae(0,-)(II)證明略

e

【解析】(I)/(x)=2_2ax=2(l二a》?),若則當xe(0,+oo)時，

xx

/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，則/(x)至多只有一個零點，不符題意.若?！?,令/(x)=0

得，x=—,則當xe(0,Y2)時，/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，當

X€(---,+00)時,

aaa

/(%)單調(diào)遞減.因為/(%)有兩個不同的零點，則必有

/(—)=21n--a(—)2=-taa-l>0,解得又xf0時，

aaae

故當0<。<1時，/(x)有兩個不同的零點,

00

/(x)告—，當X—,+8時，f(X)—>—CO,

e

高中7

高中

(II)由(I)知再，/是函數(shù)/(%)的兩個不同零點，不妨設(shè)0<$<——<工2

一a一

即ax^=作差得

，則有/(再)=/(%)=0,21nxi—ax；=o,2Inx2-0,

12_2

2先證xx<—,即證XX<——————----，即證

2(lnx2-InxJ=tz(x2-xj),x2x2

a2(lnx2-InxJ

x2陽1

i

1<芭/,設(shè)/=三〉1,則只需證1<—J即證t—>2lnt,設(shè)