2024年高三數(shù)學押題預測模擬卷2 （解析版）

高三數(shù)學押題預測卷02

數(shù)學

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考

證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第H卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.己知全集0=11,A={尤[0<尤<1},8={x|ln尤<1},貝!|風4)八3=()

A.(0,1)B.(l,e)C.[l,e)D.[e,+co)

【答案】C

【解析】由題意，可得A={X|0<X<1}=(0,1),3={x|lnx<l}={x[0<x<e},

可得樂A=(一%0][1,+8),所以&A)B=[l,e).故選：C.

2.橢圓弓+>2=1(4>0)的離心率為0,貝1]。=()

a2

A.2B.1C.氈D.2或士

32

【答案】D

【解析】由于橢圓方程為￡+V=1(。>0),

a

當時，則c="Z，其離心率為：=且，解得a=2,

a2

當0<°<1時，貝Uc=^/I二？，其離心率為：=且，解得a=J,

12，

綜上，a的值為2或上故選：D.

2

3.己知正項等差數(shù)列｛q｝的公差為d,前“項和為S",且4s3=3+1)2,4$4=(%+1)2,則4=()

【答案】B

【解析】因為4邑=(%+1)2,4"=(g+1)2，故兩式相減得:4%=(%+1)2_(%+1)2,

即(“4—1)2_(%+1)2=0,則(%+。3)(“4—%—2)=。,

又數(shù)列｛%｝為正項等差數(shù)列，故%-%-2=0,;.%-%=2,即d=2,故選：B

4.已知直線相，”與平面a,0、/,下列命題中正確的是()

A.若ay=m,py=n,則〃B.若機〃a,m±/3,則a_L4

C.若a〃Q，mLa,B］丫，則根〃/D.若2_1_力，a/3=n,m±n,則

【答案】B

【解析】對于A,若ay=m,"'丫=",則相，”可能相交或平行，A錯誤；

對于B,因為相〃口，過加作平面y和平面a交于w,則加〃〃，

而故〃！?4,又〃ua,故aJ_#,B正確；

對于C,若a〃6,mA.a,則根，/,又…,則可能有相〃九也可能有，“uy,c錯誤；

對于D,若aP=n,m±n,則可能ua或相〃0或m,a相交，D錯誤；故選：B

5.將甲、乙、丙、丁4個人全部分配到A,8,C三個地區(qū)工作，每個地區(qū)至少有1人，則不同的分配方案為()

A.36種B.24種C.C種D.16種

【答案】A

【解析】依題意，A8,C三個地區(qū)中必有一個地區(qū)有2人，

先在甲、乙、丙、丁4個人中選2個人有C；種組合，將這兩個人捆綁在一起看作一個元素，

與其他2個人一起分配到ABC三個地區(qū)，共有C；A；=36種.故選：A

6.已知P是圓C:d+y2=1外的動點，過點p作圓C的兩條切線，設(shè)兩切點分別為A,B,當尸4PB的值

最小時，點P到圓心C的距離為()

A.</2B.蚯C.,72D.2

【答案】A

貝UPAPB=^PO+04)(尸0+08)=|PC>|2+PO-[OA+OB^+OAOB,

I-II-iOA2

OA-OB=\OA-\OB\COSZAOB=cosZAOB=cos2ZPOA=2cos92ZPOA-l=2xJ~L-1=———--1,

1111|0P|2x2+y2

OA

pooA=pooB=\pd\\OA|COS(180°-ZPOA)=-|PO|-|OA|COSZPOA=-|PO|?|

2

-3=2后-3,

故尸428=八3一2+2：2T22卜+打777

2

當且僅當Y+y=y即/+產(chǎn)=應時，等號成立,

故當叢?尸5的值最小時，點尸到圓心C的距離為0.故選：A.

7.已知的tan(a+q)cos(a—二)=1,貝!Jsin2i=()

44

22

A.B.C.D.

3

【答案】B

(、(、(、(、sinccH—(、

【角軍析】由Ctan16Z+—jcosfa--}=l="tan|cr+—|sin|6z+—|=1=瓜——-----^-sinja+—]=1

'J'J')')cost6Z+-I')

nV6sin2[二+：)=cos[a+：)n^61-cos21a+：=cos[+展cos(a+A=#

I4J{4J3

或cos（a+：）=一半（舍去）.

、2

所以sin2(z=-cosI2a+-^=-2cos2(a+：)-1V6T卜一:.故選：B

3J

8.己知〃x）是定義在R上的偶函數(shù)，且（（x）+e'也是偶函數(shù)，若〃q）＞“2a-l）,則實數(shù)。的取值范圍

是()

-00,1L

A.(-8,1)B.(1,+oo)(1,+℃)

D.3)

【答案】D

【解析】因為函數(shù)“X)是定義在R上的偶函數(shù)，/(f)=,所以-/'(r)=f⑺，則/⑺，

又因為函數(shù)/'(x)+e，也是偶函數(shù)，所以/'(—x)+eT=/'(x)+e￡,得/(司=3卜"-巧,

因為>=0為減函數(shù)，y=e，為增函數(shù)，所以「(x)=，er-e、)為減函數(shù)，

令_f(x)=O,得尤=0,所以x>0時,/'(x)<0,在(0,+功上單調(diào)遞減，

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在(-。,0)上單調(diào)遞增，

所以即/(同)>川2。一巾，即時<|2。一］,得或a<g,

所以不等式的解集為，雙g卜(1，+s).故選：D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=Asin(0x+e)(A>0,。>0,閘<的圖象向左平移看個單位后到函數(shù)y=g(x)的圖象(如

圖所示)，貝I()

B.Ax)在—上為增函數(shù)

12o

C.當*時，函數(shù)g(2x)在上恰有兩個不同的極值點

44I2J

D.工=5三兀是函數(shù)y=/(x)+g(x)的圖象的一條對稱軸

【答案】BCD

【解析】根據(jù)平移性質(zhì)，可設(shè)g(x)=Asin(ox+e),M<3，

Ojr

由圖象可得A=3,2T=2TI,即7=3=無，解得。=2,

3兀3sinf^+6>j=O,所以6=：,即g(x)=3sin(2x+：］,

所以g(x)=3sin(2%+6),又g

44

7171

對于A,貝U/(%)=3sin2x—H——3sin2x---，即。=-娉，故A錯誤;

6412

,?1171771717兀9兀

對于B,當xw時，2x--G

12o12T;T

由正弦函數(shù)單調(diào)性知，/(X)在—上為增函數(shù)，故B正確；

126

對于C,g(2x)=3sin^22j;+^,當時'，2%工+：6兀％+,

l.、i5八，9…5713兀.兀，9兀715兀口心人071..?.7i3TI,5TU

因為:＜丸《二，7TX—+—=—＜兀丸+7＜：-+：=二-,顯然22%+—能取到大,二-，不能取到了-，

4444244424222

所以函數(shù)8(4%)在(04］上恰有兩個不同的極值點，故C正確；

對于D,因為y-/(x)+g(x)=3sin(2x—^|J+3sin+=6sin^2x+^|-^cos^-^

=3^3sin2x+,

所以當.黑時,3氐in［2片+工］=3氐呀=3也取得最大值，

5兀

所以X=3是函數(shù)的一條對稱軸，故D正確.故選：BCD

24

10.已知4,z2,Z3是方程(zTl-2z+4)=0的三個互不相等的復數(shù)根，則()

A.4可能為純虛數(shù)

B.Z-z2,Z3的虛部之積為-3

C.閡+回+閆=6

D.Z］,z2,Z3的實部之和為2

【答案】ABD

【解析】因為(z-i)k2-2z+4)=0,其三個不同的復數(shù)根為：i,1一后，1+四

當4=i時，此時Z］為純虛數(shù)，故A正確；

因為三個根的虛部分別為1,-V3,73,三個虛部乘積為-3,故B正確；

根據(jù)模長定義，團+閭+目="+#+(_后+肝+(后2=5,故C不正確；

因為三個根的實部分別為0,1,1,三個實部之和為2,故D正確.故選：ABD.

11.己知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)“X),其導函數(shù)為尸(力，且滿足“尤+，)=〃尤)+〃y)+個，

/(i)=o,r(i)=|,則()

A./(O)=OB.的圖像關(guān)于點成中心對稱

2024

C.”2024)=1012x2023D.￡(左)=1012x2024

k=l

【答案】ACD

【解析】對A：令尤=y=0,則有〃0)=/(0)+/(0)+。，即"0)=0,故A正確；

對B：令x=y=l,貝I］有〃2)=/(1)+〃1)+1,又/⑴=0,故"2)=1,

令x=l,y=-L,則有/(0)=/⑴+/(-!)-1,故〃f=lw—〃2),故B錯誤;

對C：令y=l,則有/(x+1)=/(%)+/1(l)+x,即/(x+1)—y(x)=x,

貝ij/(2024)=/(2024)-/(2023)+/(2023)-/(2022)+-/(1)+/(1)

2023+1x2023

=2023+2022++1+0=()=10i2x2023,故C正確；

2

對D：令y=l,則有/(x+l)=/(x)+/(l)+x,即/(x+l)=/(x)+x,

貝ij/'(x+l)=/'(x)+l,BP/(x+l)-r(x)=l,

又尸(l)=g，故/'(左)=：+左一1=左一3，

|X+2024--|x2024

則￡/‘(幻="---------......=1012x2024,故D正確.故選：ACD.

k=l2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（2Y+x-y）5的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）

【答案】80

【解析】（2d+x-y）5可看作5個（2/+尤-力相乘，有2個括號提供還有3個括號都是2/,

則《（—丫）2.6（2巧3=80fy2,系數(shù)為80

13.在三棱錐尸—ABC中，PC1平面ABC,|Aa=1,|AC|=V^，歸卻=3出，ZABP=90°,點M在該三

棱錐的外接球。的球面上運動，且滿足NAMC=60。，則三棱錐M-APC的體積最大值為

【答案】述

2

【解析】該三棱錐的外接球。為AP的中點，下證:

因為PCI平面ABC,ACu平面ABC,

所以PC_LAC,所以。4=OC=OP,

又NABP=90。，即PB_LAB,所以|。4|=|。@=|OP|,

即三棱錐的外接球球心為AP的中點，球半徑R=||PA|=）財+哂=幣

點M在該三棱錐的外接球0的球面上運動，且滿足N4WC=60。，

在△AMC中，由正弦定理可得aAMC的外接圓的半徑為r=—四一=1,

2sinZAMC

球心。到平面AMC的距離為4=病=7=屈，

因為。為AP的中點，所以尸到平面AMC的距離為2d=2幾，

v_v_276

VM-APC—VP-AMC—）AMC'"——~'AAfC'

要使三棱錐M-APC的體積最大，只需△AMC的面積最大即可.

在^AMC中由余弦定理可得：|ACf=|肱1+\MCf-|M4|-|MC|>\MA\-\MC\,

所以|M4HMe\ACf=3,當且僅當=\MC\=￡時等號成立，

“=g必.|MCsin60=鼻\MA\-\MC\<^,

斫Mi/2n2y[637330

x

從「以%—心。=亍5AMc^^-—=^->

當且僅當1MAl=\MC\=V3時，三棱錐M-APC的體積取到最大值差.

22

14.已知點耳，F(xiàn)?是雙曲線C：號-2=1（。>0,6>0）的左、右焦點，點P在C的右支上，連接P￡,作

2

耳A，用且與y軸交于點A,若尸鳥=MP4則C的漸近線方程為

【答案】y=土地尤

-5

【解析】不妨設(shè)點尸在第一象限，設(shè)尸優(yōu),為乂%>0,%>0）,A（0j）,月（―c,0）,瑪（c,0）,

22

由PF]=§P"，得（。-毛，-%）=]（一無。，'一為），

25

c~xo=~~xor

所以，所以，

93

一%=”一%)t=~2y°

因為￡A_LP月，所以耳4書尸=0,即(cJ〉(Xo+c,%)=c(Xo+c)+%=O,

所以c]gc+c，*|y；=°，解得%=gc（%=-gc舍去），所以尸[gc,gcj,

222

T7H4上五cL匚口、125c216c,Rn25（a+Z?）16（/+〃）

又因為點尸在C上，所以一；-----r=l,即—V---------L-----V---------Z=i，

9a29b。9a29b2

所以25/=16],所以2=2叵，

a5

所以c的漸近線方程為y=±孚了?

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

已知函數(shù)〃同=：1+5+；.

（1）求/⑺的圖像在點（2"（2））處的切線方程；

（2）求“X）在1,2上的值域.

【答案】⑴7%-4＞-2=0；（2）[2,3].

11117

【解析】⑴因為/?（耳=5/+2：+5,所以r（x）=x-F，所以“2）=3,/（2）=彳，

7

故所求切線方程為y-3=]（x-2）,即7x-4y-2=0.

（2）由（1）知[⑺「3;]二（XT）（：+X+1）,工?1,2.

令制x）＞0,得-令/（無）＜0,得卜＜1.

所以/（尤）在pl上單調(diào)遞減，在[1,2]上單調(diào)遞增，所以〃411n="1）=2.

又佃"2）=3,

因為所以2W/（x）＜3,即在1,2上的值域為[2,3].

16.（15分）

2023年是全面貫徹落實黨的二十大精神的開局之年，也是實施“十四五”規(guī)劃承上啟下的關(guān)鍵之年，經(jīng)濟增

長呈現(xiàn)穩(wěn)中有進的可喜現(xiàn)象.某省為做好刺梨產(chǎn)業(yè)的高質(zhì)量發(fā)展，項目組統(tǒng)計了全省近5年刺梨產(chǎn)業(yè)綜合產(chǎn)

值如下：

年份代碼X,綜合產(chǎn)值y（單位：億元）

年份20192020202120222023

年份代碼X12345

綜合產(chǎn)值y1.523.5815

（1）請通過樣本相關(guān)系數(shù)，推斷v與*之間的相關(guān)程度；

（若卜|之0.75,則線性相關(guān)性程度很強；若0.25<『|<0.75,則線性相關(guān)性程度一般，若卜花0.25,則線性

相關(guān)性程度很弱.）

（2）求出》關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并預測2024年該省刺梨產(chǎn)業(yè)的綜合產(chǎn)值.

參考公式：樣本相關(guān)系數(shù)「=//”經(jīng)驗回歸方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘法

#（x,.-x）2J（y..-y）2

VZ=1Z=1

估計公式分別為另=上―-------,a--=--y-bx

1=1

參考數(shù)據(jù)：A/51?7.14.

【答案】（1）線性相關(guān)性程度很強，理由見解析；（2）y=3.3x-3.9,2024年該省刺梨產(chǎn)業(yè)的綜合產(chǎn)值

為15.9億元.

-1+2+3+4+5-1.5+2+3.5+8+15,

【解析】（1）x=------------=3,y=---------------=6,

5

5

一（%-元）（％-歹）

i=l

j力（%-?。┝Γǘ∫淮酰?

VZ=1Z=1

_（1-3）x（1.5-6）+（2-3）x（2-6）+（3-3）x（3.5-6）+（4-3）x（8-6）+（5-3）x（15-6）

J（-2）2+（-I）?+O?+F+2?x-4.5）2+（_4『+（-2.5『++92

9+4+0+2+1833_33

x0.92>0.75

VIUxJ127.5-5病~5x7.14

故線性相關(guān)性程度很強;

■（%-元）（y-9）

（2）由（1）可得3=------------------=33,

￡（尤,-可2

Z=1

故&=y-Bx=6-3.3x3=-3.9,

所以y關(guān)于X的經(jīng)驗回歸方程為y=3.3%-3.9,

當x=6時，y=3.3x6—3.9=15.9

17.（15分）

如圖所示，半圓柱的軸截面為平面BCG用，BC是圓柱底面的直徑，0為底面圓心，AA為一條母線，E為

CG的中點，S.AB=AC=AAl=4.

（1）求證：

（2）求平面A耳E與平面BQE夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）旺

【解析】（1）由BC是直徑可知AB工AC,則ASC是等腰直角三角形，故AO13C,

由圓柱的特征可知84,平面A8C,又AOu平面A3C,所以B瓦，A。，

因為2月BC=B,8耳,8Cu平面BCG與，則49,平面3CC4,

而OEu平面BCG耳，則AO±OE,

因為A3=AC=2Vli=4,則BC='JT,AB—4A/2，

所以402=4加+BO2=24,OE2=OC2+CE2=12,

222

旦爐=EC；+B1C=36=B1O+OE,所以4。JLOE,

因為BQJ_OE,AO±OE,AOBXO=O,40,與0<=平面鉆0,

所以O(shè)E_L平面M。，又44u平面M。，故OE_LA耳.

（2）由題意及（1）易知AA，A8,AC兩兩垂直，如圖所示建立空間直角坐標系,

則4（4,0,4）,￡（0,4,2）,<9（2,2,0）,所以陰=（4,0,4）,AE=（0,4,2）,AO=（2,2,0）,

由（1）知AO_L平面4。￡,故平面耳。E的一個法向量是（2.2,0）,

設(shè)”=（x,y,z）是平面人與后的一個法向量,

n-AB=04%+4z=0(、

則有<14y+2z=。,取z=-2,可得〃=(2」,-2)

n-AE=0

設(shè)平面4月E與平面耳?！陫A角為。,

ri-AO6V|

所以cos0=cos(n,AO=

n\\AO2逝x3-2

則平面明E與平面BQE夾角的余弦值為手.

18.（17分）

（1>4045

已知平面上一動點尸到定點廠5,0）的距離比到定直線尤=-2023的距離小空p,記動點P的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程；

（2）點A（2,1）,M,N為C上的兩個動點，若2恰好為平行四邊形也ANB的其中三個頂點，且該平行

四邊形對角線的交點在第一、三象限的角平分線上，記平行四邊形MANB的面積為S,求證：SM巫.

9

【答案】（1）V=2x；（2）證明見解析.

【解析】（1）解法一：設(shè)尸（x,y）,易知x>-2023,

根據(jù)題意可得+=尤+2023-曹,化簡得y?=2x,所以C的方程為V=2x.

解法二：因為點P到定點尸匕嗎的距離比到定直線％=-2023的距離小「產(chǎn)，

所以點尸到定點叫,0%勺距離與到定直線X=-；的距離相等，

由拋物線的定義可知，點尸的軌跡是以定點尸［g，。］為焦點，定直線x=為準線的拋物線,

所以C的方程為V=2x.

（2）證明：設(shè)”（石,乂）小優(yōu),上），直線政V的斜率為左傳片0），線段腦V的中點為。，

因為平行四邊形MANB對角線的交點在第一、三象限的角平分線上，

所以線段的中點。在直線〉=%上，

設(shè)°（〃?,"）（〃今0）,所以<2",所以（乂-%）（%+%）=2&-馬）,

[%=2%

又%十%=20，=k,所以版=1,即左二L

m

設(shè)直線肱V的方程為y-m=—(x-m),BPx-my+m2-m=0,

m

聯(lián)立m~m=Q，整理得y2-2my+2m2-2m=0,

所以△=8〃z-4加2>0,解得0<〃z<2,%+%=2%,%%=2〃/-2?i,

則\MN\=y/l+m21%-%|=川+病](%+%?-4%%

=y/l+m214人-4(2疝-2時=2^1+m2^m-m2-

12—2m+加21

又點A到直線MN的距離為d=(；_；?,

yjl+m2

所以S=2S=|MN|-d=271+m2y]2m-m2■廣，1二2yl2m-m2\2-2m+m2|,

-11sjl+m211

記r=42祖—>

因為0<〃?<2,所以所以S=2/(2-巧=一2盧+4r/e(0,l].

令于1)=-2t3+由Je(0,1],則(?)=-6』+4,

令/3=0,可得r=9，

時，廣（。>0,/（。在區(qū)間（0,*]內(nèi)單調(diào)遞增,

當fe

當te時，r⑺<o,/（。在區(qū)間上單調(diào)遞減,

所以當r=S，即加=i±#時，7⑺取得最大值,

即S”僧卜呼,所以S*.

19.(17分)

設(shè)集合A={-Lq,%,rq,},其中l(wèi)=q<%<—<a",〃22,jB={x|x=(p,q),peA,qeA}.若對任意的向量

x^B,存在向量x；e8,使得石，馬，則稱A是“T集

(1)設(shè)“={-1』,2},^={-1,1,2,3},判斷M,N是否為“T集”.若不是，請說明理由；

(2)已知A是“T集”.

(i)若A中的元素由小到大排列成等差數(shù)列，求A；

(ii)若心3g=c(c為常數(shù))，求有窮數(shù)列《。，生，,4的通項公式.