2023-2024學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)單元測(cè)試卷：復(fù)數(shù)

2023-2024學(xué)年高一下數(shù)學(xué)單元測(cè)試卷：復(fù)數(shù)

(時(shí)間：100分鐘，滿分100分)

一、選擇題(本大題共20小題，每小題3分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.復(fù)數(shù)i—2的虛部是()

A.iB.12

C.1D.2

解析：選Ci-2=-2+i,因此虛部是1.故選C.

2.復(fù)數(shù)(2+i)2等于()

A.3+4iB.5+4i

C.3+2iD.5+2i

解析：選A(2+i)2=4+4i+i2=4+4i—l=3+4i.故選A.

3.以一d5+2i的虛部為實(shí)部，以U5i+2i2的實(shí)部為虛部的新復(fù)數(shù)是()

A.2-2iB.一3+6

C.2+iD.由

解析：選A設(shè)所求新復(fù)數(shù)z=a+6i(a,beR),由題意知，復(fù)數(shù)一市+2i的虛部為2;

復(fù)數(shù)弱i+2i2=^i+2X(—l)=—2+^i的實(shí)部為一2,則所求的z=2—2i.故選A.

4.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(l+ai)(2+i)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。等于()

1C1

AA.----B.-

22

C.-2D.2

解析：選D(1+ai)(2+i)=2—a+(2a+l)i,

、[2—67=0,

因?yàn)樗鼮榧兲摂?shù)，所以，解得〃=2.故選D.

2。+1W0,

5.設(shè)(l+i)x=l+yi,其中x,>是實(shí)數(shù)，則的值為()

A.1B.也

C.3D.2

解析：選D依據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，得x=y=l,故％+>=2.故選D.

6.若復(fù)數(shù)z滿足z+(3—4i)=l,則z的虛部是()

A.12B.4

C.3D.-4

解析：選B2=1—(3—4。=-2+期.故選8

7.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)口=()

3+i

第1頁(yè)共12頁(yè)

A.2+iB.2-i

C.—2+iD.-2-i

口=心3=)=2(i=2—i.故選B.

解析：選B

3+i(3+i)(3—z)10

8.已知復(fù)數(shù)z=（冽一3）+（加一l）i的模等于2,則實(shí)數(shù)冽的值為（)

A.1或3B.1

C.3D.2

解析：選A依題意可得Y(冽-3)2+(冽-1)2=2,解得加=1或3.故選A.

9.實(shí)數(shù)x,y滿足zi=y+xi,Z2=y1—x,且zi—Z2=2,則孫的值是()

A.1B.2

C.-2D.-1

解析：選Azi-Z2=(y+x)+(x—y)i=2,

|x+y=2,,

即?.\x=y=lf則盯=1.故選A.

L?=0,

10.已知復(fù)數(shù)ZI=(Q2—2)—3ai,Z2=a+(a2+2)i,若zi+z2是純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)Q的值

為()

A.1B.2

C.-2D.-2或1

解析：選Cz\+z2=(a2-\-a—2)+(a2—3Q+2)i,

?a2-i-a—2=0,

由題意知?解得〃=-2.故選C.

〃一3Q+2W0,

11.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)/表示復(fù)數(shù)Z,則圖中表示z的共轎復(fù)數(shù)的點(diǎn)是（）

A.?D

Oy

?c

A.AB.B

C.CD.D

解析：選B因?yàn)閤+yi的共朝復(fù)數(shù)為x-yi.故選B.

z

12.若z=4+3i,則一=()

團(tuán)

A.1B.-1

43

c.-+-i

55

第2頁(yè)共12頁(yè)

解析：選D|z|=^42+32=5,z=4—3i,則三=4一￡故選口.

團(tuán)55

13.已知zi=3—4i,Z2=—l+2i,則復(fù)數(shù)z=zi+z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解析：選Dz=zi+z2=3-4i+(-l+2i)=2-2i,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,

-2),位于第四象限.故選D.

14.復(fù)數(shù)2=l+i,z為z的共輛復(fù)數(shù)，則z-z—2—1=()

A.-2iB.-i

C.iD.2i

解析：選B依題意得z，z—z—1=(1+i)(l—i)—(1+i)—1=—i.故選B.

15.已知i為虛數(shù)單位，則［二］。21等于()

A.—iB.-1

C.iD.1

解析：選C

16.已知復(fù)數(shù)z=T+?,則z+閭=()

因?yàn)閦=_I+也i,所以z+團(tuán)=_l_*i+

解析：選D

2222

故選D.

17.設(shè)義z)=z,zi=3+4i,Z2=—2—i,則大幻一Z2)等于()

A.l-3iB.-2+lli

C.-2+iD.5+5i

解析：選D；zi=3+4i,Z2=—2—i,.?.zi-Z2=(3+4i)一(—2—i)=5+5i,又'Kz)

=z,Z2)=zi-Z2=5+5i.故選D.

18.若q為實(shí)數(shù)，且吐%=3+i,貝l」q=()

1+i

A.-4B.-3

C.3D.4

第3頁(yè)共12頁(yè)

h+2

------=3

2

2+0_(2+0)(]T)_q+2?—]?j所以丁

解析：選D1+i-(l+i)(l-i)-221-b—2,解得a=

------=1

2

4故選D.

19.已知z是復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)，z+z+z-z=o,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的

軌跡是（）

A.圓B.橢圓

C.雙曲線D.拋物線

解析：選Az—x+yi（x,yGR）,則z=x-yi,

代入z+z+z?z=o,得x+yi+x-yi+N+/=0,

即/+產(chǎn)+2X=0,整理得（X+1）2+/=L

復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是圓.故選A.

20.A,5分別是復(fù)數(shù)Zl,Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，。是原點(diǎn),若|zi+z2|=|zi—Z2］，則4

AOB一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

解析：選B根據(jù)復(fù)數(shù)加（減）法的幾何意義，知以CM,。8為鄰邊所作的平行四邊形

的對(duì)角線相等，則此平行四邊形為矩形，故△048為直角三角形.故選B.

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分，請(qǐng)把答案填寫在題中橫線上）

21.（2019?北京東城區(qū)二模）復(fù)數(shù)二的實(shí)部為_；虛部為________.

1—i

森=（^）一泊?實(shí)部為

解析:4虛部為工

2

答案：'5

2

22.（2019?江蘇淮安模擬）已知復(fù)數(shù)z=（加2-2）+（加一1萬(wàn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)

數(shù)m的范圍為.

解析：?.,復(fù)數(shù)z=（冽2—2）+（冽-l）i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（冽2—2,冽-1）位于第二象限，，加2—2V0,

且m—1>0,

答案：（1,也）

23.在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=（m—3）+2^/mi的點(diǎn)在直線y=x上，則實(shí)數(shù)冽的值為

第4頁(yè)共12頁(yè)

解析：,.,z=(冽-3)+2jwi表示的點(diǎn)在直線y=x上，「?冽-3=2而，解得冽=9.

答案：9

24.若復(fù)數(shù)z滿足(3—4i)z=4+3i,貝旭=.

解析：因?yàn)?3f片4+笈，所以胃4二】?則戶】?

答案：1

25.計(jì)算tJ+W的值是

(一1+3升+(—2+i)(l—2i)=(-1+3評(píng)+—2+4i+i+2=1.i

解析：原式=1-

[(1+i)2]3(l+2i)(l-2i)(2i>5-i(-i)i

+i=2i.

答案:2i

三、解答題(本大題共3小題，共25分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算

步驟)

26.(本小題滿分8分)已知復(fù)數(shù)z1=2—3i,Z2=:福，

求：⑴Z1Z2；(2產(chǎn).

Z2

._15-5i_15-5i_(15-5i)(3-4i)

用牛：Z2

(2+i)23+4i(3+4i)(3-4i)

(l)ziz2=(2-3i)(l-3i)=-7-9i.

c色2-3i(2-3i)(l+3i)ll+3i11,3.

z2l-3i(l-3i)(l+3i)101010

27.(本小題滿分8分)已知復(fù)數(shù)zi滿足0—2)(1+。=1一酬為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)Z2的虛

部為2,且Z1Z2是實(shí)數(shù)，求Z2.

解：?.,⑵-2)(l+i)=l—i,

.(1-i)2l-2i-l

..21—2------=---------------=-----------=-1,

1+i(l+i)(l-i)2

/.zi=2—i.

設(shè)Z2=a+2i(a￡R),

則Z1Z2=(2—i)(Q+2i)=(2a+2)+(4-a)i.

又,入3金R,.??Q=4.

???Z2=4+2i.

第5頁(yè)共12頁(yè)

28.(本小題滿分9分)已知z,co為復(fù)數(shù)，(l+3i)z為實(shí)數(shù)，co=—^—,且|①|(zhì)=5仍，求①.

2+i

解：設(shè)①=x+yi(x,y￡R),

z

由8=---,得z=o(2+i)=(x+yi)(2+i).

2+i

依題意，得(l+3i)z=(l+3i)(x+yi)(2+i)=(-x—7y)+(7x-y)i,

7x—jv=O.(J)

又㈤=5也，，/+產(chǎn)=50.②

……x=i,k=-1,

由①②得?或?

y—1卜=-7.

；.0=1+7i或a?=-1—7i.

B卷——面向全國(guó)卷高考滾動(dòng)檢測(cè)卷

(時(shí)間：120分鐘，滿分150分)

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.(2017?全國(guó)卷H)(l+i)(2+i)=()

A.1-iB.l+3i

C.3+iD.3+3i

解析:選B(l+i)(2+i)=2+i2+3i=l+3i.故選B.

2.(2019?山西晉城二模)若z=(〃?2+??—6)+(加一2)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)/的值為()

A.-2B.2

C.3D.-3

解析：選D?.,z=(〃?2+〃7—6)+(〃?-2)i為純虛數(shù),

加2+—6=0,

解得加=一3.故選D.

〃一2W0,

3.(2017?全國(guó)卷HI)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=i(—2+i)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解析：選Cz=i(-2+i)=-2i+i2=-1-2i,故復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)i=i(—2+i)的點(diǎn)位

于第三象限.故選C.

4.(2019?廣東華附、省實(shí)、廣雅、深中聯(lián)考)設(shè)a,b是非零向量，記a與b所成的角

為0,下列四個(gè)條件中，使”成立的充要條件是()

1?1網(wǎng)

A.a〃bB.0=0

第6頁(yè)共12頁(yè)

c.e=-D.e=it

2

解析：選B"=2等價(jià)于非零向量a與b同向共線.即0=0.故選B.

|?|1*1

5.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)(a+i>(l+2i)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。為()

A.-2B.2

C.--D-

22

解析：選B?復(fù)數(shù)(a+i)(l+2i)=(a-2)+(2a+l)i為純虛數(shù)，

a—2=0,

?-■解得a=2.故選B.

[2a+lW0,

6.(2019?湖南長(zhǎng)沙一中一模)已知復(fù)數(shù)zi，Z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為/(1,2),B(一

1,3),則包的虛部為()

Z2

A.1B.——i

2

C.iD.--

2

解析：選D由復(fù)數(shù)Zi,Z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是/(I,2),5(-1,3),得zi=l+

2i,Z2=—l+3i,則包="21-：(l+2i)(—l—3i)=日=匕所以肛的虛部為一

一Z2—l+3i(-l+3i)(-l-3i)10222z2

1.故選D.

2

7.(2019?宜賓高三第三次診斷性考試)歐拉公式：e〉=cosx+isinx(i為虛數(shù)單位)，由瑞

士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明，它建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)歐拉公式，(e*)2=()

A.1B.-1

C.iD.-i

_ZLj2J兀?-7T|

解析：選B由e^ncosx+isinx,得(e~)=[°°821.故選B.

8.(2019?廈門二模)已知i為虛數(shù)單位，若，=a+bi(q,Z?eR),則/=()

1—i

A.1B.也

cdD.2

2

解析：選Ci為虛數(shù)單位，」一=a+6i(a,b^R),則」一="=a+歷，根據(jù)復(fù)數(shù)相

1—i1—i2

第7頁(yè)共12頁(yè)

9.已知向量a=（l,k）,b=（2,4）,則“左=一；'是"|a+b|2=a2+b2”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

解析：選C由|a+b『=a2+b2,得a?+析-b+b2=a2+b2,得a-b=O,得（1,局-（2,4）

=0,解得后=—3，所以“后=；'是"|a+b|2=a2+b2”的充要條件.故選C.

10.設(shè)z=（2祥+5/—3）+儼+2f+2）i,/GR,則以下結(jié)論正確的是（）

A.z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限

B.z一定不為純虛數(shù)

C.z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸的下方

D.z一定為實(shí)數(shù)

解析：選CVf2+2f+2=（f+l）2+l>0,

；.z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸的上方.又與z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱.，C項(xiàng)正確.故選C.

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題4分，共12分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得4分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）

11.設(shè)z是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是（）

A.若z220,則z是實(shí)數(shù)

B.若z2<0,則z是虛數(shù)

C.若Z是虛數(shù)，則z220

D.若Z是純虛數(shù)，則z2<0

解析：選ABD設(shè)z=a+6i,a,beR,z2=a2—b2+2abi,

對(duì)于A,z220,則6=0,所以z是實(shí)數(shù)，真命題；

對(duì)于B,z2<0,則a=0,且6W0,所以z是虛數(shù)；所以B為真命題；

對(duì)于C,z是虛數(shù)，則6W0,所以z2》0是假命題；

對(duì)于D,z是純虛數(shù)，則0=0,bWO,所以z2<0是真命題.故選A、B、D.

12.已知Z1與Z2是共輾虛數(shù)，以下四個(gè)命題一定正確的是（）

A.Z?<|z2|2

第8頁(yè)共12頁(yè)

B.Z{Z2=\Z\Z2\

C.Z\~\~Z2R

D.-eR

Z2

解析：選BCzi與Z2是共機(jī)虛數(shù)，設(shè)zi=a+6i,Z2=a—bi(a,b^R).

rf<|z2|2；z^=a2—b2+2abi,復(fù)數(shù)不能比較大小，因此A不正確；z\Z2=\Z\ZQ\=a2+b2,B

正確；Zi+Z2=2“GR,C正確；且=什=(°+,)2=j+"i不一定是實(shí)數(shù),

Z2a—bi(a-bi)(a+bi)a2+b2c^+b2

因此D不一定正確.故選B、C.

7-1-1

13.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足"L=i,則下列說法錯(cuò)誤的是()

z

A.z為純虛數(shù)

B.z的虛部為一1i

2

:對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

D.|吐也

2

解析：選ABC*z+1—zi,設(shè)2=。+歷，則(〃+1)+歷=-6+oi,

_1

a~2，

a+1=—b,

q=b,

22

A|z|=-,復(fù)數(shù)z的虛部為一1.故選A、B、C.

22

三、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中的橫線上)

14.(2019?江蘇高考)已知復(fù)數(shù)(a+2i)(l+i)的實(shí)部為0,其中i為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)a的

值是.

解析：(a+2i)(l+i)=a-2+(a+2)i,

因?yàn)槠鋵?shí)部為0,故a=2.

答案：2

15.設(shè)復(fù)數(shù)a+6i(a,beR)的模為3，則(a+6i)(a—4)=.

解析：V\a+bi\=\la2+b2=^,(a+bi)(a—bi)=a2+b2=3.

答案：3

第9頁(yè)共12頁(yè)

5-i

16.(2019?天津高考)i是虛數(shù)單位，則1+i的值為_

解析：法一”2=2a=2一夕,

答案：＜3

也+i

20182019

，其中為虛數(shù)單位，則的虛部是

17.設(shè)復(fù)數(shù)zIiZ

團(tuán)=—

.也+i_(g+i)(l+也i)=.

解析：.?言=(1s)

1’1一也「(1一/或1+也0-1'

p-02018(也+i]

2019

：也2018201923

??.z==[l+ij+11—ijI=(—i)+i=i+i=—1—i,

，z=-l+i,則z的虛部為1,\z\=y]2.

答案：1啦

四、解答題(本大題共6小題，共82分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

18.(本小題滿分12分)已知(2x—y+l)+Q—2)i=0,求實(shí)數(shù)x,y的值.

解：?；(2x—y-\-l)+(y—2)i=0,x,y￡R,

_1

[2x-y+l=0,%一；，

.I解得，2

-2=0.y=2.

實(shí)數(shù)x,y的值分別為士2.

2

19.(本小題滿分14分)計(jì)算：(1)；：+[1力2020；

(2)(4-i5)(6+2i7)+(7+iH)(4-3i).

1

解：⑴■紅+/^202。=±+閆1。1。

(1—i)2-2i

=i(l+i)+[i]°i°=-1+i+(—i)i010

=-l+i—l=-2+i.

(2)原式=(4一i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)

第10頁(yè)共12頁(yè)

=22—14i+25—25i=47—39i.

20.(本小題滿分14分)已知向量a,b滿足a?b=0,|a+b尸加同，若a+b與a—b

的夾角為..求加的值.

3

解：Vab=0,.\|a+b|=|a—b|,V|a+b|=m|a|,

J(a+b)2=m2a2,b2=(m2—l)a2.

D匕口"亂缶2兀.(a+b)-(a-b)2兀

又a+b與a—b的夾角——,..------------=cos——，

3|a+b||a—b|3

.〃2—冽2])〃22加2]

m2?