第4章 因式分解（單元測試）（解析版）

第4章因式分解單元測試注意事項：1.本試卷由選擇題、填空題和解答題三大題組成，共24小題，滿分100分，考試時間120分鐘；2.答題前，考生務必將自己的學校、班級、姓名、考試號、考場號、座位號，填寫在答題卷相應位置上；3.答選擇題時必須用2B鉛筆把答題卷上對應題目的答案標號涂黑；答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卷指定的位置上，不在答題區(qū)域內的答案一律無效，不得用其他筆答題；4.考生答題必須答在答題卷上，保持卷面清潔，不要折疊，不要弄破，答在試卷和草稿紙上一律無效．一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分。每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的,不選、多選、錯選均不得分)1．（2023秋·四川巴中·八年級統(tǒng)考期末）下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依據(jù)因式分解的定義以及提公因式法和公式法分解因式，依次判斷即可得到正確結論．【詳解】解：A.，故原因式分解錯誤，不符合題意；B.，不能進行因式分解，故不符合題意；C.，故原因式分解錯誤，不符合題意；D.，因式分解正確，符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了因式分解的知識，解決問題的關鍵是掌握提公因式法和公式法分解因式．2．（2023秋·廣東河源·八年級校考期末）因式分解的結果是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先提公因式，再利用平方差公式即可分解．【詳解】解：．故選：C【點睛】本題考查了因式分解，因式分解的一般步驟是“一提二看三檢查”，即有公因式的先提公因式，再看是否能用公式法分解，最后要檢查分解是否徹底，熟練掌握提公因式法和公式法兩種分解因式的方法是解題關鍵．3．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·八年級?？计谀┮阎?，，則的值等于（

）A．12 B．24 C．72 D．36【答案】C【分析】原式先提取公因式，再利用完全平方公式分解，然后整體代入即可求解．【詳解】解：∵，，∴，故選：C．【點睛】本題考查了求代數(shù)式的值，掌握提公因式和公式法分解因式和整體代入是解題的關鍵．4．（2023秋·貴州安順·八年級校聯(lián)考期末）已知二次三項式能分解成系數(shù)為整數(shù)的兩個一次因式的積，則整數(shù)的取值有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【分析】把常數(shù)項分為兩個整數(shù)相乘，其和即為的值，即可確定出整數(shù)的個數(shù)．【詳解】解：根據(jù)題意得：，可得，，2，，解得：，14，，2，共4個，故選：D．【點睛】此題考查了因式分解中的十字相乘法，熟練掌握十字相乘的方法是解本題的關鍵．5．（2021春·甘肅蘭州·八年級蘭州市第十中學?？计谥校┫铝懈魇街?，不能分解因式的有（）①；②；③；④；⑤；⑥．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】利用平方差公式和完全平方公式即可求解．【詳解】∵，∴不能分解因式，故①符合題意；∵，∴能分解因式，故②不符合題意；∵不能分解因式，故③符合題意；∵，∴能分解因式，故④不符合題意；∵，∴能分解因式，故⑤不符合題意；∵，∴能分解因式，故⑥不符合題意；∴不能分解因式的是①和③，故選：B．【點睛】本題考查了公式法分解因式，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是解決問題的關鍵．6．（2021春·重慶南岸·七年級重慶市第十一中學校?？计谥校┤?，則的值是（

）A．－3 B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】利用完全平方公式將原等式變形為，求出a、b、c的值代入計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，整理得：，∴，解得，∴，故選：A．【點睛】此題考查了完全平方公式分解因式的應用，已知字母的值求代數(shù)式的值，正確掌握完全平方公式分解因式是解題的關鍵．7．（2023春·七年級課時練習）的三邊分別為a，b，c，且滿足，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】先將a2﹣b2+ac﹣bc進行因式分解，可得a﹣b＝0，進一步即可判斷△ABC的形狀．【詳解】解：∵a2﹣b2+ac﹣bc＝（a+b）（a﹣b）+c（a﹣b）＝（a+b+c）（a﹣b）＝0，∵a+b+c＞0，∴a﹣b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形，故選：B．【點睛】本題考查了因式分解的應用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．8．（2023春·浙江·七年級專題練習）已知，則的值是(

)A．0 B．1 C．－1 D．2【答案】A【分析】把分組，每三個數(shù)作為一組，再每組提取公因式，再整體代入求值即可．【詳解】解：∵，而∴故選A【點睛】本題考查的是同底數(shù)冪的乘法的逆用，因式分解的應用，利用整體代入法求解代數(shù)式的值，掌握“把要求值的代數(shù)式進行分組，再提取公因式分解因式”是解本題的關鍵．9．（2022春·山東淄博·九年級統(tǒng)考期中）已知多項式，（為任意實數(shù)），試比較多項式與的大?。?/p>

）A．無法確定 B． C． D．【答案】D【分析】先求出的差，再利用完全平方公式以及偶次方的性質即可求出與的大?。驹斀狻拷猓骸?，，∴，∵，，∴，∴；故選：D．【點睛】本題主要考查了配方法方的運用，利用公式法因式分解，熟練掌握完全平方公式和偶次方的非負性的性質是解決本題的關鍵．10．（2022秋·江蘇·七年級專題練習）在數(shù)學中為了書寫簡便，18世紀數(shù)學家歐拉就引進了求和符號“∑”，如記＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知＝9x2+mx，則m的值是（）A．45 B．63 C．54 D．不確定【答案】B【分析】根據(jù)條件和新定義列出方程，化簡即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：x（x+3）+x（x+4）+…+x（x+n）＝x（9x+m），∴x（x+3+x+4+…+x+n）＝x（9x+m），∴x[（n﹣3+1）x+]＝x（9x+m），∴n﹣2＝9，m＝，∴n＝11，m＝63．故選：B．【點睛】本題考查了新定義，根據(jù)條件和新定義列出方程是解題的關鍵．二、填空題(本大題共6小題,每小題4分,共24分)11．（2023年遼寧省大連地區(qū)中考數(shù)學二模試卷）因式分解：_________．【答案】【分析】先提出公因式，再利用平方差公式進行因式分解，即可求解．【詳解】解：．故答案為：【點睛】本題主要考查了多項式的因式分解，熟練掌握多項式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，并會結合多項式的特征，靈活選用合適的方法是解題的關鍵．12．（2022秋·山東濱州·八年級統(tǒng)考期中）分解因式：______．【答案】【分析】先提公因式，然后根據(jù)完全平方公式因式分解即可求解．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關鍵．13．（2023秋·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）已知，則多項式的值為_______．【答案】2022【分析】將多項式中含有字母的式子因式分解，然后整體代入可得結果．【詳解】解：，∵，∴原式．故答案為：2022．【點睛】本題主要考查了因式分解的應用，解題的關鍵是利用整體代入思想解決問題．14．（2023春·八年級課時練習）若關于的多項式含有因式，則實數(shù)的值為______．【答案】1【分析】設另一個多項式為，再利用整式的乘法進行整理得得到對應各項系數(shù)，然后求得的值．【詳解】解：設多項式的另一個因式是，則，∴，∴，．故答案為：1．【點睛】本題主要考查了因式分解的綜合應用，設出另一個因式，再利用整式的乘法找到各項系數(shù)，使之對應相等是解答本題的關鍵．15．（2022秋·山東泰安·八年級校聯(lián)考期中）已知，，，則多項式的值為______．【答案】3【分析】根據(jù)題意可得，，，再利用提公因式法原式可變形為，再利用完全平方公式可變形為，然后代入，即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，，，∴故答案為：3【點睛】本題是因式分解的應用，解題的關鍵是利用因式分解把所求代數(shù)式進行變形．16．（2023秋·湖北武漢·八年級?？计谀┮阎P于x的多項式，下列四個結論：①當時，，則；②若，則多項式有一個因式是；③若，則多項式的最小值是0；④若，則．其中正確的是___________（填寫序號）．【答案】①②④【分析】①將代入，即可判斷；②當時，，即可判斷；③，根據(jù)平方的非負性，即可判斷；④當時，；時，，則，即可判斷．【詳解】①將代入，得，所以①正確；②若，則當時，，則多項式有一個因式是；所以②正確③，時，時，∴若，則多項式的最值是0，所以③錯誤；④∴當時，當時，∴∴所以④正確故答案為：①②④【點睛】本題考查多項式求值、平方的非負性，因式分解的應用，解題的關鍵是明確．三、解答題(本大題共7小題,共66分)17．（2023秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）因式分解(1)(2)【答案】(1)；(2)【分析】（1）先提取公因式a，再根據(jù)平方差公式分解因式即可；（2）先提取公因式x，再根據(jù)完全平方公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題考查公因式和公式法分解因式，掌握完全平方公式和平方差公式是解題的關鍵．18．（2023秋·山東淄博·八年級統(tǒng)考期末）先因式分解，再計算求值：，其中，．【答案】；【分析】根據(jù)平方差公式因式分解化簡計算，再代入數(shù)字求解即可得到答案；【詳解】解：原式，當，時，原式；【點睛】本題考查公式法因式分解化簡，化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握平方差公式．19．（2023秋·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在一塊半徑為的圓形板材上，沖去半徑為的四個小圓，小剛測得，，請利用因式分解求出剩余陰影部分的面積（取3.14）【答案】【分析】根據(jù)圓的面積公式利用大圓減去4個小圓列式，提取公因式，利用公式直接分解，最后代入數(shù)值求解即可得到答案；【詳解】解：陰影部分面積；∵，，取3.14，∴陰影部分面積【點睛】本題考查因式分解：有公因式先提取公因式，再看符不符合公式．20．（2023·全國·九年級專題練習）已知，，求的值．【答案】0【分析】由，得出，進一步代入整理得出a、b、c的數(shù)值得出答案即可；【詳解】解：，，，，，，解得：，，，．【點睛】此題考查因式分解的實際運用，非負數(shù)的性質，掌握完全平方公式是解決問題的關鍵．21．（2023春·江蘇·七年級專題練習）閱讀與思考：利用多項式的乘法法則可推導得出：因式分解與整式乘法是方向相反的變形，利用這種關系可得：利用這個式子可以將某些二次項系數(shù)為的二次三項式分解因式，例如：將式子分解因式．分析：這個式子的常數(shù)項，一次項系數(shù)這是一個型的式子，∴，∴(1)填空：式子的常數(shù)項_______，一次項系數(shù)___________，分解因式______．(2)若可分解為兩個一次因式的積，則整數(shù)的所有可能值是______．【答案】(1)，，，，；(2)或【分析】（1）利用題中給出的例子即可得出，，即；（2）根據(jù)、、和分別求出對應的值即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：，，∴，故答案為：，，，，；（2）解：當時，則；當時，則；當時，則；當時，則；綜上所示：或；故答案為：或【點睛】本題考查的是因式分解的十字相乘法，解題關鍵是掌握十字相乘法的運算規(guī)律．22．（2023春·七年級單元測試）我們知道某些代數(shù)恒等式可用一些卡片拼成的圖形面積來解釋，例如：圖1可以用來解釋．現(xiàn)有足夠多的正方形卡片1號、2號，長方形卡片3號，如圖3(1)根據(jù)圖2完成因式分解：________；(2)現(xiàn)有1號卡片1張、2號卡片4張，3號卡片4張，在不重疊的情況下可以緊密地拼成一個大正方形，求這個大正方形的邊長；(3)圖1中的兩個正方形的面積之和為，兩個長方形的面積之和為，與有何大小關系？請說明理由．【答案】(1)(2)(3)，見解析【分析】（1）根據(jù)圖形的面積的兩種表示方法，得出結果即可；（2）根據(jù)所拼成的大正方形的面積為，得出邊長即可；（3）根據(jù)，即可得出．【詳解】（1）解：根據(jù)圖2完成因式分解：．故答案為：．（2）解：由1號卡片1張、2號卡片4張、3號卡片4張拼出的大正方形，如圖所示：則有，∴這個大正方形的邊長為．（3）解：；理由如下：根據(jù)題意，得，，則，∵，∴，即．【點睛】本題主要考查了因式分解的應用，解題的關鍵是熟練掌握完全平方公式．23．（2023春·山西太原·七年級山西大附中?？茧A段練習）觀察下列各式，解答問題：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；…第n個等式：______．（n為整數(shù)，且）【嘗試】(1)根據(jù)以上規(guī)律，寫出第4個等式：______；【發(fā)現(xiàn)】(2)根據(jù)這個規(guī)律寫出你猜想的第n個等式，并說明其正確性；【應用】(3)利用以上規(guī)律，直接寫出的值為______．(4)利用以上規(guī)律，求的值．【答案】(1)；(2)，證明見解析；(3)4045；(4)9800【分析】（1）根據(jù)規(guī)律即可求解；（2）根據(jù)規(guī)律可以得到第n個等式為，再根據(jù)整式的運算即可證明結論正確性；（3）根據(jù)（2）的結論即可得到；（4）逆用規(guī)律將原式變形為，再去括號進行計算得到，利用平方差公式進行計算即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)以上規(guī)律，第4個等式為；故答案為：；（2）解：根據(jù)這個規(guī)律猜想第n個等式為；證明：，∴猜想正確；（3）解：根據(jù)以上規(guī)律，；故答案為：4045；（4）解：=．【點睛】本題考查了平方差公式，整式的規(guī)律性問題，整式的運算，運用平方差公式進行因式分解簡化計算等知識，理解題意，找出規(guī)律是解題關鍵．24．（2023春·全國·八年級專題練習）數(shù)形結合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的思想．我們常利用數(shù)形結合思想，借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關系，如：探索整式乘法的一些法則和公式．(1)探究一：將圖1的陰影部分沿虛線剪開后，拼成圖2的形狀，拼圖前后圖形的面積不變，因此可得一個多項式的分解因式____________________．(2)探究二：類似地，我們可以借助一個棱長為的大正方體進行以下探索：在大正方體一角截去一個棱長為的小正方體，如圖3所示，則得到的幾何體的體積為____________；(3)將圖3中的幾何體分割成三個長方體①、②、③，如圖4、圖5所示，∵，，，∴長方體①的體積為．類似地，長方體②的體積為________，長方體③的體積為________；（結果不