浙江省重點(diǎn)中學(xué)四校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)四校聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科試題卷考生須知：1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)（填涂）；3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的）1.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A. B. C. D.2.已知向量，，若與共線，則（）A. B.4 C. D.或43.如圖，的斜二測(cè)直觀圖為等腰直角三角形，其中，則的面積為（）A. B. C.6 D.4.某同學(xué)堅(jiān)持夜跑鍛煉身體，他用手機(jī)記錄了連續(xù)10周每周的跑步總里程（單位：千米），其數(shù)據(jù)分別為17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，則這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是（）A.12 B.16 C.17 D.18.55.已知，，分別是三內(nèi)角，，的對(duì)邊，則“”是“為直角三角形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.某同學(xué)有一個(gè)形如圓臺(tái)的水杯如圖所示，已知圓臺(tái)形水杯的母線長(zhǎng)為，上、下底面圓的半徑分別為和.為了防燙和防滑，水杯配有一個(gè)杯套，包裹水杯高度以下的外壁和杯底，如圖中陰影部分所示，則杯套的表面積為（不考慮水杯材質(zhì)和杯套的厚度）（）A. B. C. D.7.如圖，平行四邊形中，，.現(xiàn)將沿起，使二面角大小為120°，則折起后得到的三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.8.正方形邊長(zhǎng)為1，平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，滿足的點(diǎn)的軌跡分別與，交于，兩點(diǎn)，令，分別為和方向上的單位向量，，為任意實(shí)數(shù)，則的最小值為（）A.3 B. C. D.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.設(shè)，是不同的直線，，，是不同的平面，則下列說法不正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，，則 D.，，則10.已知，，且，則下列說法正確的是（）A.有最小值4 B.有最小值C.有最小值 D.有最小值1611.如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則（）A.存在點(diǎn)使得B.若點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C.若點(diǎn)滿足平面時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是正六邊形D.當(dāng)點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足時(shí)，二面角的最大值為60°三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知向量，滿足，則向量在上的投影向量為______.（用表示）13.若，則的最大值為______.14.在中，，，的外接圓為圓，為圓上的點(diǎn)，則的取值范圍是______.四、解答題（本題共5題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.（13分）文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號(hào)，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者.某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(jī)（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，…，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）求樣本成績(jī)的第75百分位數(shù)；（3）已知落在的平均成績(jī)是56，方差是7，落在的平均成績(jī)?yōu)?5，方差是4，求兩組成績(jī)的總平均數(shù)和總方差.16.（15分）如圖，在直三棱柱中，，，四邊形為正方形.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.17.（15分）請(qǐng)從①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答（如未作出選擇，則按照選擇①評(píng)分.選擇的編號(hào)請(qǐng)?zhí)顚懙酱痤}卡對(duì)應(yīng)位置上）在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，若______，（1）求角的大??；（2）若，為邊上一點(diǎn)，，，求的面積.18.（17分）在菱形中，，，以為軸將菱形翻折到菱形，使得平面平面，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19.（17分）如圖，是一座“雙塔鋼結(jié)構(gòu)自錨式懸索橋”，懸索的形狀是平面幾何中的懸鏈線，懸鏈線方程為（為參數(shù)，），當(dāng)時(shí)，該方程就是雙曲余弦函數(shù)，類似的有雙曲正弦函數(shù).（1）類比正弦函數(shù)的二倍角公式，請(qǐng)寫出雙曲正弦函數(shù)的一個(gè)正確的結(jié)論：______.（用，表示）（2），不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，證明：有唯一的正零點(diǎn)，并比較和的大小.

2023學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)四校聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科答案一、單選題12345678BDDCACCB二、多選題91011ABDABAC三、填空題12.13.314.四、解答題15.（1）利用每組小矩形的面積之和為1可得，，解得.（2）成績(jī)落在內(nèi)的頻率為，落在內(nèi)的頻率為，設(shè)第75百分位數(shù)為，由，得，故第75百分位數(shù)為84.（3）由圖可知，成績(jī)?cè)诘氖忻袢藬?shù)為，成績(jī)?cè)诘氖忻袢藬?shù)為，故；由樣本方差計(jì)算總體方差公式可得總方差為.16.（1）證明：由平面為正方形因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以，所以，又，且，平面，所以平面，因?yàn)椋云矫?，因?yàn)槠矫?，平面平?（2）因?yàn)橹苯侨切沃校?所以，所以為等邊三角形.又因?yàn)闉榈妊切?所以取得中點(diǎn)，連結(jié)，，則，，所以為二面角的平面角.因?yàn)橹苯侨切沃校?在等邊三角形中，所以在三角形中，17.（1）若選①因?yàn)?，由正弦定理得，即，所以，由，得，所以，即，因?yàn)椋?若選②由，化簡(jiǎn)得.由正弦定理得：，即，所以.因?yàn)椋?若選③由正弦定理得，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以?）由（1）知，且，在中，由余弦定理得，即①由于，所以，平方，即②.由①②得：，，所以的面積為，即所求面積為18.（1）∵，平面，平面，∴平面同理可得平面.又∵，，平面，∴平面平面，∵平面，∴平面.（2）法1：取中點(diǎn)，則是平行四邊形，所以.所以與平面所成角即與平面所成角.等體積法：易得：，，，，到平面的距離為，解得所以直線與平面所成角的正弦值為.法2：取中點(diǎn)，則是平行四邊形，所以.從而與平面所成角即為與平面所成角，設(shè)為.過作交于，過作交于，過作交于.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，又平面，所以平面，又平面，所以，又，，，平面，從而平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，，，平面，從而平?所以的長(zhǎng)即為到平面的距離由，，可得.又，所以到平面的距離設(shè)為即為到平面的距離，即又，可得.在中，，，所以，得.所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.（1）（2）依題意，，不等式，函數(shù)在上