小學奧數(shù)染色與操作問題教師版

PAGE|初一·數(shù)學·基礎-提高-精英·學生版|第1講第頁“我把十七匹馬全都留給我的三個兒子.長子得，次子得，給幼子.不許流血，不許殺馬.你們必須遵從父親的遺愿！”請你幫助他們分分馬吧！這三個兄弟迷惑不解，盡管他們在學校里學習成績都不錯，可是他們還是不會用17除以2、用17除以3、用17除以9，又不讓馬流血.于是他們就去請教當?shù)匾晃还J的智者.這位智者看了遺囑以后說：“我借給你們一匹馬，去按你們父親的遺愿分吧！”老人原有17匹馬，加上智者借給的一匹，一共18匹.于是三兄弟按照18匹馬的、和，分別得到了九匹、六匹和兩匹.9+6+2=17（匹）.還剩下一匹，是智者借給的那匹，還給智者.甲、乙、丙、丁分29頭羊.甲、乙、丙、丁分別得，應如何分？借一頭羊，甲、乙、丙、丁依次分得15，6，5，3頭羊，再將借得1頭羊還回去.8個金幣中，有一個比真金幣輕的假金幣，你能用天平稱兩次就找出來嗎（天平無砝碼）?講解此題前，教師可先問學生：“3個金幣，有1個假的比較輕，你稱1次能把它找出來么？”將8個金幣分成：3+3+2，3組，把3和3進行稱量，如果重量相同，稱剩下的2個金幣即可找到假幣；如果重量不同，將比較重的3個金幣拿出，用天平稱量2個，剩下1個，天平不平衡易得答案，若此時天平平衡則剩下的那個是假的.9個金幣中，有一個比真金幣輕的假金幣，你能用天平稱兩次就找出來嗎（天平無砝碼）?第一次在左右兩托盤各放置3個：(一)如果不平衡，那么較輕的一側的3個中有一個是假的．從中任取兩個分別放在兩托盤內：①如果不平衡，較低的一側的那個是假的；②如果平衡，剩下的一個是假的；(二)如果平衡，剩下的三個中必有一個為假的．從中任取兩個分別放在兩托盤內：①如果不平衡，較低的一側的那個是假的；②如果平衡，剩下的那個是假的．這類稱量找假幣的問題，一定要會分類，并盡量是每一類對應天平稱量時的不同狀態(tài)(輕，重，平)，所以分成3堆是很常見的分法．據(jù)說有一天，韓信騎馬走在路上，看見兩個人正在路邊為分油發(fā)愁.這兩個人有一只容量10斤的簍子，里面裝滿了油；還有一只空的罐和一只空的葫蘆，罐可裝7斤油，葫蘆可裝3斤油.要把這10斤油平分，每人5斤.但是誰也沒有帶秤，只能拿手頭的三個容器倒來倒去.應該怎樣分呢？韓信給兩人說了一句話：“葫蘆歸簍，簍歸罐”，兩人按此分油，果然把油分成了兩半.具體做法如下表：韓信的話指明了倒油的方向，始終按從簍向罐中倒，從罐向葫蘆中倒，從葫蘆向簍中倒的方向操作.按照相反的方向倒，即“葫蘆歸罐，罐歸簍”怎樣?我們試試.看來也行，只是多倒了一次.要注意的是：保持一定的方向很重要.如果在倒油的過程中，出現(xiàn)從甲倒向乙，又從乙倒回甲(這兩步不一定挨著)，那么這兩步相互抵消，肯定可以簡化掉，所以最佳的倒油方法是始終按一個方向倒.大桶能裝5千克油，小桶能裝4千克油，你能用這兩只桶量出6千克油嗎?怎先將5千克的桶倒?jié)M油；再用大桶將小桶倒?jié)M，大桶中還有5-4=1(千克)油；然后將小桶倒空，將大桶中1千克倒到小桶中；最后注滿大桶，連小桶中共是5+1=6(千克)．這道題要學會借助于大桶小桶容積的差量出想獲得的中間量(1千克)．有一個小朋友叫小滿，他學會了韓信分油的方法，心里很是得意.一天，他遇到了兩位農(nóng)婦.兩位農(nóng)婦有兩個各裝滿了10升奶的罐子，還有一個5升和一個4升的小桶，她們請求小滿就用這些容器將罐子中的奶給兩個小桶中各倒入2升奶.小滿按照韓信分油的方法，略加變通，就將奶分好了！你說說具體的做法！答案如表所示有大，中，小3個瓶子，最多分別可以裝入水1000克，700克和300克.現(xiàn)在大瓶中裝滿水，希望通過水在3個瓶子間的流動使得中瓶和小瓶上標出通過對三個數(shù)字的分析，我們發(fā)現(xiàn)700-300-300=100，是計算步數(shù)最少的得到100的方法．而由于我們每計算一步就相當于倒一次水，所以倒水最少的方案應該是：1．大瓶往中瓶中倒?jié)M水．2．中瓶往小瓶中倒?jié)M水，這時中瓶中還剩下400克水．3．小瓶中水倒回大瓶．4．中瓶再往小瓶中倒?jié)M水，這時中瓶中只剩下100克水，標記．5．小瓶中水倒回大瓶．6．中瓶中100水倒入小瓶，標記．所以最少要倒6次水．本題關鍵是，小瓶中的水每次都要倒掉，不然無法再往小瓶中倒水的．老師在黑板上畫了9個點，要求同學們用一筆畫出一條通過這9個點的折線(只許拐三個彎兒)．你能辦到嗎?大家開始嘗試多次之后可能會得出“不可能”的結論，但是大家不要忽略一點，題中并沒要求所有折線只能限定在這9個點的范圍之內．我們把折線的范圍沖破本題9個點所限定的正方形，那么問題就容易解決了，如上右圖。你有四個裝藥丸的罐子，每個藥丸都有一定的重量，被污染的藥丸是沒被污染的重量＋1.只稱量一次，如何判斷哪個罐子的藥被污染了？第一瓶拿一個藥丸，第二瓶拿兩個藥丸，第三瓶拿三個，第四瓶拿四個，稱一下比標準的10個藥丸重多少，重多少就是第幾個瓶子里的藥丸被污染.如右圖所示，將1～12順次排成一圈.如果報出一個數(shù)a（在1～12之間），那么就從數(shù)a的位置順時針走a個數(shù)的位置.例如a=3，就從3的位置順時針走3個數(shù)的位置到達6的位置；a=11，就從11的位置順時針走11個數(shù)的位置到達10的位置.問：a是多少時，可以走到7的位置？不存在.當1≤a≤6時，從a的位置順時針走a個數(shù)的位置，應到達2a的位置；當7≤a≤12時，從a的位置順時針走a個數(shù)的位置，應到達2a-12的位置.由上面的分析知，不論a是什么數(shù)，結果總是走到偶數(shù)的位置，不會走到7的位置.對于任意一個自然數(shù)n，當n為奇數(shù)時，加上121；當n為偶數(shù)時，除以2，這算一次操作現(xiàn)在對231連續(xù)進行這種操作，在操作過程中是否可能出現(xiàn)100？為什么？同學們碰到這種題，可能會“具體操作”一下，得到這個過程還可以繼續(xù)下去，雖然一直沒有得到100，但也不能肯定得不到100.當然，連續(xù)操作下去會發(fā)現(xiàn)，數(shù)字一旦重復出現(xiàn)后，這一過程就進入循環(huán)，這時就可以肯定不會出現(xiàn)100.因為這一過程很長，所以這不是好方法.因為231和121都是11的倍數(shù)，2不是11的倍數(shù)，所以在操作過程中產(chǎn)生的數(shù)也應當是11的倍數(shù).100不是11的倍數(shù)，所以不可能出現(xiàn).操作問題不要一味地去“操作”，而要找到解決問題的竅門.課后練習課后練習一只電動老鼠從左下圖的A點出發(fā)，沿格線奔跑，并且每到一個格點不是向左轉就是向右轉。當這只電動老鼠又回到A點時，甲說它共轉了81次彎，乙說它共轉了82次彎。如果甲、乙二人有一人說對了，那么誰正確？甲.如右下圖所示，將格點黑白相間染色，因為老鼠遇到格點必須轉彎，所以經(jīng)過多少格點就轉了多少次彎。如左下圖所示，老鼠從黑點出發(fā)，到達任何一個黑點都轉了奇數(shù)次彎，所以甲正確.如圖（1），對相鄰的兩格內的數(shù)同時加上1或同時減去1叫做一次操作.經(jīng)過若干次操作后由1變成圖2，則圖2中A處的數(shù)是多少？按圖中要求操作，圖3中陰影方格的數(shù)字之和與空白方格的數(shù)字之和的差不變.所以A=（1+1+1+1+1）-（0+0+0+0）=5.一個大桶裝了12升水，另外有恰好能裝8升和5升水的桶各一個.利用這三個桶最少倒幾次才能把這12升水平均分成兩份?答案如表所示甲、乙分43頭牛，甲得，乙得，應如何分？借2頭牛，甲得18頭，乙得25頭，再將借來的2頭牛還回去.有6張電影票(如右圖)，想撕成相連的3張，共有________種不同的撕法.形如的有2種，形如的有8種.月測備選月測備選測試1、一個正方形果園里種有48棵果樹，加上右下角的一間小屋，整齊地排列成七行七列（見右圖）.守園人從小屋出發(fā)經(jīng)過每一棵樹，不重復也不遺漏（不許斜走），最后又回到小屋.可以做到嗎？不可以.如右下圖所示.守園人只能黑白相間地走，走到的第奇數(shù)棵樹是白的，第偶數(shù)棵樹是黑的，走到第48棵樹應是黑的，而黑樹與小木屋不相鄰，無法直接回到小木屋.測試2、如右圖，缺兩格的8×8方格有62個格，能否用31個圖不重復地蓋住它且不留空隙?這種覆蓋問題是典型的用染色方法解決的問題之一．用來覆蓋，則用黑白相間染色，可以發(fā)現(xiàn)它無論橫放、豎放，必然蓋住一白一黑．要不重復不留空白，那總共能蓋住的黑格數(shù)、白格數(shù)應該相等．但從染色后整個圖看，黑格30個，白格32個，故不可