【初中數(shù)學(xué)】特殊平行四邊形中的最值問(wèn)題+課件+北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

第一章特殊平行四邊形專(zhuān)題2特殊平行四邊形中的最值問(wèn)題數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版專(zhuān)題解讀典例講練目錄CONTENTS數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版01專(zhuān)題解讀◎問(wèn)題綜述四邊形中的最值問(wèn)題是近幾年中考的熱點(diǎn)問(wèn)題，試題層出

不窮，形式多樣，往往綜合了幾何變換，有一定難度，具有很

強(qiáng)的探索性.通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)這類(lèi)問(wèn)題，常常利用“兩點(diǎn)之間線段

最短”“垂線段最短”“斜邊大于直角邊”“三角形三邊關(guān)系

定理”等來(lái)解決.數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版02典例講練類(lèi)型一

“將軍飲馬”模型

如圖，已知菱形

ABCD

的對(duì)角線

AC

＝12，面積為24，△

ABE

是等邊三角形.若點(diǎn)

P

在對(duì)角線

AC

上移動(dòng)，求

PD

＋

PE

的最

小值.【思路導(dǎo)航】連接

BD

.

連接

PB

.

推出

PD

＝

PB

，從而推出

PE

＋

PD

＝

PE

＋

PB

，由

PE

＋

PB

≥

BE

，推出當(dāng)

E

，

P

，

B

三點(diǎn)共線

時(shí)，

PE

＋

PD

的值最小，最小值為

BE

的長(zhǎng)，求出

BE

即可解決

問(wèn)題.解：如圖，連接

BD

交

AC

于點(diǎn)

O

，連接

PB

.

∴

BD

＝4.∵四邊形

ABCD

是菱形，

∵

AC

與

BD

互相垂直平分，∴

PD

＝

PB

.

∴

PE

＋

PD

＝

PE

＋

PB

.

∵

PE

＋

PB

≥

BE

，∴當(dāng)

E

，

P

，

B

三點(diǎn)共線時(shí)，

PE

＋

PD

的值最小，最小值為

BE

的長(zhǎng).∵△

ABE

是等邊三角形，

【點(diǎn)撥】?jī)啥ㄒ粍?dòng)，動(dòng)點(diǎn)在直線上的最值問(wèn)題就是“將軍飲

馬”最值問(wèn)題，常常利用軸對(duì)稱(chēng)來(lái)解決問(wèn)題.

1.如圖，正方形

ABCD

的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)

E

是

BC

的中點(diǎn)，點(diǎn)

P

是

AC

邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

BP

，

EP

，則

BP

＋

EP

的最小值

為

?.

2.如圖，在矩形

ABCD

中，

AB

＝4，

BC

＝8，

E

為

CD

邊的中

點(diǎn)，點(diǎn)

P

，

Q

為

BC

邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且

PQ

＝2，當(dāng)四邊形

APQE

的周長(zhǎng)最小時(shí)，則

BP

的長(zhǎng)為

?.4

【解析】由題知

PQ

，

AE

的長(zhǎng)均為定值，∴當(dāng)四邊形

APQE

的

周長(zhǎng)最小時(shí)，

AP

＋

QE

最小.如圖，在

AD

上截取線段

AF

＝

PQ

＝2，作點(diǎn)

F

關(guān)于

BC

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

G

，連接

EG

與

BC

交于一點(diǎn)即為

點(diǎn)

Q

，過(guò)點(diǎn)

A

作

FQ

的平行線交

BC

于一點(diǎn)，即為點(diǎn)

P

，此時(shí)

AP

＋

QE

最小.過(guò)點(diǎn)

G

作

BC

的平行線交

DC

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

H

.

則四邊形

FGHD

為矩形.∴

CH

＝

AB

＝4.∵四邊形

ABCD

是矩形，∴

AD

＝

BC

＝8，∠

D

＝90°，∠

QCE

＝90°.∵

PQ

＝2，∴

DF

＝

AD

－

AF

＝6.∴

GH

＝6.∵點(diǎn)

E

是

CD

的中點(diǎn)，∴

CE

＝2.∴

EH

＝2＋4＝6.∴

EH

＝

GH

.

∴∠

GEH

＝45°.設(shè)

BP

＝

x

，則

CQ

＝

BC

－

BP

－

PQ

＝8－

x

－2

＝6－

x

，在△

CQE

中，∵∠

QCE

＝90°，∠

CEQ

＝45°，∴

CQ

＝

CE

.

∴6－

x

＝2，解得

x

＝4.∴

BP

的長(zhǎng)為4.故答案為4.類(lèi)型二

垂線段最短

如圖，在Rt△

ABC

中，已知

AC

＝2，

BC

＝4，點(diǎn)

P

為斜邊

AB

上一動(dòng)點(diǎn)，

PE

⊥

BC

，

PF

⊥

CA

，求線段

EF

長(zhǎng)的最小值.【思路導(dǎo)航】連接

CP

，判定四邊形

ECFP

是矩形，再根據(jù)當(dāng)

CP

最小時(shí)，

EF

也最小，同時(shí)根據(jù)垂線段最短即可求解.解：如圖，連接

CP

.

∵

PE

⊥

BC

，

PF

⊥

CA

，∴∠

PEC

＝∠

PFC

＝∠

ACB

＝90°.∴四邊形

ECFP

是矩形.∴

EF

＝

PC

.

∴當(dāng)

CP

最小時(shí)，

EF

也最小.∵垂線段最短，∴當(dāng)

CP

⊥

AB

時(shí)，

CP

最小.

【點(diǎn)撥】“兩動(dòng)點(diǎn)之間距離”最小值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為“一定一

動(dòng)”最值問(wèn)題.本題中運(yùn)用矩形的對(duì)角線相等將

EF

長(zhǎng)的最值轉(zhuǎn)

化為

CP

長(zhǎng)的最值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

1.如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為1的正方形的中心點(diǎn)

O

引兩條相互垂直的射

線，分別與正方形的邊交于點(diǎn)

A

，

B

，則線段

AB

長(zhǎng)的最小值

是

?.

2.如圖，菱形

ABCD

的對(duì)角線

AC

，

BD

相交于點(diǎn)

O

，點(diǎn)

P

為

AB

邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)

A

，

B

重合），

PE

⊥

OA

于點(diǎn)

E

，

PF

⊥

OB

于點(diǎn)

F

.

若

AC

＝20，

BD

＝10，求

EF

的最小值.解：如答圖，連接

OP

.

∵四邊形

ABCD

是菱形，

AC

＝20，

BD

＝10，

∴∠

AOB

＝90°.在Rt△

ABO

中，由勾股定理，得

∵

PE

⊥

OA

于點(diǎn)

E

，

PF

⊥

OB

于點(diǎn)

F

，∴∠

OEP

＝∠

OFP

＝90°.答圖∴四邊形

OEPF

是矩形.∴

EF

＝

OP

.

則當(dāng)

OP

取最小值時(shí)，

EF

的值最小.

答圖類(lèi)型三

利用三點(diǎn)共線取最值

如圖，點(diǎn)

M

，

N

是正方形

ABCD

的邊

CD

上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿

足

AM

＝

BN

，連接

AC

，交

BN

于點(diǎn)

E

，連接

DE

，交

AM

于點(diǎn)

F

，連接

CF

.

若正方形的邊長(zhǎng)為6，求線段

CF

長(zhǎng)度的最小值.【思路導(dǎo)航】先判斷出Rt△

ADM

≌Rt△

BCN

（HL），得出∠

DAM

＝∠

CBN

；判斷出△

DCE

≌△

BCE

（SAS），得出∠

CDE

＝∠

CBE

，即可判斷出∠

AFD

＝90°；根據(jù)直角三角形斜

邊上的中線等于斜邊的一半，可得點(diǎn)

F

到

AD

的中點(diǎn)

O

的距離不

變；利用勾股定理列式求出

OC

的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系

可知當(dāng)

O

，

F

，

C

三點(diǎn)共線時(shí)，

CF

的長(zhǎng)度最小.

∴Rt△

ADM

≌Rt△

BCN

（HL）.∴∠

DAM

＝∠

CBN

.

∴△

DCE

≌△

BCE

（SAS）.∴∠

CDE

＝∠

CBE

.

∴∠

DAM

＝∠

CDE

.

∵∠

ADF

＋∠

CDE

＝∠

ADC

＝90°，∴∠

DAM

＋∠

ADF

＝90°.∴∠

AFD

＝180°－90°＝90°.如圖，取

AD

的中點(diǎn)

O

，連接

OF

，

OC

，

在Rt△

ODC

中，

∵

OF

＋

CF

≥

OC

，

【點(diǎn)撥】“一定一動(dòng)”最值問(wèn)題的關(guān)鍵是找到動(dòng)點(diǎn)的軌跡，或

者找動(dòng)態(tài)過(guò)程中的不變量，利用三角形三邊關(guān)系解決.本題中利

用全等三角形的判定與性質(zhì)得到“動(dòng)中有靜”，直角三角形斜

邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，確定

出

CF

最小時(shí)點(diǎn)

F

的位置是解題關(guān)鍵.

如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形

ABCD

中，點(diǎn)

E

，

F

分別為

AD

，

CD

邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接

BE

，

BF

，點(diǎn)

E

，

F

在運(yùn)動(dòng)

過(guò)程中，始終保持∠

EBF

＝45°，連接

EF

.

過(guò)點(diǎn)

B

作

BH

⊥

EF

，

垂足為

H

，連接

DH

，則

DH

的最小值為

?.

【解析】如答圖，延長(zhǎng)

DC

至點(diǎn)

G

，使

CG

＝

AE

，連接

BG

，

BD

.

∵四邊形

ABCD

是正方形，∴

AB

＝

CB

，∠

A

＝∠

BCD

＝