2022北京豐臺區(qū)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題和答案

2022北京豐臺高一（下）期末數(shù)學(xué)一、選擇題共小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．復(fù)數(shù)z=1?2i的虛部為()A1B．iC．2D．?2i2．已知長方體的長、寬、高分別為，，3，那么該長方體的表面積為()A20B．C．D943．sin15cos15=()1313A．B．C．D．44224．在△中，記|＝c，|＝a，＝b，將等式2＝（+）2右邊展開，整理得（）Aa2＝b+c2﹣bcAC．c＝a2b2﹣2CB．b＝a2c2﹣2cosBDb2＝a+c2﹣acsinB5．已知向量a=，b=(?k)，若存在實數(shù)，使得a=b，則k和的值分別為()1111A．?，2B．，2C．?2D．，222226．如圖所示，該幾何體是從一個水平放置的正方體中挖去一個內(nèi)切球（正方體各個面均與球面有且只有一個公共點）以后而得到的，現(xiàn)用一豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形不可能是()A．C．B．D．7．已知直線a，b與平面，，，能使//成立的條件是()A．⊥，⊥C．//，//B．a(chǎn)//，a//D．a(chǎn)，b，a//，b//8．古希臘的數(shù)學(xué)家特埃特圖斯Theaetetus，約前417?前369)通過如圖來構(gòu)造無理數(shù)2，3，5，．記BAC=，=，則cos(a+)=()62363662A．?B．?C．+D．+323333329．如圖，在直角梯形ABCD中，AB//DC，=，=2，若E為BC的中點，則=()2A1B．2C．2D410．如圖，在棱長為2的正方體?ABCD中、E、F是棱CD上任意兩點、且EF=1、P、Q是正方形111111ABCD及其內(nèi)部的動點、且PQ=1．則四面體P?EFQ的體積的最大值為()132343A．B．C．1D．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。5分）若一個球的體積和表面積的數(shù)值相等，則該球的半徑為．125分）在ABC中，若a=3，c=2，B=，則ABC的面積為．4135分）如果z=+ai+i)(aR)為純虛數(shù)，那么a=．145分）木工小張在處理如圖所示的一塊四棧臺形狀的木塊?ABCD時，為了經(jīng)過木料表面CDDC內(nèi)一111111點P和棱AA將木料平整鋸開，需要在木料表面CDDC過點P畫直線l，則l滿足（選出你認(rèn)為正確的全部111結(jié)論）①l//AA；②l//BB；③l與直線AA相交；④l與直線BB相交．1111155分）根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理，以直角三角形的三條邊為邊長作正方形，從斜邊上作出的正方形的面積正好等于在兩直角邊作出的正方形面積之和．現(xiàn)在對直角三角形CDE按上述操作作圖后，得如下圖所示的圖形若AF=xAB+yAD，則x?y=．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16分）在ABC中，=b2+c2?a．2（Ⅰ）求A；（Ⅱa=22，B=，求b．317分）已知兩個單位向量e，e的夾角為，若向量a=e?e，b=e?e．1212123（Ⅰ）求證：|a||b|；=（Ⅱa與b的夾角．18分）在復(fù)平面內(nèi)，O是坐標(biāo)原點，向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z=1?i，z=3+ai(aR)．1212（Ⅰ）求|z+z|的最小值；12（ⅡOZ⊥，求實數(shù)a的值；12z21（Ⅲ）若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍．19分）已知函數(shù)f(x)=3sinx+mx(mR)．（Ⅰ）若m=1，求f()的值；12（Ⅱm=6，且f(x)=0，求tan2x．20分）如圖，在直角梯形ABCD中，AB//CD，⊥，AB=2CD=2，并將直角梯形ABCD繞邊旋轉(zhuǎn)至．（Ⅰ）求證：直線平面⊥；（Ⅱ）求證：直線CE//平面；（Ⅲ）當(dāng)平面ABCD⊥平面時，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使平面與平面BCE垂直．并證明你的結(jié)論．條件①：AE=3；條件②：1；=條件③：．⊥注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅲ0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．21分）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，對任意兩個向量m=(1，1)，n=，y2)，作：OM=m，2ON=n．當(dāng)m，n不共線時，記以O(shè)M，ON為鄰邊的平行四邊形的面積為S(m，n)|xy?xy|；當(dāng)m，n共1221線時，規(guī)定S(m，n=．（Ⅰ）分別根據(jù)下列已知條件求S(m，n):①m=，n=(1,2)；②m=2)，n=(2,4)；（Ⅱ）若向量p=m+n(，R，+0)，22求證：S(p，m)+S(p，n)=|+||)S(m，n)；（ⅢA，B，C是以O(shè)為圓心的單位圓上不同的點，記OA=a，OB=b，OC=c．（）當(dāng)a⊥b時，求S(c，a+，b)的最大值；（ⅱ）寫出S(a，a)Sb，+c+，a參考答案一、選擇題共小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1【解答】解：z=1?2i的虛部為2．?故選：C．【點評】本題主要考查虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題．2543直接寫出表面積即可．【解答】解：長方體的長、寬、高分別為54，，長方體的表面積為2(54+43+3=94；故選：D．【點評】本題考查了長方體的表面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3【解答】解：因為sin=2sincos，114所以sin15cos15=sin30=．2故選：A．【點評】本題考查正弦的倍角公式．4．【分析】將等式2＝（+）2右邊展開，則（π﹣B），化簡即可得解．【解答】解：在△中，記|＝c，|＝a，＝b，將等式2＝（則+）2右邊展開，（πB即b2＝a+c22acB，故選：．【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，重點考查了向量的夾角，屬基礎(chǔ)題．5ab進(jìn)行向量坐標(biāo)的數(shù)乘運(yùn)算可得出(2，=(?，k)，然后即可求出k和的值．【解答】解：a，(2，=(?，k)，?=212，解得=k=?．k=1故選：A．【點評】本題考查了向量坐標(biāo)的數(shù)乘運(yùn)算，相等向量的坐標(biāo)關(guān)系，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．6【解答】解：對于A，用豎直的平面截正方體，該平面過球心，且過正方體四個面的中心，即可得到截面圖形A，如圖：對于B，用豎直的平面截正方體，該平面為正方體的對角面過球心，及正方體兩個側(cè)面的對角線的中心，即可得到截面圖形B；對于CD，用豎直的平面截正方體，該平面過正方體一個側(cè)面的中心，如圖，切點在截面ABCD的邊CD的中點處，且CD為長方形ABCD中較短的線段，即可得到D．故選：C．【點評】本題考查正方體內(nèi)切球的性質(zhì)，及球的截面圓，屬于基礎(chǔ)題．7A；由平行于同一直線的兩平面的位置關(guān)系判定B；由平面與平面平行的性質(zhì)及判定判斷C；由平面與平面平行的判定定理判斷D．【解答】解：若⊥，⊥，可得//或與相交，故A錯誤；若a//，a//，則//或與相交，故錯誤；若//，//，由平面與平面平行的性質(zhì)及判定，可得//，故C正確；a//b////B若a，b，，，且與相交，則ab，若與不相交，則不一定有，故D錯誤．//ab故選：C．【點評】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，是基礎(chǔ)題．8+)的值即可．1212【解答】解：由題意，可得cos==，sin==，222223613cos==，sin==，333262336故+)=coscos?sinsin=故選：B．?=?，232336【點評】本題主要考查了直角三角形中的邊角關(guān)系，兩角和的余弦公式的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．1119=(+AC)=+，然后結(jié)合ACAD=AD求解即可．222【解答】解：在直角梯形ABCD中，AB//DC，=，2，=2由E為BC的中點，則=(+AC)=+==2，2222故選：C．【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．1310交直線CD于點M，連接、，設(shè)=，分析可得PEFQ=SMEFPQsin，即可求得結(jié)果．【解答】解：設(shè)直線交直線CD于點M，連接、，1則SMEF=12=1，2過點P、Q在平面ABCD內(nèi)分別作PG⊥CD，⊥CD，垂足分別為G、H，CCDD=CDPG⊥CDPGABCD，因為平面ABCD⊥平面CCDD，平面ABCD平面，，平面1111所以PG⊥平面CCDD，同理可得QH⊥平面CCDD，1111111131設(shè)，=,|Q??P?=S|?=S|?|sin=SPQsinPQ=3333當(dāng)且僅當(dāng)PQ⊥CD時，等號成立，故四面體P?EFQ的體積的最大值為故選：A．13．【點評】本題考查了三棱錐體積的最值問題，屬于中檔題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分?！窘獯稹拷猓涸O(shè)球的半徑為r，則球的體積為：r3，球的表面積為：r，23r3因為球的體積與其表面積的數(shù)值相等，所以=r，23解得r=3，故答案為：3．【點評】本題考查球的體積與表面積等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力及方程思想，屬于基礎(chǔ)題．12【解答】解：因為a=3，c=2，B=，4121232故SABC=acsinB=32=．2232故答案為：．【點評】本題考查三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題．13【解答】解：ai+i)=1?a+(a+i為純虛數(shù)，1?a=0a+10，解得a=1．故答案為：1．【點評】本題主要考查純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．14AA，BB交于點M，則CC，DD的延長線也過點M，則直線即為所求作的直線l，由此1111可得出結(jié)論．【解答】解：延長AA，BB交于點M，則CC，DD的延長線也過點M，如下圖所示：1111因為M1A，則M平面PA1A，則直線即為所求作的直線l．所以，直線l與直線AA、直線BB都相交．11故答案為：③④．【點評】本題考查棱臺的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．15【解答】解：如圖，以A為原點，分別以AB,為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，則正方形的邊長為a，正方形EFGC邊長為a可知(0,0),B(2a,0),D(0,2a=(3+a，3+35+3則x=(3+acos30,y=(3+asin30+2a，即F(a,a)，F(xiàn)F223+35+3又AF=xAB+yAD，(a,a)=x(2a,0)+y(0,2a)=(2ax,2ay)，22+332ax=aa3+35+32即，即2ax?2ay=a?a，5+3222ay=212化簡得x?y=?，1故答案為：?．2【點評】本題考查平面向量的基本定理，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16Ⅰ）利用余弦定理，即可解出角A；（Ⅱ）利用正弦定理，即可解出b值．b2+c2?a2bcbc2）由余弦定理得，A===，bc2)，A=；4ab（Ⅱ）由正弦定理得，=，sinAsinB22b=，sinsin43b=23．【點評】本題考查了解三角形，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．17Ⅰ）由平面向量數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合向量的模的運(yùn)算求解即可；132a（Ⅱab=e?ee+e=2?511+2=，結(jié)合cos=求解即可．11222|a||b|Ⅰ）已知兩個單位向量e，e的夾角為，若向量a，b=e?e，12121231ee+e=1?411+4=3，b=e?ee+e=3，1221122則a12即|b|a|3，即|a|b|；13（Ⅱ）解：由已知可得abe?ee+e=2?511+2=，112222設(shè)a與b的夾角為，12則==，|a||b|33又[0，]，則=，3即a與b的夾角為．3【點評】本題考查了向量模的運(yùn)算，重點考查了平面向量的夾角的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．18Ⅰ）利用復(fù)數(shù)的模長公式計算|z+z|，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值；12（Ⅱ）寫出、的坐標(biāo)表示，利用OZ⊥時=0列方程求出a的值；121212z21z21（Ⅲ）化簡，根據(jù)對應(yīng)的點在第一象限列不等式組求出a的取值范圍．）因為z=1?i，z=3+ai，所以|zz||4(a2)i|16(a2)+=2+?=+?2，121當(dāng)a=2時，|z+z|取得最小值為4；12（Ⅱ）因為OZ=2)，=a)，12若⊥，則=3?2a=0，121232解得a=，32所以實數(shù)a的值為；z23+ai+ai+i)3?2aa+6（Ⅲ）因為===+i，11?i?i+i)55z2因為對應(yīng)的點在第一象限，13?2a0a+60所以，，3解得6a23所以實數(shù)a的取值范圍是()．2【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的定義與運(yùn)算問題，也考查了復(fù)數(shù)與向量的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．19Ⅰ）由題意，利用兩角和差的三角公式化簡函數(shù)f(x)的解析式，從而得到f()的值．12（Ⅱ）先由題意求得x的值，再利用二倍角的正切公式，計算tan2x的值．）若m=1，則函數(shù)f(x)=3sinx+cosx=2sin(x+)，6f()=2sin=2．124（Ⅱ），f(x)=3sinx+6cosx=0，3sinx?=?6x，tanx=?2，2tanx2x==22．1?x2【點評】本題主要考查兩角和差的三角公式，二倍角的正切公式，屬于基礎(chǔ)題．20Ⅰ）依題意可得⊥，且⊥，由此證明直線⊥平面ADF:（Ⅱ）推導(dǎo)出DC//EF且DC=EF，從而得到CE//DF，由此證明直線CE//平面；⊥平面⊥，再根據(jù)所選條件一一證明即可．（Ⅲ）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到，從而得到）證明：在直角梯形ABCD中，AB//CD，，⊥將直角梯形ABCD繞邊旋轉(zhuǎn)到，則，⊥又AD，，平面，直線⊥平面；（Ⅱ）證明：依題意得DC//EF，且DC=EF，四邊形DCEF為平行四邊形，CE//DF，平面直線CE//平面；（Ⅲ）證明：平面ABCD⊥平面，，ABCD，平面，⊥=平面平面ABCD⊥平面，，，平面，⊥平面，過點E作，交⊥于點M，若選條件①：AE=3，EF=1，=BE=1+(2)=3，2?2=2，22AE2+BE2AEBE60AEB90，2?AB21此時cosAEB==233=，3如圖，過點E作，交⊥的延長線于點H，平面，平面，⊥，，，平面，⊥平面，平面HCE，平面HCE⊥平面，平面BCE與平面不垂直