高中數(shù)學(xué)學(xué)考復(fù)習(xí)優(yōu)化練習(xí)15平面向量基本定理含答案

優(yōu)化集訓(xùn)15平面向量基本定理基礎(chǔ)鞏固1.已知向量a=(-2,3),b=(2,-3),則下列結(jié)論正確的是()A.向量a的終點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,3)B.向量a的起點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,3)C.向量a與b互為相反向量D.向量a與b關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)2.若向量a=(3,4),且存在實(shí)數(shù)x,y,使得a=xe1+ye2,則e1,e2可以是()A.e1=(0,0),e2=(-1,2)B.e1=(-1,3),e2=(2,-6)C.e1=(-1,2),e2=(3,-1)D.e1=(-12,1),e2=(1,-3.(2023浙江A9協(xié)作體)平面向量a=(1,x),b=(-2,3),若a與b共線,那么x的值為()A.-32 B.-2C.32 D.4.已知向量a=(2,x2),b=(-1,y2-2),若a=λb(λ∈R),則實(shí)數(shù)y的取值范圍為()A.[-1,1] B.[-2,C.[0,2] D.[2,+∞)5.已知向量a=(2,-1),b=(-3,2),且表示向量a+3b,-2a-2b,c的有向線段首尾相接構(gòu)成三角形,則向量c的坐標(biāo)為()A.(5,-3) B.(-5,3)C.(-1,1) D.(1,-1)6.(2023浙江臺(tái)金六校)若a=(1,2),b=(x,3)且a·b=4,則x=()A.-2 B.-12 C.12 D7.已知|a|=3,|b|=4,則“|a+b|=7”是“向量a與b共線”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件8.(2023浙江浙北G聯(lián)盟)已知向量a=(-1,1),b=(1,m),若a∥(ma+b),則m=()A.13 B.1C.-13 D.-9.已知a=(1,2+sinx),b=(2,cosx),c=(-1,2),(a-b)∥c,則銳角x等于()A.45° B.30°C.15° D.60°10.(多選)已知向量a,b是兩個(gè)非零向量,在下列條件中,一定能使a,b共線的有()A.2a-3b=4e且a+2b=-2eB.存在不相等的實(shí)數(shù)λ,μ,使λa-μb=0C.xa+yb=0(其中實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=0)D.已知梯形ABCD,其中AB=a,CD=b11.(多選)已知向量a=(2,1),b=(cosθ,sinθ)(0≤θ≤π),則下列說(shuō)法不正確的是()A.若a⊥b,則tanθ=-2B.若b在a上的投影向量為36a,則向量a與b夾角為C.與a共線的單位向量的坐標(biāo)只有一個(gè),為(63D.存在θ,使得|a+b|=|a|-|b|12.(2023浙江9+1聯(lián)盟)已知向量a=(1,1),則與a垂直的單位向量是.

13.已知|OA|=1,|OB|=2,∠AOB=150°,OC=xOA+yOB.若點(diǎn)C在∠AOB外,且OC=2,∠BOC=60°,則x=,y=.

14.(2023浙江溫州知臨中學(xué))設(shè)e1,e2是兩個(gè)不共線的向量,若向量m=-e1+ke2(k∈R)與向量n=e2-2e1共線,則k=.

15.(2023浙江強(qiáng)基聯(lián)盟)已知向量a=(2,1),b=(4-n,m),m>0,n>0.若a∥b,則nm+8n16.平面內(nèi)給定三個(gè)向量a=(3,-2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)求滿足c=xa+yb的實(shí)數(shù)x,y的值;(2)若(a+kb)∥(c-2a),求實(shí)數(shù)k的值.能力提升17.在△ABC中,∠A=90°,AB=1,AC=2.設(shè)點(diǎn)P,Q滿足AP=λAB,AQ=(1-λ)AC,λ∈R.若BQ·CP=-2,則A.13 B.23 C.43 18.在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),兩定點(diǎn)A,B滿足|OA|=|OB|=OA·OB=2,則點(diǎn)集{P|OP=λOA+μO(píng)B,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的區(qū)域的面積是(A.43 B.42 C.23 D.2219.(多選)(2023浙江溫州十校)關(guān)于平面向量,有下列四個(gè)說(shuō)法,則正確的說(shuō)法有()A.已知向量a=(2,t),b=(t-2,4),若a∥b,則t=4B.設(shè)向量a,b,c,則(a·b)c=a(b·c)C.若向量a和向量b是單位向量,且<a,b>=π3,則(2a-b)⊥D.若向量a=(-2,-1),b=(1,2),則向量a在向量b上的投影向量是(-45,-820.(2023浙江溫州十校)e1,e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,且a=e1+ke2,b=4ke1+e2.若a∥b,則實(shí)數(shù)k=.

21.(2023浙江溫州新力量聯(lián)盟)根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理,以直角三角形的三條邊為邊長(zhǎng)作正方形,從斜邊上作出的正方形的面積正好等于在兩直角邊作出的正方形的面積之和.現(xiàn)在對(duì)直角三角形CDE按上述操作作圖后,得到如圖所示的圖形.若AF=xAB+yAD,則x+y=.

22.如圖,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=12AB,點(diǎn)P是線段DC上的動(dòng)點(diǎn)(1)若AC=xAB+yAD,求x,y的值;(2)若AC=λAP+μBD,求λμ的取值范圍.

優(yōu)化集訓(xùn)15平面向量基本定理基礎(chǔ)鞏固1.C2.C解析由題意e1,e2不共線或a,e1,e2共線,只有C符合.3.A4.B5.A解析c+a+3b-2a-2b=0,∴c=a-b=(5,-3).6.A7.A解析若向量a與b同向共線,由|a|=3,|b|=4,可得|a+b|=7;若向量a與b反向共線,由|a|=3,|b|=4,可得|a+b|=1.所以由“向量a與b共線”不能推出“|a+b|=7”.若|a+b|=7,|a|=3,|b|=4,則|a|2+2a·b+|b|2=49,所以a·b=12,所以cos<a,b>=a·b|a||b|=1.因?yàn)橄蛄縜與b夾角<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=0,即向量a與b共線.所以由“|a+b|=7”能推出“向量a與b共線”.因此,“|a+b|=7”是“向量a與b8.D解析∵ma+b=(1-m,2m),∴由a∥(ma+b)得,-2m-(1-m)=0,解得m=-1.故選D.9.A解析由題意得a-b=(-1,2+sinx-cosx),再由(a-b)∥c可得-2-(-1)×(2+sinx-cosx)=0,化簡(jiǎn)可得sinx=cosx,∴tanx=1,∴銳角x為45°.10.AB解析對(duì)于A,因?yàn)橄蛄縜,b是兩個(gè)非零向量,2a-3b=4e且a+2b=-2e,所以a=27e,b=-87e,此時(shí)a,b共線,故A正確;對(duì)于B,存在不相等的實(shí)數(shù)λ,μ,使λa-μb=0,且a,b是兩個(gè)非零向量,所以向量a,b是共線向量,故B正確;對(duì)于C,xa+yb=0(其中實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=0),若x=y=0,則a,b不一定共線,故C不正確;對(duì)于D,已知梯形ABCD,AB=a,CD=b,若AB,CD是梯形的上、下底,則a,b共線,否則a,b不一定共線.故選11.BCD解析對(duì)于A,若a⊥b,則a·b=2cosθ+sinθ=0,因?yàn)?≤θ≤π,若θ=π2,則a·b=2cosθ+sinθ=1≠0,不符合題意,所以cosθ≠0,所以2+tanθ=0,即tanθ=-2,故A正確;對(duì)于B,由已知可得|a|=3,|b|=1,b在a上的投影向量為|b|cos<a,b>·a|a|=33cos<a,b>·a=36a,則cos<a,b>=12,因?yàn)?≤<a,b>≤π,則<a,b>=π3,故B不正確;對(duì)于C,與a共線的單位向量為±a|a|=±33a,故與a共線的單位向量的坐標(biāo)為63,33和-63,-33,故C不正確;對(duì)于D,由B選項(xiàng)可知|a|-|b|=3-1>0,若存在θ,使得|a+b|=|a|-|b|,則a,b方向相反,則sinθ<12.22,-22和-22,22解析設(shè)與a垂直的單位向量為e=(x,y)(x,y∈由題意可得|解得x故與a垂直的單位向量是22,-22和-22,213.-23-1解析以O(shè)為原點(diǎn),OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖),則由條件可知OA=(1,0),OB=(-3,1),OC=(-3,-1).由OC=xOA+yOB得,(-3,-1)=x(1,0)+y(-3,1),則x-314.12解析由題意得存在唯一實(shí)數(shù)λ,使m=λn所以-e1+ke2=λ(e2-2e1).因?yàn)閑1,e2是兩個(gè)不共線的向量,所以-1=-2λ,k15.6解析∵a∥b,∴2m=4-n?2m+n=4(m>0,n>0),∴nm+8n=nm+4m+2當(dāng)且僅當(dāng)nm=4mn且2m+n=即n=2,m=1時(shí),等號(hào)成立.故nm+816.解(1)由c=xa+yb得(4,1)=(3x-y,-2x+2y),∴3x-(2)a+kb=(3-k,-2+2k),c-2a=(-2,5),∵(a+kb)∥(c-2a),∴5(3-k)+2(-2+2k)=0,∴k=11.能力提升17.B解析(方法1坐標(biāo)法)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(1,0),C(0,2).由AP=λAB,AQ=(1-λ)AC,可得P(λ,0),Q(0,2-2則BQ=(-1,2-2λ),CP=(λ,-2),所以BQ·CP=-λ+4λ-4=3λ-4=-2,即λ=故選B.(方法2)BQ=AQ-AB=(1-CP=AP-ACBQ·CP=(λ-1)AC2-λAB2=4(λ-1)-λ=3λ即λ=23.故選B18.A解析由條件可知,∠AOB=π3,點(diǎn)集所在區(qū)域如圖中矩形ABCD,計(jì)算得其面積為S=43.故選A19.CD解析a=(2,t),b=(t-2,4),若a∥b,則2×4-(t-2)t=0,即t2-2t-8=0,解得t=-2或4,故A錯(cuò)誤;當(dāng)a·b≠0且b·c≠0,且a,c不共線時(shí),(a·b)c≠a(b·c),故B錯(cuò)誤;當(dāng)a,b是單位向量,<a,b>=π3時(shí),(2a-b)·b=2a·b-b2=2×12-1=0,則(2a-b)⊥b,故C正確;a=(-2,-1),b=(1,2),a在b上的投影向量為a·b|b|·b|b|=-45(1,2)20.±12解析因?yàn)閍∥b,所以?λ∈R,使得b=λa成立,即e1+ke2=4kλe1+λe2.因?yàn)閑1,e2不共線,所以1=4kλ,k21.4+32解析如圖,以A為原點(diǎn),分別以AB,AD所在直線為x設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a,則正方形DEHI的邊長(zhǎng)為3a,正方形EFGC的邊長(zhǎng)為a.可知A(0,0),B(2a,0),D(0,2a),DF=(3+1)a.則xF=(3+1)a·cos30°,yF=(3+1)a·sin30°+2a,即F3+32a,5+32又AF=xAB+yAD,∴3+32a,5+32